Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Đề 42-ÔN TẬP_ÔN TẬP_GT(ĐẾN PP NGUYÊN HÀM)_HH(MẶT CẦU)

866a35ded1e2217b9470ed55e041943e
Gửi bởi: Nguyễn Trần Thành Đạt 28 tháng 7 lúc 13:32 | Được cập nhật: 28 tháng 7 lúc 14:58 | IP: 113.176.48.255 Kiểu file: PDF | Lượt xem: 127 | Lượt Download: 2 | File size: 0.653674 Mb

Nội dung tài liệu

Tải xuống
Link tài liệu:
Tải xuống

Các tài liệu liên quan


Có thể bạn quan tâm


Thông tin tài liệu

ĐỀ SỐ 42
ĐỀ RÈN LUYỆN MÔN TOÁN 12

HƯỚNG ĐẾN KÌ THI THPT QUỐC GIA

Trắc nghiệm: 50 câu
Thời gian: 90 phút

Nội dung:
Giải tích: Đến phương pháp nguyên hàm.
Hình học: Đến phương trình mặt cầu.

x3 x 2
9
1
Câu 1. Biết đường thẳng y = − x −
cắt đồ thị hàm số y = + − 2 x tại một điểm duy nhất; ký hiệu
4
24
3 2
( x0 ; y0 ) là tọa độ điểm đó. Tìm y0 .
A. y0 =

13
.
12

B. y0 =

12
.
13

1
C. y0 = − .
2

D. y0 = −2 .

1 4
x − 2 x 2 + 3 . Khẳng định nào sau đây đúng?
4
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −2;0 ) và ( 2; + ) .

Câu 2. Cho hàm số y =

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; −2 ) và ( 0; 2 ) .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; 0 ) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −; −2 ) và ( 2; + ) .
Câu 3. Hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên dưới đây.

Số tiệm cận của đồ thị hàm số y = f ( x ) là:
A. 2 .
B. 3 .
C. 1 .
4
2
Câu 4. Tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x − 2 x + 2 .
A. ( −1;1) .
B. ( 2;0 ) .
C. (1;1) .
Câu 5. Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
A. 1 .

B. 2 .

x −3
.
x2 + 1
C. 3 .

x−3
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x−2
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; + ) .

D. 4 .
D. ( 0; 2 ) .

D. 0 .

Câu 6. Cho hàm số y =

B. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
C. Hàm số nghịch biến trên .
D. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
Câu 7. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:
HOÀNG XUÂN NHÀN 437

Mệnh đề nào dưới đây là sai?
A. Hàm số không đạt cực tiểu tại điểm x = 2 .
C. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là ( −1; 2 ) .

B. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = −1 .
D. Giá trị cực đại của hàm số là y = 2 .

Câu 8. Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là s = −t 3 + 6t 2 + 17t , với t ( s ) là khoảng
thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s ( m ) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời
gian đó. Trong khoảng thời gian 8 giây đầu tiên, vận tốc v ( m / s ) của chất điểm đạt giá trị lớn nhất

Câu 9.

bằng
A. 29m / s .
B. 26m / s .
C. 17m / s .
D. 36m / s .
Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ ở bên.

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 .
B. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 .
C. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 .
D. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 .
2x + 3
Câu 10. Cho hàm số y =
có đồ thị ( C ) và đường thẳng d : y = 2 x − 3 .
x+3
Đường thẳng d cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm A và B . Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB .
 1 7
 1 13 
 1 13 
 1 11 
A. I  − ; −  .
B. I  − ; −  .
C. I  − ; −  .
D. I  − ; −  .
 4 2
 4 4
 8 4
 4 4
4
2
Câu 11. Cho hàm số y = ( m + 1) x − mx + 3 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có ba điểm
cực trị.
A. m  ( −; − 1)   0; +  ) .
B. m  ( −1;0 ) .

C. m  ( −; − 1   0; +  ) .

D. m  ( −; − 1)  ( 0; +  ) .

Câu 12. Cho các số thực dương a , b với a  1 và log a b  0 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
 0  a, b  1
 0  a, b  1
0  b  1  a
 0  a, b  1
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
0  a  1  b
1  a, b
1  a, b
0  b  1  a
Câu 13. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực ?
x
x
 
2
2
A. y =   .
B. y = log 1 x .
C. y = log  ( 2 x + 1) .
D. y =   .
3
e
2
4
Câu 14. Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề nào sai?
A. Hàm số y = ex không chẵn cũng không lẻ.
HOÀNG XUÂN NHÀN 438

)

(

B. Hàm số y = ln x + x 2 + 1 không chẵn cũng không lẻ.
C. Hàm số y = ex có tập giá trị là ( 0; +  ) .

)

(

D. Hàm số y = ln x + x 2 + 1 có tập xác định là

.

Câu 15. Các giá trị x thỏa mãn bất phương trình log 2 ( 3x − 1)  3 là :
A. x  3 .

B.

1
 x  3.
3

C. x  3 .

Câu 16. Cho hàm số y = ln ( e x + m2 ) . Với giá trị nào của m thì y (1) =

D. x 

10
.
3

1
.
2

1
C. m = .
D. m =  e.
e
Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = log ( x 2 − 2mx + 4 ) có tập xác định là
A. m = e.

m  2
.
A. 
 m  −2

B. m = −e.

B. m = 2.

C. m  2.

D. −2  m  2.

C. ( 0; e  .

D. (1; 2 ) .

.

Câu 18. Tập xác định của hàm số y = 2 − ln ( ex ) là.
A. (1; + ) .

B. ( 0;1) .

Câu 19. Tập nghiệm của bất phương trình 2x  3x+1 là:




A.  .
B.  −;log 2 3  .
C. ( −; log 2 3 .
D.  log 2 3; +  .
3 

 3

x +1
x
x +1
Câu 20. Phương trình 9 −13.6 + 4 = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 . Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Phương trình có 2 nghiệm nguyên.
B. Phương trình có 2 nghiệm vô tỉ.
C. Phương trình có 1 nghiệm dương.
D. Phương trình có 2 nghiệm dương.
x
Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = −3sin 2 x + 2 cos x − e là
A. −6cos 2x + 2sin x − ex + C .
B. 6cos 2 x − 2sin x − ex + C .
3
3
C. cos 2 x − 2sin x − e x + C .
D. cos 2 x + 2sin x − e x + C .
2
2
Câu 22. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x − 1 trên ( 0; + ) .
23 2
2 3
x − x + 1.
x −x+2.
B. F ( x ) =
3
3
1
1
−x .
C. F ( x ) =
.
D. F ( x ) =
2 x
2 x
Câu 23. Cho F ( x ) = cos 2 x − sin x + C là nguyên hàm của hàm số f ( x ) . Tính f ( π ) .

A. F ( x ) =

A. f ( π ) = −3 .

B. f ( π ) = 1 .

C. f ( π ) = −1 .

D. f ( π ) = 0 .

1 1
Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 7 x 6 + + 2 − 2 là
x x
1
1
A. x 7 + ln x − − 2 x .
B. x 7 + ln x + − 2 x + C .
x
x
1
1
C. x 7 + ln x + − 2 x + C .
D. x 7 + ln x − − 2 x + C .
x
x
HOÀNG XUÂN NHÀN 439

Câu 25. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f  ( x ) = 3 − 5cos x và f ( 0 ) = 5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f ( x ) = 3x + 5sin x + 2 .

B. f ( x ) = 3x − 5sin x − 5 .

C. f ( x ) = 3x − 5sin x + 5 .D. f ( x ) = 3x + 5sin x + 5 .
x
Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 2   .
2
A.  f ( x ) dx = x + sinx + C .

C.

x

1

 f ( x ) dx = 2 + 2 sinx + C .

Câu 27. Nguyên hàm của f ( x ) =

1 + ln x

x.ln x

1 + ln x
dx = ln ln x + C .
x.ln x
1 + ln x
dx = ln x + ln x + C .
C. 
x.ln x
2x2 − 7 x + 5
dx .
Câu 28. Tính nguyên hàm I = 
x −3
A. I = x 2 − x + 2 ln x − 3 + C.
A.



2
C. I = 2 x − x + 2 ln x − 3 + C.

B.

 f ( x ) dx = x − sinx + C .

D.

 f ( x ) dx = 2 − 2 sinx + C .

x

1

1 + ln x
dx = ln x 2 .ln x + C .
x.ln x
1 + ln x
dx = ln x.ln x + C .
D. 
x.ln x
B.



B. I = x 2 − x − 2 ln x − 3 + C.
D. I = 2 x 2 − x − 2 ln x − 3 + C.

3
m/s 2 ) . Với vận tốc ban đầu của
(
t +1
vật là 6m/s . Vận tốc của vật sau 10 giây bằng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
A. 11m/s .
B. 12m/s .
C. 13m/s .
D. 14m/s .
Câu 30. Tính I =  8sin 3x cos xdx = a cos 4 x + b cos 2 x + C . Khi đó, a − b bằng
Câu 29. Một vật chuyển động với vận tốc v ( t )( m/s ) , có gia tốc v ( t ) =

A. 3 .

B. −1.

C. 1 .

D. 2 .

 
Câu 31. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 3 x.cos x và F ( 0 ) =  . Tính F   .
2
1
 
 
 
  1
A. F   = − .
B. F   =  .
C. F   = − +  .
D. F   = +  .
4
2
2
2
2 4
1
1
dx = a tan x + b cot x +
tan a +b x + C . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 32. Cho 
2
4
sin x cos x
a+b
2
2
A. b  a − 1.
B. b − a = 3 .
C. a + 2b = 3 .
D. a  b + 1 .
2
−x
2
Câu 33. Biết F ( x ) = ( ax + bx + c ) e là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( 2 x − 5 x + 2 ) e − x trên . Tính

giá trị của biểu thức f  F ( 0 )  .
A. −e−1 .
B. 20e2 .
C. 9e .
D. 3e .
2
Câu 34. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng a và khoảng cách giữa hai đáy bằng 3a . Tính thể tích V của
khối lăng trụ đã cho.
3
A. V = a 3 .
B. V = 3a3 .
C. V = a3 .
D. V = 9a3 .
2
Câu 35. Trong các hình dưới đây hình nào không phải đa diện lồi?

HOÀNG XUÂN NHÀN 440

Hình (I)

Hình (II)

Hình (III)

Hình (IV)

A. Hình (IV).
B. Hình (III).
C. Hình (II).
D. Hình (I).
Câu 36. Cho khối tự diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA = a , OB = b , OC = c . Thể tích
khối tứ diện OABC được tính theo công thức nào sau đây
1
1
1
A. V = a.b.c .
B. V = a.b.c .
C. V = a.b.c .
D. V = 3a.b.c .
2
3
6
3a
Câu 37. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SD =
, hình chiếu vuông góc của
2
S trên mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm của cạnh AB . Tính theo a thể tích khối chóp S. ABCD .

a3
a3
a3
2a 3
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
3
4
3
Câu 38. Cho hình cầu đường kính 2a 3 . Mặt phẳng ( P ) cắt hình cầu theo thiết diện là hình tròn có bán kính
A.

bằng a 2 . Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng ( P ) .
a 10
a
.
C. a 10 .
D.
.
2
2
Câu 39. Tính diện tích xung quanh của một hình trụ có chiều cao 20 m , chu vi đáy bằng 5 m .

A. a .

B.

A. 50 m2 .

B. 50 m2 .

C. 100 m2 .

D. 100 m2 .

Câu 40. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a . Tam giác SAB có diện tích bằng 2a2 . Thể
tích của khối nón có đỉnh S và đường tròn đáy nội tiếp tứ giác ABCD .
 a3 7
 a3 7
 a3 7
 a 3 15
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
24
8
7
4
Câu 41. Diện tích toàn phần của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng 3 và thiết
diện qua trục là tam giác đều bằng:
A. 16 .
B. 8 .
C. 20 .
D. 12 .
Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M ( 3; 0; 0 ) , N ( 0;0; 4 ) . Tính độ dài đoạn thẳng
MN .
A. MN = 1 .
B. MN = 7 .
C. MN = 5 .
D. MN = 10 .
2
2
2
Câu 43. Trong không gian Oxyz , mặt cầu ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 4 có tâm và bán kính lần lượt là

A. I ( −1; −2;3) ; R = 2 .

B. I (1; 2; −3) ; R = 2 .

C. I (1; 2; −3) ; R = 4 .

D. I ( −1; −2;3) ; R = 4 .

Câu 44. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho ba điểm A ( 2;0;0 ) , B ( 0;3;1) , C ( −1; 4; 2 ) . Độ dài
đường cao từ đỉnh A của tam giác ABC :
A.

6.

B.

2.

C.

3
.
2

D.

3.

HOÀNG XUÂN NHÀN 441

Câu 45. Một người thả một lượng bèo vào một cái ao, sau 12 giờ thì bèo sinh sôi phủ kín mặt ao. Hỏi sau mấy
1
giờ thì bèo phủ kín mặt ao, biết rằng sau mỗi giờ thì lượng bèo tăng gấp 10 lượng bèo trước đó và
5
tốc độ tăng không đổi.
12
A. 12 − log5 (giờ).
B. 12 − log 2 (giờ).
C. 12 + ln 5 (giờ).
D.
(giờ).
5
Câu 46. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A (1; 2;3) , B ( 3; 4; 4 ) , C ( 2;6;6 ) và I ( a; b; c ) là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC . Tính a + b + c .
46
63
31
A.
.
B.
.
C.
.
D. 10 .
5
5
3
Câu 47. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  0;   . Biết f ( 0 ) = 2e và f ( x ) thỏa mãn hệ thức
f  ( x ) + sin x. f ( x ) = cos x.ecos x , x   0;   . Tìm số nghiệm phương trình

 0; 4  .

f ( x ) 6065

= 0 trên
ecos x 2022

A. 2 .
B. 0 .
C. 4 .
D. 1 .
3
2
Câu 48. Cho hàm số y = x − 3x + 4 có đồ thị ( C ) , đường thẳng d : y = m ( x + 1) với m là tham số, đường
thẳng  : y = 2 x − 7 . Tìm tổng tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt đồ thị ( C ) tại 3
điểm phân biệt A ( −1;0 ) , B, C sao cho B, C cùng phía với  và d ( B,  ) + d ( C,  ) = 6 5 .
A. 0 .
B. 4 .
C. 8 .
D. 5 .
2 x+ y + z
 1 − 3.2

Câu 49. Xét các số thực x, y, z thay đổi sao cho 3x = log 2  y +1 z −1  . Giá trị lớn nhất của biểu thức
 8 +8 
P = 3x + 2 y + z thuộc khoảng nào sau đây?
A. ( −3; 0 ) .

B. ( −10; −4 ) .

C. ( −4; −3 ) .

D. ( 0; 4 ) .

Câu 50. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC
. Biết rằng SA = BC = 2 và BAC = 300 . Hãy tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
SAEF và mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABEF .
3
4
A. 4 .
B.
.
D. 2 .
D.
.
2
5

__________________HẾT__________________

HOÀNG XUÂN NHÀN 442

ÑAÙP AÙN ÑEÀ SOÁ 42
1
A
11
D
21
D
31
D
41
D

2
B
12
B
22
B
32
A
42
C

3
B
13
D
23
B
33
C
43
B

4
D
14
B
24
D
34
B
44
B

5
A
15
A
25
C
35
A
45
A

6
D
16
D
26
C
36
C
46
C

7
A
17
D
27
D
37
B
47
C

8
A
18
C
28
A
38
A
48
B

9
C
19
B
29
C
39
D
49
C

10
A
20
A
30
C
40
A
50
D

Lôøi giaûi caâu hoûi vaän duïng cao ñeà soá 42
Câu 45. Một người thả một lượng bèo vào một cái ao, sau 12 giờ thì bèo sinh sôi phủ kín mặt ao. Hỏi sau mấy
1
giờ thì bèo phủ kín mặt ao, biết rằng sau mỗi giờ thì lượng bèo tăng gấp 10 lượng bèo trước đó và
5
tốc độ tăng không đổi.
12
A. 12 − log5 (giờ).
B. 12 − log 2 (giờ).
C. 12 + ln 5 (giờ).
D.
(giờ).
5
Hướng dẫn giải:
Gọi A là lượng bèo ban đầu được thả vào ao; khi đó lượng bèo sau n giờ được cho bởi công thức
S ( n ) = A.10n .
Lượng bèo sinh ra sau 12 giờ: S (12 ) = A.1012 .
Ta cần tìm n để

S ( n) 1
A.10n 1
1
1
Choïn
→ A
= 
=  10n−12 =  n = log + 12  11,3 (giờ). ⎯⎯⎯
12
S (12 ) 5
A.10
5
5
5

Câu 46. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A (1; 2;3) , B ( 3; 4; 4 ) , C ( 2;6;6 ) và I ( a; b; c ) là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC . Tính a + b + c .
46
63
31
A.
.
B.
.
C.
.
D. 10 .
5
5
3
Hướng dẫn giải:
2
2
2
2
2
2

 AI 2 = BI 2

( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = ( x − 3) + ( y − 4 ) + ( z − 4 )
Ta có:  2

2
2
2
2
2
2
2
AI
=
CI



( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = ( x − 2 ) + ( y − 6 ) + ( z − 6 )

4 x + 4 y + 2 z = 27
 
(1).
2 x + 8 y + 6 z = 62
Mặt khác: A, B, C, I đồng phẳng nên  AB, AC  . AI = 0 .
HOÀNG XUÂN NHÀN 443

Ta có: AB = ( 2; 2;1) , AC = (1; 4;3) ,  AB, AC  = ( 2; −5;6 ) , AI = ( a − 1; b − 2; c − 3 ) .
Do vậy:  AB, AC  . AI = 0  2 ( a − 1) − 5 ( b − 2 ) + 6 ( c − 3) = 0  2a − 5b + 6c = 10
Từ (1) và (2) suy ra: a =

(2).

3
49
46
Choïn
→C
. ⎯⎯⎯
, b = 4, c =
 a+b+c =
10
10
5

Câu 47. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  0;   . Biết f ( 0 ) = 2e và f ( x ) thỏa mãn hệ thức
f  ( x ) + sin x. f ( x ) = cos x.ecos x , x   0;   . Tìm số nghiệm phương trình

 0; 4  .
A. 2 .

f ( x ) 6065

= 0 trên
ecos x 2022

C. 4 .
D. 1 .
Hướng dẫn giải:
cos x
 e − cos x . f  ( x ) + e − cos x .sin x. f ( x ) = cos x
Giả thiết f  ( x ) + sin x. f ( x ) = cos x.e
B. 0 .

 e − cos x . f ( x )  = cos x  e− cos x . f ( x ) = sin x + C .
Do f ( 0 ) = 2e suy ra e−1.2e = C  C = 2 . Do vậy: e − cos x . f ( x ) = sin x + 2

f ( x ) 6065
6065
2021

= sin x + 2 −
= sin x −
.
cos x
e
2022
2022
2022
f ( x ) 6065
2021
= 0  sin x =
 0,9995 . Ta thấy phương trình này có 2 nghiệm trên
Khi đó: cos x −
e
2022
2022
Choïn
→C
 0; 2  nên nó có 4 nghiệm trên  0; 4  . ⎯⎯⎯


Câu 48. Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 4 có đồ thị ( C ) , đường thẳng d : y = m ( x + 1) với m là tham số, đường
thẳng  : y = 2 x − 7 . Tìm tổng tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt đồ thị ( C ) tại 3
điểm phân biệt A ( −1;0 ) , B, C sao cho B, C cùng phía với  và d ( B,  ) + d ( C,  ) = 6 5 .
A. 0 .

D. 5 .

B. 4 .

C. 8 .
Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và d là: x3 − 3x 2 + 4 = m ( x + 1)

 x = −1
 ( x + 1) ( x 2 − 4 x + 4 − m ) = 0   2
.
 x − 4 x + 4 − m = 0 (*)
d cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt A ( −1;0 ) , B, C  (*) có 2 nghiệm

 = 4 − 4 + m  0
m  0

phân biệt x  −1  
. Khi đó:
2
( −1) − 4 ( −1) + 4 − m  0 m  9
xB + xC = 4 .
Gọi I là trung điểm của BC  I ( 2;3m ) . Theo tính chất đường

trung bình của hình thang, ta có:  d ( B,  ) + d ( C ,  )  = 2d ( I ,  ) mà

d ( I , ) =

2.2 − 3m − 7
22 + ( −1)

2

=

3m + 3
5

.Vì vậy: d ( B,  ) + d ( C,  ) = 6 5 

3m + 3
5

=3 5

HOÀNG XUÂN NHÀN 444

3m + 3 = 15
 m = 4 ( n)
.
 3m + 3 = 15  

3m + 3 = −15
 m = −6 (l )
Choïn
→B
Vậy m = 4 thỏa mãn đề bài. ⎯⎯⎯

 1 − 3.22 x + y + z 
Câu 49. Xét các số thực x, y, z thay đổi sao cho 3x = log 2  y +1 z −1  . Giá trị lớn nhất của biểu thức
 8 +8 
P = 3x + 2 y + z thuộc khoảng nào sau đây?
B. ( −10; −4 ) .

A. ( −3; 0 ) .

 1 − 3.2
Ta có 3x = log 2  y +1 z −1
 8 +8

2 x+ y+ z

C. ( −4; −3 ) .

D. ( 0; 4 ) .

Hướng dẫn giải:
 1 − 3.22 x + y + z
3x
x + y +1
+ 8x+ z −1 −1 = −3.22 x+ y + z
  y +1 z −1 = 2  8
8
+
8


 ( 2 x + y +1 ) + ( 2 x + z −1 ) + ( −1) = 3.2 x + y +1.2 x + z −1. ( −1) (*).
3

3

3

Đặt a = 2x+ y +1, b = 2x+ z −1, c = −1 . Phương trình (*) trở thành: a3 + b3 + c3 − 3abc = 0
a + b + c = 0
 ( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ac ) = 0   2
.
2
2
 a + b + c = ab + bc + ac
Trường hợp 1: a + b + c = 0 . Ta có: 2x+ y +1 + 2x+ z −1 = 1  2.2x+ y + 2x+ z −1 = 1  2x+ y + 2x+ y + 2x+ z −1 = 1.
3 x + 2 y + z −1

Theo AM-GM, ta có: 1 = 2x+ y + 2x+ y + 2x + z −1  3. 3 2x + y.2x + y.2x + z −1 = 3.2 3 .
3x + 2 y + z − 1
1
1
1
 log 2  3x + 2 y + z  3log 2 + 1 hay P  3log 2 + 1 .
Suy ra
3
3
3
3
1

x + y = log 2

1
1

3
Ta có: PMin = 3log 2 + 1 . Dấu “=” đạt được  2 x + y = 2 x + z −1 =  
.
3
3
 x + z = 1 + log 1
2

3

Trường hợp 2: a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ac  2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) − 2 ( ab + bc + ac ) = 0
 ( a − b ) + ( a − c ) + ( b − c ) = 0  a = b = c . Khi đó: 2 x + y +1 = 2 x + z −1 = −1 (vô lí).
2

2

2

1
Choïn
→C
Vậy PMin = 3log 2 + 1 . ⎯⎯⎯
3
Câu 50. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC
. Biết rằng SA = BC = 2 và BAC = 300 . Hãy tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
SAEF và mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABEF .
3
4
A. 4 .
B.
.
D. 2 .
D.
.
2
5
Hướng dẫn giải:
Gọi K là trung điểm của SA . Ta có E , F nhìn cạnh SA dưới một góc vuông nên E , F thuộc mặt
SA
=1 .
cầu đường kính SA hay mặt cầu (T ) ngoại tiếp tứ diện SAEF có bán kính R1 = AK =
2
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và AC và d1 , d 2 lần lượt là trục của đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABE và ACF thì d1 và d 2 lần lượt là trung trực các cạnh AB và AC trong mặt
phẳng ( ABC ) ; gọi J là giao của d1 và d 2 thì J cách đều các đỉnh A , B , C , E , F đồng thời là
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
HOÀNG XUÂN NHÀN 445

Do đó mặt cầu ( S ) ngoại tiếp tứ diện ABEF cũng là mặt cầu
ngoại tiếp khối đa diện ABCFE và có bán kính R2 = JA .
Theo định lý Sin trong tam giác ABC ta có
BC
BC
2
= 2 R2  R2 =
=
=2 .
0
sin BAC
2sin BAC 2sin 30
Ta có KJ = AK 2 + AJ 2 = 5  R1 + R2 = 3 nên hai mặt cầu

(T )

và ( S ) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn ( C ) ngoại

tiếp tam giác AEF .
Xét mô hình hai mặt cầu giao nhau như hình bên, ta thấy bán
kính đường tròn ( C ) là đoạn AH . Vì tam giác AKJ vuông
tại A nên AH =

AK . AJ
2
.
=
KJ
5

Vậy diện tích thiết diện tạo bởi hai mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SAEF và ABEF là S =  . AH 2 =

4
.
5

Choïn
⎯⎯⎯
→D

HOÀNG XUÂN NHÀN 446