ĐÁP ÁN Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm 2018 môn toán 10
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH
TỔ TOÁN TIN
(Đề thi gồm 05 câu, 04 trang)
Ý
1
ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐỊNH KỲ LẦN 1
MÔN THI: TOÁN 10 (Cho lớp chuyên Toán)
Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian phát đề
Ngày thi 20/8/2018
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
1.0
Xét hệ:
ĐK:
(do
Với
)
. Thay vào (2) ta được:
1.0
1.0
Giải (3):
1.0
Giải (4):
(vô nghiệm)
1
Vậy hệ phương trình có nghiệm:
Chú ý: Học sinh có thể giải phương trình (*) bằng cách đặt
và đưa về hệ đối xứng.
2a
Áp dụng công thức
nên
thì ta có
Ta có
2b
, nhưng khi
. Tù đó, có
0.5
.
0.5
nên
Để ý rằng vế trái là tích của p số nguyên dương liên tiếp nên có đúng một
số chia hết cho và bằng , các số còn lại đồng dư với lần lượt 1, 2,
…, -1. Do đó, sau khi chia cả 2 vế cho , ta suy ra:
0.5
Lại có,
thức cho
0.5
và module nguyên tố cùng nhau, chia 2 vế đồng dư
ta được đpcm.
0.5
Chứng minh tương tự câu a) cho ta kết quả
Từ kết quả câu a, ta có
0.5
với mọi
Áp dụng câu a), và công thức
1.0
cho ta đpcm.
K
A
E
F
I
3a
G
H
B
C
D
Gọi
Gọi
. Do
đồng quy nên ta có
. Ta có
. Lại có
AG, AD, AC theo thứ tự tại các điểm
. Từ đó suy ra AK, EF, BC đồng quy.
2
.
0,5đ
và HE cắt
nên E là trung điểm
1,5đ
A
G
F
Q
P
K
T
C
M
B
S
L
J
3b. Gọi
. Ta có
nên các tứ giác
FPQG, MPJQ nội tiếp.
Do đó
. Từ đó suy ra
Áp dụng ĐL Menelaus cho
.
0,5đ
trong tam giác ABT, ta có
0,5đ
.
Áp dụng ĐL Menelaus cho
trong tam giác ACS, ta có
.
Từ (1) và (2), suy ra
0,5đ
.
Ý
4
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
Ta có
Đẳng thức xảy ra
Tương tự:
0,5đ
1,0đ
.
, đẳng thức xảy ra
.
1,0 đ
, đẳng thức xảy ra
.
0,5đ
Do đó
3
1,0đ
. Đẳng thức xảy ra
5
. Vậy GTNN của P là
.
Trong
đường thẳng nằm ngang, ta chọn ra đường thẳng có số điểm tô
nhầm trên mỗi đường là lớn nhất, tức là các đường ngang còn lại có số điểm
tô nhầm không lớn hơn các đường ngang đã chọn.
Bây giờ ta chứng minh rằng, số điểm tô nhầm trên
đường này không ít
hơn
điểm. Thật vậy, giả sử ngược lại, thì sau khi xóa
đường ngang
này, số điểm An cần sửa còn ít nhất +1 điểm. Số này thuộc
đường
ngang còn lại, khi đó tất yếu có ít nhất 1 đường ngang chứa từ 2 điểm tô sai
màu trở lên. Thế thì chứng tỏ mỗi đường trong
đường ngang chọn ban
đầu đều có từ 2 điểm tô sai màu trở lên. Vậy thì số điểm đã xóa không nhỏ
hơn
(mâu thuẫn với giả sử trên).
Vậy sau khi xóa n đường ngang thì số điểm tô sai còn lại không vượt quá .
Số điểm này nằm trên nhiều nhất đường dọc. An hoàn toàn chọn được
đường dọc chứa đủ số điểm tô sai còn lại. (đpcm)
--------------Hết-------------
4
0,5đ
1.0
2.0
1.0
TỔ TOÁN TIN
(Đề thi gồm 05 câu, 04 trang)
Ý
1
ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐỊNH KỲ LẦN 1
MÔN THI: TOÁN 10 (Cho lớp chuyên Toán)
Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian phát đề
Ngày thi 20/8/2018
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
1.0
Xét hệ:
ĐK:
(do
Với
)
. Thay vào (2) ta được:
1.0
1.0
Giải (3):
1.0
Giải (4):
(vô nghiệm)
1
Vậy hệ phương trình có nghiệm:
Chú ý: Học sinh có thể giải phương trình (*) bằng cách đặt
và đưa về hệ đối xứng.
2a
Áp dụng công thức
nên
thì ta có
Ta có
2b
, nhưng khi
. Tù đó, có
0.5
.
0.5
nên
Để ý rằng vế trái là tích của p số nguyên dương liên tiếp nên có đúng một
số chia hết cho và bằng , các số còn lại đồng dư với lần lượt 1, 2,
…, -1. Do đó, sau khi chia cả 2 vế cho , ta suy ra:
0.5
Lại có,
thức cho
0.5
và module nguyên tố cùng nhau, chia 2 vế đồng dư
ta được đpcm.
0.5
Chứng minh tương tự câu a) cho ta kết quả
Từ kết quả câu a, ta có
0.5
với mọi
Áp dụng câu a), và công thức
1.0
cho ta đpcm.
K
A
E
F
I
3a
G
H
B
C
D
Gọi
Gọi
. Do
đồng quy nên ta có
. Ta có
. Lại có
AG, AD, AC theo thứ tự tại các điểm
. Từ đó suy ra AK, EF, BC đồng quy.
2
.
0,5đ
và HE cắt
nên E là trung điểm
1,5đ
A
G
F
Q
P
K
T
C
M
B
S
L
J
3b. Gọi
. Ta có
nên các tứ giác
FPQG, MPJQ nội tiếp.
Do đó
. Từ đó suy ra
Áp dụng ĐL Menelaus cho
.
0,5đ
trong tam giác ABT, ta có
0,5đ
.
Áp dụng ĐL Menelaus cho
trong tam giác ACS, ta có
.
Từ (1) và (2), suy ra
0,5đ
.
Ý
4
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
Ta có
Đẳng thức xảy ra
Tương tự:
0,5đ
1,0đ
.
, đẳng thức xảy ra
.
1,0 đ
, đẳng thức xảy ra
.
0,5đ
Do đó
3
1,0đ
. Đẳng thức xảy ra
5
. Vậy GTNN của P là
.
Trong
đường thẳng nằm ngang, ta chọn ra đường thẳng có số điểm tô
nhầm trên mỗi đường là lớn nhất, tức là các đường ngang còn lại có số điểm
tô nhầm không lớn hơn các đường ngang đã chọn.
Bây giờ ta chứng minh rằng, số điểm tô nhầm trên
đường này không ít
hơn
điểm. Thật vậy, giả sử ngược lại, thì sau khi xóa
đường ngang
này, số điểm An cần sửa còn ít nhất +1 điểm. Số này thuộc
đường
ngang còn lại, khi đó tất yếu có ít nhất 1 đường ngang chứa từ 2 điểm tô sai
màu trở lên. Thế thì chứng tỏ mỗi đường trong
đường ngang chọn ban
đầu đều có từ 2 điểm tô sai màu trở lên. Vậy thì số điểm đã xóa không nhỏ
hơn
(mâu thuẫn với giả sử trên).
Vậy sau khi xóa n đường ngang thì số điểm tô sai còn lại không vượt quá .
Số điểm này nằm trên nhiều nhất đường dọc. An hoàn toàn chọn được
đường dọc chứa đủ số điểm tô sai còn lại. (đpcm)
--------------Hết-------------
4
0,5đ
1.0
2.0
1.0