Đại số 10 Nâng cao Chương IV. §1. Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức (1)

TRƯỜNG THPT NGUYỄN DUMÔN TOÁN LỚP 10Giáo viên Th Bích Th yỗ ủ1. Khái niệm và tính chất của bất đẳng thức. a) Khái niệm bất đẳng thức. Giả sử a, là hai số thực. Các mệnh đề “a b”; ”a b”; “a b”; ”a b” được gọi là bất đẳng thức. Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.b) Tính chất của bất đẳng thức. Tính chất bắc cầu và c. Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số: c, c. Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số: a ac bc, 0. ac bc, 0.Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều:a và dChuyển vế cNhân vế với vế của hai bđt dương cùng chiều: a và ac bd.Lũy thừa bậc chẵn hai vế của bất đẳng thức:  0, và  *, ta có 2n 2nKhai căn hai vế của bất đẳng thức: 3 3a ba Ví dụ 1: Chứng minh với mọi ta có: 2(x 1) Ví dụ 2: Chứng minh nếu a, b, là độ dài ba cạnh của tam giác thì: (b a)(c b)(a c) abc2. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối. Với mọi  ta có: –|a| |a|Với 0, ta có: |x| –a aVới 0, ta có: |x| –a  aVới a,  ta có: |a| |b| |a b| |a| |b|Ví dụ 3: Cho x,  chứng minh |3 y| |y| |8 x| Giải.|3 y| |y| |8 x| |3 y| |y x|≥ |3 y| |x y|≥ |3 y|≥ 5| 53. Bất đẳng thức Cauchy. Cho và 0, ta có:Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b.+a bab2Hãy ch ng minh ứb đng th ứtrên.Phát bi ng ờb đng th ứtrên.Ví dụ 4: Cho a, b, là ba số dương bất kỳ, chứng minh +b a+ 6c bGiải.a a+ +c ba c= +b aa c2 6b a   3. Bất đẳng thức Cauchy. Hệ quả:Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.