Chuyên đề số chính phương THCS

CÁC CHUYÊN NG HSG TOÁN THCSỀ ƯỠChuyên 1ề CHÍNH PH NGỐ ƯƠI­ ĐNH NGHĨAỊ chính ph ng là ng bình ph ng đúng nguyên.ố ươ ươ ốII­ TÍNH CH TẤ 1­ chính ph ng ch có th có ch cùng ng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không th cóố ươ ểch cùng ng 2, 3, 7, 8.ữ ằ2­ Khi phân tích ra th nguyên chính ph ng ch ch các th nguyên từ ươ ốv mũ ch n.ớ ẵ3­ chính ph ng ch có th có trong hai ng 4n ho 4n+1. Không có chínhố ươ ốph ng nào có ng 4n ho 4n (n ươ N).4­ chính ph ng ch có th có trong hai ng 3n ho 3n +1. Không có chínhố ươ ốph ng nào có ng 3n ươ ).5­ chính ph ng cùng ng 1, ho thì ch hàng ch là ch ch n.ố ươ ẵS chính ph ng cùng ng thì ch hàng ch là 2.ố ươ ụS chính ph ng cùng ng thì ch hàng ch là ch .ố ươ ẻ6­ chính ph ng chia cho thì chia cho 4.ố ươ ếS chính ph ng chia cho thì chia cho 9ố ươ ếS chính ph ng chia cho thì chia cho 25ố ươ ếS chính ph ng chia cho thì chia cho 16.ố ươ ếIII­ NG BÀI CHÍNH PH NGỘ ƯƠ .A­ ng 1ạ CH NG MINH LÀ CHÍNH PH NG.Ứ ƯƠBài Ch ng minh ng nguyên x, thì:ứ A= (x y)(x 2y)(x 3y)(x 4y) 4y là chính ph ng.ố ươGi iả Ta có (x y)(x 2y)(x 3y)(x 4y) 4y (2 45 )( )x xy xy y Đt ặ2 25 )x xy Z thì (2 2)( )t xy y Vì x, y, nên 2, 5x xy xy Z V là chính ph ng.ậ ươBài Ch ng minh tích nhiên liên ti ng luôn là chính ph ng.ứ ươGi iả nhiên, liên ti đó là n, n+1, n+2, n+3 (n Z). Ta có: n(n 1)(n 2)(n 3) 3)(n 1)(n 2) (2 23 )( 2) (*)n n Đt ặ23 )n N thì (*) t(t 2) 2t (t 1) 21 (n 3n 1) 2Vì nên 3n N. n(n 1)(n 2)(+ 3) là chính ph ng.ậ ươBài Cho 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ...+ k(k 1)(k 2)Ch ng minh ng 4S là chính ph ng.ứ ươGi iả Ta có: k(k 1)(k 2) 14 (k 1)(k 2). 4= 14 k(k 1)(k 2). ( 3) 1)k k 14 k(k 1)(k 2)(k 3) 14 k(k 1)(k 2)(k 1)=> 4S =1.2.3.4 0.1.2.3 2.3.4.5 1.2.3.4 k(k 1)(k 2)(k 3) k(k 1)(k 2)(k 1) k(k 1)(k 2)(k 3) => 4S k(k 1)(k 2)(k 3) 1Theo qu bài => k(k 1)(k 2)(k 3) là chính ph ng.ế ươBài Cho dãy 49; 4489; 444889; 44448889; .ố­ Dãy trên đc xây ng ng cách thêm 48 vào gi các ch đng tr vàố ượ ướđng sau nó. Ch ng minh ng các dãy trên đu là chính ph ng.ứ ươTa có 44 ...488...89 44...488...8 44...4 10 11 ... ch ch ch ch 8ữ ch 4ữ ch 1ữ ố= 4.10 10 1.10 8. 19 9n nn  = 24.10 4.10 8.10 4.10 4.10 19 9n n = 22.10 13n   Ta th 2.10ấ 200...01 có ng các ch chia cho nên nó chia cho 3ổ ch ố=> 22.10 13n   hay các có ng 44 ... 488 ... 89 là chính ph ng.ố ươCác bài ng :ươ ựCh ng minh ng sau đây là chính ph ng.ứ ươA 11 ... 44 ... 2n ch ch 4ữ ốB 11 ... 11 .1 66 2n ch n+1 ch ch 6ữ ố2C= 44 22 88 2n ch n+1 ch ch 8ữ ốD 22499 .9100 09 n­2 ch ch ốE 11 .155 56 ch n­1 ch ốK qu A= ả2 210 10 2.10 7; ;3 3n nB C     D (15.10 3) 2E 23210nBài Ch ng minh ng ng các bình ph ng nhiên liên ti không thứ ươ ểlà chính ph ng.ộ ươG nhiên liên ti đó là 2, 1, +1, N, >2).Ta có (n 2) 1) (n 1) (n 2) (n 2)Vì không th cùng ho do đó nể không th chia cho ế=> 5. (n 2) không là chính ph ng hay không là chính ph ng.ố ươ ươBài Ch ng minh ng có ng nứ 2n 2n trong đó và >1không ph là chính ph ng.ả ươn 2n 2n 2. (n 2n +2) 2. [n 2(n­1)(n+1) +2(n+1)] 2[(n+1)(n 2)] 2(n 1) [(n 1) (n 1)] 2(n 1) (n 2n 2)V nớ N, thì 2n ­1) 1) 2Và 2n 2(n 1) 2V (n 1)ậ 2n => 2n không ph là chính ph ng.ả ươBài Cho chính ph ng có ch hàng ch khác nhau còn ch hàngố ươ ốđn đu là 6. Ch ng minh ng ng các ch hàng ch chính ph ngơ ươđó là chính ph ng.ộ ươTa bi chính ph ng có ch hàng đn là thì ch hàng ch nóế ươ ủlà Vì ch hàng ch chính ph ng đó là 1,3,5,7,9 khi đó ng aố ươ ủchúng ng 25 5ằ là chính ph ng.ố ươBài Ch ng minh ng ng bình ph ng không ph là chínhứ ươ ốph ng.ươa và nên 2k 1, b= 2m (V k, N).=> (2k 1) 2m 1) 4k 4k 4m 4m (k m) 23 => không th là chính ph ng.ể ươBài Ch ng minh ng là tích (v 1) nguyên đu tiên ầthì và không th là các chính ph ng.ể ươVì là tích nguyên đu tiên nên pủ ầM và không th chia cho (1)ể ếa­ Gi là chính ph ng. Đt mả ươ N).Vì ch nên => mẵ => .ẻ ẻĐt 2k (k N). Ta có 4k 4k => 4k 4k 1=> 4k 4k 4k (k 1) mâu thu (1).ẫ ớ=> không ph là chính ph ng.ả ươb­ 2.3.5... là chia cho => có ng 3k 2.ố ạ=> không là chính ph ng.ố ươV là tích (n >1) nguyên đu tiên thì và không là chínhậ ốph ng.ươBài 10 Gi 1.3.5.7 2007. 2011ả ửCh ng minh ng trong nguyên liên ti 2N 1, 2N và 2N không có nào là sứ ốchính ph ng.ươa­ 2N 2.1.3.5.7 2011 1Có 2N => 2N 3k (k N)=> 2N không là chính ph ng.ố ươb­ 2N 2.1.3.5.7 2011 => 2N ch n.ẵ=> => không chia cho và 2N ếM nh ng 2N không chia cho 4.ư ế2N ch nên 2N không chia cho ho => 2N không là chính ph ng.ẵ ươc­ 2N 2.1.3.5.7 2011 12N nên 2N không chia cho 4ẻ ế2N không chia cho nên 2N không chia cho 1.ế ư=> 2N không là chính ph ng.ố ươBài 11 Cho 11 100 05 2010 ch 2009 ch Ch ng minh ứ1ab là nhiên.ố ựGi i:ả 100 05 100 99 9a 2009 ch 0ữ 2010 ch 0ữ 2010 ch 9ữ ố ab a(9a 6) 9a 6a (3a 1) 2 Naaab13)13(12B. NG 2: TÌM GIÁ TR BI BI TH LÀ CHÍNH PH NGỊ ƯƠ4Bài Tìm nhiên sao cho các sau là chính ph ngố ươa) 2n 12 b) n(n 3)c) 13n d) 1589Gi i:ảa) Vì 2n 12 là chính ph ng nên đt nố ươ 2n 12 (k N) (n 2n 1) 11 k (n 1) 11 (k 1)(k 1) 11Nh xét th và chúng là nh ng nguyên ng, nên ta có th vi (k +ậ ươ ến 1) (k 1) 11.1 k 11 k 6k 4b) đt n(n 3) aặ (n N) 3n 4n 12n 4a 2(4n 12n 9) 4a (2n 3) 4a 9(2n 2a)(2n 2a) 9Nh xét th 2n 2a 2n 2a và chúng là nh ng nguyên ng, nên ta có th ươ ểvi (2n 2a)(2n 2a) 9.1 2n 2a 12n 2a 2c) Đt 13n yặ (y N) 13(n 1) 1613(n 1) (y 4)(y 4)(y 4)(y 4) 13 mà 13 là nguyên nên 13 ho 13 13k (v N) 13(n 1) (13k 4) 16 13k.(13k 8)13k 2 8k 1V 13kậ 8k (v N) thì 13n là chính ph ngố ươd) Đt nặ 1589 (m N) (4n 1) 6355 4m 2(2m 2n 1) (2m 2n 1) 6355Nh xét th 2m 2n 2m 2n và chúng là nh ng nên ta có th vi (2mậ ế+ 2n 1) (2m 2n 1) 6355.1 1271.5 205.31 155.41Suy ra có th có các giá tr sauể 1588 316 43 28Bài ng tươ :Tìm các sau là nh ng chính ph ngể ươa) 43b) 81c) 31a 1984K qu a) 2; 42; 13b) 0; 12; 405c) 12 33 48 97 176 332 565 1728Bài Tìm nhiên sao cho ng 1! 2! 3! n! là chínhổ ốph ng.ươV thì 1! 1ớ là chính ph ngố ươV thì 1! 2! không là chính ph ngớ ươV thì 1! 2! 3! 1.2 1.2.3 3ớ là chính ph ngố ươV ta có 1! 2! 3! 4! 1.2 1.2.3 1.2.3.4 33 còn 5!; 6!; …; n! đu nề ậcùng do đó 1! 2! 3! n! có cùng ch nên nó không ph là sở ốchính ph ng.ươV có nhiên tho mãn bài là 1; 3ậ ềBài Có hay không nhiên 2010 nố là chính ph ng.ố ươGi 2010 nả là chính ph ng thì 2010 nố ươ (mN )T đó suy ra mừ 2010 (m n) (m n) 2010Nh trong và ph có ít nh ch (1)ư ẵM khác 2m và cùng tính ch (2)ố ẻT (1) và (2) và là ch n.ố (m n) (m n) nh ng 2006 không chia cho 4ư Đi gi sai.ề ửV không nhiên 2006 nậ là chính ph ng.ố ươBài Bi xế N và 2. Tìm sao cho )1()2()1(.)1(xxxxxxxxĐng th đã cho đc vi nh sau: ượ ư)1()2()1(2xxxxxxDo trái là chính ph ng nên ph cũng là chính ph ng.ế ươ ươM chính ph ng ch có th cùng trong các ch 0; 1; 4; 5; 6; nên xộ ươ ốch có th cùng trong các ch 1; 2; 5; 6; 7; 0ỉ (1)Do là ch nên 9, đi ki bài ta có xế N và (2 )T (1) và (2) ch có th nh trong các giá tr 5; 6; 7ỉ ịB ng phép th ta th ch có tho mãn bài, khi đó 76ằ 5776Bài Tìm nhiên có ch bi ng 2n và 3n đu là các chínhố ốph ng.ươTa có 10 99 nên 21 2n 199. Tìm chính ph ng trong kho ng trên taố ươ ảđc 2n ng 25; 49; 81; 121; 169 ng ng ng 12; 24; 40; 60; 84ượ ươ ằS 3n ng 37; 73; 121; 181; 253. Ch có 121 là chính ph ng.ố ươV 40ậBài 6: Ch ng minh ng là nhiên sao cho và 2n đu là các chínhứ ốph ng thì là 24ươ ủ6Vì và 2n là các chính ph ng nên đt kố ươ 2, 2n (k, N)Ta có là 2a 4a(a 1) 1Mà )1(22)1(4212aaaamn ch đt 2b (v bặ ớN 4b(b+1) 1 4b(b+1) (1)Ta có: 3n (mod3)M khác kặ chia cho ho 1, mư chia cho ho 1ư ặNên kể 2 (mod3) thì (mod3)m (mod3) hay (2n 1) (n 1) (2)Mà (8; 3) (3)T (1), (2), (3) 24Bài Tìm các nhiên sao cho 2ấ 11 là chính ph ngố ươGi 2ả 11 (a N) thì2 48 (a 48) (a 48)2 p. (a 48) (a 48) p, và q 48 96 2 (2 p­q 1) 5.3a 48 q và 7 12Th ta có: 2ử 11 80 C.D NG 3Ạ TÌM CHÍNH PH NGỐ ƯƠBài Cho là chính ph ng ch ta thêm vào ch ươ ủm đn thì ta đc chính ph ng B. Hãy tìm các và B.ộ ượ ươ ốG ọ2kabcd thêm vào ch đn thì ta có sế ốB 2)1)(1)(1)(1(mdcba k, và 32 100a, b, c, 9;1 Ta có: 2kabcdB 21111mabcd Đúng khi ng không có nhộ ớ 1111 (m k)(m k) 1111 (*)Nh xét th tích (m k)(m k) nên và là nguyên ng.ậ ươVà 200 nên (*) có th vi (m k) (m k) 11.101ể ếDo đó: 11 56 A 2025m 101 45 31367Bài 2: Tìm chính ph ng ch bi ng ch đu nộ ươ ơs ch sau đn .ố ịĐt ặ2kabcd ta có 1cdab và N, 32 100Suy ra 101cd 100 (k 10)(k 10) 10 101 ho 10 101 Mà (k 10; 101) 10 101Vì 32 100 nên 42 10 110 10 101 91 abcd 91 8281Bài Tìm chính ph ng có ch bi ng ch đu gi ng nhau, ch ươ ốcu gi ng nhau.ố ốG chính ph ng ph tìm là: ươ ảaabb a, N, 9; 9Ta có: aabb 11. ba 11.(100a b) 11.(99a b) (1)Nh xét th ấaabb 11 11Mà 9; nên 18 11Thay 11 vào (1) đc nượ 11 2(9a 1) do đó 9a là chính ph ngố ươB ng phép th 1; 2;…; ta th ch có tho mãn 4S tìm là: 7744ố ầBài Tìm có ch là chính ph ng là ph ng.ộ ươ ươG chính ph ng đó là ươabcd Vì abcd là chính ph ng là ươ ậph ng nên đt ươ ặabcd x, NVì nên cũng là chính ph ng.ộ ươTa có 1000 abcd 9999 10 21 và chính ph ng ươ 16 abcd 4096Bài Tìm chính ph ng ch sao cho ch cu là nguyên ươ ốcăn hai đó có ng các ch là chính ph ng.ậ ươG ph tìm là ảabcd a, b, c, nguyên và 9; b, c, 9abcd chính ph ng ươ 9,6,5,4,1,0d nguyên 5Đt ặabcd 10000 32 100k là có hai ch mà kộ có cùng ng cùng ng 5ậ ằT ng các ch là chính ph ng ươ 45 abcd 2025V ph tìm là: 2025ậ ảBài Tìm nhiên có hai ch bi ng hi các bình ph ng đó và vi ươ ếs hai ch đó nh ng theo th ng là chính ph ngố ượ ươG nhiên có hai ch ph tìm là ảab (a, N, a, 9)8S vi theo th ng ượ ạbaTa có ab ba (10a b) (10b a) 99 (a 2) 11 11 Hay (a b) (a b) 11 Vì 8, 18 nên 11 11Khi đó: ab ba 2= 11 (a b)Đ ểab ba là chính ph ng thì ph là chính ph ng do đó ho ươ ươ ặa 4N 11 6, ab 65Khi đó 65 56 1089 33 2N 11 7,5 lo iạV ph tìm là 65ậ ảBài Cho chính ph ng có ch thêm vào ch đó ta cũng ươ ốđc chính ph ng. Tìm chính ph ng ban đu.ượ ươ ươ ầ(K qu 1156)ế ảBài Tìm có ch mà bình ph ng ng ph ng ng các ươ ươ ổch nó.ữ ủG ph tìm là ảab a, N, 9; 9Theo gi thi ta có: ếab (a b) 3(10a +b) (a b) 3 ab là ph ng và là chính ph ngộ ươ ươĐt ặab (t N), (1 N)Vì 10 ab 99 ab 27 ho ặab 64N ếab 27 là chính ph ngố ươN ếab 64 10 không là chính ph ng ươ lo iạV tìm là ab 27ậ ầBài Tìm liên ti mà ng bình ph ng là có ch gi ng nhau.ố ươ ốG liên ti đó là 2n 1ọ 2n 2n (n N)Ta có (2n 1) (2n 1) (2n +3) 12n 12n 11Theo bài ta đt 12nề 12n 11 aaaa 1111 và 9 12n(n 1) 11(101a 1) 101a 2a 3Vì nên 2a 17 và 2a nên 2a ẻ15;9;3 a8;5;2Vì 2193 tìm là: 41; 43; 45ố ầBài 10 Tìm có ch sao cho tích đó ng các ch nó ng ằt ng ph ng các ch đó.ổ ươ ốab (a b) 3 10a ab (a b) 3ab 3a (3 b) (a b) (a 1)a và nguyên cùng nhau do đóốa 3a ho cặ 3aa b 4, ho 3, 7V ậab 48 ho ặab 37Chuyên 2ề PH NG TRÌNH NGHI NGUYÊNƯƠ Ệ1. Tìm nghi nguyên Ph ng trình và ph ng trình nh hai nệ ươ ươ ẩTu ng bài th mà làm các cách khác nhau.ỳ ểVD1: Tìm nghi nguyên ph ng trình: ươ 2x 3y 11 (1)Cách 1: Ph ng pháp ng quát:ươ ổTa có: 2x 3y 112152311yyyxĐ ph ng trình có nghi nguyên ươ ệ21y nguyênĐt ặZty21 2t 1x ­3t 4Cách Dùng tính ch chia tấ ếVì 11 2x 3y luôn là mà 2x luôn là ch 3y lẻDo đó 2t iớZtx ­3t 4Cách Ta nhân th ph ng trình có nghi nguyên đc bi là ươ ệx0 y0 1Th yậ 3.1 11 (2)Tr (1) cho (2) theo ta cóừ :2(x 4) 3(y 1) 010