TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng. Nguyên hàm cơ bản Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)   0dx  C .   k dx  kx  C .     x dx  ln x  C .  x  x n 1 C. n 1 1 (ax  b)n 1 C. a n 1     ax  b dx  a ln ax  b  C .   (ax  b)  sin x dx   cos x  C .   sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C .   cosx dx  sin x  C .   cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C .   sin   dx 1   cot(ax  b)  C . a sin (ax  b )     dx 1  tan(ax  b)  C . cos (ax  b) a   e dx  e  e  x  a dx   x   a dx  x n dx  1 1 2 dx   1 2 x 1 C. x dx   cot x  C . 1 dx  tan x  C . cos2 x x x C. ax C. ln a (ax  b)n dx  1 1 1 2 1 1 dx    C. a ax  b 1 1 2 2 ax b 1 dx  eax b  C . a 1 a x  C.  ln a ♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax  b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1  a Một số nguyên tắc tính cơ bản PP  Tích của đa thức hoặc lũy thừa    khai triễn. PP  Tích các hàm mũ   khai triển theo công thức mũ. 1 1 1 1  Bậc chẵn của sin và cosin  Hạ bậc: sin2 a   cos2a, cos2 a   cos2a. 2 2 2 2 PP  Chứa tích các căn thức của x    chuyển về lũy thừa. Câu 1. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên khoảng K nếu A. F '( x)   f ( x), x  K . C. F '( x)  f ( x), x  K . Câu 2. B. f '( x)  F ( x), x  K . D. f '( x)   F ( x), x  K . 2 (Mã 101 - 2020 Lần 1)  x dx bằng A. 2x  C . B. 1 3 x C . 3 C. x3  C . D. 3x 3  C 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 3. Câu 4. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 3 là A. 4x 4  C . B. 3x 2  C . (Mã 103 - 2020 Lần 1)  x dx bằng A. Câu 5. Câu 6. D. C. x5  C D. 5x5  C C. x 6  C . D. 6x 6  C . C. 5x5  C . D. 20x3  C . 4 B. 4x3  C 5 (Mã 104 - 2020 Lần 1)  x dx A. 5x 4  C . B. bằng 1 6 x C. 6 (Mã 101- 2020 Lần 2)  5x 4 dx bằng A. Câu 7. 1 5 x C 5 1 4 x C . 4 C. x 4  C . 1 5 x C . 5 B. x5  C . (Mã 102 - 2020 Lần 2)  6x 5 dx bằng A. 6x 6  C . B. x6  C . (Mã 103 - 2020 Lần 2)  3 x dx A. 3x3  C . B. 6x  C . C. 1 6 x C . 6 D. 30x 4  C . 2 Câu 8. Câu 9. C. 1 3 x C . 3 B. 1 4 x C . 4 C. 12x 2  C . Câu 12. 1 5 1 3 B. x 4  x 2  C C. x 5  x 3  C . x  x C 5 3 (Mã 104 - 2019) Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  4 là D. 4 x 3  2 x  C A. x 2  C . D. x 2  4 x  C . Câu 15. C. 2x2  C . D. 2 x 2  6 x  C . B.  sin x  3 x 2  C . C. sin x  6 x 2  C . D.  sin x  C . A.  2 sin xdx  2 cos x  C B.  2 sin xdx  2 cos x  C C.  2 sin xdx  sin 2 x  C D.  2 sin xdx  sin 2 x  C (Mã 101 2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   x3  x là 1 4 1 2 x  x C 4 2 B. 3 x 2  1  C C. x 3  x  C D. x 4  x 2  C (Mã 103 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  3 là A. x 2  3 x  C . Câu 17. B. x2  6x  C . (Mã 105 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2 sin x . A. Câu 16. C. 2 x 2  4 x  C . (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   cos x  6 x là A. sin x  3 x 2  C . Câu 14. B. 2x 2  C . (Mã 102 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  6 là A. x 2  C . Câu 13. D. x 4  C . (Mã 103 2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   x 4  x 2 là A. Câu 11. D. x 3  C . (Mã 104 - 2020 Lần 2)  4 x 3dx bằng A. 4x 4  C . Câu 10. bằng B. 2 x 2  3 x  C . C. x 2  C . D. 2x 2  C . (Đề Minh Họa 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  1. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 f  x  dx   2 x  1 2 x  1  C. 3 1 f  x  dx   2 x  1  C. 3 1 A.  B.  f  x  dx   2 x  1 2 x  1  C. 3 1 2 x  1  C. C.  D.  f  x  dx  2 2 Câu 18. (Đề Tham Khảo 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x 2  2 . x A. C. Câu 19. Câu 20.  f  x  dx  x3 1  C . 3 x B.  f  x  dx  x3 1  C. 3 x D. dx 1 A.  5 x  2  5 ln 5 x  2  C C.  5 x  2   2 ln 5 x  2  C x3 2  C . 3 x dx 1 (Mã123 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos 3 x sin 3 x C 3 sin 3 x D.  cos 3 xdx   C 3 B.  cos 3 xdx  (Mã 104 2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   x3  x 2 là A. 1 4 1 3 x  x C 4 3 B. 3 x 2  2 x  C C. x 3  x 2  C D. x 4  x 3  C (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  x là 1 2 1 x 1 2 D. x C e  x C 2 x 1 2 (Mã 101 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 x  5 là A. e x  1  C Câu 23.  f  x  dx  1 . 5x  2 dx B.   ln 5 x  2  C 5x  2 dx D.   5 ln 5 x  2  C 5x  2 C.  cos 3 xdx  sin 3 x  C Câu 22. x3 2  C. 3 x (Mã 110 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   A.  cos 3 xdx  3 sin 3 x  C Câu 21.  f  x  dx  B. ex  x2  C C. e x  A. x 2  C . B. x2  5x  C . C. 2 x 2  5 x  C . Câu 24. (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   7 x . A.  7 x dx  7x C ln 7 D. 2x 2  C . B.  7 x dx  7 x 1  C 7 x 1 C D.  7 x dx  7 x ln 7  C x 1 (Mã 102 2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   x 4  x là C.  7 x dx  Câu 25. Câu 26. Câu 27. 1 5 1 2 x  x C D. x 4  x  C 5 2 (Đề Tham Khảo 2018) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  3x 2  1 là A. 4 x3  1  C B. x5  x2  C A. x 3  C B. C. x3  xC 3 1 2 x 7 2  16  C B.  1 2 x 7 32  16  C 15  x  x  7  dx ? 1 C.  x  7  C 16 2 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Tìm nguyên hàm A. D. x 3  x  C C. 6 x  C 2 16 D. 1 2 x 7 32  16  C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 28. (THPT Ba Đình -2019) Họ nguyên hàm của hàm số f (x)  e 3 x là hàm số nào sau đây? A. 3e x  C . Câu 29. x2  sin x  C . 2 C. 1 x e C . 3 D. 3e3 x  C . x 2 cos 2 x  C. 2 2 (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số y  e2 x 1 là A. 2e 2 x 1  C . Câu 31. 1 3x e C. 3 (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Tính   x  sin 2 x dx . A. Câu 30. B. x2  cos 2 x  C . 2 B. C. x 2  B. e2 x 1  C . C. cos 2 x C . 2 1 2 x 1 e C. 2 D. D. 1 x e C . 2 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   1 1 ln 2 x  3  C . D. lg  2 x  3  C . ln 2 2 1 Câu 32. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số y  x 2  3x  . x 3 x 3 x 3 1 x 1 A. B.   2  C, C   .  3x  2  C , C   . 3 ln 3 x 3 x 3 x 3 x x 3 x 3 C. D.   ln x  C , C   .   ln x  C , C   . 3 ln 3 3 ln 3 Câu 33. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  sin 3x A. ln 2 x  3  C . C. 1 D.  cos3 x  C . 3 2 (Chuyên KHTN 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x  sin x là A. 3cos3x C . Câu 34. B. 1 ln 2 x  3  C . 2 1 2x  3 B. 3cos3x C . C. 1 cos3 x  C . 3 A. x 3  cos x  C . B. 6 x  cos x  C . C. x 3  cos x  C . D. 6 x  cos x  C . Câu 35. (Chuyên Bắc Ninh -2019) Công thức nào sau đây là sai? 1 1 A.  ln x dx   C . B.  dx  tan x  C . x cos 2 x D.  e x dx  e x  C . C.  sin x dx   cos x  C . Câu 36. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Nếu A. f  x   x 4  Câu 37. x3  Cx . 3 3  x 2  C thì hàm số f  x  bằng B. f  x   12 x 2  2 x  C . x3 . 3 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? C. f  x   12 x 2  2 x . D. f  x   x 4  1 A.  cos 2 xdx  sin 2 x  C . 2 B. e  x dx  x e1 C . e 1 e x 1 C. x 1 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Nguyên hàm của hàm số y  2 x là C. Câu 38.  f  x  dx  4 x 1  x dx  ln x  C . A.  2 x dx  ln 2.2 x  C . B.  2 x dx  2 x  C . D.  e x dx  x C.  2 dx  2x 2x  C . D.  2 x dx  C . ln 2 x 1 Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 4 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 39. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x  sin x . A.  f  x dx  3x2  cos x  C . B.  f  x dx  3x 2  cos x  C . 2 3x 2  cos x  C . C.  f  x dx  D.  f  x dx  3  cos x  C . 2 Câu 40. (Sở Bình Phước 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  x  s inx là Câu 41. Câu 42. x2 x2 D.  cos x+C  cos x+C 2 2 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  cos x là: A. x 2  cos x+C B. x 2  cos x+C C. A. cos x  C . B.  cos x  C . C.  sin x  C . (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   x 4  x 2 là 1 5 1 3 D. x 5  x 3  C . x  x C . 5 3 (THPT Cù Huy Cận 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  2 x là. A. 4 x 3  2 x  C . Câu 43. B. x 4  x 2  C . B. e x  x 2  C . 1 2 x C . 2 B. sin x  x 2  C . x3 3 x 2   ln x  C. A. 3 2 C. Câu 46. C.  sin x  x3 3x 2   ln x  C. B. 3 2 x3 3 x 2   ln x  C. 3 2 D. x 3 3x 2 1   2  C. 3 2 x (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   A. ln x  cos x  C . Câu 47. C. 1 2 x  C . D.  sin x  x 2  C . 2 1 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Họ nguyên hàm của hàm số y  x 2  3x  là x A. sin x  Câu 45. C. 1 x e  x 2  C . D. e x  2  C . x 1 (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Họ các nguyên hàm của hàm số y  cos x  x là A. e x  x 2  C . Câu 44. D. sin x  C . B.  1  cos x  C . x2 C. ln x  cos x  C . (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Hàm số F  x   1  sin x là x D. ln x  cos x  C . 1 3 x là một nguyên hàm của hàm số nào 3 sau đây trên  ;   ? 1 4 x . 4 (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x . A. f  x   3 x 2 . Câu 48. A. C. Câu 49.  B. f  x   x 3 . f  x  dx  2 x  C .  f  x  dx  2 x C. f  x   x 2 . B. ln 2  C . D. D. f  x   2x C . ln 2  f  x  dx   2 x 1 f  x  dx  C . x 1 (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x4  2 . x2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A.  f  x  dx  x3 1  C. 3 x B.  f  x  dx  x3 2  C. 3 x x3 1 x3 2 C.  f  x  dx    C . D.  f  x  dx    C . 3 x 3 x Câu 50. (Sở Hà Nội 2019) Hàm số nào trong các hàm số sau đây là một nguyên hàm của hàm số y  e x ? 1 A. y  . B. y  e x . C. y  e  x . D. y  ln x . x Câu 51. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Tính F ( x)   e2 dx , trong đó e là hằng số và e  2, 718 . A. F ( x)  Câu 52. e2 x 2 C . 2 Câu 56. D. F ( x)  2ex  C . B. 1 ln 1  2 x   C . 2 1 C.  ln 2 x  1  C . 2 1 trên 1  2x D. ln 2 x  1  C . x 2 B. 2  x  C . 2x  x2  C . C. ln 2 x D. 2  x2 C . 2 (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   1  sin x A. 1  cos x  C . Câu 55. C. F ( x)  e2 x  C . x (Chuyên Hưng Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số f  x   2  x là 2x x2  C . A. ln2 2 Câu 54. e3 C . 3 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   1    ;  . 2  1 A. ln 2 x  1  C . 2 Câu 53. B. F ( x)  B. 1  cos x  C . C. x  cos x  C . D. x  cos x  C . 1 (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Nguyên hàm của hàm số f (x )  x3  2 x 2  x  2019 là 3 A. 1 4 2 3 x2 x  x  C. 12 3 2 B. 1 4 2 3 x2 x  x   2019 x  C . 9 3 2 C. 1 4 2 3 x2 x  x   2019 x  C . 12 3 2 D. 1 4 2 3 x2 x  x   2019 x  C . 9 3 2 (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  1 trên khoảng 3x  1 1   ;  là: 3  1 1 A. ln(3x  1)  C B. ln(1  3x)  C C. ln(1  3x)  C D. ln(3x  1)  C 3 3 Câu 57. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? e2 x C . A.  2 x dx  2 x ln 2  C . B.  e2 x dx  2 1 1 dx  ln x  1  C  x  1 . C.  cos 2 xdx  sin 2 x  C . D.  2 x 1 2x4  3 Câu 58. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số f ( x)  . Khẳng định nào sau x2 đây là đúng? Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 6 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A. C. Câu 59. Câu 60.  2 x3 3 f ( x)dx   C . 3 2x B.   2 x3 3 f ( x)dx   C. 3 x D.  f ( x)dx  2 x x 2 x3 3 f ( x)dx   C. 3 x (Sở Thanh Hóa 2019) Cho hàm số f  x   2  x  1. Tìm A.  f  x dx  2 x  x2  x  C . C.  f  x  dx  2 x  3  3 C. x  f  x  dx . 1 2 x  xC. 2 1 x 1 2 2  x  xC . D.  f  x  dx  x 1 2 B. 1 2 x  xC . 2 1  f  x  dx  ln 2 2 x  (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x  sin x . A.  f  x dx  3x2  cos x  C . C.  f  x dx  Câu 61. B.  f  x dx  3x 2  cos x  C . 2 3x 2  cos x  C . 2 D.  f  x dx  3  cos x  C . 2 (Chuyên Bắc Giang 2019) Hàm số F  x   e x là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau: 2 2 A. f ( x)  2 xe x . Câu 62. 2 B. f ( x)  x 2 e x  1 . C. f ( x)  e2 x . ex . 2x (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x)  3 x là 3 x C B. 3 x  C C. 3 x ln 3  C ln 3 (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x3  x 2 là A.  Câu 63. D. f ( x)  D. 3 x C ln 3 x 4 x3 x 4 x3  C.  C B. x 4  x 3  C . C. 3 x 2  2 x  C . D. 4 3 3 4 Câu 64. (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số y  x2019 ? A. x 2020 1 . 2020 1 Câu 65. (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số y  x 2  3x  . x 3 x 3 x x 3 x 3 A. B.   ln x  C , C  R   ln x  C , C  R 3 ln 3 3 ln 3 x3 1 x 3 3x 1 C. D.  3x  2  C , C  R   2  C, C  R 3 x 3 ln 3 x A. Câu 66. x 2020 1. 2020 B. x 2020 . 2020 C. y  2019 x2018 . D.  2018e  x  (Quảng Ninh 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e x  2017  . x5   2018 2018 A.  f  x  dx  2017e x  4  C . B.  f  x  dx  2017e x  4  C . x x 504,5 504,5 C.  f  x  dx  2017e x  4  C . D.  f  x  dx  2017e x  4  C . x x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  e x  (HSG Bắc Ninh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số y  e x  2   là cos 2 x   1 1 C C A. 2e x  tan x  C B. 2e x  tan x  C C. 2e x  D. 2e x  cos x cos x Câu 68. (Chuyên Hạ Long 2019) Tìm nguyên F  x  của hàm số f  x    x  1 x  2  x  3 ? Câu 67. Câu 69. A. F  x   x4 11  6x3  x2  6x  C . 4 2 B. F  x   x 4  6 x 3  11x 2  6 x  C . C. F  x   x4 11  2 x3  x2  6 x  C . 4 2 D. F  x   x 3  6 x 2  11x 2  6 x  C . (Sở Bắc Ninh 2019) họ nguyên hàm của hàm số f  x   A. 1 ln  5 x  4   C . 5 B. ln 5 x  4  C . C. 1 là: 5x  4 1 1 ln 5 x  4  C . D. ln 5 x  4  C . ln 5 5 Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 8 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản có điều kiện Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)   0dx  C .   k dx  kx  C .     x dx  ln x  C .  x  x n 1 C. n 1 1 (ax  b)n 1 C. a n 1     ax  b dx  a ln ax  b  C .   (ax  b)  sin x dx   cos x  C .   sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C .   cosx dx  sin x  C .   cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C .   sin   dx 1   cot(ax  b)  C . a sin (ax  b )     dx 1  tan(ax  b)  C . cos (ax  b) a   e dx  e  e  x  a dx   x   a dx  x n dx  1 1 2 dx   1 2 x 1 C. x dx   cot x  C . 1 dx  tan x  C . cos2 x x x C. ax C. ln a (ax  b)n dx  1 1 1 2 1 1 dx    C. a ax  b 1 1 2 2 ax b 1 dx  eax b  C . a 1 a x  C.  ln a ♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax  b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1  a Một số nguyên tắc tính cơ bản PP  Tích của đa thức hoặc lũy thừa    khai triễn. PP  Tích các hàm mũ   khai triển theo công thức mũ. 1 1 1 1  Bậc chẵn của sin và cosin  Hạ bậc: sin2 a   cos2a, cos2 a   cos2a. 2 2 2 2 PP  Chứa tích các căn thức của x    chuyển về lũy thừa. Câu 1. (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số f ( x) xác định trên 1  \  2 thỏa mãn 2 , f  0   1, f 1  2 . Giá trị của biểu thức f  1  f  3 bằng 2x 1 A. 2  ln15 B. 3  ln15 C. ln15 D. 4  ln15 1 (Sở Phú Thọ 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của f  x   trên khoảng 1;   thỏa x 1 f  x  Câu 2. mãn F  e  1  4 Tìm F  x  . Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A. 2ln  x  1  2 Câu 3. B. ln  x  1  3 C. 4ln  x  1 D. ln  x  1  3 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   1 , x2 biết F 1  2. Giá trị của F  0  bằng A. 2  ln 2. Câu 4. D. ln  2  . (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm f  x  1 ; biết F  0   2 . Tính F 1 . 2x 1 1 A. F 1  ln 3  2 . 2 Câu 5. C. 2  ln  2  . B. ln 2. 1 C. F 1  2ln 3  2 . D. F 1  ln 3  2 . 2 B. F 1  ln 3  2 . (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số y  1 trên  ;0  x thỏa mãn F  2   0 . Khẳng định nào sau đây đúng?  x   x   ;0   2  A. F  x   ln  B. F  x   ln x  C x   ;0  với C là một số thực bất kì. C. F  x   ln x  ln 2 x   ;0 . D. F  x   ln   x   C x   ;0  với C là một số thực bất kì. Câu 6. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho hàm số f  x  xác định trên R \ 1 thỏa mãn 1 , f  0   2017 , f  2   2018 . Tính S  f  3  f  1 . x 1 A. S  ln 4035 . B. S  4 . C. S  ln 2 . f  x  Câu 7. D. S  1 . (Mã 105 2017) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  e x  2 x thỏa mãn F  0   3 . 2 Tìm F  x  . 1 2 3 C. F  x   e x  x2  2 A. F  x   e x  x2  Câu 8. B. F  x   e x  x 2  5 2 D. F  x   2e x  x 2  1 2 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e2 x và F  0   0 . Giá trị của F  ln 3 bằng A. 2. Câu 9. B. 6. C. 8. D. 4. (Sở Bình Phước 2019) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số e2x và F  0   201  Giá trị 2 1 F   là 2 1 1 1 A. e  200 B. 2e  100 C. e  50 D. e  100 2 2 2 Câu 10. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và: f   x   2e2 x  1, x, f  0   2 . Hàm f  x  là A. y  2e x  2 x . B. y  2e x  2 . C. y  e 2 x  x  2 . D. y  e 2 x  x  1 . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 10 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 11. (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f  x   2 x  e x . Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  thỏa mãn F  0   2019 . A. F  x   x 2  e x  2018 . B. F  x   x 2  e x  2018 . C. F  x   x 2  e x  2017 . D. F  x   e x  2019 . Câu 12. Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   2 x , thỏa mãn F  0   1 . Tính giá trị biểu ln 2 thức T  F  0   F 1  ...  F  2018   F  2019  . A. T  1009. 22019  1 . ln 2 C. T  Câu 13. 22019  1 . ln 2 B. T  22019.2020 . D. T  22020  1 . ln 2   (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   sin x  cos x thoả mãn F    2 . 2 A. F  x    cos x  sin x  3 B. F  x    cos x  sin x  1 C. F  x    cos x  sin x  1 Câu 14. D. F  x   cos x  sin x  3 (Mã 123 2017) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f '  x   3  5 sin x và f  0   10 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? Câu 15. Câu 16. A. f  x   3 x  5 cos x  15 B. f  x   3 x  5 cos x  2 C. f  x   3 x  5 cos x  5 D. f  x   3 x  5 cos x  2 (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   2  5sin x và f  0   10 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f  x   2 x  5 cos x  3 . B. f  x   2 x  5 cos x  15 . C. f  x   2 x  5 cos x  5 . D. f  x   2 x  5 cos x  10 . (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm   2   f  x   cos 3x và F    . Tính F   . 2 3 9 32   A. F    6 9 Câu 17. 32   B. F    6 9 36   C. F    6 9 36   D. F    6 9 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số 1   . Biết F   k   k với mọi k  . Tính F  0   F    F     ...  F 10  . 2 cos x 4  A. 55. B. 44. C. 45. D. 0. f  x  Câu 18. (Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - 2020) Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   2 x , thỏa mãn 1 . Tính giá trị biểu thức T  F  0   F 1  F  2   ...  F  2019  . ln 2 22020  1 22019  1 2 2019  1 A. T  . B. T  1009. . C. T  22019.2020 . D. T  . ln 2 2 ln 2 Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số F  0  “ Nếu  f  x  dx  F  x   C thì  f  u  x   .u '  x  dx  F  u  x    C ”. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I   f  x  dx , trong đó ta có thể phân tích f  x   g  u  x   u '  x  dx thì ta thức hiện phép đổi biến số t  u  x   dt  u '  x  dx . Khi đó: I   g  t  dt  G  t   C  G  u  x    C Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t  u  x  1. Đổi biến số với một số hàm thường gặp b    PP f (ax  b)n xdx   t  ax  b.  b 1 PP f (ln x) dx   t  ln x.  x  a b   a b   a     f ( x). b x x PP x  f (e )e dx  t  e . a b PP f (sin x) cos xdx   t  sin x.  PP  f (cos x) sin xdx  t  cos x. a b 1 PP f (tan x) dx   t  tan x.  2 cos x  f (sin x  cos x).(sin x  cos x)dx  t  sin x  cos x. a   f(   n a   PP f ( x) f ( x)dx  t  n  a  x ) x dx  x  a sin t.  2 2 2n PP  ax  PP f   dx  x  a cos 2t.   a x   f (    PP x 2  a 2 ) m x 2 n dx   x  a tan t. dx  t  ax  b  cx  d . ( ax  b)(cx  d )     sk s n  R  1 ax  b ,., ax  b  dx  t  ax  b.    ( a  bx  dx 1 PP  x   t ) a  bx n n n 2. Đổi biến số với hàm ẩn  Nhận dạng tương đối: Đề cho f ( x), yêu cầu tính f ( x) hoặc đề cho f ( x), yêu cầu tính f ( x).  Phương pháp: Đặt t  ( x).  Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận và ở trên đã sử dụng tính chất: “Tích phân không phụ thuộc vào biến số, b mà chỉ phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa là  a Câu 19. a a  f  2x dx bằng 1 2x 1 e  x 2  C. C. e 2 x  2 x 2  C. D. e2 x  4 x 2  C. 2 2 x 2 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Biết F  x   e  2 x là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  . Khi A. 2e x  2 x 2  C. đó B.  f  2 x  dx bằng 1 2x 1 2x 2 C. e  8x  C. D. e2 x  2 x 2  C . e  4 x 2  C. 2 2 x 2 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Biết F  x   e  x là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  . Khi x 2 A. 2e  4x  C. Câu 21. b (Mã 101 – 2020 Lần 2) Biết F  x   e x  x 2 là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  . Khi đó Câu 20. b f (u )du   f (t )dt     f ( x)dx   đó  f  2 x  dx bằng A. 1 2x e  2 x2  C . 2 B. B. e2 x  4 x 2  C . C. 2e x  2 x 2  C . D. 1 2x e  x2  C . 2 Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 12 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 22. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Biết F  x   e x  2 x 2 là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  . Khi đó  f  2 x  dx bằng A. e 2 x  8 x 2  C . B. 2e x  4 x 2  C . C. 1 2x e  2 x2  C . 2 D. 1 2x e  4 x2  C . 2 Câu 28. [DS12.C3.1.D09.b] (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội lần V 2019) Biết  f  2 x  dx  sin 2 x  ln x  C . Tìm nguyên hàm x  ln x  C . 2 x f  x  dx  2sin 2  2 ln x  C . 2 A.  f  x  dx  sin C.  2 Câu 46. [DS12.C3.1.D09.b] Cho A. C. Câu 5.  f (4x) dx  x 2  f  x  dx ? 2 x  2ln x  C . D.  f  x  dx  2sin  3x  c . Mệnh đề nào dưới đây đúng?  x2  2x  C . 4 B.  f ( x  2)dx  x  f ( x  2) dx  x2  4x  C . 4 D. f ( x  2) dx   f  x  dx  4 x 2 x  2ln x  C .  f  x  dx  2sin f ( x  2) dx  [DS12.C3.1.D09.b] Cho 2 B. 3  2  7x  C . x2  4x  C . 2  2 x  C0 . Tính I   xf  x 2  dx . x10 x 6  C. 10 6 C. I  4 x 6  2 x 2  C . D. I  12 x 2  2 . A. I  2 x 6  x 2  C . Câu 23. Câu 24. B. I  (Sở Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 2 .e x f  x  dx  x 3 x3 1 .e  C . 3 A.  C.  f  x  dx e x3 1  C . D.  f  x  dx 3e B. 1  f  x  dx  3 e x3 1 3 1 x3 1 . C . C . (THPT Hà Huy Tập - 2018) Nguyên hàm của f  x   sin 2 x.esin 2 x là 2 A. sin 2 x.esin 2 x 1 C. B. 2 esin x 1 C. sin 2 x  1 2 C. esin x  C . Câu 25. Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số f  x   A. C. Câu 26. D. esin x1 C . sin 2 x  1 1 x  3x 5  f  x  dx   1 1 x4  ln C 3x 4 36 x 4  3 B.  f  x  dx   1 1 x4  ln C 3x 4 36 x 4  3 D. 9  f  x  dx   1 1 x4  ln C 12x 4 36 x 4  3  f  x  dx   1 1 x4  ln C 12x 4 36 x 4  3 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tìm hàm số F  x  biết F  x    x3 dx và x4  1 F 0  1 . 1 3 4 4 A. F  x   ln x  1  1 . B. F  x   ln x  1  . 4 4 1 4 4 C. F  x   ln x  1  1. D. F  x   4ln x  1  1. 4         Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2017 Câu 27. Biết  x  1 dx  1 .  x  1 b  C , x  1 với a , b   . Mệnh đề nào sau đây đúng?     x  12019 a  x 1 A. a  2b . B. b  2a . C. a  2018b . D. b  2018a . Câu 28. (Chuyên Quốc Học Huế - 2018) Biết rằng F  x  là một nguyên hàm trên  của hàm số f  x  2017 x x 2  1 thỏa mãn F 1  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của F  x  . 2018 1 A. m   . 2 B. m  1  22017 . 22018 C. m  Câu 29. Cho F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x    1  22017 . 22018 1 D. m  . 2 1 và F  0    ln 2e . Tập nghiệm S của e 1 x  phương trình F  x   ln e x  1  2 là: A. S  3 Câu 30. B. S  2;3 C. S  2;3 D. S  3;3   (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x3 x 2  1 2021 2020  2 x 2  1   1   x  1 .  A. 2  2021 2020    x B. 2  1 2021 2021 x  2  1 2019 là 2020 . 2020 2021 2020  2 x 2  1   1   x  1  C.  D.  C. 2  2021 2020  2021 2020   1  ln x Câu 31. (THPT Hà Huy Tập - 2018) Nguyên hàm của f  x   là: x.ln x 1  ln x 1  ln x A.  B.  dx  ln ln x  C . dx  ln x 2 .ln x  C . x.ln x x.ln x 1  ln x 1  ln x dx  ln x  ln x  C . dx  ln x.ln x  C . C.  D.  x.ln x x.ln x x C. Câu 32.  1 2021 x  2  1 2020 3 (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 2 e x 1 A. C. Câu 33. 2  f  x  dx  e  x3 1  C . B.  f  x  dx  3e x3 1 1 3 f  x  dx  e x 1  C . 3 C . D.  f  x  dx  x3 x3 1 e C . 3 (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số f  x   3 3x  1 là A.  f  x  dx   3x  1 C.  f  x  dx  3 13 3 3x  1  C . 3x  1  C . B.  f  x  dx  D.  f  x  dx  4  3x  1 3 3x  1  C . 1 3 3x  1  C . Câu 34. Nguyên hàm của hàm số f  x   3 x  2 là 2 (3 x  2) 3 x  2  C B. 3 2 C. (3x  2) 3 x  2  C D. 9 A. Câu 35. 1 (3 x  2) 3 x  2  C 3 3 1 C 2 3x  2 (HSG Bắc Ninh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  1 là Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 14 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 A.   2 x  1 2 x  1  C . 3 2 C.  2 x  1 2 x  1  C . 3 Câu 36. 1 2x 1  C . B. 2 1 D.  2 x  1 2 x  1  C . 3 ln 2 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho hàm số f  x   2 x . . Hàm số nào dưới đây không là x nguyên hàm của hàm số f  x  ? x A. F  x   2  C. F  x   2 2 Câu 37.  B. F  x   2 2 C x x   1  C D. F  x   2 1  C x 1 C (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Khi tính nguyên hàm x3 dx , bằng cách đặt x 1  u  x  1 ta được nguyên hàm nào? A.  2  u 2  4  d u . Câu 38. Câu 39. B.  u 2  4 d u .  u 2  3 d u . (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   1 D.  2u  u 2  4  d u . 1 . 2 2x 1 A.  f  x dx  2 2x 1  C . B.  f  x dx  C.  f  x dx  2 2x 1  C . D.  f  x dx   2 x  1 2x 1  C . 1 2x 1 C .   (THCS - THPT Nguyễn Khuyến - 2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   ln x  x 2  1 là  C. F  x   x ln  x    1  C . A. F  x   x ln x  x 2  1  x 2  1  C . Câu 40. C. x2   B. F  x   x ln x  x 2  1  x 2  1  C .   D. F  x   x 2 ln x  x 2  1  C . 20 x 2  30 x  7 3  (Chuyên Hạ Long - 2018) Biết rằng trên khoảng  ;    , hàm số f  x   có 2x  3 2  một nguyên hàm F  x    ax 2  bx  c  2 x  3 ( a, b, c là các số nguyên). Tổng S  a  b  c bằng A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 6 . Câu 41. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  Câu 42. 1 sin x . 1  3cos x A.  f ( x) dx  3 ln 1  3cos x  C . B.  f ( x) dx  ln 1  3cos x  C . C.  f ( x) dx  3ln 1  3cos x  C . D.  f ( x) dx   3 ln 1  3cos x  C . (Sở Thanh Hóa 2019) Tìm các hàm số f ( x) biết f ' ( x)  A. f ( x)  1 cos x . (2  sin x) 2 sin x C . (2  sin x) 2 B. f ( x)  1 C . (2  cos x) 1 C . 2  sin x D. f ( x)  sin x C. 2  sin x C. f ( x)   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 43. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số sin x   và F    2 .Tính F  0  . 1  3cos x 2 1 2 2 1 A. F (0)   ln 2  2 . B. F (0)   ln 2  2 . C. F (0)   ln 2  2 . D. F (0   ln 2  2 . 3 3 3 3 f ( x)  Câu 44. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Biết  f  x  dx  3x cos  2 x  5  C . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.  f  3x  dx  3x cos  6 x  5   C C.  f  3 x  dx  9 x cos  2 x  5   C A. Câu 45.  f  3x  dx  9 x cos  6 x  5  C D.  f  3 x  dx  3 x cos  2 x  5   C B. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   tan 5 x . 1 x  tan 2 x  ln cosx  C . 2 1 1 B.  f  x  dx  tan 4 x  tan 2 x  ln cosx  C . 4 2 1 1 C.  f  x  dx  tan 4 x  tan 2 x  ln cosx  C . 4 2 1 1 D.  f  x  dx  tan 4 x  tan 2 x  ln cosx  C . 4 2 Câu 46. (Hồng Bàng - Hải Phòng - 2018) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số A. 1  f  x  dx  4 tan 4   f  x   sin 3 x.cos x và F  0    . Tính F   . 2   A. F     . 2   B. F     . 2 1   C. F       . 4 2 Câu 47. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x     1 D. F      . 2 4 1 1 thỏa mãn F    2 và F  e   ln 2. x ln x e 1 Giá trị của biểu thức F  2   F  e 2  bằng e  A. 3ln 2  2 . Câu 48. B. ln 2  2 . C. ln 2  1 . D. 2ln 2  1 . (Chuyên Nguyễn Huệ-HN 2019) Gọi F  x  là nguyên hàm của hàm số f ( x)  x 8  x2 thỏa mãn F  2   0 . Khi đó phương trình F  x   x có nghiệm là: A. x  0 . C. x  1 . 2x 1 Câu 49. Gọi F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x    2 . Biết x 1 x 217 215 A. . B. 27 . C. . 8 24 20 x 2  30 x  7 Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   trên khoảng 2x  3  C.  3x   2 x  1 A. 4 x 2  2 x  1 2 B. x  1 . 2x  3  C . 2x  3 .  D.  4 x D. x  1  3 . F  3  6 , giá trị của F  8  là D. 3   ;   là 2    2 x  1 B. 4 x 2  2 x  1 2 215 . 8 2x  3 . 2x  3  C . Dạng 3. Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 16 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1. Công thức thường áp dụng  1 1  ax  b dx  a ln ax  b  C .  1  (ax  b) 2  ln a  ln b  ln(ab).  ln a  ln b  ln 1 1 dx    C. a ax  b a  b  ln a n  n ln a.  ln 1  0. 2. Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ I  P (x )  Q(x ) dx . PP  Nếu bậc của tử số P(x )  bậc của mẫu số Q(x )    Chia đa thức. PP  Nếu bậc của tử số P(x )  bậc của mẫu số Q(x )    phân tích mẫu Q(x ) thành tích số, rồi sử dụng phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01. PP  Nếu mẫu không phân tích được thành tích số    thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng cách đặt X  a tan t, nếu mẫu đưa được về dạng X 2  a 2 . Câu 51. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x )  x2 trên khoảng x 1 1;   là A. x  3ln  x 1  C. C. x  Câu 52. 3  x  1 2 B. x  3ln  x 1  C.  C. D. x   x  1 2  C. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x    2; 3x  2  x  2 2 trên khoảng là 2 C x2 4 C. 3ln  x  2   C x2 A. 3ln  x  2   Câu 53. 3 2 C x2 4 D. 3ln  x  2   C . x2 B. 3ln  x  2   (Mã đề 101 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   2x 1  x  1 2 trên khoảng  1;    là 2 C. x 1 2 C. 2 ln  x  1  C . x 1 A. 2 ln  x  1  Câu 54. 3 C. x 1 3 D. 2 ln  x  1  C . x 1 B. 2 ln  x  1  (Chuyên Lê Quý Dôn Diện Biên 2019) Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số b  x  0  , biết rằng F  1  1, F 1  4, f 1  0 x2 3 3 7 3 3 7  . A. F  x   x 2  B. F  x   x 2   . 2 4x 4 4 2x 4 3 3 7 3 3 1  . C. F  x   x 2  D. F  x   x 2   . 4 2x 4 2 2x 2 f  x   ax  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 55. Cho biết 2 x  13   x  1 x  2 dx  a ln x  1  b ln x  2  C . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a  2b  8 . B. a  b  8 . C. 2a  b  8 . D. a  b  8 . 1 Câu 56. Cho biết  3 dx  a ln  x  1 x  1  b ln x  C . Tính giá trị biểu thức: P  2a  b . x x 1 A. 0. B. -1. C. . D. 1. 2 4 x  11 Câu 57. Cho biết  2 dx  a ln x  2  b ln x  3  C . Tính giá trị biểu thức: P  a 2  ab  b 2 . x  5x  6 A. 12. B. 13. C. 14. D. 15. 1 1 b Câu 58. Cho hàm số f  x thỏa mãn f   x   ax 2  3 , f  1  3 , f 1  2 , f     . Khi đó 2a  b  2  12 x bằng 3 3 A.  . B. 0 . C. 5 . D. . 2 2 3x  1 Câu 59. (Mã 102 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x)  trên khoảng (1; ) là ( x  1) 2 1 2  c . B. 3ln( x  1)  c. x 1 x 1 2 1  c . D. 3ln( x  1)  c. C. 3ln( x  1)  x 1 x 1 A. 3ln( x  1)  Câu 60. (Mã 103 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   2x 1  x  2 2 trên khoảng  2;    là 3 1 C . C . B. 2ln  x  2   x2 x2 1 3 C . C . C. 2ln  x  2   D. 2ln  x  2   x2 x2 Câu 61. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số 2x  1 1 trên khoảng  0;  thỏa mãn F 1  . Giá trị của biểu thức f  x  4 3 2 x  2x  x 2 S  F 1  F  2   F  3    F  2019  bằng A. 2ln  x  2   A. 2019 . 2020 Câu 62. Giả sử B. 2019.2021 . 2020  2 x  3 dx C. 2018 1  x  x  1 x  2 x  3  1   g  x   C 1 . 2020 D.  2019 . 2020 ( C là hằng số). Tính tổng các nghiệm của phương trình g  x   0 . A. 1 . Câu 63. B. 1 . C. 3 . D. 3 . a 1 dx  2  b ln x  2c ln 1  x 2   C . Khi (Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho I   3 2 x x 1  x  đó S  a  b  c bằng 1 A. . 4 B. 3 . 4 C. 7 . 4 D. 2 . Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 18 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 64. (Trường VINSCHOOL - 2020) Cho hàm số f  x  xác định trên R \ 1;1 thỏa mãn f ' x   1 . Biết x 1 f  3  f  3  4 2 và 1 f    3  1  f    2 . Giá trị của biểu thức  3  f  5   f  0   f  2  bằng 1 A. 5  ln 2 . 2 1 B. 6  ln 2 . 2 1 C. 5  ln 2 . 2 1 D. 6  ln 2 . 2 Câu 65. (Quảng Xương - Thanh Hóa - 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên  \ 2;1 thỏa 1 f  3  f  3  0 , x  x2 f  4   f  1  f  4  bằng mãn f   x   2 và 1 f  0  . 3 Giá trị của biểu thức 1 1 1 4 1 8 ln 2  . B. ln 80  1 . C. ln  ln 2  1 . D. ln  1 . 3 3 3 5 3 5 Câu 66. (Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Dồng Tháp - 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên  \ 1 A. 1 , f  0   2017 ,, f  2   2018 . Tính S   f  3  2018  f  1  2017  . x 1 A. S  1 . B. S  1  ln 2 2 . C. S  2 ln 2 . D. S  ln 2 2 . 2 Câu 67. (Sở Phú Thọ - 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên  \ 1;1 thỏa mãn f   x   2 , x 1  1 1 f  2   f  2   0 và f     f    2 . Tính f  3  f  0   f  4  được kết quả  2 2 thỏa mãn f   x   6 6 4 4 A. ln  1 . B. ln  1 . C. ln  1 . D. ln  1 . 5 5 5 5 Dạng 4. Nguyên hàm từng phần Cho hai hàm số u và v liên tục trên  a; b  và có đạo hàm liên tục trên  a; b  . Khi đó:  udv  uv   vdu  b Để tính tích phân I   f  x  dx bằng phương pháp từng phần ta làm như sau: a Bước 1: Chọn u, v sao cho f  x  dx  udv (chú ý: dv  v '  x  dx ). Tính v   dv và du  u '.dx . Bước 2: Thay vào công thức   và tính  vdu . Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân  vdu dễ tính hơn  udv . Ta thường gặp các dạng sau sin x  Dạng 1 : I   P  x    dx , trong đó P  x  là đa thức  cos x  sin x  Với dạng này, ta đặt u  P  x  , dv    dx .  cos x  Dạng 2 : I    x  eaxb dx Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 u  P  x  Với dạng này, ta đặt  , trong đó P  x  là đa thức ax  b dv  e dx Dạng 3 : I   P  x  ln  mx  n  dx u  ln  mx  n  Với dạng này, ta đặt  . dv  P  x  dx sin x  x Dạng 4 : I     e dx cos x   sin x  u    Với dạng này, ta đặt   cos x  để tính  vdu ta đặt  x dv  e dx Câu 68.  sin x  u     cos x  .  x dv  e dx x (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f  x   . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 2 x 2 g  x    x  1 . f   x  là A. x2  2x  2 2 C . B. 2 x 2 Câu 69. x2 2 C . x2  x  2 C. 2 C . D. x 2 x 2 x (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f  x   x2  3 x2 2 x2  2 C . . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g  x    x  1 f   x  là A. Câu 70. x2  2 x  3 2 x2  3 C . B. x3 2 x2  3 C . C. 2 x2  x  3 x2  3 x (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f ( x)  C . x 3 D. x2  3 C . . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 2 x 1 g ( x )  ( x  1) f '( x ) A. x2  2 x 1 2 C . B. 2 x 1 Câu 71. x 1 2 C . C. 2 x2  x  1 2 C . x 1 D. x2  1 x 1 x 1 x (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f  x   x2  4 C . . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g  x    x  1 f   x  là A. Câu 72. x4 2 x2  4 C . B. x4 x2  4 C . C. x2  2 x  4 2 x2  4 C . D. 2 x2  x  4 x2  4 C . (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f  x  liên tục trên  . Biết cos 2 x là một nguyên hàm của hàm số f  x  e x , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f   x  e x là: A.  sin 2 x  cos 2 x  C . B.  2 sin 2 x  cos 2 x  C . C.  2 sin 2 x  cos 2 x  C . D. 2 sin 2 x  cos 2 x  C . Câu 73. (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   4 x 1  ln x  là: A. 2 x2 ln x  3x 2 . B. 2 x2 ln x  x2 . C. 2 x 2 ln x  3x2  C . D. 2 x2 ln x  x2  C . Câu 74. Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   x sin x là Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 20 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 75. Câu 76. Câu 77. A. F  x   x cos x  sin x  C. B. F  x   x cos x  sin x  C. C. F  x    x cos x  sin x  C. D. F  x    x cos x  sin x  C. (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  x.e 2 x là : 1 1  A. F ( x)  e 2 x  x    C 2 2  B. F ( x )  C. F ( x)  2e2 x  x  2   C 1  D. F ( x)  2e 2 x  x    C 2  (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x    2 x  1 e x là A.  2 x  3 e x  C . B.  2 x  3 e x  C . C.  2 x  1 e x  C . D.  2 x  1 e x  C . (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  xe2 x ? A. F ( x )  1 2x  1 e  x    C. 2 2  1 B. F ( x)  e 2 x  x  2   C . 2 1  D. F ( x)  2e 2 x  x    C . 2  C. F ( x)  2e2 x  x  2   C. Câu 78. (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 1  sin x  là x2  x sin x  cos x  C . 2 x2 C.  x cos x  sin x  C . 2 A. Câu 79. 1 2x e  x  2  C 2 B. x2  x cos x  sin x  C . 2 D. x2  x sin x  cos x  C . 2   (Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2020) Giả sử F  x   ax 2  bx  c e x là một nguyên hàm của hàm số f  x   x 2e x .Tính tích P  abc . A.  4 . B. 1 . C. 5 . x Câu 80. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 x(1  e ) là A.  2 x  1 e x  x 2 . B.  2 x  1 e x  x 2 . C.  2 x  2  e x  x 2 . D. 3 . D.  2 x  2  e x  x 2 . Câu 81. Họ nguyên hàm của f  x   x ln x là kết quả nào sau đây? 1 2 1 1 1 x ln x  x 2  C . B. F  x   x 2 ln x  x 2  C . 2 2 2 4 1 1 1 1 C. F  x   x 2 ln x  x 2  C . D. F  x   x 2 ln x  x  C . 2 4 2 4 Câu 82. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số A. F  x   f  x    3x 2  1 .ln x . A.  f  x  dx  x  x 2  1 ln x  x3 C . 3 B. x3  xC . 3 D.  f  x  dx  x3 ln x  x3 C . 3 x3  xC .   3 x Câu 83. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   trên khoảng sin 2 x  0;   là C. f  x  dx  x  x 2  1 ln x  A.  x cot x  ln  sinx   C . f  x  dx  x3 ln x  B. x cot x  ln s inx  C . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 C. x cot x  ln sinx  C . D.  x cot x  ln  s inx   C . Câu 84. Câu 85. (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm của hàm số y  3x  x  cos x  là A. x3  3  x sin x  cos x   C B. x3  3  x sin x  cos x   C C. x3  3  x sin x  cos x   C D. x3  3  x sin x  cos x   C (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 4  xe x là 1 5 1 x   x  1 e x  C . B. x 5   x  1 e x  C . 5 5 1 5 C. x  xe x  C . D. 4 x3   x  1 e x  C . 5 Câu 86. Cho hai hàm số F  x  , G  x  xác định và có đạo hàm lần lượt là f  x  , g  x  trên  . Biết rằng A.   A.  x  1 ln  x  1  2 x  C. C.  x  1 ln  x  1  x  C. F  x  .G  x   x 2 ln x 2  1 và F  x  .g  x   Câu 87. 2 2 2  D.  x 2    1 ln  x   1  x B. x 2  1 ln x 2  1  2 x 2  C. 2 2 2 2  C. (Sở Bắc Ninh 2019) Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. x x x  xe dx  e  xe  C . x  xe dx  B. x2 x x e e C . 2 x2 x e C . 2 (Sở Bắc Giang 2019) Cho hai hàm số F  x  , G  x  xác đinh và có đạo hàm lần lượt là f  x  , C. Câu 88. 2 2 x3 . Họ nguyên hàm của f  x  .G  x  là x2  1 x x x  xe dx  xe  e  C . x  xe dx  D. g  x  trên  . Biết F  x  .G  x   x 2 ln  x 2  1 và F  x  g  x   2 x3 . Tìm họ nguyên hàm của x2  1 f  xG  x .  C.  x    1 ln  x   1  x  D.  x A. x2  1 ln x 2  1  2 x2  C . 2 2 2    1 ln  x C . 2 1 1 Câu 89. Cho biết F  x   x3  2 x  là một nguyên hàm của 3 x g  x   x cos ax . A. x sin x  cos x  C C. x sin x  cos C 2 x2 1 1 x sin 2 x  cos 2 x  C 2 4 1 1 D. x sin 2 x  cos 2 x  C 2 4  2x 2  x  ln x  1 x là x2  xC . 2 B. x 2  x  1 ln x   x2  xC . 2 D. x 2  x  1 ln x  C. x 2  x  1 ln x  2 2  A. x 2  x  1 ln x   2 B. Câu 90. Họ nguyên hàm của hàm số y     1  x  C .  x  a  . Tìm nguyên hàm của f  x  B. x 2  1 ln x 2  1  2 x 2  C .    x2  xC . 2  x2  xC . 2 Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 22 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 f  x 1 Câu 91. (Mã 104 2017) Cho F  x   2 là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của x 2x hàm số f   x  ln x . Câu 92.  ln x 1   C x2 x2  B.  f   x  ln xdx  ln x 1  C x2 2 x2 1   ln x  2 C 2 x 2x  D.  f   x  ln xdx  ln x 1  C x2 x2 A.  f   x  ln xdx    C.  f   x  ln xdx    (Mã 105 2017) Cho F  x    f  x 1 là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của 3 x 3x hàm số f   x  ln x ln x 1 ln x 1  5 C B.  f   x  ln xdx  3  5  C 3 x 5x x 5x ln x 1 ln x 1 C.  f   x  ln xdx   3  3  C D.  f   x  ln xdx  3  3  C x 3x x 3x x Câu 93. (Mã 110 2017) Cho F  x    x  1 e là một nguyên hàm của hàm số f  x  e2x . Tìm nguyên hàm A.  f   x  ln xdx  của hàm số f   x  e2x . A.  f  xe 2x dx   4  2 x  e x  C B.  f  xe 2x dx   x  2  e x  C 2 x x D.  f   x  e 2 x dx   2  x  e x  C e C 2 Câu 94. Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   xe x và f  0   2 .Tính f 1 . C.  f   x e 2x dx  A. f 1  3 . Câu 95. B. f 1  e . C. f 1  5  e . D. f 1  8  2e . (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x   f   x   e  x , x   và f  0   2 . Tất cả các nguyên hàm của f  x  e 2 x là A.  x  2  e x  e x  C Câu 96. B.  x  2  e2 x  e x  C C.  x  1 e x  C D.  x  1 e x  C (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f '  x    x  1 e x , f  0   0 và  f  x dx   ax  b  e x  c với a, b, c là các hằng số. Khi đó: A. a  b  2. B. a  b  3. C. a  b  1. D. a  b  0. Câu 97. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2018) Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   xe  x . Tính F  x  biết F  0   1 . Câu 98. Câu 99. A. F  x     x  1 e x  2 . B. F  x    x  1 e  x  1 . C. F  x    x  1 e x  2 . D. F  x     x  1 e  x  1 . (Sở Quảng Nam - 2018) Biết  x cos 2 xdx  ax sin 2 x  b cos 2 x  C Tính tích ab ? 1 A. ab  . 8 1 . 4 với a , b là các số hữu tỉ. 1 D. ab   . 4 ln  x  3 (Chuyên Đh Vinh - 2018) Giả sử F  x  là một nguyên hàm của f  x   sao cho x2 F  2   F 1  0 . Giá trị của F  1  F  2  bằng B. ab  1 C. ab   . 8 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 10 7 2 5 3 ln 2  ln 5 . B. 0 . C. ln 2 . D. ln 2  ln 5 . 3 6 3 3 6 Câu 100. (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Gọi g  x  là một nguyên hàm của hàm A. số f  x   ln  x  1 . Cho biết g  2   1 và g  3  a ln b trong đó a, b là các số nguyên dương phân biệt. Hãy tính giá trị của T  3a 2  b 2 B. T  17 . A. T  8 . Câu 101. (Sở Quảng Nam - 2018) Biết Tính tích ab ? 1 A. ab  . 8 B. ab  C. T  2 .  x cos 2 xdx  ax sin 2 x  b cos 2 x  C 1 . 4 1 C. ab   . 8 D. T  13 . với a , b là các số hữu tỉ. 1 D. ab   . 4 Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 24 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25 TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng 1. Nguyên hàm của hàm ẩn hoặc liên quan đến phương trình f(x),f’(x),f’’(x) Dạng 1. Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thúrc u ( x ) f  ( x)  u ' ( x) f ( x)  h( x) Phương pháp: Dễ dàng thấy rằng u ( x) f  ( x)  u  ( x) f ( x)  [u ( x) f ( x)] Do dó u ( x) f  ( x)  u  ( x ) f ( x)  h( x)  [u ( x) f ( x)]  h( x) Suy ra u ( x) f ( x)   h( x)dx Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x) Dang 2. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúrc f  ( x )  f ( x)  h( x) Phương pháp:  Nhân hai vế vói e x ta durọc e x  f  ( x)  e x  f ( x)  e x  h( x)  e x  f ( x)   e x  h( x) Suy ra e x  f ( x)   e x  h( x)dx Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x) Dang 3. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúc f  ( x)  f ( x)  h( x) Phương pháp:  Nhân hai vế vói e x ta durọc e x  f  ( x)  e  x  f ( x)  e x  h( x)  e  x  f ( x)   e  x  h( x) Suy ra e x  f ( x)   e  x  h( x)dx Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x) Dạng 4. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúrc f  ( x)  p ( x)  f ( x)  h( x) (Phương trình vi phân tuyên tinh cấp 1) Phương pháp: p ( x ) dx Nhân hai vế với e  ta được f  ( x)  e  p ( x ) dx  p ( x)  e  Suy ra f ( x)  e  p ( x ) dx p ( x ) dx   e  f ( x)  h( x)  e  p ( x ) dx p ( x ) dx   f ( x)  e   p ( x ) dx    h( x)  e  p ( x ) dx  h( x)dx Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x) Dang 5. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúc f  ( x)  p ( x)  f ( x)  0 Phương pháp: f  ( x) f  ( x) Chia hai vế với f ( x) ta đựơc  p ( x)  0    p ( x) f ( x) f ( x) f  ( x) Suy ra  dx    p ( x)dx  ln | f ( x) |   p ( x)dx f ( x) Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x) Dạng 6. Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f  ( x)  p( x)  [ f ( x)]n  0 Phương pháp: f  ( x) f  ( x) Chia hai vế với [ f ( x)]n ta được  p ( x )  0    p( x) [ f ( x)]n [ f ( x)]n f  ( x) [ f ( x)] n 1 Suy ra  dx    p ( x)dx     p ( x)dx [ f ( x)]n n  1 Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Từ dầy ta dễ dàng tính được f ( x) Câu 1. (Mã 103 2018) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  2    2 1 và f   x   4 x 3  f  x   với mọi 25 x   . Giá trị của f 1 bằng 391 1 41 1 B.  C.  D.  400 40 400 10 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y  f  x  đồng biến và có đạo hàm A.  Câu 2. liên tục trên  thỏa mãn nào sau đây? A. 12;13  . Câu 3.  f   x  2  f  x  .e x , x   và f  0   2 . Khi đó f  2  thuộc khoảng B.  9;10  . C. 11;12  . (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số y  f  x D. 13;14  . thỏa mãn f  2   4 19 và f   x   x3 f 2  x  x   . Giá trị của f 1 bằng 2 A.  . 3 Câu 4. 1 B.  . 2 C. 1. 3 D.  . 4 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 1;0 thỏa mãn điều kiện: f 1  2 ln 2 và x.  x  1 . f   x   f  x   x 2  x . Biết f  2   a  b.ln 3 ( a , b  ).   Giá trị 2 a 2  b2 là 3 9 . D. . 4 2 (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  x   0, x  0 và có đạo hàm A. Câu 5. 27 . 4 B. 9 . C. 1 f   x  liên tục trên khoảng  0;    thỏa mãn f   x    2 x  1 f 2  x  , x  0 và f 1   . Giá 2 trị của biểu thức f 1  f  2   ...  f  2020  bằng 2020 2015 2019 2016 . B.  . C.  . D.  . 2021 2019 2020 2021 (Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 1;0 thỏa mãn f 1  2 ln 2  1 , A.  Câu 6. x  x  1 f   x    x  2  f  x   x  x  1 , x   \ 1;0 . Biết f  2   a  b ln 3 , với a , b là hai Câu 7. số hữu tỉ. Tính T  a 2  b . 3 21 3 A. T  . B. T  . C. T  . D. T  0 . 16 16 2 (THPT Nguyễn Trãi - Đà Nẵng - 2018) Cho hs y  f  x  thỏa mãn y  xy 2 và f  1  1 thì giá trị f  2  là A. e 2 . Câu 8. B. 2e . C. e  1 . D. e3 . (Sở Hà Nội Năm 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  , f  x   0 với mọi x và thỏa mãn 1 f 1   , f   x    2 x  1 f 2  x  .Biết 2 a, b  ,  a, b   1 .Khẳng định nào sau đây sai? A. a  b  2019 . B. ab  2019 . f 1  f  2   ...  f  2019   C. 2a  b  2022 . a 1 b với D. b  2020 . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 26 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 9. (THPT Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0;   1 . Tính f  4  ? 2 A. 24 . B. 14 . C. 4 . D. 16 . Câu 10. (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho hàm số f  x   0 với mọi x   , thỏa mãn 2 xf   x   f  x   3 x 2 x . Biết f 1  f  0   1 và f  x   x  1. f   x  với mọi x   . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f  x   2 Câu 11. B. 2  f  x   4 C. f  x   6 D. 4  f  x   6 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  2; 4 3 và f   x   0, x   2; 4 . Biết 4 x 3 f  x    f   x    x 3 , x   2; 4 , f  2   7 . Giá trị của 4 f  4  bằng 40 5  1 20 5  1 . B. . 2 4 (Chuyên Thái Bình 2019) Cho A. Câu 12. 20 5  1 40 5  1 . D. . 2 4 là hàm số liên tục trên  thỏa mãn C. f ( x) f  x   f   x   x, x   và f  0   1 . Tính f 1 . 2 1 e . B. . C. e . D. . e e 2 (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hàm số A. Câu 13. f  x  thỏa mãn 2  xf   x    1  x 2 1  f  x  . f   x   với mọi x dương. Biết f 1  f  1  1 . Giá trị f 2  2  bằng A. f 2  2   2 ln 2  2 . B. f 2  2   2 ln 2  2 . C. f 2  2   ln 2  1 . Câu 14. D. f 2  2   ln 2  1 . (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn ( f '( x))2  f ( x). f ''( x)  x 3  2 x, x  R và f (0)  f '(0)  1 . Tính giá trị của T  f 2 (2) A. 43 30 B. 16 15 C. 43 15 D. 26 15   (Sở Bình Phước 2019) Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm trên  0;  , thỏa mãn  2 x     f  x   tan x. f   x   . Biết rằng 3 f    f    a 3  b ln 3 trong đó a, b . Giá 3 cos x 3 6 trị của biểu thức P  a  b bằng 14 2 7 4 A. B.  C. D.  9 9 9 9 Câu 16. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  f  x  đồng biến trên  0;   ; Câu 15. y  f  x liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f  3  4 9 và 2  f '  x     x  1 . f  x  . Tính f  8  . A. f  8   49 . B. f  8   256 . C. f  8   1 . 16 D. f  8  49 . 64 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  2 2  f   x    f  x   x Câu 17. Cho hàm số f  x  thỏa mãn f 1  2 và x 2  1 2   1 với mọi x   . Giá trị của f  2  bằng 2 2 5 5 B.  C.  D. 5 5 2 2 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên A. Câu 18. khoảng  0;    , biết f   x    2 x  1 f 2  x   0 , f  x   0, x  0 và f  2   1 . Tính giá trị của 6 P  f 1  f  2   ...  f  2019  . 2021 2020 2019 . B. . C. . 2020 2019 2020 Câu 19. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn A.  f  x 2 2018 . 2019 thỏa mãn D.  2;1 f  0   3 và . f   x   3 x 2  4 x  2 . Giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn  2;1 là A. 2 3 42 . B. 2 3 15 . C. 3 42 . Câu 20. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số 3 f ( x) D. 3 15 . thỏa mãn f (1)  4 và 2 f ( x)  xf ( x)  2 x  3x với mọi x  0 . Giá trị của f (2) bằng A. 5 . Câu 21. B. 10 . C. 20 . D. 15 . (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện: f  0   2 2, f  x   0, x   và f  x  . f   x    2 x  1 1  f 2  x  , x   . Khi đó giá trị f 1 bằng A. Câu 22. 26 . B. 24 . C. 15 . D. 23 . 2 (Cần Thơ 2018) Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f   x    f  x  . f   x   2 x 2  x  1 , x   và 2 f  0   f   0   3 . Giá trị của  f 1  bằng 19 . D. 10 . 2 (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn A. 28 . Câu 23. B. 22 .  x  2  f  x    x  1 f   x   e x C. và f  0   1 . Tính f  2  . 2 e2 e2 e e f 2  f 2  f 2  f 2  A.   . B.   . C.   . D.   . 3 6 3 6 Câu 24. (Liên Trường - Nghệ An - 2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 0;  1 thỏa mãn điều kiện f 1  2 ln 2 và x  x  1 . f   x   f  x   x 2  x . Giá trị f  2   a  b ln 3 , với a, b  . Tính a 2  b2 . 25 9 5 13 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4 Câu 25. (THPT Lê Xoay - 2018) Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f 1  1 , f  x   f   x  . 3x  1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2  f  5   3 . B. 1  f  5   2 . C. 4  f  5   5 . D. 3  f  5   4 . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 28 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 26. (THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An - 2018) Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện 1 f  0   . Biết rằng tổng 2 a a là phân số tối giản. f 1  f  2   f  3  ...  f  2017   f  2018  với  a  , b  *  và b b Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A.  1. B.  1 . C. a  b  1010 . D. b  a  3029 . b b f   x    2 x  3 f 2  x  Câu 27. và (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hàm số f  x   0 , f   x   3x 4  x 2  1 2 f  x  và x2 1 f 1   . Tính f 1  f  2   ...  f  80  . 3 3240 6480 6480 3240 A.  . B. . C.  . D. . 6481 6481 6481 6481 Câu 28. (Sở Hà Tĩnh - 2018) Cho hàm số f  x  đồng biến có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn  0; 2 và 2 2 thỏa mãn  f  x    f  x  . f   x    f   x    0 . Biết f  0   1 , f  2   e6 . Khi đó f 1 bằng 3 2 5 2 3 B. e . A. e . D. e 2 . C. e . 2 Câu 29. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  thỏa mãn f   x   2 x. f  x   e x , x   và f  0   0 . Tính f 1 . 1 B. f 1   . e A. f 1  e2 . C. f 1  1 . e2 D. f 1  1 . e Câu 30. Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f '  x  . f  x   x4  x2 . Biết f  0  2 . Tính f 2  2  . A. f 2  2   Câu 31. 313 . 15 B. f 2  2   332 . 15 C. f 2  2   324 . 15 D. f 2  2   323 . 15 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x   f   x   e x , x   và f  0   2 . Tất cả các nguyên hàm của f  x  e 2 x là A.  x  2  e x  e x  C . B.  x  2  e2 x  e x  C . C.  x  1 e x  C . D.  x  1 e x  C . Câu 32. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  0;    thỏa mãn 2 xf   x   f  x   2 x x   0;    , f 1  1 . Giá trị của biểu thức f  4  là: 25 25 17 17 . B. . C. . D. . 6 3 6 3 (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn A. Câu 33. 3 4 điều kiện x 6  f   x    27  f  x   1  0, x   và f 1  0 . Giá trị của f  2  bằng A. 1 . B. 1. C. 7 . D.  7 . Câu 34. (Bến Tre 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn:  f   x  2  f  x  . f   x   15 x 4  12 x , x   và f  0   f   0   1 . Giá trị của f 2 1 bằng A. 5 . 2 B. 8. C. 10. D. 4. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 35. Cho hàm số y  f  x  xf   x   2 f  x   .ln x  x nào dưới đây? 25   A. 12;  . 2  Câu 36. đạo hàm liên tục  f  x  , x  1;    ; biết f 27   B. 13;  . 2   trên 1;    e   3e . Giá trị 3  23  C.  ;12  .  2  và thỏa mãn f  2  thuộc khoảng 29   D. 14;  . 2  (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn 3 f   x  .e f 3  x   x2 1 2x  2  0 với  x   . Biết f  0   1 , tính tích phân f  x 11 A. . 2 Câu 37. 3 có 7  x. f  x  dx . 0 15 B. . 4 45 9 C. . D. . 8 2 (SP Đồng Nai - 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục và không âm trên  thỏa mãn f  x  . f   x   2 x f 2  x   1 và f  0   0 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn 1;3 . Biết rằng giá trị của biểu thức P  2M  m có dạng a 11  b 3  c ,  a , b , c    . Tính a  b  c A. a  b  c  7 . Câu 38. Cho hàm số B. a  b  c  4 . y  f  x liên C. a  b  c  6 . tục trên  \ 1;0 D. a  b  c  5 . thỏa mãn f 1  2ln 2  1 , x  x  1 f   x    x  2  f  x   x  x  1 , x   \ 1;0 . Biết f  2   a  b ln 3 , với a, b là hai số hữu tỉ. Tính T  a 2  b . A. T  21 . 16 B. T  3 . 2 Câu 39. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên C. T  0 .  0;    D. T   3 . 16 thỏa mãn 3x. f  x   x 2 . f   x   2 f 2  x  , với 1 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 3 hàm số y  f  x  trên đoạn 1; 2 . Tính M  m . f  x   0, x   0;    và f 1  A. 9 . 10 B. 21 . 10 C. 5 . 3 D. 7 . 3 Dạng 2. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm Câu 1. 2   (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x x3  4x . Hàm số F  x 2  x  có bao nhiêu điểm cực trị? A. 6 . B. 5 . C. 3 . D. 4 . 1  cos x   sin x  cot x  dx và S 2 Câu 2. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho F  x    sin 4 x là tổng   tất cả các nghiệm của phương trình F  x   F   trên khoảng  0;4  . Tổng S thuộc khoảng 2 A.  6 ;9  . B.  2 ;4  . C.  4 ;6  . D.  0;2  . Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 30 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 3. (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  2cos x  1 trên khoảng  0;   . Biết rằng giá trị lớn nhất của F  x  trên khoảng  0;   là sin 2 x 3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. Câu 4. Câu 5.   A. F    3 3  4 6  2 B. F   3 A. 2 . B. 1.    5  C. F     3 D. F    3  3 3  6  x cos x  sin x Biết F  x là nguyên hàm của hàm số f  x   . Hỏi đồ thị của hàm số y  F  x có x2 bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng 0; 4  ? 3    2 C. 3 . D. 0 . (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Biết F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   x  cos x . Hỏi đồ x2 thị của hàm số y  F  x  có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. Câu 6. B. 2. C. vô số điểm. D. 0. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị của hàm số y  f '  x  trên  5;3 như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của parabol y  ax2  bx  c ). Biết f  0  0 , giá trị của 2 f  5  3 f  2  bằng A. 33. Câu 7. B. 109 . 3 C. 35 . 3 D. 11. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;   thỏa mãn f   x   f  x  4 x 2  3 x và x f 1  2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ x  2 là A. y  16 x  20 . B. y  16 x  20 . C. y  16 x  20 . D. y  16 x  20 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 31 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH Dạng. Nguyên hàm cơ bản Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)   0dx  C .   k dx  kx  C .     x dx  ln x  C .  x  x n 1 C. n 1 1 (ax  b)n 1 C. a n 1     ax  b dx  a ln ax  b  C .   (ax  b)  sin x dx   cos x  C .   sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C .   cosx dx  sin x  C .   cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C .   sin   dx 1   cot(ax  b)  C . a sin (ax  b )     dx 1  tan(ax  b)  C . cos (ax  b) a   e dx  e  e  x  a dx   x   a dx  x n dx  1 1 2 dx   1 2 x 1 C. x dx   cot x  C . 1 dx  tan x  C . cos2 x x x C. ax C. ln a (ax  b)n dx  1 1 1 2 1 1 dx    C. a ax  b 1 1 2 2 ax b 1 dx  eax b  C . a 1 a x  C.  ln a ♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax  b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1  a Một số nguyên tắc tính cơ bản PP  Tích của đa thức hoặc lũy thừa    khai triễn. PP  Tích các hàm mũ   khai triển theo công thức mũ. 1 1 1 1  Bậc chẵn của sin và cosin  Hạ bậc: sin2 a   cos2a, cos2 a   cos2a. 2 2 2 2 PP  Chứa tích các căn thức của x    chuyển về lũy thừa. Câu 1. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên khoảng K nếu A. F '( x)   f ( x), x  K . C. F '( x)  f ( x), x  K . B. f '( x)  F ( x), x  K . D. f '( x)   F ( x), x  K . Lời giải Chọn C Theo định nghĩa thì hàm số F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên khoảng K nếu F '( x)  f ( x), x  K . Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 32 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 2. 2 (Mã 101 - 2020 Lần 1)  x dx bằng A. 2x  C . B. 1 3 x C. 3 C. x3  C . D. 3x 3  C Lời giải Chọn Câu 3. B. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 3 là A. 4x 4  C . B. 3x 2  C . C. x 4  C . D. 1 4 x C . 4 Lời giải Chọn D Ta có Câu 4. 3  x dx  x4 C . 4 (Mã 103 - 2020 Lần 1) A. 1 5 x C 5 4  x dx bằng B. 4x3  C C. x5  C D. 5x5  C Lời giải Chọn A 4 1  x dx  5 x Câu 5. 5 C . 5 (Mã 104 - 2020 Lần 1)  x dx A. 5x 4  C . B. bằng 1 6 x C. 6 C. x 6  C . D. 6x 6  C . Lời giải Chọn B Câu 6. (Mã 101- 2020 Lần 2)  5x 4 dx bằng A. 1 5 x C . 5 B. x5  C . C. 5x5  C . D. 20x3  C . Lời giải Chọn B Ta có  5x 4 dx  x5  C . Câu 7. (Mã 102 - 2020 Lần 2)  6x 5 dx bằng A. 6x 6  C . B. x6  C . 1 6 x C . 6 Lời giải C. D. 30x 4  C . Chọn B Ta có:  6x 5 dx  x 6  C . 2 Câu 8. (Mã 103 - 2020 Lần 2)  3 x dx A. 3x3  C . B. 6x  C . bằng C. 1 3 x C . 3 D. x 3  C . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 33 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn D Ta có:  3x 2 dx  3. Câu 9. x3  C  x3  C 3 3 (Mã 104 - 2020 Lần 2)  4 x dx bằng A. 4x 4  C . B. 1 4 x C . 4 C. 12x 2  C . D. x 4  C . Lời giải Chọn D Ta có Câu 10. 3  4 x dx  x 4 C . (Mã 103 2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   x 4  x 2 là A. 1 5 1 3 x  x C 5 3 B. x 4  x 2  C C. x 5  x 3  C . D. 4 x 3  2 x  C Lời giải Chọn A  f  x  dx    x Câu 11. 4  x 2  dx  1 5 1 3 x  x C . 5 3 (Mã 104 - 2019) Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  4 là A. x 2  C . B. 2x 2  C . C. 2 x 2  4 x  C . Lời giải D. x 2  4 x  C . Chọn D Ta có Câu 12.  f  x  dx    2 x  4 dx  x 2  4x  C . (Mã 102 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  6 là A. x 2  C . B. x2  6x  C . C. 2x2  C . Lời giải D. 2 x2  6 x  C . Chọn B   2 x  6  dx  x Câu 13. 2  6x  C (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   cos x  6 x là A. sin x  3 x 2  C . B.  sin x  3 x 2  C . C. sin x  6 x 2  C . Lời giải D.  sin x  C . Chọn A Ta có Câu 14.  f  x  dx    cos x  6 x  dx  sin x  3x 2 C . (Mã 105 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2 sin x . A.  2 sin xdx  2 cos x  C B.  2 sin xdx  2 cos x  C C.  2 sin xdx  sin 2 x  C D.  2 sin xdx  sin 2 x  C Lời giải Chọn A Câu 15. (Mã 101 2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   x3  x là Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 34 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A. 1 4 1 2 x  x C 4 2 B. 3 x 2  1  C C. x 3  x  C D. x 4  x 2  C Lời giải Chọn A x Câu 16. 3  x 2  dx  1 4 1 2 x  x C. 4 2 (Mã 103 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  3 là A. x 2  3 x  C . B. 2 x 2  3 x  C . C. x 2  C . Lời giải D. 2x 2  C . Chọn A Ta có Câu 17.   2 x  3  dx  x 2  3x  C . (Đề Minh Họa 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  1. 2 A.  f  x  dx  3  2 x 1 C.  f  x  dx   3 1 2 x  1  C. 2 x  1  C. 1 B.  f  x  dx  3  2 x 1 D.  f  x  dx  2 1 2 x  1  C. 2 x  1  C. Lời giải Chọn B  Câu 18. 1 1 2 d  2 x  1 2 x  1   2 . 1   2 x  1 2 x  1  C 3 f  x  dx   2 x  1dx  (Đề Tham Khảo 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x 2  A. C.  f  x  dx  x3 1  C . 3 x B.  f  x  dx  x3 1  C. 3 x D.  f  x  dx  x3 3  f  x  dx  x3 3 2 . x2 2  C. x 2  C . x Lời giải Chọn A 2 x3 2  Ta có   x 2  2  dx    C . x  3 x  Câu 19. 1 . 5x  2 dx B.   ln 5 x  2  C 5x  2 dx D.   5 ln 5 x  2  C 5x  2 Lời giải (Mã 110 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   dx 1 A.  5 x  2  5 ln 5 x  2  C C.  5 x  2   2 ln 5 x  2  C dx 1 Chọn A Áp dụng công thức dx 1 dx 1  ax  b  a ln ax  b  C  a  0  ta được  5 x  2  5 ln 5 x  2  C . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 35 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 20. (Mã123 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos 3 x sin 3 x C 3 sin 3 x D.  cos 3 xdx   C 3 Lời giải B.  cos 3 xdx  A.  cos 3 xdx  3 sin 3 x  C C.  cos 3 xdx  sin 3 x  C Chọn B Ta có:  cos 3 xdx  Câu 21. sin 3 x C 3 (Mã 104 2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   x3  x 2 là A. 1 4 1 3 x  x C 4 3 B. 3 x 2  2 x  C C. x 3  x 2  C D. x 4  x 3  C Lời giải Chọn A Câu 22. (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  x là A. e x  1  C B. ex  x2  C C. e x  1 2 x C 2 D. 1 x 1 2 e  x C x 1 2 Lời giải Chọn C Câu 23. (Mã 101 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 x  5 là A. x 2  C . B. x2  5x  C . C. 2 x 2  5 x  C . Lời giải D. 2x 2  C . Chọn B Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 x  5 là F ( x)  x2  5x  C . Câu 24. (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   7 x . 7x C A.  7 dx  ln 7 x C.  7 x dx  B.  7 x dx  7 x 1  C 7 x 1 C x 1 D.  7 x dx  7 x ln 7  C Lời giải Chọn A Áp dụng công thức Câu 25. x  a dx  ax  C ,  0  a  1 ta được đáp án B ln a (Mã 102 2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   x 4  x là A. 4 x3  1  C B. x5  x2  C 1 5 1 2 x  x C 5 2 Lời giải C. D. x 4  x  C Chọn C Ta có Câu 26. x 4 1 1  x  dx  x5  x 2  C . 5 2 (Đề Tham Khảo 2018) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  3x 2  1 là Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 36 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A. x 3  C B. x3  xC 3 D. x 3  x  C C. 6 x  C Lời giải Chọn D  3x Câu 27. 2   1 dx  x 3  x  C . A. 1 2 x 7 2  16  B.  C 1 2 x 7 32  16  C 15  x  x  7  dx ? 1 C.  x  7  C 16 2 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Tìm nguyên hàm 2 16 D. 1 2 x 7 32  16  C Lời giải Chọn D  xx Câu 28. 2 7 15  dx  1 x2  7 2  15  d x 2  7  1 2 x 7 32  16  C (THPT Ba Đình -2019) Họ nguyên hàm của hàm số f (x)  e 3 x là hàm số nào sau đây? A. 3e x  C . B. 1 3x e C. 3 1 x e C . 3 Lời giải C. D. 3e3 x  C . 1 Ta có:  e3 x dx  e3 x  C , với C là hằng số bất kì. 3 Câu 29. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Tính   x  sin 2 x dx . A. x2  sin x  C . 2 B. x2  cos 2 x  C . 2 C. x 2  cos 2 x C . 2 D. x 2 cos 2 x  C. 2 2 Lời giải Ta có Câu 30.   x  sin 2 x  dx =  xdx   sin 2 xdx  (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số y  e2 x 1 là A. 2e 2 x 1  C . Ta có:  e2 x 1dx  Câu 31. B. e2 x 1  C . 1 2 x 1 e C. 2 Lời giải C. D. 1 x e C . 2 1 2 x1 1 e d  2 x  1  e2 x 1  C .  2 2 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   A. ln 2 x  3  C . Câu 32. x 2 cos 2 x  C . 2 2 B. 1 ln 2 x  3  C . 2 C. 1 2x  3 1 1 ln 2 x  3  C . D. lg  2 x  3  C . ln 2 2 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số y  x 2  3x  A. x3 3x 1   2  C, C   . 3 ln 3 x B. x3 1  3x  2  C , C   . 3 x C. x 3 3x   ln x  C , C   . 3 ln 3 D. x 3 3x   ln x  C , C   . 3 ln 3 1 . x Lời giải Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 37 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 x 3 3x  Ta có:   x 2  3x  dx    ln x  C , C   . x 3 ln 3  Câu 33. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  sin 3x A. 3cos3x C . B. 3cos3x C . C. 1 cos3 x  C . 3 1 D.  cos3 x  C . 3 Lời giải  sin 3x dx   Câu 34. cos 3 x C 3 (Chuyên KHTN 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  sin x là A. x 3  cos x  C . Ta có Câu 35.  3x 2 B. 6 x  cos x  C . C. x 3  cos x  C . Lời giải D. 6 x  cos x  C .  sin x  dx  x 3  cos x  C . (Chuyên Bắc Ninh -2019) Công thức nào sau đây là sai? 1 1 dx  tan x  C . A.  ln x dx   C . B.  x cos 2 x D.  e x dx  e x  C . C.  sin x dx   cos x  C . Lời giải Ta có:  ln x dx  Câu 36. 1  C sai. x (Chuyên Bắc Ninh 2019) Nếu A. f  x   x 4   f  x  dx  4 x 3  x 2  C thì hàm số f  x  bằng x3  Cx . B. f  x   12 x 2  2 x  C . 3 C. f  x   12 x 2  2 x . D. f  x   x 4  x3 . 3 Lời giải  Có f  x   4 x3  x 2  C  12 x 2  2 x .  Câu 37.  (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 1 A.  cos 2 xdx  sin 2 x  C . 2 C. 1  x dx  ln x  C . Ta có:  e x dx  Câu 38. B. D.  e x dx  e  x dx  x e1 C . e 1 e x 1 C. x 1 Lời giải e x 1  C sai vì  e x dx  e x  C . x 1 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Nguyên hàm của hàm số y  2 x là x x x x A.  2 dx  ln 2.2  C . B.  2 dx  2  C . 2x 2x x  C . D.  2 dx  C . C.  2 dx  ln 2 x 1 x Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 38 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Do theo bảng nguyên hàm:  a x dx  Câu 39. ax C . ln a (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x  sin x . 3x 2  cos x  C . B.  f  x dx  2 2 A.  f  x dx  3x  cos x  C . C.  f  x dx  3x 2  cos x  C . 2 D.  f  x dx  3  cos x  C . Lời giải 2 Ta có  f  x dx    3x  sin x dx  Câu 40. 3x  cos x  C . 2 (Sở Bình Phước 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  x  s inx là A. x 2  cos x+C B. x 2  cos x+C x2  cos x+C 2 Lời giải C. D. x2  cos x+C 2 Chọn C Theo bảng nguyên hàm cơ bản Câu 41. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  cos x là: A. cos x  C . B.  cos x  C . C.  sin x  C . Lời giải D. sin x  C . Ta có  cos xdx  sin x  C . Câu 42. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   x 4  x 2 là A. 4 x 3  2 x  C . Ta có Câu 43.  f  x  dx    x B. x 4  x 2  C . 4  x 2  dx  1 5 1 3 x  x C . 5 3 Lời giải. C. D. x 5  x 3  C . 1 5 1 3 x  x C. 5 3 (THPT Cù Huy Cận 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  2 x là. A. e x  x 2  C . B. e x  x 2  C . C. 1 x e  x2  C . x 1 D. e x  2  C . Lời giải Ta có: Câu 44.  e x  2 x  dx  e x  x 2  C (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Họ các nguyên hàm của hàm số y  cos x  x là A. sin x  1 2 x C . 2 B. sin x  x 2  C . C.  sin x  1 2 x  C . D.  sin x  x 2  C . 2 Lời giải 1   cos x  x  dx  sin x  2 x Câu 45. 2 C . (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Họ nguyên hàm của hàm số y  x 2  3 x  1 là x Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 39 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x3 3 x 2 x3 3x 2   ln x  C. B.   ln x  C. A. 3 2 3 2 x3 3 x 2 x 3 3x 2 1   ln x  C. D.    C. C. 3 2 3 2 x2 Lời giải Ta có: 1 x3 3 x 2 2 ( x  3 x  )d x    ln x  C.  x 3 2 Câu 46. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   A. ln x  cos x  C . B.  1  cos x  C . x2 C. ln x  cos x  C . 1  sin x là x D. ln x  cos x  C . Lời giải Ta có Câu 47. 1  1  f  x  dx    x  sin x  dx   x dx   sin xdx  ln x  cos x  C . (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Hàm số F  x   1 3 x là một nguyên hàm của hàm số nào 3 sau đây trên  ;   ? A. f  x   3 x 2 . B. f  x   x 3 . C. f  x   x 2 . D. f  x   1 4 x . 4 Lời giải Gọi F  x   1 3 x là một nguyên hàm của hàm số f  x  . 3 Suy ra F '  x   f  x   f  x   x 2 . Câu 48. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x . A. C.  f  x  dx  2  x C. B.  2x f  x  dx  C . ln 2 f  x  dx  2 x ln 2  C . D.  f  x  dx  2 x 1 C . x 1 Lời giải Ta có: Câu 49.  2x f  x  dx   2 dx  C . ln 2 x (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   A. C.  f  x  dx  x3 1  C . 3 x B.  f  x  dx  x3 1  C. 3 x D.  f  x  dx  x3 2  C. 3 x  f  x  dx  x3 2  C . 3 x x4  2 . x2 Lời giải 4 Ta có:  f  x  dx  x 2 x3 2  2 2 d x  x  d x    x2  3  x  C . x2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 40 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 50. (Sở Hà Nội 2019) Hàm số nào trong các hàm số sau đây là một nguyên hàm của hàm số y  e x ? A. y  1 . x B. y  e x . C. y  e  x . D. y  ln x . Lời giải    e Ta có: e x Câu 51. x  y  e x là một nguyên hàm của hàm số y  e x . (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Tính F ( x)   e2 dx , trong đó e là hằng số và e  2, 718 . A. F ( x)  e2 x 2 C . 2 B. F ( x)  e3 C . 3 C. F ( x)  e2 x  C . D. F ( x)  2ex  C . Lời giải Ta có: F ( x)   e2 dx  e 2 x  C . Câu 52. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   1    ;  . 2  1 A. ln 2 x  1  C . 2 B. 1 ln 1  2 x   C . 2 1  Trên khoảng   ;  , ta có: 2  Câu 53. 1 C.  ln 2 x  1  C . 2 Lời giải 1 1 1 trên 1  2x D. ln 2 x  1  C . 1 1  f  x dx   1  2 xdx   2  1  2 x d 1  2 x    2 ln 2 x  1  C . x (Chuyên Hưng Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số f  x   2  x là 2x x2  C . A. ln2 2 x 2x  x2  C . C. ln 2 2 B. 2  x  C . x D. 2  x2 C . 2 Lời giải Ta có Câu 54.  2 x  x  dx  x 2 1  x2  C . ln 2 2 (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   1  sin x A. 1  cos x  C . B. 1  cos x  C . C. x  cos x  C . D. x  cos x  C . Lời giải Ta có Câu 55.  f  x dx   1  sin x dx  x  cos x  C . (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Nguyên hàm của hàm số f (x )  1 3 x  2 x 2  x  2019 là 3 A. 1 4 2 3 x2 x  x  C. 12 3 2 B. 1 4 2 3 x2 x  x   2019 x  C . 9 3 2 C. 1 4 2 3 x2 x  x   2019 x  C . 12 3 2 D. 1 4 2 3 x2 x  x   2019 x  C . 9 3 2 Lời giải Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 41 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x n 1  C ta được: Sử dụng công thức  x n dx  n 1 1 x4 x3 x 2 1 2 1 1 3  2 x  2 x  x  2019 dx  .  2.   2019 x  C  x 4  x 3  x 2  2019 x  C.    3 3 4 3 2 12 3 2  Câu 56. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  1   ;  là: 3  1 A. ln(3x  1)  C 3 1 trên khoảng 3x  1 1 ln(1  3x)  C D. ln(3x 1)  C 3 Lời giải 1 1 1 d (3x  1) 1 1  dx    ln 3x  1  C  ln(1  3x)  C (do x   ;  ) Ta có:  3x  1 3 3x  1 3 3 3  Câu 57. B. ln(1  3x)  C C. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A.  2 x dx  2 x ln 2  C . B.  e2 x dx  e2 x C. 2 1 C.  cos 2 xdx  sin 2 x  C . 2 D. 1  x  1 dx  ln x  1  C  x  1 . Lời giải Chọn A Ta có: Câu 58. x  2 dx  2x C . ln 2 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số f ( x)  2x4  3 . Khẳng định nào sau x2 đây là đúng? A. C. 2 x3 3  C . 3 2x  f ( x)dx   2 x3 3 f ( x)dx   C. 3 x f ( x)dx  2 x3 3  C. 3 x B.  D.  f ( x)dx  2 x 3  3 C. x Lời giải Chọn B Ta có Câu 59.  f ( x)dx   2x4  3 2 x3 3  2 3 dx  2 x  dx   C    x2 x2  3 x x (Sở Thanh Hóa 2019) Cho hàm số f  x   2  x  1. Tìm A.  f  x dx  2 x  x2  x  C . C.  f  x  dx  2 x  1 2 x  xC . 2  f  x  dx . 1 2 x  xC. 2 1 x 1 2 2  x  xC . D.  f  x  dx  x 1 2 B. 1  f  x  dx  ln 2 2 x  Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 42 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có: Câu 60. 1 x 1 x 2  x  1 2  x d x     ln 2 2 2  x  C. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x  sin x . A.  f  x dx  3x2  cos x  C . C.  f  x dx  B.  f  x dx  3x 2  cos x  C . 2 3x 2  cos x  C . 2 D.  f  x dx  3  cos x  C . Lời giải Chọn C Ta có  f  x dx    3 x  sin x dx  Câu 61. 3x 2  cos x  C . 2 2 (Chuyên Bắc Giang 2019) Hàm số F  x   e x là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau: 2 x2 2 x2 A. f ( x)  2 xe . 2x B. f ( x)  x e  1. C. f ( x)  e . ex D. f ( x)  . 2x Lời giải Chọn A    2 xe Ta có f  x   F   x   f  x   e x Câu 62. 2 x2 . (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x)  3 x là A.  3 x C ln 3 B. 3 x  C C. 3 x ln 3  C D. 3 x C ln 3 D. x 4 x3  C 3 4 Lời giải Chọn A Ta có Câu 63.  3 x f ( x)dx   3 dx    3 d( x)   C . ln 3 x x (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x3  x 2 là A. x 4 x3  C. 4 3 B. x 4  x 3  C . C. 3 x 2  2 x  C . Lời giải Chọn A  Câu 64. f  x  dx    x3  x 2  dx  x 4 x3  C . 4 3 (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số y  x2019 ? A. x 2020 1. 2020 B. x 2020 . 2020 C. y  2019 x2018 . D. x 2020 1 . 2020 Lời giải Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 43 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x 2020  C , C là hằng số. Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của Ta có:  x 2019dx  2020 hàm số y  x2019 . Câu 65. (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số y  x 2  3x  A. x3 3x   ln x  C , C  R 3 ln 3 C. x3 1  3x  2  C , C  R 3 x B. 1 . x x3 3x   ln x  C , C  R 3 ln 3 x 3 3x 1   2  C, C  R 3 ln 3 x Lời giải D. 1 x 3 3x   ln x  C , C  R . Ta có:   x 2  3x   dx   x 3 ln 3  Câu 66.  2018e  x  (Quảng Ninh 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e x  2017  . x5   2018 2018 A.  f  x  dx  2017e x  4  C . B.  f  x  dx  2017e x  4  C . x x 504,5 504,5 C.  f  x  dx  2017e x  4  C . D.  f  x  dx  2017e x  4  C . x x Lời giải  Câu 67.  2018e  x  2018  504,5  x x f  x dx   e x  2017  dx    2017e  5 dx  2017e  4  C 5 x x  x     e x  (HSG Bắc Ninh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số y  e x  2   là cos 2 x   1 1 C C A. 2e x  tan x  C B. 2e x  tan x  C C. 2e x  D. 2e x  cos x cos x Lời giải  e x  1 x Ta có: y  e x  2    2e  2 cos x  cos 2 x    ydx    2e Câu 68. x  1  x  dx  2e  tan x  C . cos 2 x  (Chuyên Hạ Long 2019) Tìm nguyên F  x  của hàm số f  x    x  1 x  2  x  3 ? A. F  x   x4 11  6 x3  x2  6 x  C . 4 2 B. F  x   x 4  6 x 3  11x 2  6 x  C . C. F  x   x4 11  2 x3  x2  6 x  C . 4 2 D. F  x   x 3  6 x 2  11x 2  6 x  C . Lời giải Ta có: f  x   x 3  6 x 2  11x  6  F  x     x 3  6 x 2  11x  6 dx  Câu 69. (Sở Bắc Ninh 2019) họ nguyên hàm của hàm số f  x   x4 11  2x3  x2  6x  C . 4 2 1 là: 5x  4 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 44 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A. 1 ln  5 x  4   C . 5 Ta có 1 1 B. ln 5 x  4  C . 1 1 1 ln 5 x  4  C . D. ln 5 x  4  C . ln 5 5 Lời giải C. 1  5 x  4 dx  5  5 x  4 d  5 x  4   5 ln 5 x  4  C . Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 45 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản có điều kiện Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)   0dx  C .   k dx  kx  C .     x dx  ln x  C .  x  x n 1 C. n 1 1 (ax  b)n 1 C. a n 1     ax  b dx  a ln ax  b  C .   (ax  b)  sin x dx   cos x  C .   sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C .   cosx dx  sin x  C .   cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C .   sin   dx 1   cot(ax  b)  C . a sin (ax  b )     dx 1  tan(ax  b)  C . cos (ax  b) a   e dx  e  e  x  a dx   x   a dx  x n dx  1 1 2 dx   1 2 x 1 C. x dx   cot x  C . 1 dx  tan x  C . cos2 x x x C. ax C. ln a (ax  b)n dx  1 1 1 2 1 1 dx    C. a ax  b 1 1 2 2 ax b 1 dx  eax b  C . a 1 a x  C.  ln a ♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax  b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1  a Một số nguyên tắc tính cơ bản PP  Tích của đa thức hoặc lũy thừa    khai triễn. PP  Tích các hàm mũ   khai triển theo công thức mũ. 1 1 1 1  Bậc chẵn của sin và cosin  Hạ bậc: sin2 a   cos2a, cos2 a   cos2a. 2 2 2 2 PP  Chứa tích các căn thức của x    chuyển về lũy thừa. Câu 1. (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số f ( x) xác định trên 1  \  2 thỏa mãn 2 , f  0   1, f 1  2 . Giá trị của biểu thức f  1  f  3 bằng 2x 1 A. 2  ln15 B. 3  ln15 C. ln15 D. 4  ln15 Lời giải Chọn C 2  2 x  1 dx  ln 2 x  1  C  f  x  f  x  Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 46 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 , f  0   1  C  1 nên f  1  1  ln 3 2 1 Với x  , f 1  2  C  2 nên f  3  2  ln 5 2 Nên f  1  f  3  3  ln15 Với x  Câu 2. (Sở Phú Thọ 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của f  x   1 trên khoảng 1;  thỏa x 1 mãn F  e  1  4 Tìm F  x  . A. 2ln  x  1  2 B. ln  x  1  3 C. 4ln  x  1 D. ln  x  1  3 Lờigiải Chọn B F  x =   1 dx  C  ln x  1  C x 1 F  e  1  4 . Ta có 1  C  4  C  3 Câu 3. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   1 , x2 biết F 1  2. Giá trị của F  0  bằng A. 2  ln 2. C. 2  ln  2  . B. ln 2. D. ln  2  . Lờigiải Cách 1: Ta có: 1  f  x dx   x  2dx  ln x  2  C , C   . Giả sử F  x   ln x  2  C0 là một nguyên hàm của hàm số đã cho thỏa mãn F 1  2 . Do F 1  2  C0  2  F  x   ln x  2  2 .Vậy F  0   2  ln 2. Câu 4. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm f  x  1 ; biết F  0   2 . Tính F 1 . 2x 1 1 A. F 1  ln 3  2 . 2 B. F 1  ln 3  2 . 1 C. F 1  2ln 3  2 . D. F 1  ln 3  2 . 2 Lời giải Chọn D Ta có F x   Do F 0  2  Vậy F x   1 1  2x  1dx  2 ln 2x  1  C 1 ln 2.0  1  C  2  C  2 2 1 1 ln 2x  1  2  F 1  ln 3  2 . 2 2 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 47 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 5. (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số y  1 trên  ;0  x thỏa mãn F  2  0 . Khẳng định nào sau đây đúng?  x   x   ;0   2  A. F  x   ln  B. F  x   ln x  C x   ;0  với C là một số thực bất kì. C. F  x   ln x  ln 2 x   ;0 . D. F  x   ln   x   C x   ;0  với C là một số thực bất kì. Lời giải 1 x Ta có F  x    dx  ln x  C  ln   x   C với x   ;0 .  x  .  2  Lại có F  2  0  ln 2  C  0  C   ln 2 . Do đó F  x   ln   x   ln 2  ln   x   x   ;0  .  2  Vậy F  x   ln  Câu 6. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho hàm số f  x  xác định trên R \ 1 thỏa mãn 1 , f  0   2017 , f  2   2018 . Tính S  f  3  f  1 . x 1 A. S  ln 4035 . B. S  4 . C. S  ln 2 . D. S  1 . Lời giải 1 dx  ln  x  1  C1  f  x   ln  x  1  C1 . Trên khoảng 1;   ta có  f '  x  dx   x 1 Mà f (2)  2018  C1  2018 . f  x  Trên khoảng  ;1 ta có 1  f '  x  dx  x  1 dx  ln 1  x   C 2  f  x   ln 1  x   C2 . Mà f (0)  2017  C2  2017 . ln( x  1)  2018 Vậy f  x    ln(1  x)  2017 Câu 7. khi x  1 . Suy ra f  3  f  1  1 . khi x  1 (Mã 105 2017) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  e x  2 x thỏa mãn F  0   3 . 2 Tìm F  x  . 1 2 3 C. F  x   e x  x 2  2 A. F  x   e x  x 2  B. F  x   e x  x 2  5 2 1 2 Lời giải D. F  x   2e x  x 2  Chọn A Ta có F  x     e x  2 x  dx  e x  x 2  C Theo bài ra ta có: F  0   1  C  3 1 C  . 2 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 48

Hỏi đáp

MÔN HỌC

Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng ôn thi THPT 2021

Nội dung tài liệu

Các tài liệu liên quan

Có thể bạn quan tâm

Thông tin tài liệu