Chuyên đề nâng cao lớp 6 phần số tự nhiên

 Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO 6 SỐ TỰ NHIÊN, SỐ NGUYÊN Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng 8 năm 2020 1 Chương I . ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN §1. Tập hợp. Tập hợp con Kiến thức cơ bản 1. Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học. Để viết một tập hợp, thường có hai cách: - Liệt kê các phần tử của tập hợp. - Chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó 2. Một tập hợp có thể có một phần tử, có nhiều phần tử, có vô số phần tử, cũng có thể không có phần tử nào, gọi là tập rỗng, ký hiệu là ∅ . 3. Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A là tập hợp con của tập hợp B. Ký hiệu A ⊂ B . Nâng cao : 1. Mọi tập hợp đều là tập hợp con của chính nó. 2. Quy ước ∅ ⊂ A với mọi A. 3. Nếu A ⊂ B và B ⊂ A thì A = B Thí dụ 1: Cho hai tập hợp : A = {6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10} B = {x ; 9 ; 7 ; l0 ; y} a) Viết tập hợp A bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó. b) Điền kí hiệu ∈ ; ∉ vào các ô trống để có cách viết đúng : 9 A ; x A ; y B c) Tìm x và y để có A = B . Giải : a) A= {x ∈  |5 < x < 11} b) 9∈ A ; x ∉ A ; y ∈ B x 8= ;y 6 c) A = B ⇔ x = 6 ; y = 8 hoặc= Nhận xét : Vì thứ tự liệt kê các phần tử không quan trọng nên ở câu c ta có 2 đáp số. Thí dụ 2 : Cho A ⊂ M ; M ⊂ N . Chứng tỏ rằng A ⊂ N 2 Giải : A ⊂ M nên với mọi x ∈ A thì x ∈ N (1) M ⊂ N nên với mọi x ∈ M thì x ∈ N (2) Từ (1) và (2) suy ra với mọi x ∈ A thì x ∈ N , do đó A ⊂ N Nhận xét : Quan hệ ⊂ giữa hai tập hợp có tính chất bắc cầu. BÀI TẬP 1. Các tập hợp A và B được cho bởi sơ đồ ở hình bên. a) Viết các tập hợp A và B bằng cách liệt kê các phần tử của nó. b) Điền chữ A hoặc B vào ô trống để có cách viết đúng. 4∈ ; 4∉ ; m∈ c) Viết tập hợp H những phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp đó. 2. Cho dãy số 1 ; 5 ; 9 ; 13 ; ... a) Nêu quy luật của dãy số trên. b) Viết các tập hợp B các phần tử là 8 số hạng đầu tiên của dãy đó. 3. a) Viết tập hợp M các chữ cái của chữ “GANG” b) Với tất cả các phần tử của tập hợp M hãy viết thành một chữ thuộc loại danh từ. 4. Cho tập hợp D = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... ; 20} a) Viết tập hợp D bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó. b) Tập hợp D có bao nhiêu phần tử. c) Viết tập hợp E các phần tử là số chẵn của D (số chẵn là số chia hết cho 2). Tập hợp E có bao nhiêu phần tử ? d) Viết tập hợp F các phần tử là số lẻ của tập hợp D (số lẻ là số không chia hết cho 2). Tập hợp F có bao nhiêu phần tử ? B = {1 ; 2 ; 3} . Viết tập hợp có ba phần tử trong đó có một phần tử 5. Cho A = {a , b} ; thuộc tập hợp A ; hai phần tử thuộc tập hợp B. 6. Cho H là tập hợp 3 số lẻ đầu tiên ; K là tập hợp 6 số tự nhiên đầu tiên. a) Viết tập hợp L các phần tử thuộc K mà không thuộc H. b) Chứng tỏ rằng H ⊂ K . 3 c) Tập hợp M sao cho H ⊂ M ; M ⊂ K . - Hỏi tập M có ít nhất mấy phần tử ? Có nhiều nhất bao nhiêu phần tử ? - Có bao nhiêu tập hợp M có 4 phần tử thỏa mãn các điều kiện trên ? 7. Dùng dấu ⊂ ; =để thể hiện mối quan hệ giữa các tập sau P là tập hợp các số tự nhiên x mà x + 3 ≤ 10 . Q là tập hợp các số tự nhiên x mà x .3 = 5 . R là tập hợp các số tự nhiên x mà x .3 = 0 . S là tập hợp các số tự nhiên x mà x .3 < 24 . 8. Cho tập hợp K = {5 ; 6 ; 7 ; 8} . Viết các tập hợp con của K sao cho các phần tử của nó phải có ít nhất một số lẻ, một số chẵn. 9. Tập hợp M có 4 tập hợp con có 1 phần tử. Hỏi tập M có mấy tập hợp con có 3 phần tử ? §2. Tập hợp các số tự nhiên. Ghi số tự nhiên Kiến thức cơ bản : 1. Tập hợp các số tự nhiên kí hiệu là   ={0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...} 2. Tập hợp các số tự nhiên khác 0 kí hiệu *  ={1 ; 2 ; 3 ; ...} 3. Để ghi số tự nhiên trong hệ thập phân, ta dùng 10 kí hiệu (gọi là 10 chữ số) là : 0 ;1; 2 ; 3; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 Trong hệ La mã dùng 7 kí hiệu là : I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 Nâng cao : Số Ký hiệu Các biểu diễn thập phân Có 2 chữ số ab = 10 . a + b Có 3 chữ số abc = 100 . a + 10 . b + c 4 Có 4 chữ số abcd = 1000 . a + 100 . b + 10 . c + d (chữ số ( a ≠ 0 ) Thí dụ 3: Phố Hàng Ngang là một trong những phố cổ của Hà Nội. Các nhà được đánh số liên tục, dãy lẻ 1 ; 3 ; 5 ; ... tới 61 ; dãy chẵn 2 ; 4 ; 6 ; ... tới 64. a) Bên só nhà chẵn, trong một phòng gác nhỏ, chủ tịch Hồ Chí Minh đã khởi thảo bản quyền tuyên ngôn độc lập khai sinh ra nước Việt Nam dân chủ cộng hòa. Ngôi nhà có căn phòng đó là nhà thứ 24 kể từ đầu phố (số 2). Hỏi ngôi nhà này có số nào ? b) Bên số nhà lẻ, chữ số nào chưa được dùng ? chữ số nào được dùng nhiều nhất ? c) Phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số để viết số nhà của phố này ? Giải: a) Ngôi nhà đó có số 2 . 24 = 48 b) Bên số nhà lẻ, chữ số 0 không dùng ở hàng đơn vị cũng như hàng chục. Chữ số 8 không dùng ở hàng đơn vị, còn ở hàng chục thì chưa dùng tới. Vậy chữ số 0 và chữ số 8 chưa được dùng đến. Chữ số 1 dùng tới 7 lần ở hàng đơn vị (nhiều nhất so với các chữ số khác), dùng tới 5 lần ở hàng chục (không kém so với các chữ số khác). Vậy chữ số 1 được dùng nhiều nhất (12 lần). c) Tạm chưa tính nhà 64 thì dãy phố này có 62 nhà từ 1 ; 3 ; 5 ; ... tới 62 . Trong dãy số này 53 số có hai chữ số. có 9 số có một chữ số và 62 − 9 = Số chữ số cần dùng là : 9.1 + 53.2 = 9.106 = 115 . Nhận xét : Công thức tính số chữ số cần dùng để ghi chép các số tự nhiên liên tiếp : Gọi số các số có 1 chữ số là a1 . Gọi số các số có 2 chữ số là a2 . ……. Số các số có n chữ số là an , thì số chữ số cần dùng S là: S= a1 . 1 + a2 . 2 + ... + an . n BÀI TẬP 10. Viết tập hợp 4 chữ số tự nhiên liên tiếp lớn hơn 94 nhưng không quá 100. 11. Viết tập hợp các chữ số tự nhiên có 2 chữ số sao cho trong mỗi số: 5 a) Chữ số hàng đơn vị gấp 2 lần chữ số hàng chục b) Chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là 4. c) Chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục. 12. a) Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 20 ? b) Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn n ? ( n ∈  ) c) Có bao nhiêu số chẵn nhỏ hơn n ? ( n ∈  ) 13.a) Có bao nhiêu số có 4 chữ số mà cả 4 chữ số đều giống nhau ? b) Có bao nhiêu số có 4 chữ số ? c) Có bao nhiêu số có n chữ số ( n ∈ * ) 14. Bảng hiện số của đồng hồ điện tử có 3 nhóm số chỉ giờ, phút, giây (mỗi nhóm có 2 chữ số). Nếu chỉ nhìn vào phần hiện số của nhóm chỉ giây thì trong một phút có : a) Bao nhiêu lần thay đổi các số ? b) Bao nhiêu lần thay đổi các chữ số ? 15. Hãy chia các số trên bề mặt đồng hồ làm 2 nhóm : Nhóm I gồm các số tự nhiên liên tiếp và nhóm II gồm các số còn lại sao cho : a) Tổng các số của nhóm I bằng tổng các số của nhóm II. b) Tổng các chữ số của nhóm I bằng tổng các chữ số của nhóm II. c) Tổng các chữ số của nhóm I bằng một nữa tổng các chữ số của nhóm II. 16. Cho một số có 3 chữ số là abc ( a , b , c khác nhau và khác 0). Nếu đổi chỗ các chữ số cho nhau thì ta được một số mới. Hỏi có tất cả bao nhiêu số có 3 chữ số như vậy ? (Kể cả số ban đầu). 17. Cho 4 chữ số a , b , c và số 0 ( a , b , c khác nhau và khác 0) với cùng cả 4 chữ số này, có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số ? 18. Cho 5 chữ số khác nhau. Với cùng cả 5 chữ số này có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số ? 19. Quyển sách giáo khoa Toán lớp 6 có 132 trang. Hai trang đầu không đánh số. Hỏi phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số để đánh số các trang của quyển sách này ? 20. Dùng từ 1 đến 4 que diêm có thể ghi được bao nhiêu số trong hệ La Mã ? 21. Với 9 que diêm hãy sắp xếp thành một số La Mã : 6 a) Có giá trị lớn nhất. b) Có giá trị nhỏ nhất. 22. Có 13 que diêm sắp xếp như sau : XII – V = VII a) Đẳng thức trên đúng hay sai ? b) Hãy đổi chỗ chỉ một que diêm để được 1 đằng thức khác. §3. Phép cộng và phép nhân Kiến thức cơ bản : 1. Tính chất giao hoán của phép cộng, phép nhân : a + b=b + a ; a .b=b . a 2. Tính chất kết hợp của phép cộng, phép nhân : ( a + b ) + c =a + ( b + c ) ( a . b ) . c =a . ( b . c ) ; 3. Cộng với số 0 ; a+0 =0+a = a Nhân với số 1 : a= . 1 1= .a a 4. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng : a . ( b + c )= a . b + a . c Nâng cao : 1. Phép nhân cũng có tính chất phân phối đối với phép trừ : ( a − b ) . c =a . b − a . c ( a ≥ b ) 2. Kí hiệu n ! (đọc là giai thừa) = n ! 1 . 2 . 3 ... n (n ∈  ) * 41 . Tìm a, b . Thí dụ 4 : Cho a, b ∈  . Biết a . b = 0 và a + 4b = Giải: Vì a . b = 0 nên a = 0 hoặc b = 0 . Nếu a = 0 thì 4 . b = 41 , không có số tự nhiên b nào như thế, vậy a ≠ 0 và b = 0 7 Suy ra a = 41 . Thí dụ 5 : Một học sinh khi nhân một số với 31 đã đặt các tích riêng thẳng hành như trong phép cộng nên tích đã giảm đi 540 đơn vị so với tích đúng. Tìm tích đúng. Giải : Gọi số bị nhân là a, tích đúng sẽ là : a . 31= a . ( 30 + 1)= 30a + a (1) Nếu đặt các tích riêng thẳng hàng như trong phép cộng thì tích sẽ là a . ( 3 + 1) = 3a + a ( 2) So sánh (1) và (2) ta thấy tích giảm đi : 30a − 3a = 27 a = 540 ; a = 20 Vậy tích đúng là 30 . 31 = 620 27a là ta đã vận dụng tính chất phân phối của phép nhân Nhận xét : a) Khi viết 30a − 3a = đối với phép trừ. Thực vậy, 30a − 3a = ( 30 − 3) . a = 27a b) Tích 1 . a được viết gọn thành a . BÀI TẬP 23. Tìm hai số biết tổng của chúng là 176 ; mỗi số đều có hai chữ số khác nhau và số này là số kia viết theo thứ tự ngược lại. 9 . Viết tập hợp A các số tự nhiên b sao cho abc + cba là một số có 3 chữ số. 24. Cho a + c = 25. Từ 10 chữ số 0 ; 1 ; 2 ; 3... ; 9 hãy gép lại thành 5 số có 2 chữ số rồi cộng chúng lại. a) Tìm giá trị lớn nhất của tổng. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng. 26. Cho 4 chữ số khác nhau và khác 0. a) Chứng tỏ rằng có thể lập được 4! số có 4 chữ số khác nhau. b) Có thể lập được bao nhiêu số có 2 chữ số khác nhau trong 4 chữ số đã cho. 27. Có 5 sô tự nhiên nào mà tích của chúng bằng 2003 và tổng có tận cùng bằng 8 không ? 28. Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý nhất : 8 a) 38 + 41 + 117 + 159 + 62 b) 73 + 86 + 968 + 914 + 3032 c) 341.67 + 341.16 + 659.83 d) 42.53 + 47.156 − 47.114 29. Tính giá trị biểu thức : a) A = (100 − 1) . (100 − 2 ) . (100 − 3) ... (100 − n ) với n ∈ * và tích trên có đúng 100 thừa số. 100 b) B = 13a + 19b + 4a − 2b với a + b = 30. Không tính giá trị cụ thể, hãy so sánh hai biểu thức : a) A = 199 . 201 và B = 200 . 200 b) C 35 . 53 − 18 và D = = 36 + 53 . 34 31. Hãy viết các số sau dưới dạng một tích của hai số tự nhiên liên tiếp. a) 12 ; b) 1122 ; c) 111222 32*.Tìm các chữ số biết a . bcd = abcabc 33*.Cho a, b ∈ * ; a > 2 ; b > 2 . Chứng tỏ rằng a + b < a . b §4. Phép trừ và phép chia Kiến thức cơ bản : 1. Điều kiện để phép trừ a − b thực hiện được là a ≥ b . 2. Điều kiện để phép chia a : b không có dư (hay a chia hết cho b, kí hiệu a  b ) là a = b . q (với a, b, q ∈  ; b ≠ 0 ). 3. Trong phép chia có dư : Số bị chia = Số chia * Thương + Số dư = a b . q + r (b ≠ 0 ; 0 < r < b) Nâng cao : 1. Vì số dư r phải nhỏ hơn số chia b nên số dư chỉ có thể lấy một trong b giá trị khác nhau là 0 ; 1 ; 2 ; ... ; ( b − 1) 2. Hiệu giữa số bị chia và số dư r bao giờ cũng chia hết cho số chia b. 9 3. Biểu diễn một số tự nhiên. a) Biểu diễn qua phép chia một số cho 2. a là số chẵn ⇔= a 2q ( q ∈  ) a là số lẻ ⇔ a = 2q + 1 ( q ∈  ) b) Biểu diễn qua phép chia một số cho 3. a chia hết cho 3 ⇔= a 3q ( q ∈  ) a chia cho 3 dư 1 ⇔ a = 3q + 1 ( q ∈  ) a chia cho 3 dư 2 ⇔ a = 3q + 2 ( q ∈  ) c) Biểu diễn qua phép chia một số cho 4 a chia hết cho 4 ⇔= a 4q ( q ∈  ) a chia cho 4 dư 1 ⇔ a = 4q + 1 ( q ∈  ) a chia cho 4 dư 2 ⇔ a = 4q + 2 ( q ∈  ) a chia cho 4 dư 3 ⇔ a = 4q + 3 ( q ∈  ) Kí hiệu ⇔ là kí hiệu “tương đương”, đọc là “khi và chỉ khi” có nghĩa là mệnh đề trước suy ra được mệnh đề sau và ngược lại, mệnh đề sau suy ra được mệnh đề trước. 4. Nếu phép chia không còn dư thì phép chia cũng có tính chất phân phối đối với phép cộng và phép trừ 5. Quan hệ chia hết có tính chất bắc cầu nghĩa là a  b ; b  c ⇒ a  c Thí dụ 6 : Một số cs 3 chữ số là 3 số tự nhiên liên tiếp. Nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số mới hơn số cũ bao nhiêu ? Giải : 2 . Số Gọi số có 3 chữ số đó là abc trong đó a, b, c là 3 số tự nhiên liên tiếp. Vậy c − a = viết theo thứ tự ngược lại là cba . Ta có : cba − abc = (100c + 100b + a ) − (100a + 100b + c ) = 100c + 10b + a − 100a − 10b − c = 99c − 99a= 99 ( c − a )= 99.2= 198 10