Chuyên đề nâng cao lớp 6 phần đoạn thẳng

 Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO 6 CHỦ ĐỀ ĐOẠN THẲNG, GÓC PHẦN: HÌNH HỌC Chương I. ĐOẠN THẲNG § 1. Điểm. Đường thẳng. Ba điểm thẳng hàng Kiến thức cơ bản: 1. Vị trí của điểm và đường thẳng (h.1) B - Điểm A thuộc đường thẳng a , kí hiệu A ∈ a - Điểm B không thuộc đường thẳng a , kí hiệu B∉a. a A 2. Ba điểm thẳng hàng khi chúng có cùng thuộc một đường thẳng. Ba điểm không thẳng hàng khi chúng Hình 1 không cùng thuộc bất kì đường thẳng nào. A 3. Trong ba điểm thẳng hàng, có một điểm và chỉ M D một điểm nằm giữa hai điểm còn lại. Trong hình 2, Hình 2 điểm M nằm giữa hai điểm A và B Nâng cao 1. Nếu có một điểm nằm giữa hai điểm khác thì ba điểm đó thẳng hàng. 2. Quan hệ ba điểm thẳng hàng còn được mở rộng thành nhiểu ( 4, 5,...) điểm thẳng hàng. Thí dụ 1: Trên đường thẳng a lấy 4 điểm A , B , C , D theo thứ tự đó. Lấy điểm M ∉ a . Hãy gọi tên: a) Tất cả các bộ 3 điểm không thẳng hàng; M b) Tất cả các bộ 3 điểm thẳng hàng; c) Tất cả các điểm nằm giữa điểm khác. Giải (h.3) a) Các bộ ba điểm không thẳng hàng là: ( M , A, B ) ; ( M , A, C ) ; ( M , A, D ) ; a A B C D Hình 3 ( M , B, C ) ; ( M , B, D ) ; ( M , C , D ) b) Các bộ ba điểm thẳng hàng là: ( A, B, C ) ; ( A, B, D ) ; ( A, C , D ) ; ( B, C , D ) c) B nằm giữa A và C ; B nằm giữa A và D ; C nằm giữa A và D ; C nằm giữa B và D . Nhận xét: Có bao nhiêu bộ 3 điểm thẳng hàng thì có bấy nhiêu trường hợp một điểm nằm giữa hai điểm khác. Thí dụ 2: Vẽ 4 điểm M , N , P , Q thẳng hàng sao cho đồng thời thỏa mãn 4 điều kiện sau: M không nằm giữa N và P (1) N không nằm giữa M và P (2) P không nằm giữa N và Q (3) M Q không nằm giữa N và P (4) Bằng lập luận hãy chứng tỏ rằng: N P Q Hình 4 a) Điểm P nằm giữa M và N b) Điểm N nằm giữa P và Q . Giải: (h.4) a) Xét 3 điểm thẳng hàng M , N , P thì: M không nằm giữa N và P (1) và N không nằm giữa M và P (2) vậy P nằm giữa M và N. b) P không nằm giữa N và Q (3) và Q không nằm giữa N và P (4) vậy N nằm giữa P và Q. BÀI TẬP 1. Trong hình 5 có hai đường thẳng m và n và ba điểm chưa đặt tên. Hãy điền các chữ A , B , C vào đúng vị trí của nó biết: a) Điểm A không thuộc đường thẳng m và cũng không thuộc đường thẳng n; m b) Điểm B không thuộc đường thẳng m ; c) điểm C không thuộc đường thẳng n . 2. Vẽ các đường thẳng p và các điểm A , B trên p. n a) Nêu cách vẽ điểm C thẳng hàng với 2 điểm A , B ; Hình 5 b) Nêu cách vẽ điểm D không thẳng hàng với 2 điểm A , B . 3. Hãy vẽ 5 điểm C , D , E , F , G không thẳng hàng nhưng ba điểm C , D , E , thằng; ba điểm E , F , G thẳng hàng. 4. Vẽ theo các cách diễn đạt sau: a) Điểm I nằm giữa hai điểm A và B ; điểm B nằm giữa I và K ; b) Hai điểm O , P không nằm cùng phía đối với Q ; hai điểm O và R nằm khác phía đối với Q nhưng P không nằm giữa O và R . 5. Cho ba điểm A , B , C ; mỗi điểm A , B đều không nằm giữa hai điểm còn lại. Hãy nêu điều kiện để: a) C nằm giữa A và B ; b) C không nằm giữa A và B . 6. Trái đất quay quanh Mặt Trời: Mặt Trăng quay xung quanh Trái Đất. Mặt Trời chiếu sáng tới Trái Đất và Mặt Trăng. Khi ba thiên thể này thẳng hàng thì xảy ra nhật thực hoặc nguyệt thực (là hiện tượng mặt trời hoặc mặt trăng đang sáng bỗng nhiên bị che lấp và tối đi). Hỏi: a) Khi xảy ra nhật thực thì Mặt Trăng ở vị trí nào? b) Khi xảy ra nguyệt thực thì Trái Đất ở vị trí nào? 7. Xem hình 6 rồi cho biết: Có bao nhiêu trường hợp một điểm nằm giữa hai điểm khác? 8. Theo hình 6, ta có thể trồng được 9 cây thành 8 hàng, mỗi hàng 3 cây. Hãy vẽ sơ đồ trồng 9 câu thành: a) 9 hàng, mỗi hàng 3 cây; A B M F E O D C N b) 10 hàng, mỗi hàng 3 cây. Hình 6 § 2. Đường thẳng đi qua hai điểm Kiến thức cơ bản: 1. Có một đường thẳng và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm A và B (h.7). 2. Ba cách đặt tên đường thẳng: - Dùng một chữ cái in thường, ví dụ a - Dùng hai chữ cái in thường, ví dụ xy A B Hình 7 - Dùng hai chữ cái in hoa, ví dụ AB 3. Vị trí của hai đường thẳng phân biệt: - Hoặc không có điểm chung nào (gọi là hai đường thẳng song song. Ví dụ hai đường thẳng a , b trong hình 8. - Hoặc chỉ có một điểm chung nào (gọi là hai đường thẳng cắt nhau). Ví dụ hai đường thẳng m và n trong hình 9. m b O a n Hình 8 Hình 9 Nâng cao: 1. Muốn chứng minh hai hay nhiều đường thẳng trùng nhau ta chỉ cần chứng tỏ chúng có 2 điểm chung. 2. Ba (hay nhiều) đường thẳng cùng đi qua một điểm gọi là ba (hay nhiều) đường thẳng đồng quy. Muốn chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy ta có thể xác định giao điểm của hai đường thẳng nào đó rồi chứng minh các đường thẳng còn lại nếu đều đi qua giao điểm này. Thí dụ 3: Cho trước 12 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. a) Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng? b) Nếu thay 12 điểm bằng n điểm ( n ∈  ; n ≥ 2 ) thì vẽ được bao nhiêu đường thẳng? Giải: a) Chọn một trong số 12 điểm đã cho rồi nối điểm đó với 11 điểm còn lại ta được 11 đường thẳng. Làm như vậy với tất cả 12 điểm ta được 11.12 đường thẳng. Nhưng như thế thì mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần (vì đường thẳng AB với đường 11.12 = 66 (đường thẳng). thẳng BA chỉ là một) do đó thực sự chỉ có 2 b) Cũng lập luận như trên, với n điểm thì số đường thẳng vẽ được là n ( n − 1) . 2 Nhận xét: - Với n là số điểm cho trước thì công thức thẳng đi qua tất cả các cặp điểm. n ( n − 1) giúp ta tính được số đường 2 - Ngược lại, với n là số đường thẳng cho trước (đôi một cắt nhau và không có ba n ( n − 1) đường thẳng nào đồng quy) thì công thức giúp ta tính được số giao điểm 2 của tất cả các cặp đường thẳng. Thí dụ 4: Cho 4 điểm A , B , C , D trong đó ba điểm A , B , C , thẳng hàng, ba điểm B , C , D thẳng hàng. Chứng tỏ rằng 4 điểm A , B , C , D thẳng hàng. Giải: Ba điểm A , B , C , thẳng hàng nên chúng cùng nằm trên một đường thẳng. Ba điểm B , C , D thẳng hàng nên chúng cùng nằm trên một đường thẳng. Hai đường thẳng này có hai điểm chung là B và C nên chúng phải trùng nhau, suy ra 4 điểm A , B , C , D thẳng hàng. BÀI TẬP 9. Cho trước hai điểm A và B . a) Hãy vẽ đường thẳng m đi qua A và B b) Hãy vẽ đường thẳng n đi qua A nhưng không đi qua B c) Hãy vẽ đường thẳng p không có điểm chung nào với đường thẳng m . 10. Cho trước 4 điểm A , B , C , D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Tìm M sao cho ba điểm M , A , B thẳng hàng; ba điểm M , C , D thẳng hàng. 11. Cho trước 6 điểm. Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. a) Nếu trong 6 điểm đó không có ba điểm nào thẳng hàng thì sẽ vẽ được bao nhiêu đường thẳng? b) Nếu trong 6 điểm đó có đúng 3 điểm thẳng hàng thì sẽ vẽ được bao nhiêu đường thẳng? 12. Giải bóng đá vô địch quốc gia hạng chuyên nghiệp có 12 đội tham gia đấu vòng tròn hai lượt đi và về. Tính tổng số trận đấu. 13. Cho trước một số điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. Biết tổng số đường thẳng vẽ được là 36 . Tính số điểm cho trước. 14. Có một số con đường (thẳng), chúng cắt nhau đôi một và không có ba đường nào đồng quy. Các con đường đó cắt nhau tạo thành 300 ngã tư. Hỏi có tất cả bao nhiêu con đường? 15. Cho 11 đường thẳng đôi một cắt nhau. a) Nếu trong số đó không có ba đường thẳng nào đồng quy thì có tất cả bao nhiêu giao điểm của chúng? b) Nếu trong 11 đường thẳng đó có đúng 5 đường thẳng đồng quy thì có tất cả bao nhiêu giao điểm của chúng? 16. Cho ba đường thẳng m , a , b đồng quy tại O ; ba đường thẳng n , a , b cũng đồng quy. a) Chứng minh rằng cả 4 đường thẳng m , n , a , b đồng quy tại O b) Vẽ thêm hai đường thẳng c , d không đi qua O . Hỏi 6 đường thẳng m , n , a , b , c , d có nhiều nhất là bao nhiêu giao điểm? 17. Cho trước n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. Tìm n biết rằng nếu có thêm 1 điểm (không thẳng hàng với bất kì 2 điểm nào trong số n điểm đã cho) thì số đường thẳng vẽ được tăng thêm là 8 . § 3. Tia Kiến thức cơ bản: 1. Hình gồm điểm O và một phần đường thẳng bị chia ra bởi điểm O được gọi là một tia gốc O . 2. Hai tia chung gốc tạo thành đường thẳng được gọi là hai tia đối nhau. Nhận xét: x Mỗi điểm trên đường thẳng là gốc chung nhau của hai tia đối nhau. y O Hình 10 Trong hình 10, hai tia Ox , Oy đối nhau. 3. Điểm M thuộc tia Ox ( M ≠ O ) O M thì hai tia OM , Ox trùng nhau. (h.11). x Hình 11 Nâng cao: Quan hệ giữa một điểm nằm giữa hai điểm với hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau: Xét 3 điểm A , O , B thẳng hàng. 1. Nếu hai tia OA , OB đối nhau thì gốc O nằm giữa A và B . 2. Ngược lại, Nếu O nằm giữa A và B thì: A O Hình 12 - Hai tia OA , OB đối nhau - Hai tia AO , AB trùng nhau: hai tia BO , BA trùng nhau. Thí dụ 5: B Cho điểm O nằm giữa hai điểm A và B ; điểm M nằm giữa hai điểm A và O ; điểm N nằm giữa hai điểm B và O . a) Nêu tên các tia trùng nhau gốc O . b) Chứng tỏ rằng điểm O nằm giữa hai điểm M , N . Giải: (h.13) a) Điểm M nằm giữa hai điểm A và O nên hai tia OA , OM trùng nhau (1) Điểm N nằm giữa hai điểm B và O nên hai tia OB , ON trùng nhau (2) A M b) Điểm O nằm giữa hai điểm A và B nên hai tia OA , OB đối nhau (3). O N B Hình 13 Từ (1); (2); (3) suy ra hai tia OM , ON đối nhau do đó điểm O nằm giữa hai điểm M và N . Nhận xét: 1. Để chứng minh điểm O nằm giữa hai điểm M và N ta dùng phương pháp xét các tia gốc O . 2. Thí dụ 5 cho ta một dấu hiệu nhận biết một điểm nằm giữa hai điểm khác. z BÀI TẬP H 18. Xem hình 14 rồi cho biết: a) Những tia nào chung gốc O ? b) Hai tia nào đối nhau? x O y c) Hai tia nào trùng nhau? 19. Cho đường thẳng xy . Lấy điểm O ∉ xy ; điểm A ∈ xy và điểm B trên tia Ay ( B khác A ) Hình 14 a) Kể tên các tia đối nhau, các tia trùng nhau; b) Kể tên hai tia không có điểm chung; c) Gọi M là một điểm di động trên xy . Xác định vị trí của M để cho tia Ot đi qua M không cắt hai tia Ax , By . 20. Vẽ hai đường thẳng mn và xy cắt nhau tại O . a) Kể tên các tia đối nhau; b) Trên tia Ox lấy điểm P , trên tia Om lấy điểm E ( P và E khác O ). Hãy tìm vị trí của Q để điểm O nằm giữa P và Q ; tìm vị trí của F để hai tia OE , OF trùng nhau. 21. Trên đường thẳng xy lấy một điểm O . Lấy điểm A trên tia Ox , điểm B trên tia Oy , điểm M nằm giữa O và A . Giải thích vì sao: a) Hai tia OA , OB đối nhau? b) Điểm O nằm giữa hai điểm M và B ? 22. Cho 4 điểm A , B , C và O . Biết hai tia OA , OB đối nhau; hai tia OA, OC trùng nhau. a) Giải thích vì sao 4 điểm A , B , C , O thẳng hàng. b) Nếu điểm A nằm giữa C và O thì điểm A có nằm giữa hai điểm B và C không? Vì sao? 23. Cho điểm O nằm giữa hai điểm A và B ; điểm I nằm giữa hai điểm O và B . Giải thích vì sao: a) O nằm giữa A và I ? b) I nằm giữa A và B ? § 4. Đoạn thẳng. Độ dài đường thẳng. Cộng độ dài hai đường thẳng Kiến thức cơ bản: 1. Đoạn thẳng AB là hình gồm điểm A , điểm B và tất cả các điểm nằm giữa hai điểm A và B (h.15) 2. Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ dài đoạn thẳng là một số dương. 3. AB = CD ⇔ AB và CD có cùng độ dài; A B AB < CD ⇔ AB ngắn hơn CD ; AB > CD ⇔ AB dài hơn CD . 4. Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì AM + MB = AB . Ngược lại, nếu AM + MB = AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B (h.16). Hình 15 A Nâng cao : 1. Mệnh đề sau tương đương với tính chất trên : Nếu AM + MB ≠ AB thì điểm M không nằm giữa A và B . 2. Cộng liên tiếp (h.17) M Hình 16 B Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B ; điểm N nằm giữa M và B . A AB . Thì AM + MN + NB = B N M Hình 17 Thí dụ 6 : Cho điểm M nằm giữa hai điểm A và B . Giải thích vì sao AM < AB ; MB < AB . Giải : (h.18) Vì điểm M nằm giữa hai điểm A và B nên AM + MB = AB Do AM > 0 ; BM > 0 nên AM < AB ; BM < AB . B M A Hình 18 Thí dụ 7 : Cho ba điểm M , O , N thẳng hàng. Điểm N không nằm giữa hai điểm M và O . Cho biết MN = 3cm ; ON = 1cm , hãy so sánh OM với ON . Giải : (h.19) Nếu điểm M nằm giữa hai điểm O và N thì OM + MN = ON . 1 (vô lí) Vậy điểm M không Thay số : OM + 3 = nằm giữa giữa O và N . O M 3cm N 1cm Hình 19 Điểm N không nằm giữa M và O (đề bài) Suy ra điểm O nằm giữa hai điểm M và N . MN ; MO + 1 = 3 ; MO = 2 (cm). Ta có : MO + ON = Do đó OM > ON (vì 2 > 1 ). Nhận xét : Trong cách giải của ví dụ này, để tìm ra điểm O nằm giữa hai điểm M và N ta đã dùng phương pháp loại trừ. Trong ba điểm M , O , N thẳng hàng có một và chỉ một điểm nằm giữa hai diểm khác. Điểm N không nằm giữa hai điểm còn lại (đề bài). Điểm M không nằm giữa hai điểm còn lại (tìm ra được nhờ phương pháp phản chứng). Vậy điểm O phải nằm giữa hai điểm còn lại. BÀI TẬP 24. Cho 5 điểm A , B , C , D , E trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đoạn thẳng đi qua các cặp điểm. Hỏi vẽ được bao nhiêu đoạn thẳng, là nhưng đoạn thẳng nào ? Kết quả trên có thay đổi nếu cả 5 điểm A , B , C , D , E thẳng hàng ?