Chuyên đề HSG Phân tích đa thức thành nhân tử

Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

CHUYÊN ĐỀ - PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
DẠNG 1: TÍCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ:
Định lí bổ sung:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước c ủa h ệ s ố t ự do, q là
ước dương của hệ số cao nhất
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng
tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì

và

đều là số nguyên.

Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
1. Bài tập mẫu 1: 3x2 – 8x + 4
Cách 1: Tách hạng tử thứ 2
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:
3x2 – 8x + 4 = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x)
= (x – 2)(3x – 2)
Bài tập mẫu 2: x3 – x2 - 4
Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x =

, chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm

của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xu ất hi ện
một nhân tử là x – 2
Cách 1:

x 3 – x2 – 4 =

Cách 2:
=
Bài tập mẫu 3: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5
Nhận xét:

không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không có nghiệm nguyên. Nên

f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ
Ta nhận thấy x =

là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x – 1. Nên

f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 =
Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

=

Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

=
Vì

với mọi x nên không phân tích được thành

nhân tử nữa
Bài tập mẫu 4: x3 + 5x2 + 8x + 4
Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử
bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1
x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2
Bài tập mẫu 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2
Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có:
x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2)
Vì x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên không
phân tích được nữa.
Bài tập mẫu 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1 + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997)
Bài tập mẫu 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1)
= x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002)
II. DẠNG THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ:
1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:
Bài tập mẫu 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2
= (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x)
= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9)
Bài tập mẫu 2: x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4
= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4
= (x4 + 1 + 8x2)2 – 16x2(x4 + 1 – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2
= (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2
= (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1)
2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung
Bài tập mẫu 1: x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 )
= x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1)
Bài tập mẫu 2: x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1)
Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT
3

3

= x(x – 1)(x + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1)
Ghi nhớ: Các đa thức có dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như: x7 + x2 + 1 ; x7 + x5 + 1 ; x8 + x4 + 1 ;
x5 + x + 1 ; x8 + x + 1 ; … đều có nhân tử chung là x2 + x + 1
III. DẠNG ĐẶT BIẾN PHỤ:
Bài tập mẫu 1:

x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128

= (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng
(y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4)
= ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 )
Bài tập mẫu 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
Giả sử x

0 ta viết

x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x2 ( x2 + 6x + 7 –
Đặ t x -

= y thì x2 +

) = x2 [(x2 +

) + 6(x -

)+7]

= y2 + 2, do đó

A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x -

)2 + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2

Chú ý: Bài tập mẫu trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:
A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + 1 )
= x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2
Bài tập mẫu 3:

A=

=
Đặ t

= a, xy + yz + zx = b ta có

A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = (

+ xy + yz + zx)2

Bài tập mẫu 4: B =
Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có:
B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2
Ta lại có: a – b2 = - 2(
B = - 4(

) và b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó;
) + 4 (xy + yz + zx)2

=
Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

Bài tập mẫu 5:
Đặt a + b = m, a – b = n thì 4ab = m2 – n2
a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 +
C = (m + c)3 – 4.

). Ta có:
= 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2)

= 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)
IV. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH:
Bài tập mẫu 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Nhận xét: các số

1,

3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên

củng không có nghiệm hữu tỉ
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có:

Xét bd = 3 với b, d

Z, b

với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở thành

Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)
Bài tập mẫu 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8
Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x - 2 do đó ta có:
2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c)

= 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c

Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4)
Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng
nahu nên có 1 nhân tử là x + 1 nên 2x3 + x2 - 5x - 4 = (x + 1)(2x2 - x - 4)
Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4)
Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

Bài tập mẫu 3:

12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1)

= acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3

12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)
BÀI TẬP:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1) x3 - 7x + 6

2) x3 - 9x2 + 6x + 16

3) x3 - 6x2 - x + 30

4) 2x3 - x2 + 5x + 3

5) 27x3 - 27x2 + 18x – 4

6) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12

7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) – 24

8) 4x4 - 32x2 + 1

9) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2

10) 64x4 + y4

11) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6

12) x3 + 3xy + y3 - 1

13) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1

14)

15) x8 + 3x4 + 4

16) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +10

x8 + x + 1

17) x4 - 8x + 63.
ĐẶT BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 8-NH-2020-2021

Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

Bộ phận bán hàng: 0918.972.605(Zalo)
Đặt mua tại: https://xuctu.com/
FB: facebook.com/xuctu.book/
Email: [email protected]
Đặt online tại biểu mẫu:

https://forms.gle/ypBi385DGRFhgvF89

Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)