Chuyên đề Hàm số mũ và Logarit

CHƯƠNG II. MŨ VÀ LOGARIT Chủ đề 1: LŨY THỪA ................................................................................................................. 2 CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪA ........................................................................................... 12 CHỦ ĐỀ 3: LOGARIT ............................................................................................................... 17 CHỦ ĐỀ 4: HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT .............................................................. 43 CHỦ ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ ......................................................................................... 78 CHỦ ĐỀ 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ .............................................................................. 107 CHỦ ĐỀ 7: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ............................................................................ 119 CHỦ ĐỀ 8: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ................................................................... 145 CHỦ ĐỀ 9 : PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CHỨA THAM SỐ ............................................................................................................................... 158 CHỦ ĐỀ 10: ỨNG DỤNG MŨ VÀ LOGARIT-GTLN, GTNN CỦA MŨ VÀ LOGARIT NHIỀU BIẾN ....................................................................................................... 173 Trang 1 Page: Chinh phục toán THPT Chủ đề 1: LŨY THỪA I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Luỹ thừa vói số mũ nguyên  Luỹ thừa với số mũ nguyên dương. Cho a   và n  * . Khi đó a n  a .a.a ........ a. n thöøa soá  Luỹ thừa với sổ mũ nguyên âm, luỹ thừa với số mũ 0 Cho a   và n  * .Khi đó a  n  1 0 ; a  1. an  Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên dương.    Chú ý: 00 và 0 n n  * không có nghĩa. 2. Căn bậc n . Cho số thực b và số nguyên dương n  2. Sô a được gọi là căn bậc n của số b nếu a n  b. Khi n lẻ ; b   :Tồn tại duy nhất một căn bậc n của số b là n b . Khi n chẵn và b  0 thì không tồn tại căn bậc n của số b . Khi n chẵn; b  0 chỉ có duy nhất một căn bậc n của số b là Khi n chẵn; b  0 có 2 căn bậc n của số thực b là n n 0 0 b và  n b . 3. Luỹ thừa với số mũ hữu tỷ m Cho số thực a  0 và số hữu tỷ r  m , trong đó m  ; n  , n  2. .Khi đó a r  a n  n a m n 4. Luỹ thừa vói số mũ vô tỷ Giả sử a là một số dương và  là một số vô tỷ và  rn  là một dãy số hữu tỷ sao cho lim rn   m n Khi đó lim a r  a . m  5. Các tính chất Cho hai số dương a; b và m; n   . Khi đó ta có công thức sau. Trang 2 Page: Chinh phục toán THPT Nhóm công thức 1 Nhóm công thức 2 1. a m .a n  a m  n 2. n  a 1. a n  n a m  n m am 1    a mn  m  0  n  a  n  m n a a   2. a n .b n   ab  , n a . n b  n ab   3. 3. a m n n n  a m.n an  a  n a n a   ,  . bn  b  n b b a 0  a +) Tính chất 1:  1 a   a  a  a  1: a m  a n  m  n +) Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến):  m n 0  a  1: a  a  m  n a m  bm  m  0 +) Tính chất 3(so sánh lũy thừa khác cơ số): Với a  b  0 thì  m m a  b  m  0 II. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Đơn giản biểu thức A  A. A  a 49 12  a  . a . 3 B. A  a 3 4 133 60 a 5   a  0 ta được: C. A  a 23 12 D. A  a 5 2 Lời giải 3 2 4 3 5 4 Ta có: A  a . a . a  a .a .a  a 3 3 4 4 5 3 4 5   2 3 4 a 49 12 Chọn A. Cách 2 : Các em có thể cho a  2 và bấm log 2  3 3 4 4 2 . 2 . 2 5  49 49 12   A  a (tại sao 12 lại làm được như vậy các em học phần Logarit rồi quay lại bàí này nhé ) 1 2 1 3 6 Ví dụ 2: Đơn giản biểu thức A  b .b . b  b  0  ta được: A. A  b2 B. A  b3 C. A  b D. 3 b2 Lời giải 1 1 1 1 1 1   3 6 Ta có: A  b 2 .b 3 .b 6  b 2 Trang 3 b Page: Chinh phục toán THPT 1 3 1 3 6 ( Các em có thể cho b  2 và bấm máy log 2 2 .2 . 2  1  A  b ). Chọn C. Ví dụ 3: Đơn giản biểu thức A  A. A  a B. A  a 2 a. 3 a 2 6 a  a  0 5 6 ta được: C. A  a 5 6 D. A  a Lời giải 1 2 2 3 1 2 1   a. a a .a 2 3 6   a  a. 1 6 a a6 3 Ta có: A  2 Chọn D. Ví dụ 4: Đơn giản biểu thức A  3 a . 4 a .12 a 5  a  0  ta được: 5 2 B. A  a 6 A. A  a 2 C. A  a 3 D. A  a Lời giải 1 1 1 1 5   4 12 5 Ta có: A  a 3 .a 4 .a 12  a 3  a. Chọn D. Ví dụ 5: Đơn giản biểu thức A  a1 3 . a 2 3 . a5 3 A. A  a 2  2 B. A  a 2 3 6 3  a  0 C. A  a 3 3 ta được: 3 D. A  a1 3 Lời giải Ta có: A  a 1 3 2 .a 2 3 3 .a 1 3 6 a 1 3 2  3 5 3   2 3 6  aa 2 3 . Chọn B. Ví dụ 6: Đơn giản biểu thức A  a . 3 a 6  a  0  ta được: A. A  a 2  3 2 B. A  a 2  3 3 C. A  a 5  3 3 D. A  a 4  3 3 Lời giải  3 Ta có: A  a . a   3 4  3 6 3  3  3 6  a . a .a  a3 a  a .a a 3 . 2  3  Chọn D. Trang 4 Page: Chinh phục toán THPT (Cách ra đề này nhằm hạn chế việc sử dụng CASIO ) Ví dụ 7: Đơn giản biểu thức A   a 2  A. A  a 3 3 2 2 B. A  a 3 2 2 .a1 2 .a 4 2  a  0 C. A  a 3 2 ta được: D. A  a 2  2 2 2 Lời giải Ta có: A  a 6  4 2 .a1 2 .a 4  2  a 6 4 2 1 2  4  2 a 3 2 2 . Chọn B. Ví dụ 8: Đơn giản biểu thức A  A. A  a  1 a  a 4 4 B. A  a 2  2 1 a  a2 2 .a 1 2 2 . ta được: C. A  a  1 a D. A  a 2  a Lời giải Ta A có:  a 4 4 2 a 2 2  .a 1 2 2  4 4  a 2   2   a 2 2  .a 1 2   2  a 2 2 2 1 2 2  a2 2 1 2 2 1 a  a 1  a  . a Chọn A. Ví dụ 9: Đơn giản biểu thức A  3 a 3 5 A. A  a 6 5 B. A  a 18 1 a 3 ta được: 2 a 5 5 C. A  a 9 D. A  a 16 Lời giải Ta có: A  3 a 3 1 3 3 3  12 3 1 3 5 5 3 3 a 3 a 2 .a a   a a  a.a  a a 2 a 2 6 6 18 Đương nhiên bài toán này ta có thể cho a  2 và bấm   5 1 5 log 2  3 2 3 2 23    A  a .   18 2 18   Chọn B. 1  b b   12 b2 Ví dụ 10: Đơn giản biểu thức A  1  2  :a b a a    Trang 5    2  a; b  0  ta được: Page: Chinh phục toán THPT A. A  a  b B. A  a C. A  1 a D. A  a  b Lời giải 2  b Ta có: A  1   : a    a b 2  2  a b    : a     1 a  b2  . a Chọn C. Với bài toán này các em vẫn có thể sử dụng CASIO bằng cách cho a  4; b  9 và thử đáp án. 1 Thay a  4; b  9 ta được A  . 4 Chọn C. Ví dụ 11: Đơn giản biểu thức A  1 11 ab 2 . 3 ab 2 ab 2   a; b  0  1 11 A. A  a 6 .b 3  ta được: 5 B. A  a 6 .b 3 1 5 C. A  a 6 .b 3 1 D. A  a 6 .b 3 Lời giải Ta có: A   ab 2 . ab2  ab  2  3 2  2 3 2 3 2 ab .a .b 2 3 a .b 3  4 3 5 2 a .b 2 3 a .b 5 2 a .b  4 3 2 3 a .b 4 3 11 16  a .b 1 3 Chọn A  a 5 Ví dụ 12: Đơn giản biểu thức A   5 2 b  A. A  a 3 2    52 a 2  5 . 1 b B. A  a 3 2 5 .b 2 5  a; b  0  ta được: C. A  a3 5 .b 2 D. a 3 5 Lời giải Ta có: A    b  a 5 5 2 5 2 5 2 . b a 2 5  a5 2 5 .b b.a 2 5  a 3 5 Chọn D Ví dụ 13: Đơn giản biểu thức: A  Trang 6 a 1 3 bb 6 1 3 a b 6 a  a; b  0  ta được: Page: Chinh phục toán THPT A. A  ab B. A  3 ab C. A  6 ab D. A  6 a  6 b Lời giải 1 1 1  1  a 3 .b 3  a 6  b 6  a .b  b .a    3 ab Ta có: A   1 1 1 1 1 3 1 2 1 3 1 2 a6  b6 a6  b6 Chọn B 1 Ví dụ 14: Đơn giản biểu thức A  1 3 a a A. A  a  b 1 7 a3  a 3 4 3 3 b 2  b2  1 2 b b B. A  a  b  a; b  0  1 2 ta được: C. A  a  b  2 D. A  a  b  2 Lời giải 1 Ta có: A   a 3 1  a2 1 3 1 2   b 1  b   1  a  a 1  a  b 1 2 2  b  1 1  b   a  b Chọn A 1 Ví dụ 15: Đơn giản biểu thức: A  a A. A  a 2  b 5 a 2  a2 1 2 a 1 2 1  9 b4  b4 5 4 b b B. A  a 2  a  b 1 4 ta được: C. A  a 2  a  b D. A    a  b  Lời giải 1 Ta có: A   a 2 1  a3 1 1   a 2 1  a  b 4 1  b2 1 a  1 b2  1   a2  a  1   b  1  a 2  a  b a 1 b 1 b 4  b  1 3 Chọn C Ví dụ 16: Đơn giản biểu thức A   3  3 2  23  a  b  a  b 3  3 ab    a; b  0; a  b ta được   2 2  3  3 3 3 a  b  a  b  ab    3   1 A. A  ab ab Trang 7 B. A  ab ab C. A  1 1 a 3  b3 D. A  ab Page: Chinh phục toán THPT Lời giải Ta có: A    3 3 2  2  a  3 b  a 3  b 3  3 ab    2 2   a  3 b  a 3  b 3  3 ab       a  b  a  b 3 3 3 3 3 3 3 3 ab ab  Chọn A Ví dụ 17: Cho 2 x  3 .Tính giá trị biểu thức A  4 x  3.2  x  1 A. A  8 C. A  11 B. A  9 D. A  17 Lời giải Ta có A   2 x   2 3 1  9 11  9 2x Chọn B 1 Ví dụ 18: Cho 3  2 . Tính giá trị của biểu thức A  32 x 1.    3 2 x 1  9 x 1 x B. A  25 A. A  39 C. A  81 2 D. A  45 2 Lời giải Ta có : A  3x 1. 1 2 x 1 3    9 x .9  3 x  2  9. 3x 2  9  9. 3x 3x   2  81 2 Chọn C 3 Ví dụ 19: Biết rằng 2  5 . Tính giá trị của biểu thức A    2 x x A. A  28 5 B. A  31 3  2  .   3 C. A  6 2x  4 x 2 D. A  141 25 Lời giải 3 Ta có: A    2 x x x 16 16 141  4  16  3 4  .   x   .    2x   2 25 25 4 3 2 3 2x   Chọn D Ví dụ 20: Cho 2 x  a; 3x  b . Hãy biểu diễn A  24 x  6 x  9 x theo a và b. A. A  a 3  ab  b2 Trang 8 B. A  a 2 b 2  ab  b 2 C. A  ab3  ab  a 2 D. A  a 3  ab  b2 Page: Chinh phục toán THPT Lời giải  Ta có: A  23.3    2.3   3  x x 2 x  23 x .3x  2 x .3x  32 x  a3 b  ab  b2 Chọn A  Ví dụ 21: Cho  2 1 x A. A  18   3 . hãy tính giá trị của biểu thức A  B. A  0 C. A    3  2 2  2 1 82 9 2x D. A  x 28 9 Lời giải Ta có:    2 1 Do đó A        2  1  1; 3  2 2   2 1 1   2x     x 2 1    2  2 1  2  2 1 2 x    2 1 2x  32  32  82 9 Chọn C x Ví dụ 22: Cho 5x  4 hãy tính giá trị của biểu thức T  25x  52  x  52 A. T  14 B. T  47 4 C. T  118 D. T  6 Lời giải 25 25 47  5x  16  2  x 4 4 5 Ta có: T   5x   2 Chọn B Ví dụ 23: Cho a  2 x ; b  5 x . Hãy biểu diễn T  20 x  50 x theo a và b A. T  ab  a  b  B. T  ab ab C. T  a 2  ab 2 D. T  ab  a 2 b Lời giải  Ta có: T  22.5    5 .2  x 2 x  22 x .5x  52 x .2 x  a2 b  ab2  ab  a  b  Chọn A Ví dụ 24: Cho a  3 A. 1  a  b  0  a 2 và a x  b x . Khẳng định nào sau đây là đúng B. 1  b  a  0 C. a  b  1 D. b  a  1 Lời giải Ta có:  3   2 nên a  Trang 9 3  a 2  0  a  1 Page: Chinh phục toán THPT Mặt khác a x  b x  a  b do vậy 1  a  b  0 Chọn A 3 4 Ví dụ 25: Cho  a  1 4   a  1 5 và A. a; b  1 b3  3 b 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng B. 0  a  2; b  1 C. 0  a  2; b  1 D. a  2; b  1 Lời giải 3 4 3 4 nên  a  1 4   a  1 5  a  1  1  a  2  4 5 Ta có: 3 2 b3  3 b 2  b 2  b 3  b  1 Mặt khác Do đó a  2; b  1 Chọn D Ví dụ 26: Khẳng định nào dưới đây là đúng    2 1 A. x 2  1 C. 2017     2 1  x2  1 x 2 1  2016  1 x 2    5   x  R  B.  x  R  D. Cả A và C đều đúng 2 1  2 1 4 Lời giải A sai vifkhi x  0 không thỏa mãn C đúng vì nên       2 1 2 1  2 1 x 2 1  1 x 2   2 1  1 x 2 2 1 1 x      2 1 x 2 1  x  R  Chọn C Ví dụ 27: Cho  a  2  2   a  2 3 và  a  1  2   b  1  2 . Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. 2  a  b  3 B. 2  b  a  3 C. b  a  3 D. a  b  3 Lời giải Ta có:  a  2  2  a  2  a  2 3 2 3 3    a  2  2  0  a  2  1  do 2   2  Suy ra 2  a  3 . Trang 10 Page: Chinh phục toán THPT