A. Phương pháp giải
* Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Muốn chứng minh đương thẳng d ⊥ (α) ta có thể dùng môt trong hai cách sau.
Cách 1. Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a; b cắt nhau trong (α) .
Cách 2. Chứng minh d vuông góc với đường thẳng a mà a vuông góc với (α) .
Cách 3. Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).
* Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
- Để chứng minh d ⊥ a, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
+ Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.
+ Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
+ Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông ở B , AH là đường cao của tam giác SAB. Khẳng định nào sau đây sai?
A. SA ⊥ BC
B. AH ⊥ BC
C. AH ⊥ AC
D. AH ⊥ SC
Hướng dẫn giải
Chọn C
Vậy câu C sai.
Ví dụ 2: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại B và SA ⊥ (ABC). Khẳng định nào sau đây là đúng nhất.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB = AC và DB = DC. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AB ⊥ (ABC)
B. AB ⊥ BD
C. AB ⊥ (ABD)
D. BC ⊥ AD
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi E là trung điểm của BC.
Tam giác DCB cân tại D có DE là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: DE ⊥ BC.
Tam giác ABC cân tại A có AE là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao : AE ⊥ BC
Khi đó ta có
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và AB ⊥ BC Số các mặt của tứ diện S.ABC là tam giác vuông là:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Hướng dẫn giải
Có AB ⊥ BC ⇒ ΔABC là tam giác vuông tại B
Ta có SA ⊥ (ABC) ⇒
Mặt khác
là tam giác vuông tại B
Vậy bốn mặt của tứ diện đều là tam giác vuông. Nên đáp án D đúng
Chọn D
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. SO ⊥ (ABCD)
B. CD ⊥ (SBD)
C. AB ⊥ (SAC)
D. CD ⊥ AC
Hướng dẫn giải
Chọn B
Tam giác SAC cân tại S có SO là trung tuyến nên SO cũng là đường cao ⇒ SO ⊥ AC .
Tam giác SBD cân tại S có SO là trung tuyến nên SO cũng là đường cao ⇒ SO ⊥ BD .
Từ đó suy ra SO ⊥ (ABCD) .
Do ABCD là hình thoi nên CD không vuông góc với BD. Do đó CD không vuông góc với (SBD)
Ví dụ 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Gọi AE, AF lần lượt là các đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?
Hướng dẫn giải
Ta chứng minh phương án D đúng.
Chọn D
Ví dụ 7: Cho hình chóp S. ABC có cạnh SA ⊥ (ABC) và đáy ABC là tam giác cân ở C . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB . Khẳng định nào sau đây sai?
A. CH ⊥ SA B. CH ⊥ SB C. CH ⊥ AK D. AK ⊥ SB
Hướng dẫn giải
Chọn D
Do tam giác ABC cân tại C; có CH là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao nên CH ⊥ AB.
Lại có: CH ⊥ SA (vì SA vuông góc với mp(ABC)) .
Suy ra CH ⊥ (SAB). Vậy các câu A, B, C đúng nên D sai.
Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD. Vẽ AH ⊥ (BCD) . Biết H là trực tâm tam giac BCD. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. CD ⊥ BD B. AC = BD C. AB = CD. D. AB ⊥ CD
Hướng dẫn giải
Chọn đáp án D
Ví dụ 9: Cho tứ diện SABC thoả mãn SA= SB= SC. Gọi H là hình chiếu của S lên mp (ABC) . Đối với tam giác ABC ta có điểm H là:
A. Trực tâm.
B. Tâm đường tròn nội tiếp.
C. Trọng tâm.
D. Tâm đường tròn ngoại tiếp.
Hướng dẫn giải
Ví dụ 10: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mp(ABC) . Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau:
A. H là trực tâm tam giác ABC
B. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
C.
D. CH là đường cao của tam giác ABC .
Hướng dẫn giải
+ Ta có OA ⊥ (OBC) ⇒ OA ⊥ BC và OH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (OAH) ⇒ BC ⊥ AH. Tương tự, ta có AB ⊥ CH
Hai đường thẳng AH và CH cắt nhau tại H nên H là trực tâm tam giác ABC
suy ra đáp án A, D đúng
+ Gọi I là giao điểm của AH và BC .
Ta có ; OA ⊥ (OBC) nên OA ⊥ OI
Xét tam giác vuông OAI có đường cao OH Ta có
suy ra đáp án C đúng.
Chọn đáp án B
Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABC có ∠BSC = 120°, ∠CSA = 60°, ∠ASB = 90°, SA = SB = SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mp ( ABC). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A. I là trung điểm AB
B. I là trọng tâm tam giác ABC
C. I là trung điểm AC
D. I là trung điểm BC
Hướng dẫn giải
Gọi SA = SB = SC = a
+ Ta có : tam giác SAC đều nên AC = SA = a
Tam giác SAB vuông cân tại S ⇒ AB = a√2
+ Gọi I là trung điểm của BC thì IA = IB = IC nên I là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Ta có : SA = SB = SC và IA = IB = IC
⇒ SI là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
⇒ SI ⊥ (ABC)
Vậy nên I là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC)
Chọn D
Được cập nhật: hôm qua lúc 3:51:44 | Lượt xem: 760