1. Định nghĩa:
Trong không gian Oxyz cho hai vecto a→=(a1;a2;a3 ) và b→=(b1;b2;b3 ). Tích có hướng của hai vecto a→ và b→ , kí hiệu là [a→ , b→ ], được xác định bởi
Chú ý: Tích có hướng của hai vecto là một vecto, tích vô hướng của hai vecto là một số.
2. Tính chất
+ [a→, b→ ]⊥ a→ ; [a→ , b→ ]⊥ b→
+ [a→ , b→ ]=-[b→, a→ ]
+ [i→, j→ ]=k→ ; [ j→ , k→ ]= i→ ; [k→ , i→ ]= j→
+ |[ a→ , b→ ]|=| a→ |.| b→ |.sin( a→ , b→ )
+ a→ , b→ cùng phương ⇔ [a→ , b→ ]= 0→ (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)
3. Ứng dụng của tích có hướng (chương trình nâng cao)
+ Điều kiện đồng phẳng của ba vecto:
a→ , b→ và c→ đồng phẳng ⇔[ a→ , b→ ]. c→ =0
+ Diện tích hình bình hành ABCD:
SABCD=|[AB→ ; AD→ ]|
+ Diện tích tam giác ABC:
SABC=1/2 |[AB→ ; AC→ ]|
+ Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’:
VABCD.A'B'C'D'=|[AB→; AD→ ]. AA'→ |
+ Thể tích tứ diện ABCD
VABCD=1/3 |[AB→ ; AC→ ]. AD→ |
Ví dụ minh họa
Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; 1), B(-1; 1; 2), C(-1; 1; 0), D(2; -1; -2).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD. Suy ra độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A
Hướng dẫn:
AB→ =(-2;1;1); AC→ =(-2;1; -1); AD→ =(1; -1; -3)
⇒[AB→ , AC→ ]=(-2;-4;0) ⇒[ AB→ , AC→ ]. AD→ =2≠0
⇒AB→ , AC→ , AD→ không đồng phẳng.
Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) VABCD=1/6 |[AB→ , AC→ ]. AD→ |=2/6=1/3
Ta có: BC→ =(0;0; -2), BD→ =(3; -2; -4)
⇒[ BC→ , BD→ ]=(-4; -6;0)⇒SBCD=1/2 |[BC→ , BD→ ]|=√13
VABCD=1/3 d(A;(BCD)).SBCD
⇒d(A;(BCD))
Bài 2: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(-3; 5; 15), B(0; 0; 7), C(2; -1; 4), D(4; -3; 0). Chứng minh AB và CD cắt nhau.
Hướng dẫn:
+ Ta có: AB→ =(3; -5; -8); AC→ =(5; -6; -11);
AD→ =(7; -8; -15), CD→ =(2; -2; -4)
⇒[ AB→ , AC→ ]=(7;-7;7) ⇒[ AB→ ,(AC) ⃗ ].(AD) ⃗=0
⇒ AB→ , AC→ , AD→ đồng phẳng.
⇒ A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng (1)
+ [AB→ , CD→ ]=(4; -4;4) ≠0→ ⇔ AB→ , CD→ không cùng phương (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB và CD cắt nhau.
Bài 3: : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.EFGH với A(1; 1; 1), B(2; 1; 2), E(-1; 2; -2), D(3; 1; 2). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DCGH)
Hướng dẫn:
+ AB→=(1;0;1), AD→=(2;0;1), AE→=(-2;1; -3)
⇒[ AB→ , AD→ ]=(0;1;0)⇒[ AB→ , AD→ ]. AE→=1
⇒VABCD.EFGH=|[ AB→ , AD→ ]. AE→ |=1
+ SAEFB=|[ AB→ , AE→ ]|=√3
⇒SDCGH=SAEFB=√3
VABCD.EFGH=d(A;(DCGH)).SDCGH
⇒d(A;(DCGH))
Được cập nhật: 15 tháng 4 lúc 4:06:57 | Lượt xem: 1942
