Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) đi qua điểm M(x1; y1)
Cách 1 :
- Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M có hệ số góc là k có dạng :
y = k( x – x1) + y1.
- (d) tiếp xúc với đồ thị (C) tại N(x0; y0) khi hệ:
có nghiệm xo
Cách 2 :
- Gọi N(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C) và tiếp tuyến (d) qua điểm M, nên (d) cũng có dạng y = y’0(x – x0) + y0.
- (d) đi qua điểm nên có phương trình : y1 = y0'(x1 – x0) + y0 (*)
- Từ phương trình (*) ta tìm được tọa độ điểm N(x0; y0) , từ đây ta tìm được phương trình đường thẳng (d)
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho hàm số y = 2x3 - 3x2 + 5 có đồ thị là (C). Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm A (19/12; 4) và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số.
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định D = R
Ta có: y’ = 6x2 – 6x
Gọi M(x0; y0)∈(C)⇔ y0 = 2x03 - 3x02 + 5 và y'(x0) = 6x02 - 6x0
Phương trình tiếp tuyến Δ của (C) tại M có dạng:
y – y0 = y’(x0)(x – x0)
⇔ y - 2x03 + 3x02 - 5 = (6x02 - 6x0)(x - x0 )
⇔ (6x02- 6x0)x - 4x03 + 3x03 + 5 = y
A ∈ Δ ⇔4 =(6x02 - 6x0).(19/12) - 4x03 + 3x03 + 5
⇔8x03 - 25x02 + 19x0 - 2 = 0
⇔x0 = 1 hoặc x0 = 2 hoặc x0 = 1/8
Với x0 = 1 ⇒ Δ:y = 4
Với x0 = 2 ⇒ Δ:y = 12x - 15
Với x0 = 1/8 ⇒ Δ:y = (-21/32)x + 645/128
Bài 2: Cho hàm số:
có đồ thị là (C) và điểm A(0; m). Xác định m để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox.
Hướng dẫn:
TXĐ: D = R\{1}
Gọi điểm M(x0; y0).
Ta có y’ = -3/(x-1)2
Tiếp tuyến Δ tại M của (C) có phương trình:
Vì tiếp tuyến qua A(0; m) nên ta có:
Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có hai nghiệm a, b khác 1 sao cho
Khi đó:
Ta có: (*) có hai nghiệm a, b khác 1 sao cho
Vậy 1 ≠ m > (-2/3) là những giá trị cần tìm
Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (m – 1)x + 2m có đồ thị là (Cm). Tìm m để từ điểm M(1; 2) vẽ đến (Cm) đúng hai tiếp tuyến.
Hướng dẫn:
Ta có: y' = 3x2 - 4x + m-1. Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:
y =(3a2-4a+m-1)(x-a) + a3-2x2+(m-1)a+2m
Vì M ∈ Δ ⇔2 = (3a2-4a+m-1)(1-a) + a3-2x2+(m-1)a+2m
⇔2a3+5a2-4a+3m-3 = 0 (*)
Yêu cầu bài toán tương đương với (*) có đúng hai nghiệm phân biệt. (1)
Xét hàm số: h(t) = 2t3+5t2-4t, t∈R.
Ta có: h’(t) = 6t2+10t-4. Cho h’(t) = 0 ⇒
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra (1)
⇒
là những giá trị cần tìm.
Bài 4: Cho hàm số y = (1/3)x3-2x2+3x có đồ thị là (C). Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm A(4/9; 4/3) và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số.
Hướng dẫn:
Ta có: y' = x2-4x+3. Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:
Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 3x
Với a = 1, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4/3
Với a = 8/3, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (-5/9)x + 128/81
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
, biết tiếp tuyến đi qua điểm M(6;4)
Hướng dẫn:
Ta có:
Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:
Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (3/4)x - 1/2
Với a = 3, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4
Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C):
biết d đi qua điểm A(-6; 5)
Hướng dẫn:
Ta có:
Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:
Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -x-1
Với a = 6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (-1/4)(x-6) + 2 = (-1/4)x + 7/2
Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x3 – 2x2 + x + 4 đi qua điểm M( -4; -24)
Hướng dẫn:
Ta có: y' = 3x2-4x+1. Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:
y = (3a2-4a+1)(x-a)+a3-2a2+a+4
Vì A(-4; -24) ∈ Δ ⇔ -24 = (3a2-4a+1)(-4-a)+a3-2a2+a+4
⇔ -2a3-10a2+16a+24 = 0 ⇔
Với a = -6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 133(x+6)-240 = 133x+508
Với a = 2, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 5(x-2)+6 = 5x-10
Với a = -1, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 8(x+1)+2 = 8x+10
Được cập nhật: 8 tháng 4 lúc 4:41:59 | Lượt xem: 818
