Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Chủ đề 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số

Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương 16 tháng 3 2020 lúc 16:37:17


Mục lục
* * * * *

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Dãy số tăng, dãy số giảm

    ♦ Dãy số (un) gọi là dãy tăng nếu un < un+1 ∀n ∈ ¥

    ♦ Dãy số (un) gọi là dãy giảm nếu un > un+1 ∀n ∈ ¥

2. Dãy số bị chặn

    ♦ Dãy số (un) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực sao cho un < M ∀n ∈ ¥.

    ♦ Dãy số (un) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực sao cho un > m∀n ∈ ¥..

    ♦ Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương M sao cho |un | < M ∀n ∈ ¥..

    ♦ Để xét tính đơn điệu của dãy số (un) ta xét : kn=(un+1-un)

        * Nếu kn > 0∀n ∈ ¥ ⇒ dãy (un) tăng

        * Nếu kn < 0∀n ∈ ¥ ⇒ dãy (un) giảm.

Khi un > 0 ∀n ∈ ¥ ta có thể xét 

        * Nếu tn > 1 ⇒ dãy số (un) tăng

        * Nếu tn < 1 ⇒ dãy số (un) giảm

    ♦ Để xét tính bị chặn của dãy số ta có thể dự đoán rồi chứng minh bằng quy nạp.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho dãy số (un). Chứng minh rằng dãy un là dãy giảm và bị chặn.

Đáp án và hướng dẫn giải

Do đó, để chứng minh dãy (un) giảm ta chứng minh un > 1∀n ≥ 1

Thật vậy:

Với n = 1 ⇒ u1=2 > 1

Theo nguyên lí quy nạp ta có un > 1 ∀n ≥ 1

Suy ra un-un-1 < 0 ⇔ un < un-1 ∀n ≥ 2 hay dãy (un) giảm

Theo chứng minh trên, ta có: 1 < un < u1=2∀n ≥ 1

Vậy dãy (un) là dãy bị chặn.

Bài 2: Cho dãy số (un). Chứng minh rằng dãy (un) là dãy tăng và bị chặn

Đáp án và hướng dẫn giải

Ta chứng minh dãy (un) là dãy tăng bằng phương pháp quy nạp

* Dễ thấy: u1 < u2 < u3.

* Giả sử uk-1 < uk ∀k ≥ 2, ta chứng minh uk+1 > uk.

Vậy (un) là dãy tăng.

Cũng bằng quy nạp ta chứng minh được un < 4 ∀n , hơn nữa un > 0

Nên dãy (un) là dãy bị chặn.

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau

Lời giải:

1. Ta có:

nên dãy (un) là dãy tăng

2. Ta có:

Nên dãy (un) giảm.

Bài 2: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) , biết:

Lời giải:

1. Ta có:

với mọi n ≥ 1.

Suy ra u(n+1) > un ∀n ≥ 1 ⇒ dãy (un) là dãy tăng.

Mặt khác:

Vậy dãy (un) là dãy bị chặn.

2. Ta có:

3. Ta có: un > 0 ∀n ≥ 1

⇒ u(n+1) < un ∀n ≥ 1 ⇒ dãy (un) là dãy số giảm.

Mặt khác: 0 < un < 1 ⇒ dãy (un) là dãy bị chặn.

Bài 3: Cho dãy số (un):

a) Khi a = 4, hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy

b) Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng.

Lời giải:

a) Với a = 4 ta có:

Ta có: 5 số hạng đầu của dãy là

u1=6; u2=10/3; u3=14/5; u4=18/7; u5=22/9.

b) Ta có dãy số un tăng khi và chỉ khi

⇒ -a-4 > 0 ⇒ a < -4

Bài 4: Cho dãy số (un)

a) Viết 6 số hạng đầu của dãy

b) Chứng minh un=3(n-1)+1;n=1,2…

Lời giải:

a) Ta có: u1=2;u2=4;u3=10;u4=28;u5=82;u6=244.

b) Chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp hoặc chứng minh bằng cách sau

Ta có: un-1=3(u(n-1)-1)=32 (u(n-2)-1)=⋯=3(n-1) (u1-1)

Suy ra: un-1=3(n-1) ⇒ un=1+3(n-1).

Bài 5: Cho dãy số un=-5(n-1)+3n+n+2;n=1,2…

a) Viết 5 số hạng đầu của dãy

b) Chứng minh rằng: un=2u(n-1)+3(n-1)-n.

Lời giải:

Với mọi n = 

Suy ra un < u0-n+1=2012-n

Do đó: 2011 – n < un < 2012-n ⇒ [ un ]=2011-n

với n = 

Vì u0=2011 và 

Nên [u0 ]=2011-0,[u1 ]=2011-1

Vậy [un ]=2011-n,n = 

.


Được cập nhật: 12 giờ trước (11:19:21) | Lượt xem: 3845