Cho |z + a| = |z + b| Tìm Max, min P với P = |z + z1| + |z + z2|
1. Phương pháp
Cách 1:
+) Bước 1: Khai triển |z + a| = |z + b| đưa về dạng đường thẳng
+) Bước 2 : Từ P ta tìm tọa độ điểm A ; B và xét vị trí tương đối của A ;B với d
+) Khi đó z là M thỏa mãn P min :
Cách 2:
Áp dụng
BĐT Bunhia Copski: (Ax + By)2 ≤ (A2 + B2)(x2 + y2) nếu tìm max
BĐT Mincopxki:
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 1| = √2. Tìm giá trị lớn nhất của T = |z + i|+ |z - 2 - i|
A. maxT = 8√2 B. maxT = 4 C. maxT = 4√2 D. maxT = 8
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến ta có:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì
T2 ≤ (|z + 1|2 + |z - 1|2)(12+ 12) = 16 => T ≤ 4
Chọn đáp án là B.
Ví dụ 2: Cho |z - i| + |z - 3 + 3i| = 6. Tính max min của P = |z - 6 + 7i|
Hướng dẫn:
Cách 1: PP hình học
Nhắc lại: Gọi A và B là điểm biểu diễn z1; z2 và M là điểm biểu diễn z; C là điểm biểu diễn z3 trong P
Khi đó MA + MB = k
Nếu MA+ = AB thì điểm biểu diễn là đường thẳng
Nếu MA + MB > AB thì điểm biểu diễn là elip
Khi đó ta vẽ hình biểu diễn các điểm A, B, C trên mặt Oxy và xác định M trong các trường hợp là đường thẳng hoặc elip sao cho MC ngắn nhất hoặc lớn nhất.
Lời giải
Gọi A(0; 1);B(3; -3);C(6; -7);M(x; y)
Khi đó MA + MB = 6; Tìm max min của MC
Ta thấy MA + MB > AB => Elip Trong đó I là trung điểm AB
Khi đó
MC min khi MC = B’C = BC - BB’ = BC - (a - c) = 5 - (1/2) = 4,5
MC max khi MC = A’C = AC + AA’ = AC + (a - c) = 10 + (1/2) = 10,5
Cách 2: Dùng máy tính CASIO
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn |z - 2 - 3i| = 1. Giá trị nhỏ nhất của |z + 1 + i| là:
A. √13 - 1 B. 4 C. -4 D. √13 + 1
Hướng dẫn:
Ta có:
|z + 1 + i| = |z + 1 -i| = |(z - 2 - 3i) + (3 + 2i)| ≥ ||z - 2 - 3i| - |3 + 2i|| = √13 - 1
Chọn đáp án là A.
Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = |z + 1| + 2|z - 1|
A. max T = 2√5 B. max T = 2√10 C. max T = 3√5 D. max T = 3√2
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến ta có:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì:
T2 ≤ (|z + 1|2 |z - 1|2)(12 + 22) = 20 => T ≤ 2√5
Chọn đáp án là A.
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T = |z + 1| + 3|z - 1|
A. max T = 3√10 B. max T = 2√10 C. max T = 6 D. max T = 4√2
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức trung tuyến ta có :
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì
T2 ≤ (|z + 1|2 + |z - 1|2)(12 + 32) = 40 => T ≤ 2√10
Chọn đáp án là B.
Ví dụ 6: Cho số phức z thay đổi và thỏa mãn |z - 1 - i| = 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2|z - 8i| - |z - 7 - 9i| bằng:
Hướng dẫn:
Gọi M(x; y) biểu diễn số phức z, từ |z - 1 - i| = 5 thì M nằm trên đường tròn (x - 1)2 + (y - 1)2 = 25 có tâm và bán kính : I(1; 1), R = 5.
Gọi A(0; 8); B(7; 9) thì:
Phân tích : mục tiêu tìm tọa độ điểm sao cho MB = 2MC, nhận thấy IB = 2IM = 2R nên ta có hai cách tìm tọa độ điểm C như sau :
Cách 1 : (x - 1)2 + (y - 1)2 = 25 ⇔ T = x2 + y2 - 23 = 0
Nên chọn điểm
Cách 2 : Lấy điểm C thỏa mãn
thì tam giác IMC đồng dạng với tam giác IMB nên ta có MB = 2MC từ đó
Ta có: P = 2MA - MB = 2(MA - MC) ≤ 2Ac = 5√5
Dấu "=" đạt được khi điểm C nằm trên đoạn AM.
Chọn B.
Ví dụ 7: Cho số phức z thoả mãn:
Giá trị lớn nhất của biểu thức: P = |z - 5 - 2i| bằng
A. √2 + 5√3 B. √2 + 3√5
C. √5 + 2√3 D. √5 + 3√2
Hướng dẫn:
Cách 1: Đại số
Đặt z = a + bi
Từ giả thiết:
⇔ 2|a| + 2|b| = a2 + b2
⇔ (|a| - 1)2 + (|b| - 1)2 = 2 (1)
Ta có:
Dễ thấy P lớn nhất khi a, b ≤ 0. Khi đó:
Do a, b ≤ 0 nên từ (1) ta có: (a + 1)2 + (b + 1)2 = 2
Chọn B.
Cách 2: Hình học
Đặt z = a + bi.
Từ giả thiết
⇔ 2|a| + 2|b| = a2 + b2
⇔ (|a| - 1)2 + (|b| - 1)2 = 2 (1)
Tập hợp M biểu diễn z thuộc các phần đường tròn cùng bán kính là R = √2 có tâm là A(-1; 1), B(1; 1), C(1; -1), D(-1; -1) nằm chọn vẹn trong 1 góc phần tư (bỏ đi các cung nhỏ).
P = ME với E(5; 2). Từ hình vẽ ta thấy max P = HE = ED + √2 = 3√5 + √2
Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A. 10 B. 20 C. 2√5 D. 4√5
Hướng dẫn:
Ta có:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có phương trình:
(x - 2)2 + (y - 3)2 = 20 (C)
= |z + i| + 2|z - 4 - 7i|, A(0; -1); B(4; 7) lần lượt biểu diễn 2 số phức z1 = -i, z2 = 4 + 7i. Ta có A, B ∈ (C), AB = 4√5 = 2R nên nên AB là bán kính đường tròn (C)=> MA2 + MB2 = AB2 = 80
Mặt khác:
dấu “=” xảy ra khi MB = 2MA
Vậy maxP = 20
Chọn B.
Được cập nhật: hôm kia lúc 23:53:57 | Lượt xem: 1015
