- Gọi (Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.
- Giả sử M(xo ; yo) là tiếp điểm. Khi đó xo thỏa mãn: f ’(xo) = k (*)
- Giải (*) tìm xo. Suy ra yo = f(xo)
- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = k( x - xo) + yo
Chú ý: Đối với bài toán này ta cần lưu ý một số vấn đề sau:
+ Số tiếp tuyến của đồ thị chính là số nghiệm của phương trình : f’(x) = k
+ Cho hai đường thẳng d1 : y = k1x + b1 và d2 : y = k2x + b2. Khi đó
Nếu đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B thì tan(∠OAB) = ± OA/OB, trong đó hệ số góc của d được xác định bởi y’(x) = tan(∠OAB)
Ví dụ minh họa
Bài 1: Tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số
có hệ số góc k = -9 ?
Hướng dẫn:
Tập xác định: D = R
Đạo hàm: y’ = x2 + 6x
Ta có:
k = -9 ⇔ y’(xo) = - 9
⇔ xo2 + 6xo = -9
⇔ (xo + 3)2 = 0
⇔ xo = -3 ⇒ yo = 16
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là (d): y = -9(x + 3) + 16 = -9x – 11
Bài 2: 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = - x4 – x2 + 6, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
2. Cho hàm số
có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng
Hướng dẫn:
1. Hàm số đã cho xác định D = R
Gọi (t) là tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số và (t) vuông góc với đường thẳng y = (1/6)x - 1, nên đường thẳng (t) có hệ số góc bằng -6
Cách 1: Gọi M(xo ; yo) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến (t) và đồ thị (C) của hàm số . Khi đó, ta có phương trình:
y’(xo) = -6 ⇔ -4xo3 - 2xo = -6 ⇔ (xo-1)(2xo2+2xo+3) = 0 (*).
Vì 2xo2 + 2xo + 3 > 0 ∀xo ∈ R nên phương trình
(*) ⇔ xo = 1 ⇒ yo = 4 ⇒ M(1;4)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -6(x – 1) + 4 = -6x + 10
Cách 2: Phương trình (t) có dạng y = -6x + m
(t) tiếp xúc (C) tại điểm M(xo ; yo) khi hệ phương trình sau có nghiệm xo
có nghiệm xo ⇔
2. Hàm số đã cho xác định D = R
Ta có: y’ = x2 – 1
Gọi M(xo ; yo) ∈(C) ⇔
Tiếp tuyến Δ tại điểm M có hệ số góc: y’(xo) = xo2 - 1
Đường thẳng d: y = (-1/3)x + 2/3 có hệ số góc k = (-1/3)
Vậy có 2 điểm M(-2; 0) hoặc M = (2; 4/3) là tọa độ cần tìm.
Bài 3: Cho hàm số
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (1/3)x + 2.
Hướng dẫn:
TXĐ: D = R\{1}
Ta có
Gọi M(xo; yo) là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (1/3)x + 2 nên ta có
+ Với M(0; -1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = -3x – 1
+ Với M(2; 5) thì phương trình tiếp tuyến là: y = -3(x – 2) + 5 = -3x + 11
Bài 4: Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 2, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn:
Tập xác định: D = R
Đạo hàm: y’ = 3x2 – 6x = 3(x-1)2 - 3 ≥ -3
Vậy trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số đã cho, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng -3
Bài 5: Cho hàm số
có đồ thị (H). Viết phương trình đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d: y = - x + 2 và tiếp xúc với (H).
Hướng dẫn:
Tập xác định: D = R\{0}
Đạo hàm: y’ = 4/(x2)
Đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d: y = -x + 2 nên Δ có hệ số góc bằng 1. Ta có phương trình:
Tại M(2; 0). Phương trình tiếp tuyến là y = 1.(x – 2) = x – 2
Tại N(-2; 4). Phương trình tiếp tuyến là y = x + 2 + 4 = x + 6
Bài 6: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = x3 + 3x2 – 8x + 1, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng Δ: y = x + 2017?
Hướng dẫn:
Tập xác định: D = R
Đạo hàm: y’ = 3x2 + 6x – 8
Tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng Δ: y = x + 2017 nên hệ số góc của tiếp tuyến là 1
Ta có phương trình
Tại M(1; -3). Phương trình tiếp tuyến là y = x – 1 – 3 = x – 4
Tại N(-3; 25). Phương trình tiếp tuyến là y = x + 3 + 25 = x + 28
Bài 7: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 – 3 có đồ thị (C). Số tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = (1/9)x + 2017 là bao nhiêu?
Hướng dẫn:
Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = (1/9)x + 2017 có dạng Δ: y = -9x + c
Δ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ phương trình
⇔
Vậy có hai giá trị c thỏa mãn.
Được cập nhật: 8 giờ trước (14:59:42) | Lượt xem: 507
