Cho số phức z thỏa mãn |z - (a + bi)| = c, (c > 0), tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P với P = |z + z3| + |z + z4| hoặc P chứa z2, z3 (sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ)
1. Phương pháp
Cách 1: PP lượng giác hóa
Vì tọa độ điểm biểu diễn là đường tròn nên đưa về dạng X2 + Y2 = 1
(Có thể sử dụng trong trường hợp tọa độ điểm biểu diễn là elip)
Đặt X = cosa; Y = sina
Khi đó P biểu diễn theo cosa và sina
Sử dụng MODE 7 khảo sát với START = 0; END = 2; STEP =
(Chú ý dùng lệnh Shift Mode
5 - 1)
Cách 2: Sử dụng pp BĐT
BĐT Bunhia Copski: (Ax + By)2 ≤ (A2 + B2)(x2 + y2) tìm max
BĐT Mincopxki:
Dấu = xảy ra khi
BĐT vecto:
Dấu = xảy ra khi
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn |z - 1| = √2. Tìm GTLN của T = |z + i| + |z - 2 - i|
Hướng dẫn:
Ta có:
Cộng (1) với (2) ta được:
|z + i|2 + |z - 2 - i|2 = 2|z - 1|2 + 4 = 8 (không đổi)
Áp dụng đẳng thức bunhia xcopki:
T2 = (|z + i| + |z - 2 - i|)2 ≤ 2(|z + i|2 + |z - 2 - i|2) = 16 => T ≤ 4
Ví dụ 2: Với 2 số phức z1, z2 thỏa mãn z1 + z2 = 8 + 6i và |z1 - z2| = 2. Tính GTLN của P = |z1| + |z2|
A. 5 + 3√5 B. 2√26 C. 4√6 D. 34 + 3√2
Hướng dẫn:
CÁCH 1: Ta có:
|z1 + z2|2 + |z1 - z2|2 = 2(|z1|2 + |z2|2) ⇔ 100 + 4 = 2(|z1|2 + |z2|2) ⇔ 52 = (|z1|2 + |z2|2)
Lại có: Áp dụng BĐT Cauchy:
CÁCH 2:
Ta có:
ÁP dụng BĐT Bunhia Copski:
(Ax + By)2 ≤ (A2 + B2)(x2 + y2)
=> (|z1| + |z2|)2 ≤ 2(|z1|2 + |z2|2) = |z1| + |z2|2 + |z1| - |z2|2 = 104
=> |z1| + |z2| ≤ 2√26
Ví dụ 3: Gọi (C) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z = x - 1 + yi, thỏa mãn |z| = 1 và N là điểm biểu diễn số phức z0 = 1 - i. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho MN có độ dài lớn nhất.
Hướng dẫn:
Ta có M(x; y) nằm trên đường tròn (C): (x - 1)2 + y2 = 1 tâm I(1;0)
Do N(1; -1) nằm trên đường tròn nên MN có độ dài lớn nhất khi MN là đường kính, hay I(1;0) là trung điểm của MN.
Vậy M(1; 1)
Chọn A.
Ví dụ 4: Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn :
Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức |z1 - z2| .
A. 18 B. 6√2 C. 6 D. 3√2
Hướng dẫn:
Ta có:
|z1 - z2| = |(z1 + 3 - 4i) - (z2 + 6 - i) + (3 + 3i) ≤ |z1 + 2 - 4i| + |z2 + 6 - i| + |3 + 3i| = 3 + 3√2| = max
và |z1 - z2| = |(z1 + 3 - 4i) - (z2 + 6 - i) + (3 + 3i) ≥ |3 + 3i| - |z1 + 2 - 4i| - |z2 + 6 - i| = 3√2 - 3 = min
Do đó tổng Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất là 6√2
Chọn đáp án là B.
Ví dụ 5: Gọi (C) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z = x - 1 + yi thỏa mãn |z| = 1 và N là điểm biểu diễn số phức z0 = 5 + 3i. M là một điểm thuộc (C) sao cho MN có độ dài bé nhất. Khi đó độ dài MN bé nhất bằng
A. 6 B. √34 C. 3√5 D. 4
Hướng dẫn:
Ta có: M(x; y) nằm trên đường tròn (C): (x - 1)2 + y2 = 1 có tâm I(1; 0) và bán kính R = 4
Do N(5, 3) nằm ngoài (C) nên MN có độ dài bé nhất khi và chỉ khi:
MN = NI - R = 5 - 1 = 4.
Được cập nhật: 16 tháng 4 lúc 9:51:44 | Lượt xem: 742
