- Đường cong (C): y = f(x) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ xo khi và chỉ khi hàm số y = f(x) khả vi tại xo. Trong trường hợp (C) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ xothì tiếp tuyến đó có hệ số góc f ’(xo)
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) tại điểm M(xo; f(xo)) có dạng :
y = f’(xo)(x-xo) + f(xo)
Bài toán 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(xo; f(xo))
Giải: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M(xo;f(xo)) là:
y = f’(xo)(x-xo)+f(xo) (1)
Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết hoành độ tiếp điểm x = xo
Giải:
Tính yo = f(xo) và f’(xo). Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến:
y = f’(xo)(x-xo) + yo
Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết tung độ tiếp điểm bằng yo
Giải. Gọi M(xo, yo) là tiếp điểm
Giải phương trình f(x) = yo ta tìm được các nghiệm xo.
Tính y’(xo) và thay vào phương trình (1)
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho hàm số y = x3+3x2+1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
1. Tại điểm M( -1;3)
2. Tại điểm có hoành độ bằng 2
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định D = R
Ta có: y’ = 3x2 + 6x
1. Ta có: y’(-1) = -3, khi đó phương trình tiếp tuyến tại M là:
y = -3.(x + 1) + 3 = - 3x
2. Thay x = 2 vào đồ thị của (C) ta được y = 21
Tương tự câu 1, phương trình là:
y = y’(2).(x – 2) + 21 = 24x – 27
Bài 2: Gọi (C) là đồ thị của hàm số
. Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách đến trục hoành độ bằng 5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M
Hướng dẫn:
Khoảng cách từ M đến trục Ox bằng 5 ⇔ yM = ±5.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(-7/3,-5) là y = 9x + 16
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M( - 4, 5) là y = 4x + 21
Bài 3: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 6x + 1 (C)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hoành độ tiếp điểm bằng 1
Hướng dẫn:
Gọi M(xo; yo) là tọa độ tiếp điểm.
Ta có xo = 1 ⇒ yo = - 1
y = x3 + 3x2 – 6x + 1 nên y’ = 3x2 + 6x – 6.
Từ đó suy ra y’(1) = 3.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x – 1) – 1 = 3x – 4
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = 2x4 – 4x2 + 1 biết tung độ tiếp điểm bằng 1
Hướng dẫn:
Gọi M(xo; yo) là tọa độ tiếp điểm.
Ta có yo = 1 ⇒ 2xo4 - 4xo2 + 1 = 1 ⇔
Ta có y’ = 8x3 – 8x
Với M(0;1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = 0
Với M(√2;1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = 8√2 (x - √2) + 1 = 8√2x – 15
Với M(-√2;1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = - 8√2 (x + √2) + 1 = - 8√2x – 15
Bài 5: Cho hàm số y = x3 – 3x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp điểm là M(0,1).
Hướng dẫn:
y’ = 3x2 – 3.
y’(0) = - 3.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -3x – 3
Bài 6: Cho hàm số y = x4 + x2 + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình x2 = 1.
Hướng dẫn:
Gọi M(xo; yo) là tọa độ tiếp điểm. Ta có:
xo2 = 1 ⇔ xo = ±1
Ta có: y’ = 4x3 + 2x
Với M(1; 3) thì phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 6(x – 1) + 3 = 6x – 3
Với M( -1; 3) thì phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -6(x + 1) + 3 = -6x – 3
Bài 7: Cho hàm số
. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ xo = 0 đi qua A(4;3)
Hướng dẫn:
x = 0 ⇒ y = - m – 1
Ta có
. Từ đó suy ra y’(0) = - m – 3
Phương trình tiếp tuyến tại (0; - m – 1) là: y = (- m – 3)x – m – 1.
Tiếp tuyến đi qua A(4; 3) nên ta có:
3 = 4( - m – 3) – m – 1 ⇔ m = 16/5
Được cập nhật: 17 tháng 4 lúc 22:12:54 | Lượt xem: 731
