A. Phương pháp giải & Ví dụ
Giả sử cần chứng minh đẳng thức P(n) = Q(n) (hoặc P(n) > Q(n)) đúng với n ≥ n0, n0 ∈ N* ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính P(n0),Q(n0) rồi chứng minh P(n0 )= Q(n0)
Bước 2: Giả sử P(k) = Q(k) ; k ≥ n0, k ∈ N*, ta cần chứng minh P(k+1) = Q(k+1).
Ví dụ minh họa
Bài 1: Chứng mình với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta luôn có: 1+2+3+...+n= (n(n+1))/2
Đặt P(n) = 1+2+3+...+n : tổng n số tự nhiên đầu tiên :
Ta cần chứng minh P(n) = Q(n) n ≥ 1 ,n ∈ N*.
Bước 1: Với n = 1 ta có P(1) = 1, Q(1) = 1
⇒ P(1) = Q(1) = 1đúng vớí n = 1.
Bước 2: Giả sử P(k0 = Q(k) với k ≥ 1 ,k ∈ N*. tức là:
Ta cần chứng minh P(k+1) = Q(k+1), tức là:
Thật vậy:
Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi n ≥ 1.
Bài 2:Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta luôn có: 1+3+5+⋯+2n-1=n2
♦ Với n = 1 ta có VT =VP = 1
Suy ra đẳng thức đã cho đúng với n = 1.
♦ Giả sử đẳng thức đã cho đúng với n = k với k ≥ 1 ,k ∈ N*. tức là:
1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1 = k2 (1)
Ta cần chứng minh đẳng thức đã cho đúng với n = k+1, tức là:
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = (k + 1)2 (2)
Thật vậy: VT(2) = 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1)
= k2 + (2k + 1) = (k + 1)2 = VP(2)
Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi n = 1.
Bài 3: Chứng minh rằng vớí ∀n ≥ 1, ta có bất đẳng thức:
♦ Với n = 1 ta có đẳng thức đã cho trở thành :1/2 < 1/√3 ⇒ 2 > √3 đúng.
⇒ Đẳng thức đã cho đúng với n = 1.
♦ Giả sử đẳng thức đã cho đúng với n = k ≥ 1 , tức là :
Ta phải chứng minh đẳng thức đã cho đúng với n = k+1, tức là :
Thật vậy, ta có :
Ta chứng minh:
⇔ (2k+1)(2k+3) < (2k+2)2
⇒ 3 > 1 (luôn đúng)
Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Chú ý: Vậy Phương pháp quy nạp toán học còn được ứng dụng nhiều trong số học và hình học
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 , ta luôn có
Lời giải:
Bước 1: Với n = 1 ta có: VT = 1 ; VP = 1 ⇒ VT=VP
⇒ Đẳng thức đã cho đúng vớí n = 1.
Bước 2: Giả sử đẳng thức đã cho đúng với n = k ≥ 1, tức là
Ta sẽ chứng minh đẳng thức đã cho đúng với n = k+1, tức là cần chứng minh
Thật vậy:
⇒ (1) đúng đẳng thức đã cho đúng với mọi n ≥ 1.
Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:
Lời giải:
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1 ta có bất đẳng thức:
|sinnx| ≤ k|sinx| ∀x ∈ I
Lời giải:
Làm tương tự câu 1. Với n=1 đẳng thức đã cho đúng
Gợi ý:
* Với n=1 ta có:VT = |sin1.α|=1.|sinα| =VP nên đẳng thức đã cho đúng.
* Giả sử đẳng thức đã cho đúng với n = k+1, tức là :|sinkα| ≤ k|sinα| (1)
Ta phải chứng minh đẳng thức đã cho đúng với n = k+1,tức là :
|sin(k+1)α| ≤ (k+1)|sinα| (2)
Thật vậy:
|sin(k+1)α|=|sinkα.cosα+coskα.sinα| ≤ |sinkα||cosα|+|coskα||sinα| ≤ |sinkα|+|sinα| ≤ k|sinα|+|sinα| ≤ (k+1)|sinα|
Vậy đẳng thức đã cho đúng với n=k+1, nên đẳng thức đã cho cũng đúng với mọi số nguyên dương n.
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 thì A(n)=7n+3n-1 luôn chia hết cho 9
Lời giải:
* Với n=1 ⇒ A(1)=71+3.1-1=9 ⇒ A(1)chia hết cho 9
* Giả sử A(k)chia hết cho 9 ∀k ≥ 1, ta chứng minh A(k+1)chia hết cho 9
Thật vậy:A(k+1)=7k+1+3(k+1)1=7.7k+21k-7-18k+9 ⇒ A(k+1)=7A(k)-9(2k-1)
Vì A(k) chia hết cho 9 và 9(2k-1) chia ết cho 9 nên A(2k+1) chia hết cho 9
Vậy A(n) chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Bài 5: Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi (n ≥ 1) bằng (n-2)180º.
Lời giải:
* Với n = 3 ta có tổng ba góc trong tam giác bằng 180º
* Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với k < n, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là. (k-1)180ºvà (n-k-1)180º
Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là (k-1+n-k-1)180º=(n-2)180º.
Suy ra mệnh đề đúng với mọi n ≥ 3..
Được cập nhật: 9 tháng 4 lúc 18:21:05 | Lượt xem: 690