Các dạng toán góc và khoảng cách thường gặp trong kỳ thi Thptqg
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
CHUYÊN
ĐỀ 6
GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI ....................................................................................................................................................... 1
Dạng 1. Góc ..................................................................................................................................................................... 1
Dạng 1.1 Góc của đường thẳng với mặt phẳng........................................................................................................ 1
Dạng 1.2 Góc của đường thẳng với đường thẳng .................................................................................................... 4
Dạng 1.3 Góc của mặt với mặt .................................................................................................................................. 5
Dạng 2. Khoảng cách...................................................................................................................................................... 8
Dạng 2.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ....................................................................................................... 8
Dạng 2.2 Khoảng cách của đường thẳng với đường thẳng ................................................................................... 11
Dạng 2.3 Khoảng cách của đường với mặt............................................................................................................. 15
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO...................................................................................................................................... 15
Dạng 1. Góc ................................................................................................................................................................... 15
Dạng 1.1 Góc của đường thẳng với mặt phẳng...................................................................................................... 15
Dạng 1.2 Góc của đường thẳng với đường thẳng .................................................................................................. 25
Dạng 1.3 Góc của mặt với mặt ................................................................................................................................ 27
Dạng 2. Khoảng cách.................................................................................................................................................... 39
Dạng 2.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ..................................................................................................... 39
Dạng 2.2 Khoảng cách của đường thẳng với đường thẳng ................................................................................... 51
Dạng 2.3 Khoảng cách của đường với mặt............................................................................................................. 71
PHẦN A. CÂU HỎI
Dạng 1. Góc
Dạng 1.1 Góc của đường thẳng với mặt phẳng
Câu 1. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông tại C ,
AC a , BC 2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng
đáy bằng
A. 60
B. 90
C. 30
D. 45
Câu 2. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng
A. 45
B. 60
C. 30
D. 90
Câu 3. (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hình chóp S. ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , SA 2a
, tam giác ABC vuông tại B , AB a và BC 3a (minh họa như hình vẽ bên).
1
Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC bằng
A. 30 .
B. 60 .
C. 45 .
D. 90 .
Câu 4. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SB 2a . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng
A. 45
B. 60
C. 90
D. 30
Câu 5. (Mã 103 - BGD - 2019) Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC . SA 2a
. Tam giác ABC vuông cân tại B và AB a ( minh họa như hình vẽ bên).
Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC bằng
A. 450 .
B. 600 .
C. 300 .
D. 900 .
Câu 6. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , SA 2a
, tam giác ABC vuông tại B, AB a 3 và BC a (minh họa như hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng SC
và mặt phẳng ABC bằng:
S
C
A
B
A. 450 .
B. 300 .
C. 600 .
D. 900 .
Câu 7. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có tất cả các cạnh bằng
a . Gọi M là trung điểm của SD (tham khảo hình vẽ bên). Tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt
phẳng ABCD bằng
2
S
M
A
A.
2
2
B.
D
B
C
3
3
C.
2
3
D.
1
3
Câu 8. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , SA 2a
, tam giác ABC vuông cân tại B và AB a 2 (minh họa như hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng SC và
mặt phẳng ABC bằng
S
C
A
B
A. 30o .
B. 90o .
C. 60o .
D. 45o .
a 6
Câu 9. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA ABCD và SA
. Tính góc giữa
3
SC và mặt phẳng ABCD ?
A. 30 .
B. 45 .
C. 60 .
D. 90 .
Câu 10. (THPT CHUYÊN BẮC GIANG NAM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S . ABCD có đáy
a 6
. Tính góc giữa SC và ABCD .
ABCD là hình vuông cạnh a và SA ABCD . Biết SA
3
A. 30
B. 60
C. 75
D. 45
Câu 11. (THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S . ABCD , đáy
ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ABCD . Biết SA a 2 . Tính góc giữa SC và ABCD .
A. 45
B. 30
C. 60
D. 75
Câu 12. (SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Cho hình chóp tứ giác đều
S. ABCD có tất cả các cạnh bằng 2a . Gọi M là trung điểm của SD Tính tan của góc giữa đường thẳng BM
và mặt phẳng ABCD .
A.
2
.
2
B.
3
.
3
C.
2
.
3
D.
1
.
3
Câu 13. (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Cho khối chóp S. ABC có SA ABC
, tam giác ABC vuông tại B , AC 2a , BC a , SB 2a 3 . Tính góc giữa SA và mặt phẳng SBC .
A. 45 .
B. 30 .
C. 60 .
D. 90 .
3
Câu 14. (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S . ABCD có đáy
ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và SA a 3 . Gọi là góc giữa SD và SAC . Giá
trị sin bằng
A.
2
.
4
B.
2
.
2
C.
3
.
2
D.
2
.
3
Câu 15. (SỞ GD&ĐT BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp tam giác S . ABC có đáy là
tam giác đều cạnh a . Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SC tạo với mặt
phẳng đáy một góc 60 , gọi M là trung điểm của BC . Gọi là góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng
ABC . Tính cos .
A. cos
6
.
3
B. cos
3
.
3
C. cos
3
.
10
D. cos
1
.
10
Câu 16. (THPT CHUYÊN BẮC NINH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình
thang vuông tại 1 và B . AB BC a, AD 2a . Biết SA vuông góc với đáy ( ABCD ) và SA a . Gọi M , N
lần lượt là trung điểm SB, CD . Tính sin góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ( SAC )
A.
5
5
B.
55
10
C.
3 5
10
D.
2 5
5
Câu 17. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có AB a , O là trung điểm AC và SO b . Gọi là đường thẳng đi qua C , chứa trong mặt
a 14
. Giá trị lượng giác cos SA , bằng
6
2a
2a
a
a
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3 4b 2 2 a 2
3 2 a 2 4b 2
3 2 a 2 4b 2
3 4b 2 2 a 2
Câu 18. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
AB a, AD a 3 . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Cosin
phẳng ABCD và khoảng cách từ O đến là
của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng SBC bằng
A.
13
4
B.
3
4
C.
2 5
5
D.
1
4
Câu 19. (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông tại C ,
CH vuông góc với AB tại H , I là trung điểm của đoạn HC . Biết SI vuông góc với mặt phẳng đáy,
ASB 90 . Gọi O là trung điểm của đoạn AB , O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI . Góc tạo bởi
đường thẳng OO và mặt phẳng ABC bằng
A. 60 .
B. 30 .
C. 90 .
D. 45 .
Câu 20. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là
hình thoi cạnh a và
ABC 60 . Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng ABCD trùng với trọng
tâm của tam giác ABC , gọi là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SCD , tính sin biết rằng SB a
.
1
1
3
2
A. sin
.
B. sin .
C. sin .
D. sin
.
4
2
2
2
Dạng 1.2 Góc của đường thẳng với đường thẳng
4
Câu 21. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc
với nhau và OA OB OC . Gọi M là trung điểm của BC ( tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai
đường thẳng OM và AB bằng
A. 450
B. 900
C. 300
D. 600
Câu 22. (THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho tứ diện ABCD với
3
DAB
600 , CD AD . Gọi là góc giữa hai đường thẳng AB và CD . Chọn khẳng định
AC AD, CAB
2
đúng về góc .
A. cos
3
4
B. 300
D. cos
C. 600
1
4
Câu 23. (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Cho hình hộp chữ nhật
ABCD. ABC D , biết đáy ABCD là hình vuông. Tính góc giữa AC và BD .
B'
C'
D'
A'
C
B
A
A. 90 .
B. 30 .
D
C. 60 .
D. 45 .
Câu 24. (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho tứ diện ABCD có AB CD 2a . Gọi M , N
lần lượt là trung điểm AD và BC . Biết MN a 3 , góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng.
A. 450 .
B. 900 .
C. 600 .
D. 300 .
Câu 25. (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH PHÚ YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình lập phương
ABCD. AB C D ; gọi M là trung điểm của B C . Góc giữa hai đường thẳng AM và BC bằng
A. 45 .
B. 90 .
C. 30 .
D. 60 .
Dạng 1.3 Góc của mặt với mặt
Câu 26. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC . A B C có AB 2 3
và AA 2. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC và BC (tham khảo hình vẽ bên). Côsin
của góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và MNP bằng
5
C'
N
M
B'
A'
C
P
B
A
17 13
18 13
6 13
13
B.
C.
D.
65
65
65
65
Câu 27. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình lập phương ABCD. ABC D có tâm O. Gọi I là tâm
1
của hình vuông AB C D và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO MI (tham khảo hình vẽ). Khi
2
đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( MC D) và ( MAB ) bằng
A.
A.
7 85
85
B.
6 85
85
C.
17 13
65
D.
6 13
65
Câu 28. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình lập phương ABCD. ABC D có tâm O . Gọi I là tâm
của hình vuông AB C D và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO 2 MI (tham khảo hình vẽ). Khi
đó côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( MC D) và ( MAB ) bằng
A.
7 85
85
B.
17 13
65
C.
6 13
65
D.
6 85
85
Câu 29. (SỞ GD&ĐT BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là
hình chữ nhật, AB a , AD SA 2a , SA ABCD . Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng SBD và
( ABCD ) .
5
1
2
.
B. 5 .
C.
.
D.
.
2
5
5
Câu 30. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có các cạnh AB 2, AD 3; AA 4 . Góc giữa hai mặt
phẳng ABD và AC D là . Tính giá trị gần đúng của góc ?
A.
6
A. 45, 2 .
B. 38,1 .
C. 53, 4 .
D. 61, 6 .
Câu 31. (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Cho hình chóp SABCD có đáy
ABCD là hình thoi tâm O , đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng ABCD . Biết AB SB a ,
SO
a 6
. Tìm số đo của góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAD .
3
A. 30
B. 45
C. 60
D. 90
Câu 32. (TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI SỐ 2 NĂM 2018-2019) Cho lăng trụ tam giác đều ABC. ABC
có diện tích đáy bằng 3a 2 (đvdt), diện tích tam giác ABC bằng 2a2 (đvdt). Tính góc giữa hai mặt phẳng
ABC và ABC ?
A. 120
B. 60
C. 30
D. 45
Câu 33. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD
là hình vuông có độ dài đường chéo bằng a 2 và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi là góc
giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD . Nếu tan 2 thì góc giữa S AC và SBC bằng.
A. 300 .
B. 900
C. 600 .
D. 450 .
Câu 34. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình
thang vuông ABCD tại A và D , cạnh bên A vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 2 . Cho biết
AB 2 AD 2DC 2a . Tính góc giữa hai mặt phẳng SBA và SBC
A. 300 .
B. 600 .
C. 450
1
D. arcsin .
4
Câu 35. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hình hộp chữ nhật
AB 6
. Xác định góc giữa hai mặt phẳng A ' BD
ABCD . A ' B ' C ' D ' có mặt ABCD là hình vuông, AA '
2
và C ' BD .
A. 300 .
B. 450 .
C. 600 .
D. 900 .
Câu 36. (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Cho hình lập phương ABCD. AB C D
. Góc giữa hai mặt phẳng ( ADCB) và ( BCDA) là
A. 30 .
B. 45 .
C. 90 .
D. 60 .
Câu 37. (ĐỀ 01 ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hình hộp chữ
nhật ABCD. AB C D có đáy ABCD là hình vuông, AC a 2 . Gọi P là
mặt phẳng qua AC cắt BB, DD lần lượt tại M , N sao cho tam giác AMN cân tại A có
P , ABCD .
MN a . Tính cos với
A.
2
.
2
B.
1
.
2
C.
1
.
3
D.
3
.
3
Câu 38. (THPT HÀM RỒNG THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho lặng trụ đứng ABC. ABC có
diện tích tam giác ABC bằng 2 3 . Gọi M , N , P lần lượt thuộc các cạnh AA , BB , CC , diện tích tam giác
MNP bằng 4 . Tính góc giữa hai mặt phẳng ABC và MNP
A. 120 .
B. 45 .
C. 30 .
D. 90 .
7
Dạng 2. Khoảng cách
Dạng 2.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Câu 39. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B ,
AB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng
A.
2 5a
5
B.
5a
3
C.
2 2a
3
5a
5
D.
Câu 40. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B ,
AB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng
A.
a 6
3
B.
a 2
2
C.
a
2
D. a
Câu 41. (Mã 103 - BGD - 2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ
D đến mặt phẳng SAC bằng
S
A
B
A.
a 2
.
2
B.
a 21
.
7
D
C
C.
a 21
.
14
D.
a 21
.
28
Câu 42. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng
cách từ A đến mặt phẳng SBD bằng
8
A.
21a
.
14
B.
21a
.
7
C.
2a
2
D.
21a
.
28
Câu 43. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi
60o , SA a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách tứ B đến SCD bằng?
cạnh a , BAD
A.
21a
.
3
B.
15a
.
3
C.
21a
.
7
D.
15a
.
7
Câu 44. (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ( minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách
từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng
A.
21a
.
14
B.
2a
.
2
C.
21a
.
7
D.
21a
.
28
Câu 45. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh
SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng
A.
6a
6
B.
3a
3
C.
5a
3
D.
3a ,
3a
2
Câu 46. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng
a . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD .
A.
a 6
.
2
B.
a 6
.
3
C.
3a
.
2
D. 2a .
Câu 47. (THPT CHUYÊN BẮC GIANG NAM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp SABCD có
SA ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD 2a , SA a . Khoảng cách từ A đến SCD bằng:
A.
3a
7
B.
3a 2
2
C.
2a
5
D.
2a 3
3
Câu 48. (THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chop S. ABC
có đáy là tam giác vuông tại A , AB a , AC a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a . Khoảng
cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng:
9
A.
a 57
19
B.
2a 57
19
C.
2a 3
19
D.
2a 38
19
Câu 49. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a 2 . Tính khoảng cách d từ tâm O của đáy ABCD đến
một mặt bên theo a .
2a 5
a 2
a 3
a 5
A. d
.
B. d
.
C. d
.
D. d
.
3
2
2
3
Câu 50. (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho khối chóp S . ABCD có đáy
ABCD là hình vuông cạnh a , SA ABCD và SA a 2 . Gọi M là trung điểm cạnh SC . Khoảng cách từ
điểm M đến mặt phẳng SBD bằng
A.
a 2
4
B.
a 10
10
C.
a 2
2
D.
a 10
5
Câu 51. (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC
là tam giác vuông tại A , AB a , AC a 3 ; SA vuông góc với đáy, SA 2 a . Khoảng cách từ điểm A đến
mặt phẳng SBC bằng
A.
2a 3
.
7
B.
a 3
.
7
C.
a 3
.
19
D.
2a 3
.
19
Câu 52. (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam
giác đều cạnh a , SA a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
SBC bằng:
2a
.
2
A.
B.
3a
.
7
C.
21a
.
7
15a
.
5
D.
Câu 53. (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình chóp đều S . ABCD , cạnh đáy
bằng a , góc giữa mặt bên và mặt đáy là 60 . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD .
A.
a
4
B.
a 3
4
C.
a 3
2
D.
a
2
Câu 54. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S .ABCD có đáy là
nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AD 2a và có cạnh SA vuông góc với mặt
phẳng đáy ABCD với SA a 6 . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD .
A. a 2 .
B. a 3 .
C.
a 2
.
2
D.
a 3
.
2
Câu 55. (THPT MINH CHÂU HƯNG YÊN NĂM 2018 – 2019) Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD
là hình thang vuông tại A và B , AB BC a, AD 2a. Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy trùng với
trung điểm H của AD và SH
A. d
6a
8
a 6
. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng SCD .
2
6a
15a
B. d a
C. d
D. d
4
5
10
Câu 56. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho tứ diện
O. ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau OA OB OC 3. Khoảng cách từ O đến mp( ABC )
là
1
1
1
A.
B. 1
C.
D.
2
3
3
Câu 57. (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi
cạnh a , ABC 60 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SC 2a . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD
là
2a
a 15
a 2
5a 30
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
5
2
3
5
Câu 58. (ĐỀ 01 ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hình chóp
60 , SAB là tam giác đều nằm trên mặt phẳng vuông góc
S . ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a , góc BAD
với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD là
A.
a 3
2 .
B.
3a
2 .
C.
a 6
2 .
D. a 6
Câu 59. (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình chóp tứ giác S . ABCD
có đáy ABCD là hình bình hành tâm O; mặt phẳng SAC vuông góc với mặt phẳng SBD . Biết khoảng
cách từ O đến các mặt phẳng SAB , SBC , SCD lần lượt là 1; 2; 5 . Tính khoảng cách d từ O đến mặt
phẳng SAD .
19
20
.
B. d
.
C. d 2 .
20
19
Dạng 2.2 Khoảng cách của đường thẳng với đường thẳng
A. d
D. d
2
.
2
Câu 60. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho lập phương ABCD . AB C D có cạnh bằng a ( tham
khảo hình vẽ bên ).Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A C bằng
A.
3a
2
B.
2a
C.
3a
D. a
Câu 61. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là ình chữ nhật,
AB a, BC 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và
SB bằng
2a
a
a
6a
A.
B.
C.
D.
3
2
3
2
11
Câu 62. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a ,
BC 2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD , SC bằng
a 30
a 30
4 21a
2 21a
A.
B.
C.
D.
21
21
12
6
Câu 63. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho tứ diện O. ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với
nhau, OA a và OB OC 2a . Gọi M là trung điểm của BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và
AB bằng
6a
2 5a
2a
A.
B. a
C.
D.
3
5
2
Câu 64. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc
với nhau, và OA OB a , OC 2 a . Gọi M là trung điểm của AB . Khoảng cách giữa hai đường thẳng
OM và AC bằng
2a
2 5a
2a
2a
A.
B.
C.
D.
3
5
2
3
Câu 65. (GKI THPT VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC
là tam giác vuông tại A với AC a 3 . Biết BC hợp với mặt phẳng AAC C một góc 30o và hợp với
mặt phẳng đáy góc sao cho sin
giữa MN và AC là:
a 6
A.
4
B.
6
. Gọi M , N lần lượt là trung điểm cạnh BB và AC . Khoảng cách
4
a 3
6
C.
a 5
4
D.
a
3
Câu 66. (THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S . ABC ,
a3 3
có SA SB SC , đáy là tam giác đều cạnh a . Biết thể tích khối chóp S. ABC bằng
. Khoảng cách
3
giữa hai đường thẳng SA và BC bằng:
a 3
3 13a
4a
6a
A.
B.
C.
D.
7
7
13
4
Câu 67. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình lập
phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ).
A
B
D
C
A'
B'
D'
C'
Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A ' C ' bằng
12
A. a
B.
2a
C.
3
a
2
D.
3a
Câu 68. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S. ABCD có
SA ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật với AC a 5 và BC a 2 . Tính khoảng cách giữa SD và
BC .
A.
a 3
.
2
B. a 3 .
C.
2a
.
3
D.
3a
.
4
Câu 69. (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD
là hình vuông tâm O cạnh a , SO vuông góc với mặt phẳng ABCD và SO a. Khoảng cách giữa SC và
AB bằng
a 3
a 5
2a 3
2a 5
A.
B.
C.
D.
15
5
15
5
Câu 70. (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A B C
có tất cả các cạnh đều bằng a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB bằng
A.
a 21
7
B.
a 3
2
C.
a 7
4
D.
a 2
2
Câu 71. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S. ABCD có đáy
ABCD là hình thoi cạnh a , AC a . Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt
phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC , biết góc giữa đường thẳng SD và mặt đáy
bằng 60 .
a 906
a 609
a 609
a 600
A.
B.
C.
D.
29
29
19
29
Câu 72. (KTNL GIA BÌNH NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S. ABCD , đáy ABCD là hình bình hành có
AB 4, BC 3 , SA SB SC SD 6 . K là hình chiếu vuông góc của B xuống AC . Tính độ dài d đoạn
vuông góc chung của SA và BK .
119
4 229
259
4 119
A.
B.
C.
D.
11
13
5
15
Câu 73. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Cho hình lăng trụ tam giác đều
ABC. ABC có AB a, AA 2a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và AC.
A.
a 3
2
B.
2 5
a
5
C. a 5
D.
2 17
a
17
Câu 74. (THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S.ABC có đáy là
tam giác đều cạnh bẳng 4 , góc giữa SC và mặt phẳng ABC là 45 . Hình chiếu của S lên mặt phẳng
ABC là điểm H
thuộc cạnh AB sao cho HA 2HB . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC
.
13
A. d
4 210
.
45
B. d
210
.
5
C. d
4 210
.
15
D. d
2 210
.
15
Câu 75. (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S . ABC có tam giác ABC
60 , AC 2 , SA ABC , SA 1 . Gọi M là trung điểm của AB . Khoảng cách d giữa
vuông tại B , C
SM và BC là
21
.
7
A. d
B. d
2 21
.
7
C. d
21
.
3
D. d
2 21
.
3
Câu 76. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho khối chóp tứ giác đều
a 2b
S.ABCD có thể tích bằng
với AB a . Gọi G là trọng tâm của tam giác SCD , trên các cạnh AB, SD
3
lần lượt lấy các điểm E , F sao cho EF song song BG . Khoảng cách giữa hai đường thẳng DG và EF bằng
2 ab
ab
ab
a 2b
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3 2b 2 a 2
3 2b 2 a 2
2b 2 a 2
3 2b 2 a 2
Câu 77. (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S . ABC
có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2 a 3 , mặt bên SAB là tam giác cân với
ASB 120 và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SC và N là trung điểm của MC . Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng AM , BN .
S
M
N
C
A
B
2 327 a
237 a
2 237 a
5 237 a
.
B.
.
C.
.
D.
.
79
79
79
316
Câu 78. (CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3 cm. Gọi
M là trung điểm của CD . Khoảng cách giữa AC và BM là:
A.
14
A.
2 11
cm .
11
B.
3 22
cm .
11
C.
3 2
cm
11
D.
2
cm .
11
Câu 79. (TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI SỐ 2 NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD
là hình bình hành và SA SB SC 11 , SAB 30 , SBC 60 và SCA 45 . Tính khoảng cách d giữa
hai đường thẳng AB và SD ?
A. d 4 11
B. d 2 22
22
2
C. d
D. d 22
Câu 80. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho tứ diện ABCD có các cạnh
AB, AC , AD vuông góc với nhau đôi một và AD 2 AC 3 AB a. Gọi là đường thẳng chứa trong mặt
( BCD) sao cho khoảng cách từ điểm A đến là nhỏ nhất và khoảng cách lớn nhất giữa hai đường thẳng
và AD là d . Khẳng định nào sau đây là đúng?.
3a
4a
14
A. d a
B. 3a d 4 a.
C.
D. d 4 a .
d
.
.
14
7
14
Câu 81. (THPT NGÔ GIA TỰ VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S. ABCD có đáy
300 , SBC
600 và SCA
450. Tính khoảng cách d giữa
là hình bình hành và SA SB SC 11, SAB
hai đường thẳng AB và SD ?
A. d 4 11.
B. d 2 22.
22
.
2
C. d
D. d 22.
Câu 82. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Cho hình hộp ABCDABC D có tất cả các cạnh đều bằng 1 và
các góc phẳng ở đỉnh A đều bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và AC .
2
3
22
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
11
11
11
11
Dạng 2.3 Khoảng cách của đường với mặt
Câu 83. (THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là
hình thang vuông tại A và D , SD vuông góc với mặt đáy ABCD , AD 2a, SD a 2 . Tính khoảng
cách giữa đường thẳng CD và mặt phẳng SAB
A.
a
.
2
B. a 2.
C.
2a
.
3
D.
a 3
.
2
Câu 84. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và SA 2a
. Gọi M là trung điểm của SD . Tính khoảng cách d giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ACM
A. d
3a
2
B. d a
C. d
2a
3
D. d
a
3
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Dạng 1. Góc
Dạng 1.1 Góc của đường thẳng với mặt phẳng
Câu 1.
Chọn C
15
Có SA ABC nên AB là hình chiếu của SA trên mặt phẳng ABC .
.
SB
, ABC SB
, AB SBA
Mặt khác có ABC vuông tại C nên AB AC 2 BC 2 a 3 .
SA 1 nên SB
Khi đó tan SBA
, ABC 30 .
AB
3
Câu 2.
Chọn A
S
D
A
B
C
.
Do SA ABCD nên góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng góc SCA
45 .
SA 1 SCA
Ta có SA 2a , AC 2a tan SCA
AC
Vậy góc giữa đường thẳng SC và và mặt phẳng đáy bằng bằng 45 .
Câu 3.
Chọn C
Vì SA vuông góc với mặt phẳng ABC , suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC bằng SCA
.
2a
SA
Mà tan SCA
1.
2
AC
a 3a 2
45 .
Vậy SCA
Câu 4.
Chọn B
S
D
A
B
C
16
.
Do SA ABCD nên góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng góc SBA
60 .
AB 1 SBA
Ta có cos SBA
SB 2
Vậy góc giữa đường thẳng SB và và mặt phẳng đáy bằng bằng 60 .
Câu 5.
Chọn A
Ta có AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng ABC .
.
Suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC bằng SCA
Ta có AC a 2 , SA a 2 nên tam giác SAC vuông cân tại A 450 .
Câu 6.
Chọn A
Ta có SA ABC nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng ABC .
.
Do đó SC , ABC SC , AC SCA
Tam giác ABC vuông tại B, AB a 3 và BC a nên AC AB 2 BC 2 4a 2 2a .
450 .
Do đó tam giác SAC vuông cân tại A nên SCA
Vậy SC , ABC 450 .
Câu 7.
Chọn D
S
M
A
D
H
O
B
C
a2 a 2
2
2
Gọi M là trung điểm của OD ta có MH / / SO nên H là hình chiếu của M lên mặt phẳng ABCD và
Gọi O là tâm của hình vuông. Ta có SO ABCD và SO a 2
a 2
1
.
SO
2
4
.
Do đó góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ( ABCD ) là MBH
MH
17
a 2
MH 4 1 .
Khi đó ta có tan MBH
BH 3a 2 3
4
Vậy tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ABCD bằng
1
3
Câu 8.
Chọn D
Ta có SA ABC nên đường thẳng AC là hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC lên mặt phẳng
ABC .
(tam giác SAC vuông tại A ).
Do đó, SC
, ABC SC
, AC SCA
Tam giác ABC vuông cân tại B nên AC AB 2 2a .
SA 1 nên 45o .
Suy ra tan SCA
AC
S
a 6
3
A
D
a 2
Câu 9.
a
B
a
C
AC a 2 ,
AC là hình chiếu vuông góc của SC trên ABCD
SC , ABCD
SC; AC SCA
SA a 6 : a 2 3 SCA
30 .
SAC : tan SCA
AC
3
3
Câu 10. Chọn A
Ta có AC a 2
Vì AC là hình chiếu của SC lên ABCD nên góc giữa SC và ABCD là góc giữa SC và AC
18
a 6
300
3 3 . Suy ra SCA
Xét SAC vuông tại A, ta có: tan SCA
3
a 2
Câu 11. Chọn A
.
Vì SA ABCD
SC ; ABCD
SC ; AC SCA
Ta có AC AB 2 BC 2 a 2.
SA a 2 1 SCA
450.
tan SAC
AC a 2
S
M
A
D
H
O
B
Câu 12.
Trong tam giác SOD dựng MH //SO, H OD ta có MH ABCD .
.
Vậy góc tạo bởi BM và mặt phẳng ABCD là MBH
C
a 2
1
1
1
.
SO
SD 2 OD 2
4a 2 2 a 2
2
2
2
2
3
3
3a 2
.
BH BD 2a 2
4
4
2
MH 1 .
Vậy tan MBH
BH 3
Ta có MH
19
S
H
C
A
B
Câu 13.
Trong SAB kẻ AH SB H SB .
SA BC
Vì
BC SAB BC AH .
AB BC
Mà SB AH do cách dựng nên AH SBC , hay H là hình chiếu của A lên SBC suy ra góc giữa SA
ASH hay góc
ASB .
và SBC là góc
Tam giác ABC vuông ở B AB AC 2 BC 2 a 3
AB 1
Tam giác SAB vuông ở A sin
ASB
ASB 30
SB 2
Câu 14.
DO AC
DO ABCD .
Gọi O AC BD . Ta có:
DO SA SA ABCD
.
SO là hình chiếu của SD lên mặt phẳng SAC
SD; SAC
SD; SO DSO
Xét SAD vuông tại A : SD 3a 2 a 2 2a .
Xét SOD vuông tại O : có SD 2a , OD
a 2
DO 2 .
sin sin DSO
2
SD
4
20
S
C
A
H
M
B
Câu 15.
Gọi H là trung điểm AB dễ thấy SH ABC .
60 .
SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 suy ra SCH
a 3
3a .
Có HC
SH HC. tan SCH
2
2
, HM 1 AC a SM a 10 cos HM 1 .
Dễ thấy SMH
2
2
2
SM
10
Câu 16. Chọn C
Ta gọi E , F lần lượt là trung điểm của SC AB .
Ta có ME / / NF ( do cùng song song với BC . Nên tứ giác MENF là hình thang,
MF / ISA
và
MF ( ABCD) hay tứ giác MENF là hình thang vuông tại M , F
SA
(
ABCD
)
Gọi K NF AC , I EK M thì I MN ( SAC )
NC AC
Ta có:
NC ( SAC ) hay E là hình chiếu vuông góc của N lên ( SAC )
NC SA
Từ đó ta có được, góc giữa MN và ( SAC ) là góc giữa MN và CI
CN
Suy ra, gọi Q là góc giữa MN và ( SAC ) thì sin
IN
2
a 2 IN KN
a 10
1
2
;
2 IN MN
NC CD
MF 2 FN 2
M ME
3
2
2
3
3
CN 3 5
Vậy sin
.
IN
10
21
Câu 17.
Gọi là đường thẳng đi qua A và song song với . Hạ OH ' H ' . Do O là trung điểm
a 14
.
6
Do S. ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và SO ABCD .
của AC và // ' nên d O, ' d O, hay OH
Do AH OH và AH SO nên, suy ra AH SH .
a 2
.
2
Áp dụng Định lí Pitago vào tam giác vuông AHO ta có OA2 OH 2 AH 2 , suy ra
Do ABCD là hình vuông cạnh a nên AC a 2 , suy ra OA
2
2
a 2 a 14
a
AH OA OH
.
3
2 6
2
2
Áp dụng Định lí Pitago vào tam giác vuông SAO ta có SA2 OA2 SO2 , suy ra
2
a 2
2a 2 4b 2
2
SA OA SO
b
.
2
2
2
2
2a
AH
Do // ' nên cos SA , cos SA , cos SAH
.
SA 3 2a 2 4b 2
S
A
M
H
B
D
O
C
Câu 18.
Gọi H , M lần lượt là trung điểm của AB, SB ; O là tâm của hình chữ nhật ABCD .
Ta có MO / / SD .
Dễ thấy BC SAB BC AM , mà SB AM nên AM SBC .
22
Xét tam giác AMO , có:
a 3
;
AM
2
1
1 2
AO AC
a 3a 2 a ;
2
2
2
2
1
1
1
1 a 3 a
2
MO SD
SH 2 HD 2
SH 2 HA2 AD 2
3a a .
2
2
2
2 2 2
AMO cân tại O
d O; AM
sin
AMO
OM
MO 2
OM
13
cos SD
; SBC sin
AMO
4
AM 2
4
a2
3a 2
16
a
13
.
4
S
K
C
B
I
O
H
d
A
Câu 19.
Do ASB 90 nên tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI nằm trên đường thẳng d đi qua trung điểm
O của đoạn thẳng AB và d SAB . 1
Trong mặt phẳng SCH kẻ IK SH tại K .
Theo giả thiết SI ABC suy ra SI AB . Từ SI AB và AB CH suy ra AB SCH AB IK .
Từ IK SH và AB IK ta có IK SAB . 2
Từ 1 và 2 ta có IK d . Bởi vậy
OO '; ABC
d ; ABC
IK ; ABC .
Vì SCH ABC nên IH là hình chiếu vuông góc của IK trên mặt phẳng ABC . Bởi vậy
HSI
.
IK ; ABC
IK , IH HIK
Do tam giác ABC vuông tại C và SAB vuông tại S nên CO SO
AB
.
2
23
Xét hai tam giác vuông CHO và SHO có CO SO , cạnh OH chung nên CHO SHO c.g.c , bởi vậy
CH SH .
Xét tam giác SIH vuông tại I có IH
CH SH
IH 1 HSI
30 .
, ta có sin HSI
SH 2
2
2
Vậy
OO '; ABC 30 .
Câu 20.
Cách 1:
● Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC . Dựng đường thẳng d qua O và d // SB , d cắt SD tại K . Khi đó
góc giữa SB và SCD chính là góc giữa OK và SCD .
● Vì SO ( ABCD ) SO CD .
60 ).
Ta lại có: ABC đều ( ABC cân tại B và BAC
AB CO CD CO
CD ( SCO ) ( SCD ) ( SCO ) .
Gọi H là hình chiếu của O trên SC , khi đó ta có:
OH SC
OH SCD . Do đó góc giữa SB và mặt phẳng SCD là: OKH .
OH CD
OH .
Ta có: sin sin OKH
OK
● Tứ diện S . ABC là tứ diện đều cạnh a nên ta tính được:
a 3
a 6
a 2
, SO
.
OC
OH
3
3
3
OK DO 2
2
2
Vì OK // SB
OK SB a .
SB DB 3
3
3
OH
2
Vậy: sin
.
OK
2
Cách 2:
24
d ( B, ( SCD))
(như hình trên).
SB
Gọi O là trọng tâm tam giác ABC . Khi đó ta có CO CD .
a 3
a 6
a 2
Dựng OH SC suy ra OH ( SCD ) . Ta tính được OC
.
, SO
OH
3
3
3
3
3
3a 2 a 2
Khi đó d ( B, ( SCD )) d (O, ( SCD)) OH
.
2
2
2 3
2
a 2
2
Vậy sin ( SB;( SCD)) 2
.
a
2
Dạng 1.2 Góc của đường thẳng với đường thẳng
Câu 21. Chọn D
Trước hết ta chứng minh được sin ( SB; ( SCD))
Đặt OA a suy ra OB OC a và AB BC AC a 2
a 2
Gọi N là trung điểm AC ta có MN / / AB và MN
2
Suy ra góc OM , AB OM , MN . Xét OMN
a 2
nên OM N là tam giác đều
2
600 . Vậy
OM , AB
OM , MN 600
Suy ra OMN
Trong tam giác OM N có ON OM MN
Câu 22.
Chọn D
25
Ta có AB. CD AB. AD AC AB. AD AB. AC AB. AD. cos 600 AB. AC.cos 600
3
1
AB. AD. cos 600 AB. AD.cos 600
AB. AD
2
4
AB.CD 1
1
cos AB, CD
cos
AB.CD 4
4
Câu 23. Vì ABCD là hình vuông nên BD AC .
Mặt khác AA ABCD BD AA .
BD AC
Ta có
BD AAC BD AC .
BD AA '
Do đó góc giữa AC và BD bằng 90 .
Câu 24.
AB, CD PM
, PN .
Gọi P là trung điểm AC , ta có PM //CD và PN //AB , suy ra
Dễ thấy PM PN a .
Xét PMN ta có cos MPN
PM 2 PN 2 MN 2 a 2 a 2 3a 2
1
2 PM .PN
2.a.a
2
26
1200
MPN
AB, CD 1800 1200 600 .
B
C
N
A
D
B'
C'
M
A'
D'
Câu 25.
Giả sử cạnh của hình lập phương là a 0 .
Gọi N là trung điểm đoạn thẳng BB . Khi đó, MN //BC nên AM , BC AM , MN .
Xét tam giác ABM vuông tại B ta có: AM AB2 BM 2 a 2
Xét tam giác AAM vuông tại A ta có: AM AA2 AM 2 a 2
a2 a 5
.
4
2
5a 2 3a
.
2
4
BC a 2
a 5
; MN
.
2
2
2
Trong tam giác AMN ta có:
9 a 2 2 a 2 5a 2
2
2
2
MA MN AN
1
6a 2
4
4
4
4
cos AMN
.
. 2
2.MA.MN
4 6a 2
3a a 2
2
2. .
2 2
Suy ra
AMN 45 .
Vậy AM , BC AM , MN
AMN 45 .
Có AN AM
Dạng 1.3 Góc của mặt với mặt
Câu 26. Chọn D
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC và BC; I BM AB, J CN AC, E MN AQ.
Suy ra, MNP ABC MNCB ABC IJ và gọi K IJ PE K AQ với E là trung điểm
M N (hình vẽ).
MNP , AB C
AQ , PE
AAQP IJ AQ IJ , PE IJ
Ta có AP 3, PQ 2 AQ 13 QK
cos cos QKP
KQ 2 KP 2 PQ 2
2 KQ.KP
5
5
13
; PE PK .
2
3
3
13
.
65
27
C'
Q
N
E
M
B'
A'
J
K
I
C
P
B
A
Cách 2
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ
P 0;0;0 , A 3;0;0 , B 0; 3;0 , C 0; 3;0 , A 3;0; 2 , B 0; 3; 2 , C 0; 3; 2
3 3 3
3
nên M ;
; 2 , N ;
; 2
2
2 2
2
1
AB, AC 2; 0;3 và vtpt của mp MNP là n2 4;0; 3
Ta có vtpt của mp ABC là n1
2 3
89
13
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ABC và mp MNP cos cos n1 , n2
65
13 25
Cách 3
28
Gọi Q là trung điểm của AA ' , khi đó mặt phẳng AB ' C ' song song với mặt phẳng MNQ nên góc giữa
hai mặt phẳng AB ' C ' và MNP cũng bằng góc giữa hai mặt phẳng MNQ và MNP .
Ta có:
MNP MNQ MN
0
PE MNP ; PE MN MNP ; MNQ PEQ hoặc MNP ; MNQ 180 PEQ
QE MNQ ; QE MN
Tam giác ABC đều có cạnh 2 3 AP 3 .
Tam giác APQ vuông tại A nên ta có: PQ AP 2 AQ 2 32 12 10
2
Tam giác A ' QE vuông tại A ' nên ta có: QE
13
3
A ' E A ' Q 12
2
2
2
2
2
5
3
Tam giác PEF vuông tại F nên ta có: PE FP FE 2
2
2
Áp dụng định lý hàm số côsin vào tam giác PQE ta có:
25 13
10
2
2
2
EP
EQ
PQ
13
cos PEQ
4 4
2.EP.EQ
65
5 13
2. .
2 2
cos PEQ
13 .
Do đó: cos
MNP ; AB ' C ' cos 1800 PEQ
65
Câu 27. Chọn C
2
2
2
29
Không mất tính tổng quát ta đặt cạnh của khối lập phương là 1.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho A(0;0; 0), B(1;0; 0), D(0;1;0) và A(0;0;1) (như hình vẽ).
1 1 1
Khi đó ta có: M ; ; .
2 2 3
1 1 2
2 1
Suy ra: AB (1;0;0), MA ; ; AB, MA 0; ; n1 (0; 4;3) là VTPT của mặt phẳng
3 2
2 2 3
( MAB ).
1 1 1
1 1
DC (1; 0;0), MD ; ; DC , MD 0; ; n2 (0; 2; 3) là VTPT của mặt phẳng
2 2 3
3 2
( MC D) .
cosin của góc giữa hai mặt phẳng ( MAB ) và ( MC D) bằng:
n1.n2
0.0 4.2 3.( 3)
17 13
cos(n1 , n2 )
.
2
2
2
2
2
2
n1 . n2
65
0 (4) 3 . 0 2 (3)
Câu 28.
Chọn A
30
B
C
J
N
A
D
O
H
M
K
C'
B'
L
I
A'
D'
Giao tuyến của ( MAB ) và ( MC D ) là đường thẳng KH như hình vẽ.
Gọi J là tâm hình vuông ABCD . L, N lần lượt là trung điểm của C D và AB .
Ta có: C D ( LIM ) C D LM LM KH .
Tương tự AB ( NJM ) AB MN MN KH .
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng ( MAB ) và ( MC D ) chính là góc giữa 2 đường thẳng ( MN , ML) .
10
34
, MN
, NL 2 .
6
6
Gọi cạnh hình lập phương là 1 . Ta có LM
Ta có: cos LMN
MN 2 ML2 NL2 7 85
.
2 MN .ML
85
Suy ra cosin của góc giữa hai mặt phẳng ( MAB ) và ( MC D) là
7 85
.
85
Câu 29.
Ta có:
SBD ( ABCD) BD .
Hạ AH BD tại H .
AH BD
Ta có
BD ( SAH ) BD SH .
BD SA
, HS .
SBD ;( ABCD) HA
900 HA
, HS SHA
SAH vuông tại A SHA
31
SA
.
AH
Xét ABD vuông tại A có:
1
1
1
.
2
2
AH
AB
AD 2
tan SHA
2 5
.
5
SA 2a 5.
tan SHA
AH 2a 5
5
Câu 30. Cách 1: Hai mặt phẳng ABD và ACD có giao tuyến là EF như hình vẽ.
AH
Do EF //AB mà AD AABB nên AD AB EF / / A ' D '
Từ A kẻ vuông góc lên giao tuyến EF tại H thì A ' H EF EF ADH EF DH . Khi đó, góc
và DH .
giữa hai mặt phẳng cần tìm chính là góc giữa hai đường thẳng AH
DB
13
, D F D A 5 , EF B A 5 .
2
2
2
2
2
61
2S
305
. Suy ra DH DEF
.
4
EF
10
Tam giác D' EF lần lượt có DE
Theo Hê-rông ta có: SD'EF
Dễ thấy A ' EF D ' EF A ' H D ' H .
HA2 HD2 AD2
29
.
Tam giác DAH có: cos A HD
2HA.HD
61
AH , DH 180118,4 61,6 .
AHD 118,4 hay
Do đó
Cách 2: Gắn hình hộp chữ nhật ABCD. ABCD vào hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó A 0;0;0 , B 2;0;0 ,
D 0;3;0 , C 2;3;0 , A 0;0;4 , B 2;0;4 , D 0;3;4 , C 2;3;4 .
Gọi n1 là véc tơ pháp tuyến của ABD . Có n1 AB ; AD 12; 8; 6 .
Gọi n2 là véc tơ pháp tuyến của ACD . Có n 2 A C ; AD 12;8; 6 .
Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng ABD
và ACD
32
n1 n2
29
cos . Vậy giá trị gần đúng của góc
61
n1 n2
là 61, 6 .
Cách 3.
Do hai mặt phẳng ABD và ACD chứa hai đường AB và CD song song với nhau nên giao tuyến của
chúng song song hai đường đó.
Kẻ AH AB , H AB , dựng hình bình hành AHKD có tâm I như hình vẽ.
Do AD AABB nên AD AB suy ra AB AHKD góc giữa hai mặt phẳng ABD và
ACD là góc giữa
và DH .
AK
có AH
là đường cao nên
Trong tam giác vuông AAB
Vậy AH
1
1
1
1 1
5
.
2
2
2
A H
A B
AA
4 16 16
4
.
5
Xét tam giác AIH có cos I cos A H cos A cos H sin A sin H 29 .
61
Vậy góc giữa hai mặt phẳng ABD và ACD gần đúng bằng 61, 6 .
Câu 31. Chọn D
33
Gọi M trung điểm SA . Ta có SAB cân tại B BM SA (1)
Vì SO ABCD SO BD , lại có O trung điểm BD SBD cân tại S nên SD SB a SAD
cân tại D nên DM SA (2)
Lại có SAB SAD SA (3)
hoặc
.
Từ (1);(2); (3)
SAB , SAD BMD
SAB , SAD 180 BMD
a 3
2a 3
.
BD
3
3
a 3 1
a 6
2a 3
1
Xét AOB OA OC
. Xét SOC SC
OM SC
BD
3
3
2
3
2
90 , do đó chọn
Do đó BMD vuông tại M , vậy
D.
SAB , SAD BMD
Xét SOB OB
Câu 32.
Chọn C
Ta có ABC cân tại A . Gọi I là trung điểm của BC
A ' BC ; ABC
AI ; AI
AIA .
BC 2a
Theo đề bài ta suy ra AI 2a
AI 2a 3
2
34
Xét tam giác vuông AAI có cos
Vậy
AI
3
30.
A' I
2
A ' BC ; ABC 30 .
S
B
A
O
D
K
C
Câu 33.
Gọi O là tâm đáy, và K là hình chiếu vuông góc của O trên SC.
BD AC
Do
BD SAC BD SO , suy ra góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD là góc
BD S A
. Ta có tan SA 2 SA OA. 2 a.
SOA
OA
SC
BD
. Ta có
Do
SC BK . nên góc giữa hai mặt phẳng S AC và SBC là BKO
SC
OK
tan BKO
BO
BO
OK 1 d A, SC
2
2 BO
SA. AC
2.
2
2 2
. 1 2
600 .
2
3 suy ra BKO
1. 2
SA2 AC 2
Câu 34.
Ta có tam giác ABC vuông tại C nên BC AC 1 .
SA ABCD
BC SA 2 .
Vì
BC ABCD
Từ 1 , 2 BC SAC
Trong SAC vẽ AH SC tại H
AH BC BC SAC , AH SAC
AH SBC
Ta có:
AH SC
35
AH SBC
SB AH
SB SBC
Trong SAB vẽ AK SB tại K
SB AH
SB AHK mà HK AHK nên SB HK
SB AK
SB AK
SB HK
SBA ; SBC AK ; HK
AKH
Ta có: AK SAB
HK SBC
SB SAB SBC
SAC vuông tại A có đường cao AH :
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
AH
SA
AC
AH
a 2
a 2
2
1
1
2 AH a .
2
AH
a
SAB vuông tại A có đường cao AK :
1
1
1
1
1
1
1
3
2a
2
2 AK
.
2
2
2
2
2
2
AK
SA
AB
AK
AK
4a
3
2a
a 2
AHK vuông tại H :
4a 2
a2
a
2
2
2
AK AH HK Pytago
a HK HK HK
3
3
3.
a
HK
1
AKH
3
AKH 600 .
AHK vuông tại H cos
2
a
AK
2
3
2
2
2
A
D
O
B
C
A'
B'
D'
C'
Câu 35.
+ Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình vuông ABCD .
x 6
Đặt AB x BC x; AA '
.
2
36
2
x 6
x 10
2
A ' B A ' D
A ' BD cân A ' O BD .
x
2
2
2
x 6
x 10
2
C ' B C ' D
C ' BD cân C ' O BD .
x
2
2
+ A ' BD C ' BD BD
A ' O BD, A ' O A ' BD
C ' O BD, C ' O C ' BD
góc giữa hai mặt phẳng A ' BD và C ' BD bằng góc giữa A ' O và C ' O .
A ' OC ' .
+ Tính
2
2
x 10 x 2
A ' O C ' O A ' B BO
x 2 .
2
2
2
2
A'C ' x 2 .
A ' OC ' 600 .
A ' OC ' đều
Vậy góc giữa hai mặt phẳng A ' BD và C ' BD bằng 600 .
Cách khác: Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình hộp chữ nhật ABCD . A ' B ' C ' D ' để tìm góc giữa hai mặt phẳng
A ' BD và C ' BD .
Câu 36.
Cách 1: Gọi I AB BA ; J C D D C . Ta có IJ ( ADBC) ( BCDA) (1).
Theo giả thiết, ta có: IJ ( DCCD) C D IJ (2).
Từ (1) và (2) CD ( BCDA) ( ADCB) ( BCDA) .
Vậy góc giữa hai mặt phẳng ( ADCB) và ( BCDA) là 90 .
Cách 2: Mặt phẳng ( DCCD) vuông góc và cắt hai mặt phẳng ( ADCB) và ( BCDA) lần lượt theo hai
giao tuyến DC và D C .
Góc giữa hai mp ( ADCB) và ( BCDA) là góc giữa hai đường thẳng DC và D C .
Vì ABCD. ABC D là hình lập phương nên tứ giác DCC D là hình vuông DC D C .
Vậy góc giữa hai mặt phẳng ( ADCB) và ( BCDA) là 90 .
37
Câu 37.
Ta có AMC N là hình bình hành, mà tam giác AMN cân tại A nên MN AC .
Ta có BDD ' B ' cắt ba mặt phẳng ABCD , A' B 'C ' D ' , AMC ' N lần lượt theo ba giao tuyến
BD / / B' D' / / MN .
Hai mặt phẳng P và ABCD có điểm chung A và lần lượt chứa hai đường thẳng song song MN , BD
nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d đi qua A và song song với MN , BD .
Trên hai mặt phẳng P và ABCD lần lượt có hai đường thẳng AC và AC cùng vuông góc với d nên
. Xét tam giác C 'CA
góc giữa hai mặt phẳng P và ABCD chính là góc giữa AC và AC , bằng góc CAC
vuông tại C có:
cos
AC BD MN
a
2
AC AC AC a 2
2
Cách 2:
Theo chứng minh ở trên thì MN //BD và MN BD a .
Đa giác AMC N nằm trên mặt phẳng P có hình chiếu trên mặt ABCD là hình vuông ABCD nên:
2
cos
S ABCD
S AMCN
BD
2
AB
2
2
.
1
1
2
AC .MN
AC .MN
2
2
B'
A'
C'
N
M
B
P
C
A
Câu 38.
Do ABC. A ' B ' C ' là hình lăng trụ đứng nên ta có: S ABC SMNP .cos MNP , ABC
cos MNP , ABC
S ABC 2 3
3
MNP , ABC 300
S MNP
4
2
38
Dạng 2. Khoảng cách
Dạng 2.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Câu 39. Chọn A
S
2a
H
C
A
a
B
BC AB
Ta có
BC SAB .
BC SA
Kẻ AH SB . Khi đó AH BC AH SBC
AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC .
4a 2
2 5a
1
1
1
1
1
5
2
AH
AH
.
2
2
2
2
2
2
AH
SA
AB
4a
a
4a
5
5
Câu 40. Chọn B
S
Ta có
H
A
C
B
Kẻ AH SB trong mặt phẳng SBC
BC AB
Ta có:
BC SAB BC AH
BC SA
AH BC
a 2
1
Vậy
AH SBC d A, SBC AH SB
.
2
2
AH SB
Câu 41. Chọn B
39
S
S
H
A
A
D
G
I
O
I
B
K
O
C
C
* Gọi O AC BD và G là trọng tâm tam giác ABD , I là trung điểm của AB ta có
d D; SAC DG
SI ABCD và
2 d D; SAC 2.d I ; SAC .
IG
d I ; SAC
* Gọi K là trung điểm của AO , H là hình chiếu của I lên SK ta có IK AC; IH SAC
d D; SAC 2.d I ; SAC 2.IH
a 3
BO a 2
; IK
2
2
4
a 3
1
1
1
4
16
28
2 2 2 2 2 IH
2
IH
SI
IK
3a
2a
3a
2 7
* Xét tam giác SIK vuông tại I ta có: SI
d D; SAC 2.d I ; SAC 2.IH
Câu 42.
a 21
.
7
Chọn B
S
A
H
B
D
I
O
K
C
Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó, SH ABCD .
Gọi O là giao điểm của AC và BD suy ra AC BD . Kẻ HK BD tại K ( K là trung điểm BO ).
Kẻ HI SH tại I. Khi đó: d A, SBD 2d H , SBD 2 HI .
a 3
a 2
1
, HK AO
.
2
2
4
a 21
1
1
1
28
Khi đó:
2 HI
.
2
2
2
HI
SH
HK
3a
14
Xét tam giác SHK , có: SH
40
Suy ra: d A, SBD 2 HI
Câu 43.
a 21
.
7
Chọn C
S
A
H
D
B
C
M
CÁCH 1:
Ta có AB / / CD d B; SCD d A; SCD .
Kẽ MA CD M CD ,kẽ AH SM SH SCD d A, SCD SH .
2 S ACD S ABCD a 3 1
1
1
21
2
SM
a
2
2
CD
CD
2 SH
SA
AM
7
3V
3V
CÁCH 2: Ta có AB / / CD d B; SCD d A; SCD S . BCD S .A BCD
S SCD
2 S SCD
SA a ; AM
21a
.
7
( SCD; SD a 2; SC 2a;CD a )
Câu 44. Chọn C
Gọi H là trung điểm của AB SH AB SH ( ABCD).
Từ H kẻ HM BD , M là trung điểm của BI và I là tâm của hình vuông.
BD HM
Ta có:
BD (SHM)
BD SH
41
Từ H kẻ HK SM HK BD ( Vì BD (SHM) )
HK ( SBD) d(H;(SBD)) HK.
3a
AI AC
2a
.
. SH
2
2
4
4
2a 3a
.
HM .HS
21a
4
2
.
2
2
14
HM 2 HS 2
2a 3a
4 2
Ta có: HM
HK
d (C ; ( SBD )) d ( A; ( SBD )) 2d ( H ;( SBD )) 2 HK 2.
Vậy: d (C;(SBD))
Câu 45.
21a
14
21a
.
7
21a
.
7
Chọn D
BC AB
Ta có:
BC SAB
BC SA
SAB SBC
SAB SBC SB
Trong mặt phẳng SAB : Kẻ AH SB AH d A; SBC
1
1
1
1
1
4
2
2 2 2.
2
2
AH
SA
AB
a 3a
3a
3a
d A; SBC AH
. Chọn D
2
Câu 46. Chọn B
Gọi E , F , G lần lượt là trung điểm của BD, CD và trọng tâm tam giác BCD
Tam giác BCD đều nên suy ra CE
CG
BC 3 a 3
2
2
a 3
2
CE
3
3
Tam giác ACG vuông tại G nên ta có AG 2 AC 2 CG 2 a 2
Vậy d A, BCD AG
a 2 2a 2
a 6
AG
3
3
3
a 6
3
42
Câu 47.
Chọn C
Gọi H là hình chiếu của A lên SD ta chứng minh được AH SCD
1
1
1
2a
2
AH
2
2
AH
SA
AD
5
Câu 48. Chọn B
1
1
1
1
1
1
1
1
1
19
.
2 2 2
2
2
2
2
2
2
AK
AH
AS
AB
AC
AS
a 3a
4a
12a 2
2a 57
2a 3
Suy ra AK
hay d ( A, ( SBC ))
.
19
19
Ta có
43
S
A
K
D
O
H
B
C
Câu 49.
S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên ABCD là hình vuông và SO ABCD .
Vẽ OH vuông góc với CD tại H thì H là trung điểm CD , OH
a
.
2
Dễ thấy CD SOH SCD SOH nên kẻ OK vuông góc với SH tại K thì OK SCD .
d O, SCD OK .
a
2 a 2.
Tam giác vuông SOH có OK là đường cao nên OK
3
OS 2 OH 2
a2
2a 2
4
OS .OH
a 2.
a 2
Vậy d O, SCD
.
3
Câu 50.
1
1
d C; SBD d A; SBD
2
2
Gọi H là hình chiếu của A lên mp SBD d A; SBD AH
Do M là trung điểm SC nên d M ; SBD
44
Lại có AS , AB, AD đôi một vuông góc nên
AH
1
1
1
1
1
1
1
2 2
2
2
2
2
AH
AS
AB
AD
a
a
a 2
a 10
a 10
.
d M ; SBD
5
10
2
5
2a 2
S
K
C
A
H
B
Câu 51.
Ta có
SA ABC
SA BC .
BC ABC
Trong ABC , kẻ AH BC , mà BC SA BC SAH BC SH .
Trong SAH , kẻ AK SH , mà SH BC AK SBC hay d A; SBC AK .
Vì ABC vuông tại A nên BC
AB 2 AC 2 2a .
AB. AC
3a
.
BC
2
19a
Vì SAH vuông tại A nên SH SA2 AH 2
.
2
SA. AH 2a 3
Vậy có AK là đường cao AK
.
SH
19
Nhận xét. Trong thực hành làm toán trắc nghiệm ta nên áp dụng bài toán sau:
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và H là hình chiếu của O lên mặt phẳng
1
1
1
1
.
ABC . Khi đó
2
2
2
OH
OA OB OC 2
Mặt khác có AH là đường cao nên AH
S
H
C
A
M
B
Câu 52.
Gọi M là trung điểm BC . Kẻ AH SM tại H .
Ta có AM BC và SA BC nên BC SAM BC AH 1 .
45
Mà AH SM 2 .
Từ 1 và 2 suy ra AH SBC .
Do đó d A, SBC AH .
Xét tam giác SAM vuông tại A , có
1
1
1
1
1
7
21a
3
2 2 AH a
.
2
2
2
2
AH
AM
AS
3a
7
7
a 3 a
2
Câu 53. Chọn C
d B; SCD BD
* Ta có:
2 d B; SCD 2.d O; SCD 2OH . Trong đó H là hình chiếu
d O; SCD OD
vuông góc của O lên SCD .
S
H
A
D
60
I
O
B
C
* Gọi I là trung điểm của CD ta có:
SCD ABCD CD
SCD ; ABCD OI ; SI S
IO 60 .
SI CD
OI CD
Xét tam giác SOI vuông tại O ta có: SO OI .tan 60
a 3
.
2
1
1
1
4
4
16
2
2 2 2
2
2
OH
OI
OS
a 3a
3a
a 3
a 3
.
OH
d B; SCD
4
2
Câu 54. Chọn C
Xét SOI , ta có
46
AD
a , AC a 3 .
2
Gọi E AB CD , suy ra tam giác ADE đều.
Khi đó C là trung điểm của ED và AC ED .
Từ giả thiết suy ra: AB BC CD
Dựng AH SC thì AH SCD , suy ra d A, SCD AH .
Xét tam giác SAC vuông tại A , có AH là đường cao
1
1
1
Suy ra:
2
AH 2a
2
AH
SA
AC 2
1
1
a 2
Mà d B, SCD d A, SCD AH
.
2
2
2
Câu 55. Chọn C
Gọi M là trung điểm của CD , K là hình chiếu của H lên SM
a 2
Tam giác HCD vuông tại H có CD a 2 và HM
2
Ta có BH / / CD d B, SCD d H , SCD HK
Tam giác SHM vuông tại H có HK
HM .HS
2
HM HS
Vậy d B, SCD
2
a 6
4
a 6
4
47
Câu 56.
Chọn B
Gọi A ' là chân đường cao kẻ từ A lên BC , C ' là chân đường cao kẻ từ C lên AB.
Gọi H là giao của AA’ với CC’ suy ra H là trực tâm của tam giác ABC. Ta dễ dàng chứng
minh được OH ( ABC ).
Do đó: d (O; ( ABC )) OH . Tính OH .
1
1
1
Ta có: Tam giác OAA ' vuông tại O, có OH là đường cao. Suy ra :
(1)
2
2
OH
OA OA '2
1
1
1
Lại có: Tam giác OBC vuông tại B, có OA ' là đường cao. Suy ra:
(2)
2
2
OA '
OB OC 2
1
1
1
1
. Thay OA OB OC 3 vào, ta được:
Từ (1) và (2) suy ra:
2
2
2
OH
OA OB OC 2
1
1 1 1
1 OH 1.
2
OH
3 3 3
Vậy d (O; ( ABC )) OH 1.
Câu 57.
Cách 1: Sử dụng kiến thức ở lớp 11.
ABCD là hình thoi cạnh a ,
ABC 60 ABC , ACD là các tam giác đều cạnh a .
Xét SAC vuông tại A có: SA SC 2 AC 2 4a 2 a 2 a 3 .
Vì AB // CD nên AB // SCD . Do đó d B, SCD d A, SCD .
48