Các dạng toán đường thẳng và mặt phẳng trong không gian quan hệ song song
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
TOÁN 11
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1H2-1
MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. LÝ THUYẾT ................................................................................................................................................... 1
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG........................................................................................ 3
DẠNG 3. TÌM GIAO ĐIỂM ............................................................................................................................................ 4
DẠNG 4. TÌM THIẾT DIỆN ........................................................................................................................................... 7
DẠNG 5. ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG ...................................................................................................................... 11
DẠNG 6. TỈ SỐ ............................................................................................................................................................. 12
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .............................................................................................................................. 14
DẠNG 1. LÝ THUYẾT ................................................................................................................................................. 14
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG...................................................................................... 16
DẠNG 3. TÌM GIAO ĐIỂM .......................................................................................................................................... 20
DẠNG 4. TÌM THIẾT DIỆN ......................................................................................................................................... 27
DẠNG 5. ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG ...................................................................................................................... 40
DẠNG 6. TỈ SỐ ............................................................................................................................................................. 44
PHẦN A. CÂU HỎI
DẠNG 1. LÝ THUYẾT
Câu 1.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng
(nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
B. Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đấy hoặc đồng qui hoặc
đôi một song song.
C. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng
(nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó.
D. Hai mặt phẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Câu 2.
Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết điều nào sau đây?
A. Một đường thẳng và một điểm thuộc nó.
B. Ba điểm mà nó đi qua.
C. Ba điểm không thẳng hàng.
D. Hai đường thẳng thuộc mặt phẳng.
Câu 3.
Trong các tính chất sau, tính chất nào không đúng?
A. Có hai đường thẳng phân biệt cùng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
B. Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
C. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
D. Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều
thuộc mặt phẳng đó.
1
Câu 4.
(HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Ba đường thẳng đôi một song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
B. Ba đường thẳng phân biệt đôi một cắt nhau thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
C. Ba đường thẳng đôi một cắt nhau thì chúng đồng quy tại một điểm.
D. Cả A, B, C đều sai.
Câu 5.
Cho các khẳng định:
(1): Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
(2): Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
(3): Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.
(4): Nếu ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng thì chúng thẳng hàng.
Số khẳng định sai trong các khẳng định trên là
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Câu 6.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì cheo nhau.
B. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
C. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
D. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.
Câu 7.
Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b
A. 0. .
B. Vô số.
C. 2. .
D. 1.
Câu 8.
(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Trong các hình vẽ sau hình nào có thể là
hình biểu diễn của một hình tứ diện? (chọn câu đúng và đầy đủ nhất)
A. ( I ), ( II ) .
B. ( I ),( II ),( III ),( IV ) . C. ( I ) .
D. ( I ),( II ),( III ) .
Câu 9.
(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Một hình chóp có đáy là ngũ giác có số cạnh
là
A. 9 cạnh.
B. 10 cạnh.
C. 6 cạnh.
D. 5 cạnh.
Câu 10.
(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Một hình chóp có đáy là ngũ giác có số mặt và số
cạnh là
A. 5 mặt, 5 cạnh.
B. 6 mặt, 5 cạnh.
C. 6 mặt, 10 cạnh.
D. 5 mặt, 10 cạnh.
Câu 11.
(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Hình chóp có 16 cạnh thì có
bao nhiêu mặt?
A. 10 .
B. 8 .
C. 7 .
D. 9 .
Câu 12.
Cho hình chóp S. ABC . Gọi M , N , K , E lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, BC . Bốn điểm nào
sau đây đồng phẳng?
A. M , K , A, C .
B. M , N , A, C .
C. M , N , K , C .
D. M , N , K , E .
Câu 13. (THPT KINH MÔN - HD - LẦN 2 - 2018) Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:
A. Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
2
B. Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song
với nhau.
C. Nếu mặt phẳng P chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng Q thì P và Q
song song với nhau.
D. Trong không gian hình biểu diễn của một góc thì phải là một góc bằng nó.
Câu 14.
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Trong không gian cho bốn điểm không đồng
phẳng, có thể xác định nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đó?
A. 3 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 6 .
Câu 15.
(THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho tam giác ABC khi đó số mặt phẳng qua A
và cách đều hai điểm B và C là?
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. Vô số.
Câu 16.
Cho mặt phẳng P và hai đường thẳng song song a và b . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu P song song với a thì P cũng song song với b .
B. Nếu P cắt a thì P cũng cắt b .
C. Nếu P chứa a thì P cũng chứa b .
D. Tất cả các khẳng định trên đều sai.
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG
Câu 17.
Cho hình chóp S . ABCD với ABCD là hình bình hành. Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng
SAC và SAD là
A. Đường thẳng SC .
Câu 18.
B. Đường thẳng SB .
(Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi
M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Giao tuyến của SMN và SAC là
A. SK ( K là trung điểm của AB ).
C. SF ( F là trung điểm của CD ).
Câu 19.
B. AC .
C. SO .
D. SD .
(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho hình chóp tứ giác S. ABCD. Giao tuyến của
hai mặt phẳng SAB và SBC là
A. SA .
Câu 21.
B. SO ( O là tâm của hình bình hành ABCD ).
D. SD .
(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là
hình thang với đáy lớn AD , AD 2 BC . Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tìm giao tuyến của
hai mặt phẳng SAC và SBD .
A. SA .
Câu 20.
C. Đường thẳng SD . D. Đường thẳng SA .
B. SB .
C. SC .
D. AC .
(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang
ABCD ( AD // BC ) . Gọi M là trung điểm của CD . Giao tuyến của hai mặt phẳng MSB và
SAC là:
A. SP với P là giao điểm của AB và CD .
C. SO với O là giao điểm của AC và BD .
Câu 22.
B. SI với I là giao điểm của AC và BM .
D. SJ với J là giao điểm của AM và BD .
(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Cho hình chóp S . ABCD , biết AC cắt BD
tại M , AB cắt CD tại O . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD .
A. SO .
B. SM .
C. SA .
D. SC .
3
Câu 23.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là AB . Kết luận nào sau đây sai?
A. Giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC là đường thẳng đi qua S và không song song
với AD .
B. Giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC là đường thẳng đi qua S và song song với AD
C. Giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD là đường thẳng đi qua S và song song với CD
.
D. Giao tuyến của hai mặt phẳng SAC và SBD là đường thẳng đi qua và giao điểm của AC
và DB .
Câu 24.
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của
SA và SB . Khẳng định nào sau đây sai?
A. SAB IBC IB .
B. IJCD là hình thang.
C. SBD JCD JD .
Câu 25.
D. IAC JBD AO ( O là tâm ABCD ).
Cho hình chóp S. ABCD có AC BD M , AB CD N . Giao tuyến của hai mặt phẳng SAB
và SCD là:
A. SM .
B. SA .
C. MN .
D. SN .
Câu 26.
(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang ABCD
( AD // BC ) . Gọi M là trung điểm CD . Giao tuyến của hai mặt phẳng ( MSB ) và ( SAC ) là
A. SI ( I là giao điểm của AC và BM ).
B. SO ( 0 là giao điểm của AC và BD ).
C. SJ ( J là giao điểm của AM và BD ).
D. SP ( P là giao điểm của AB và CD ).
Câu 27.
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , M là trung điểm SC . Khẳng
định nào sau đây sai?
A. Giao tuyến của SAC và ABCD là AC . B. SA và BD chéo nhau.
C. AM cắt SBD .
Câu 28.
D. Giao tuyến của SAB và SCD là SO .
(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Cho tứ diện ABCD , M là trung điểm của
1
2
AB , N là điểm trên AC mà AN AC , P là điểm trên đoạn AD mà AP AD . Gọi E là
4
3
giao điểm của MP và BD , F là giao điểm của MN và BC . Khi đó giao tuyến của BCD và
CMP là
A. CP .
Câu 29.
B. NE .
C. MF .
D. CE .
Cho bốn điểm A, B, C , D không đồng phẳng. Gọi I , K lần lượt là trung điểm hai đoạn thẳng AD
và BC . IK là giao tuyến của cặp mặt phẳng nào sau đây ?
A. IBC và KBD . B. IBC và KCD . C. IBC và KAD . D. ABI và KAD .
Câu 30. (THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm AD và AC . Gọi G là trọng tâm tam giác BCD . Giao tuyến của hai mặt phẳng GMN
và BCD là đường thẳng:
A. qua M và song song với AB .
C. qua G và song song với CD .
B. Qua N và song song với BD .
D. qua G và song song với BC .
DẠNG 3. TÌM GIAO ĐIỂM
4
Câu 31.
Cho hình chóp S . ABCD có I là trung điểm của SC , giao điểm của AI và SBD là
A. Điểm
B. Điểm
C. Điểm
D. Điểm
Câu 32.
K (với O là trung điểm của BD và K SO AI ).
M (với O là giao điểm của AC và BD , M là giao điểm SO và AI ).
N (với O là giao điểm của AC và BD , N là trung điểm của SO ).
I.
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. M , N lần lượt thuộc đoạn AB, SC . Khẳng
định nào sau đây đúng?
A. Giao điểm của MN và SBD là giao điểm của MN và SB .
B. Đường thẳng MN không cắt mặt phẳng SBD .
C. Giao điểm của MN và SBD là giao điểm của MN và SI , trong đó I là giao điểm của CM
và BD.
Câu 33.
Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O và một điểm S không thuộc mặt phẳng
( ABCD) . Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C . Giao điểm của đường thẳng
SD với mặt phẳng ( ABM ) là
A. giao điểm của
B. giao điểm của
C. giao điểm của
D. giao điểm của
SD
SD
SD
SD
và
và
và
và
BK (với K SO AM ).
AM .
AB .
MK (với K SO AM ).
Câu 34.
(Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm các cạnh AD , BC ; G là trọng tâm của tam giác BCD . Khi đó, giao điểm của đường
thẳng MG và mặt phẳng ( ABC ) là:
A. Điểm A .
B. Giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN .
C. Điểm N .
D. Giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng BC .
Câu 35.
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC . Gọi I là giao điểm
của đường thẳng AM với mặt phẳng SBD . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
đây:
A. IA 3IM .
B. IM 3IA .
C. IM 2 IA .
D. IA 2 IM .
Câu 36.
(HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Cho tứ diện ABCD có M , N theo thứ tự là
trung điểm của AB, BC . Gọi P là điểm thuộc cạnh CD sao cho CP 2 PD và Q là điểm thuộc
cạnh AD sao cho bốn điểm M , N , P, Q đồng phẳng. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Q là trung điểm của đoạn thẳng AC .
B. DQ 2 AQ
C. AQ 2 DQ
D. AQ 3DQ .
Câu 37.
(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho tứ diện ABCD , gọi E , F lần lượt là
trung điểm của AB , CD ; G là trọng tâm tam giác BCD . Giao điểm của đường thẳng EG và mặt
phẳng ACD là
A. Giao điểm của đường thẳng EG và AF .
B. Điểm F .
C. Giao điểm của đường thẳng EG và CD .
D. Giao điểm của đường thẳng EG và AC .
Câu 38.
(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Cho tứ diện ABCD có M , N lần lượt là trung điểm của
BC , AD . Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD . Gọi I là giao điểm của NG với mặt phẳng
ABC . Khẳng định nào sau đây đúng?
5
A. I AM .
Câu 39.
B. I BC .
C. I AC .
(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình
SG 3
hành. Gọi M , I lần lượt là trung điểm của SA , BC điểm G nằm giữa S và I sao cho
.
SI 5
Tìm giao điểm của đường thẳng MG với mặt phẳng ABCD .
A. Là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng
B. Là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng
C. Là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng
D. Là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng
Câu 40.
B. MN .
Cho hình chóp
,
phẳng
là
A. Giao điểm của
C. Giao điểm của
Câu 42.
AI .
BC .
CD .
AB .
Cho tứ diện ABCD . Lấy điểm M sao cho AM 2CM và N là trung điểm AD . Gọi O là một
điểm thuộc miền trong của BCD . Giao điểm của BC với OMN là giao điểm của BC với
A. OM .
Câu 41.
D. I AB .
D. A, B đều sai.
là một điểm trên cạnh
,
là một điểm trên cạnh
,
,
. Khi đó giao điểm của đường thẳng
với mặt
,
và
và
C. A, B đều đúng.
.
.
B. Giao điểm của
D. Giao điểm của
và
và
.
.
Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác, như hình vẽ bên duới.
Với M , N , H lần lượt là các điểm thuộc vào các cạnh AB, BC , SA sao cho MN không song song
với AB. Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng AN với BM . Gọi T là giao điểm của đường
NH với SBO . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. T là giao điểm của hai đường thẳng SO với HM .
B. T là giao điểm của hai đường thẳng NH và BM .
C. T là giao điểm của hai đường thẳng NH và SB .
D. T là giao điểm của hai đường thẳng NH và SO .
Câu 43.
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là một tứ giác (AB không song song với CD). Gọi M là
trung điểm của SD, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN 2 NB. Giao điểm của MN với
(ABCD) là điểm K. Hãy chọn cách xác định điểm K đúng nhất trong 4 phương án sau:
A. K là giao điểm của MN với AC.
B. K là giao điểm của MN với AB.
C. K là giao điểm của MN với BC.
D. K là giao điểm của MN với BD.
6
Câu 44.
(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình
bình hành tâm O . Gọi M , N , K lần lượt là trung điểm của CD, CB, SA . H là giao điểm của AC
và MN . Giao điểm của SO với MNK là điểm E . Hãy chọn cách xác định điểm E đúng nhất
trong bốn phương án sau:
A. E là giao điểm của MN với SO .
C. E là giao điểm của KH với SO .
B. E là giao điểm của KN với SO .
D. E là giao điểm của KM với SO .
DẠNG 4. TÌM THIẾT DIỆN
Câu 45.
(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Cho hình chóp S. ABCD với ABCD là tứ giác lồi. Thiết
diện của mặt phẳng tùy ý với hình chóp không thể là
A. tam giác.
B. tứ giác.
C. ngũ giác.
D. lục giác.
Câu 46.
Cho hình chóp S .ABCD có ABCD là hình thang cân đáy lớn AD . Gọi M , N lần lượt là hai
trung điểm của AB,CD . Gọi (P ) là mặt phẳng qua MN và cắt mặt bên (SBC ) theo một giao
tuyến. Thiết diện của (P ) và hình chóp là:
A. Hình bình hành.
B. Hình chữ nhật.
Câu 47.
D. Hình vuông.
(HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Cho tứ diện ABCD đều cạnh a . Gọi G là
trọng tâm tam giác ABC , mặt phẳng CGD cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là.
A.
Câu 48.
C. Hình thang.
a2 2
.
6
B.
a2 3
.
4
C.
a2 2
.
4
D.
a2 3
.
2
(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là
hình bình hành. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD , SC . Thiết diện hình chóp
với mặt phẳng MNP là một
A. tam giác.
B. tứ giác.
C. ngũ giác.
D. lục giác.
Câu 49.
Cho tứ diện ABCD . Trên các cạnh AB, BC , CD lần lượt lấy các điểm P, Q, R sao cho
1
AP AB, BC 2QC , R không trùng với C , D . Gọi PQRS là thiết diện của mặt phẳng PQR
3
với hình tứ diện ABCD . Khi đó PQRS là
A. hình thang cân.
B. hình thang.
C. một tứ giác không có cặp cạnh đối nào song song.
D. hình bình hành.
Câu 50.
(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho hình chóp S. ABCD . Có đáy ABCD là hình
bình hành. Gọi M , N , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , AD , SC . Thiết diện của hình
chóp với mặt phẳng MNQ là đa giác có bao nhiêu cạnh?
7
A. 3 .
Câu 51.
B. 4 .
C. 5 .
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang, AB // CD và AB 2CD . Gọi O là giao điểm của
SE SF 2
AC và BD . Lấy E thuộc cạnh SA , F thuộc cạnh SC sao cho
(tham khảo hình vẽ
SA SC 3
dưới đây).
Thiết diện của hình chóp S . ABCD cắt bởi mặt phẳng BEF là
A. một tam giác.
B. một tứ giác.
C. một hình thang.
Câu 52.
D. 6 .
D. một hình bình hành.
(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là
hình thang với đáy lớn AD, E là trung điểm của cạnh SA, F , G là các điểm thuộc cạnh SC, AB
(F không là trung điểm của SC ). Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng EFG là một hình
A. lục giác.
Câu 53.
B. ngũ giác.
C. tam giác.
D. tứ giác.
(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Cho hình chóp S . ABCD có
đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA . Thiết diện của hình chóp S . ABCD cắt bởi
IBC là
A. Tứ giác IBCD .
B. Hình thang IGBC ( G là trung điểm SB ).
C. Hình thang IJBC ( J là trung điểm SD ).
D. Tam giác IBC .
Câu 54.
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Cắt tứ diện bởi mặt
phẳng GCD . Tính diện tích của thiết diện.
8
A.
Câu 55.
3.
B. 2 3 .
C.
2.
D.
2 2
.
3
Cho khối lập phương ABCD. AB C D cạnh a . Các điểm E, F lần lượt trung điểm C B và C ' D '
. Tính diện tích thiết diện của khối lập phương cắt bởi mặt phẳng AEF .
A.
7 a 2 17
.
24
B.
a 2 17
.
4
C.
a 2 17
.
8
D.
7 a 2 17
.
12
Câu 56.
Cho hình chóp S . ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB và SD . Thiết diện của hình
chóp S . ABCD và mặt phẳng AMN là hình gì
A. Tam giác.
B. Ngũ giác.
C. Tam giác cân.
D. Tứ giác.
Câu 57.
Cho tứ diện ABCD có M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD và P là một điểm thuộc cạnh
BC ( P không trùng trung điểm cạnh BC ). Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng MNP là:
A. Tam giác.
B. Lục giác.
C. Ngũ giác.
D. Tứ giác.
Câu 58.
Cho hình chóp S. ABCD , có M là trung điểm của SC , N thuộc cạnh BC sao cho NB 2 NC .
Thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt bởi mặt phẳng AMN là
A. hình thang cân.
B. hình bình hành.
C. tam giác.
D. tứ giác.
Câu 59.
(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy
ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N , K lần lượt là trung điểm của CD , CB , SA . Thiết
diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng MNK là một đa giác H . Hãy chọn khẳng định đúng?
A. H là một hình thang.
B. H là một hình bình hành.
C. H là một ngũ giác. D. H là một tam giác.
Câu 60.
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy C là điểm trên cạnh SC
2
sao cho SC SC . Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ABC là một đa giác m cạnh. Tìm
3
m.
A. m 6 .
B. m 4 .
C. m 5 .
D. m 3 .
Câu 61.
(THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho tứ diện ABCD có M , N lần lượt là
trung điểm của AB , CD và P là một điểm thuộc cạnh BC ( P không là trung điểm của BC ).
Thiết diện của tứ diện bị cắt bởi mặt phẳng MNP là
9
A. Tứ giác.
Câu 62.
B. Ngũ giác.
C. Lục giác.
(KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Cho tứ diện ABCD có M , N
lần lượt là trung điểm của AB, CD và P là một điểm thuộc cạnh BC ( P không trùng trung điểm
cạnh BC ). Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng MNP là:
A. Tam giác.
B. Lục giác.
C. Ngũ giác.
Câu 63.
D. Tam giác.
D. Tứ giác.
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang AB / / CD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm
của các cạnh AD, BC và G là trọng tâm tam giác SAB . Biết thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt
phẳng IJG là hình bình hành. Hỏi khẳng định nào sao đây đúng?
A. AB 3CD .
Câu 64.
1
B. AB CD .
3
3
C. AB CD .
2
2
D. AB CD .
3
Cho tứ diện ABCD có các mặt là những tam giác đều có độ dài các cạnh bằng 2a . Gọi M , N lần
lượt là trung điểm các cạnh AC , BC và P là trọng tâm tam giác BCD . Mặt phẳng MNP cắt tứ
diện theo một thiết diện có diện tích là:
a 2 11
a2 3
a2 2
a 2 11
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
4
4
2
Câu 65.
Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a a 0 . Tính diện tích thiết diện của hình
lập phương đã cho cắt bởi mặt phẳng trung trực của đoạn AC .
2 2 2
3 3 2
5 2
A.
B. a 2 .
C.
D.
a .
a .
a .
3
4
2
Câu 66.
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Điểm M di động trên đoạn BC , M khác B và C .Mặt
phẳng đi qua M đồng thời song song với hai đường thẳng AB , CD .Gọi H là thiết diện của
tứ diện ABCD cắt bới mặt phẳng .Trong các khẳng định sau có bao nhiêu khẳng định đúng?
(1) H là một hình chữ nhật.
(2) Chu vi của H bằng 2.
(3) Diện tích của H bằng
1
.
4
3
(4) Quỹ tích trọng tâm H là một đoạn thẳng có độ dài bằng
.
2
(Trọng tâm của hình A1 A2 ... An là điểm G thỏa mãn GA1 GA2 ... GA3 0 ).
A. 3.
B. 4.
C. 2.
D. 1
Câu 67.
Cho tứ diện ABCD có cạnh bằng a. Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh
BC, AD, AC, BD và G là giao điểm của MN và PQ . Tính diện tích tam giác GAB ?
a2 3
A.
.
8
Câu 68.
a2 3
B.
.
4
a2 2
C.
.
8
a2 2
D.
.
4
(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD , G là điểm
nằm trong tam giác SCD . E , F lần lượt là trung điểm của AB và AD . Thiết diện của hình chóp
khi cắt bởi mặt phẳng EFG là:
A. Tam giác.
B. Tứ giác.
C. Ngũ giác.
D. Lục giác.
10
Câu 69.
(THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình
bình hành. Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, BC , CD . Hỏi thiết diện của
hình chóp cắt bởi mặt phẳng MNP là hình gì?
A. Hình ngũ giác.
B. Hình tam giác.
C. Hình tứ giác.
D. Hình bình hành.
Câu 70.
(THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình
thang AB / / CD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC và G là trọng tâm tam giác
SAB . Biết thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng IJG là hình bình hành. Hỏi khẳng định
nào sao đây đúng?
1
3
2
A. AB CD .
B. AB CD .
C. AB 3CD .
D. AB CD
3
2
3
Câu 71.
(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 2 - 2018) Cho hình lập phương ABCD. ABC D
có cạnh bằng 2 . Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng chứa đường chéo AC . Tìm giá trị nhỏ
nhất của diện tích thiết diện thu được.
A. 2 6 .
B. 6 .
C. 4 .
D. 4 2 .
DẠNG 5. ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG
Câu 72.
(HKI-Chu Văn An-2017) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang
AD // BC , AD BC . Gọi I là giao điểm của AB và DC , M là trung điểm của SC và DM cắt
SAB
tại J . Khẳng định nào sau đây SAI?
A. Ba điểm S , I , J thẳng hàng.
B. Đường thẳng JM thuộc mặt phẳng ( SAB ) .
C. Đường thẳng SI là giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) .
D. Đường thẳng DM thuộc mặt phẳng ( SCI ) .
Câu 73.
(THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Cho hình tứ diện ABCD có M , N lần lượt là trung
điểm của AB , BD . Các điểm G , H lần lượt trên cạnh AC , CD sao cho NH cắt MG tại I .
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. A , C , I thẳng hàng
B. B , C , I thẳng hàng.
C. N , G , H thẳng hàng.
D. B , G , H thẳng hàng.
Câu 74.
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang ABCD
AD // BC , AD BC . Gọi I là giao điểm của AB và DC ; M là trung điểm của SC và DM
cắt mặt phẳng SAB tại J . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Đường thẳng SI là giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD .
B. Đường thẳng JM thuộc mặt phẳng SAB .
C. Ba điểm S , I , J thẳng hàng.
D. Đường thẳng DM thuộc mặt phẳng SCI .
Câu 75.
(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho hình chóp tứ giác S. ABCD , có đáy ABCD là
tứ giác lồi. O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Một mặt phẳng cắt các cạnh bên
SA , SB , SC , SD tương ứng tại các điểm M , N , P , Q . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Các đường thẳng MP, NQ , SO đồng qui.
B. Các đường thẳng MP, NQ , SO chéo nhau.
11
C. Các đường thẳng MP, NQ , SO đôi một song song.
D. Các đường thẳng MP, NQ , SO trùng nhau.
Câu 76.
(HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Cho hình chóp S . ABCD . Một mặt phẳng P
bất kì cắt các cạnh SA, SB, SC , SD lầm lượt tại A '; B '; C '; D ' . Gọi I là giao điểm của AC và BD
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?
A. Các đường thẳng AB, CD , C ' D ' đồng quy B. Các đường thẳng AB, CD, A 'B' đồng quy
C. Các đường thẳng A ' C ', B ' D ',SI đồng quy. D. Các phương án A, B, C đều sai
Câu 77.
Cho tứ diện ABCD . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của cạnh AB , BC . Mặt phẳng P đi qua
EF cắt AD , CD lần lượt tại H và G . Biết EH cắt FG tại I . Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
A. I , A, B .
B. I , C , B .
C. I , D, B .
D. I , C , D .
Câu 78.
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang với đáy lớn là BC . M , N lần lượt là trung điểm
của SB, SC . Điểm I là giao điểm của AB và DC . Phát biểu nào sau đây đúng
A. MI SAB SCD .
B. Bốn điểm M, N, A, D không đồng phẳng.
C. NI SAB SCD .
D. Ba đường thẳng AM, DN, SI đôi một song song hoặc đồng quy.
Câu 79.
Cho hình chóp tứ giác S . ABCD , gọi O là giao điểm của AC và BD . Một mặt phẳng cắt
các cạnh bên SA, SB, SC , SD tương ứng tại các điểm M , N , P, Q . Khẳng định nào đúng?
A. Các đường thẳng MN , PQ, SO đồng quy.
B. Các đường thẳng MP, NQ, SO đồng quy.
C. Các đường thẳng MQ, PN , SO đồng quy.
D. Các đường thẳng MQ, PQ, SO đồng quy.
DẠNG 6. TỈ SỐ
Câu 80.
(THPT KINH MÔN - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện ABCD . Gọi G1 và G2 lần
lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD . âu sai.
2
A. G1G2 AB .
B. BG1 , AG2 và CD đồng qui.
3
C. G1G2 // ABD .
D. G1G2 // ABC .
Câu 81.
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang ABCD với
1
AD // BC và AD 2 BC . Gọi M là điểm trên cạnh SD thỏa mãn SM SD . Mặt phẳng ABM
3
SN
cắt cạnh bên SC tại điểm N . Tính tỉ số
.
SC
SN 2
SN 3
SN 4
SN 1
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
SC 3
SC 5
SC 7
SC 2
Câu 82.
(HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình
chữ nhật. Gọi M , N theo thứ tự là trọng tâm SAB; SCD . Gọi G là giao điểm của đường thẳng
SG
bằng
MN với mặt phẳng SAC , O là tâm của hình chữ nhật ABCD. Khi đó tỉ số
GO
12
A.
3
2
C. 3
B. 2 .
D.
5
.
3
Câu 83.
(HKI-Chu Văn An-2017) Cho hình chóp S . ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, BC
1
và P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AP AB . Gọi Q là giao điểm của SC và MNP .
3
SQ
Tính tỉ số
.
SC
SQ 2
SQ 2
SQ 1
SQ 3
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
SC 5
SC 3
SC 3
SC 8
Câu 84.
(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho hình chóp S . ABC. Gọi M , N lần lượt
AP 1
là trung điểm của SA và BC , P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho
. Gọi Q là giao điểm
AB 3
SQ
của SC và mặt phẳng MNP . Tính
.
SC
1
1
2
1
A. .
B. .
C. .
D. .
2
3
3
6
Câu 85.
Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD , BC , điểm G là trọng
tâm của tam giác BCD . Gọi I giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng ABC . Khi đó tỉ lệ
AN
bằng bao nhiêu?
NI
A. 1 .
Câu 86.
B.
1
.
2
C.
2
.
3
D.
3
.
4
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Hai điểm M , N thứ tự là trung điểm
của các cạnh AB, SC . Gọi I , J theo thứ tự là giao điểm của AN , MN với mặt phẳng SBD . Tính
k
IN JN
?
IA JM
A. k 2 .
B. k
3
.
2
C. k
4
.
3
5
D. k .
3
Câu 87.
(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là
trung điểm của AC và BC . Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK 2 KD . Gọi F là giao điểm
FA
của AD với mặt phẳng IJK . Tính tỉ số
.
FD
7
11
5
A. .
B. 2 .
C.
.
D. .
3
5
3
Câu 88.
Cho tứ diện ABCD, gọi M là trung điểm của AC. Trên cạnh AD lấy điểm N sao cho AN=2ND,
trên cạnh BC lấy điểm Qsao cho BC=4BQ.gọi I là giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng
JB JQ
(BCD), J là giao điểm của đường thẳng BD và mặt phẳng (MNQ).Khi đó
bằng
JD JI
13
20
3
11
A.
B.
C.
D.
20
21
5
12
13
Câu 89.
(HKI-Chu Văn An-2017) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang ABCD với AD // BC
1
và AD 2 BC . Gọi M là điểm trên cạnh SD thỏa mãn SM SD . Mặt phẳng ABM cắt cạnh
3
SN
bên SC tại điểm N . Tính tỉ số
.
SC
SN 1
SN 2
SN 4
SN 3
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
SC 2
SC 3
SC 7
SC 5
Câu 90.
(THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho hình chóp S . ABCD đáy ABCD là hình bình
hành. M , N là lượt là trung điểm của AB và SC . I là giao điểm của AN và SBD . J là giao
điểm của MN với SBD . Khi đó tỉ số
A. 4 .
B. 3 .
IB
là:
IJ
C.
7
.
2
D.
11
.
3
Câu 91.
(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình
bình hành tâm O . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của SB , SD và OC . Gọi giao điểm của
KS
là:
MNP với SA là K . Tỉ số
KA
2
1
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
5
3
4
2
Câu 92.
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho hình chóp S . ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm
1
của SA , BC và P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AP AB. Gọi Q là giao điểm của SC và
3
SQ
MNP . Tính tỉ số
SC
SQ 1
SQ 3
SQ 2
SQ 2
A.
B.
C.
D.
SC 3
SC 8
SC 3
SC 5
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Câu 1.
Câu 2.
Câu 3.
Câu 4.
DẠNG 1. LÝ THUYẾT
Chọn A
Chọn C
Chọn
A.
Chọn D
Mệnh đề: “ Ba đường thẳng đôi một song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng ” sai vì có
thể xảy ra trường hợp sau:
a
b
c
P
14
Mệnh đề: “ Ba đường thẳng phân biệt đôi một cắt nhau thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng ”
sai vì có thể xảy ra trường hợp sau:
a
b
c
P
Mệnh đề: “ Ba đường thẳng đôi một cắt nhau thì chúng đồng quy tại một điểm” sai vì có thể xảy
ra trường hợp sau:
b
a
c
Câu 5.
Chọn
B.
(1) sai khi hai mặt phẳng trùng nhau.
(4) sai khi hai mặt phẳng trùng nhau.
Câu 6.
Chọn
C.
Đáp án C đúng, vì hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong mặt phẳng
nên chúng không có điểm chung.
Câu 7.
Chọn D
+) Trong không gian hai đường thẳng a và b chéo nhau, có một và chỉ một mặt phẳng đi qua a
và song song với b .
Câu 8.
Chọn A
Hình ( III ) không phải là hình biểu diễn của một hình tứ diện ⇒ Chọn A
Câu 9.
Chọn B
Hình chóp có số cạnh bên bằng số cạnh đáy nên số cạnh của hình chóp là: 5 5 10.
Câu 10. Chọn C
Hình chóp có đáy là ngũ giác có:
• 6 mặt gồm 5 mặt bên và 1 mặt đáy.
• 10 cạnh gồm 5 cạnh bên và 5 cạnh đáy.
Câu 11. Chọn D
Hình chóp S . A1 A2 ... An , n 3 có n cạnh bên và n cạnh đáy nên có 2n cạnh.
Ta có: 2n 16 n 8 .
Vậy khi đó hình chóp có 8 mặt bên và 1 mặt đáy nên nó có 9 mặt.
Câu 12. Chọn A
15
S
N
M
K
B
A
E
C
Câu 13.
Câu 14.
Câu 15.
Câu 16.
Ta thấy M , K cùng thuộc mặt phẳng SAC nên bốn điểm M ; K ; A; C đồng phẳng.
Mệnh đề đúng là: “Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.”
Trong không gian, bốn điểm không đồng phẳng tạo thành một hình tứ diện. Vì vậy xác định
nhiều nhất bốn mặt phẳng phân biệt.
+ TH1. Mặt phẳng cần tìm đi qua A và song song với BC .
Ta được một mặt phẳng thỏa mãn.
+ TH2. Mặt phẳng cần tìm đi qua A và trung điểm M của cạnh BC .
Có vô số mặt phẳng đi qua A và M nên có vô số mặt phẳng thỏa mãn bài toán.
Tóm lại có vô số mặt phẳng thỏa mãn bài toán.
Chọn B
Gọi Q là mặt phẳng chứa a và b . a P I cắt a nên P Q d .
Trong Q d a I nên d b J từ đó b P J .
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG
Câu 17.
Lời giải
Chọn D
Ta thấy SAC SAD SA .
Câu 18.
Chọn B
Gọi O là tâm hbh ABCD O AC MN SO SMN SAC .
Câu 19.
Chọn C
16
S
A
D
O
B
C
Có S SAC SBD .
O AC , AC SAC
O SAC SBD .
O BD, BD SAC
Nên SO SAC SBD .
Câu 20. Chọn B
S SAB SBC
Ta có:
SB là giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SBC .
B SAB SBC
Câu 21. Chọn B
Giao tuyến của hai mặt phẳng MSB và SAC là SI với I là giao điểm của AC và BM .
Câu 22.
Chọn A
17
O AB CD
Ta có: AB SAB O SAB SCD .
CD SAC
Lại có: S SAB SCD ; S O . Khi đó SAB SCD SO .
Câu 23.
Chọn B
Ta có S SAD SCB và AD CB J ( vì AD không song song với CB )
Suy ra SJ SAD SCB và SJ và cắt AD
Câu 24. Chọn D
Ta có: IAC JBD SAC SBD SO .
Câu 25.
Chọn D
18
S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng SAB và SCD .
N AB SAB
Vì AB CD N nên
.
N CD SCD
Do đó N là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng trên.
Vậy SN là giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD .
Câu 26.
Chọn A
S
A
D
I
B
M
C
Gọi I là giao điểm của AC và BM .
I AC ( SAC )
I BM ( SBM )
Nên I ( SAC ) ( SBM ) và S ( SAC ) ( SBM )
Vậy SI là giao tuyến của hai mặt phẳng ( MSB ) và ( SAC ) .
Câu 27. Chọn
D.
S
M
D
C
O
A
B
Ta có hai mặt phẳng SAB và SCD có điểm S chung và lần lượt đi qua hai đường thẳng song
song là AB và CD nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua S và song song
với AB và CD . Do đó đáp án D sai.
Câu 28. Chọn D
19
Ta có C BCD CMP 1 .
E BD E BCD
Lại có BD MP E
2 .
E MP E CMP
Từ 1 và 2 BCD CMP CE .
Câu 29.
Chọn
C.
I AD KAD
I là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng IBC và KAD .
I
IBC
K BC IBC
K là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng IBC và KAD .
K KAD
Vậy IBC KAD IK .
A
M
N
D
B
G
C
Câu 30.
Ta có MN là đường trung bình tam giác ACD nên MN // CD .
Ta có G GMN BCD , hai mặt phẳng ACD và BCD lần lượt chứa DC và MN nên
giao tuyến của hai mặt phẳng GMN và BCD là đường thẳng đi qua G và song song với CD .
DẠNG 3. TÌM GIAO ĐIỂM
Câu 31. Chọn
B.
20
Câu 32.
D. Giao điểm của MN và SBD là giao điểm của MN và BD . Chọn C
Câu 33.
Chọn A
S
N
M
K
D
A
O
C
B
Trong mặt phẳng (SAC ) , SO AM K .
Trong mặt phẳng (SBD) , kéo dài BK cắt SD tại N ⇒ N là giao điểm của SD với mặt phẳng
( ABM ) ⇒ Chọn A.
Câu 34. Chọn B
21
A
M
B
D
G
N
C
E
Trong mặt phẳng AND : AN MG E .
E AN , AN ABC E ABC .
E MG .
E MG ABC .
Vậy giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng ( ABC ) là E E AN MG .
Câu 35. Chọn
D.
Gọi AC BD O thì SAC SBD SO .
Trong mặt phẳng SAC , lấy AM SO I I AM SBD .
Do trong SAC , AM và SO là hai đường trung tuyến, nên I là trọng tâm SAC .
Vậy IA 2 IM .
Câu 36.
Chọn C
22
A
M
Q
D
B
P
N
C
Theo giải thiết, M , N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC nên MN / / AC .
Hai mặt phẳng MNP và ACD có MN / / AC và P là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng
giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng PQ đi qua P và song song với AC ; cắt AD
tại Q .
CP 2 PD
Mặt khác, trong tam giác ACD có
nên AQ 2 DQ
PQ / / AC
Câu 37. Chọn A
A
E
B
C
G
F
D
M
Xét mặt phẳng ( ABF ) có E là trung điểm của AB , BG 2 BF nên EG không song
3
song với
AF ⇒ Kéo dài EG và AF cắt nhau tại M . Vì AF ( ACD ) nên M là giao điểm của EG và
( ACD ) ⇒ Chọn A
Câu 38. Chọn A
23
A
N
D
B
G
M
C
I
Dễ thấy NG và AM cùng nằm trong mặt phẳng AMD .
DN 1 DG 2
,
.
DA 2 DM 3
Do đó NG và AM cắt nhau.
Gọi I NG AM , AM ABC I NG ABC .
Vậy khẳng định đúng là I AM .
Câu 39. Chọn A
Mặt khác ta lại có
a) Xét trong mặt phẳng SAI ta có MG AI J .
J AI ABCD
Do đó:
J MG
Suy ra: Giao điểm của đường thẳng MG với mặt phẳng ABCD là điểm J .
Câu 40. Chọn
B.
24
Dễ thấy OM không đồng phẳng với BC và MN cũng không đồng phẳng với BC . Vậy cả A và
B đều sai.
Câu 41. Chọn C
I SO AM I AM I ( AMN )
J AN BD J AN J ( AMN )
IJ ( AMN )
Khi đó giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng ( AMN ) là giao điểm của SD và IJ
Câu 42. Chọn
D.
25
T NH
T SAN
T SO . Vậy T NH SO .
Ta có: T NH SBO
T SBO T SBO
Câu 43. Chọn D
S
M
N
A
D
B
C
K
Xét ΔSBD có M là trung điểm của SD và N thuộc SB sao cho SN 2 NB SN
2
SB.
3
suy ra MN kéo dài cắt BD tại K.
Câu 44. Chọn C
26
Vì KMN SAC KH . Do đó E là giao điểm của KH với SO .
DẠNG 4. TÌM THIẾT DIỆN
Câu 45. Chọn D
Vì hình chóp S. ABCD với đáy ABCD là tứ giác lồi thì có 4 mặt bên và một mặt đáy nên thiết
diện của mặt phẳng tùy ý với hình chóp chỉ có thể có tối đa là 5 cạnh. Do đó thiết diện không
thể là lục giác.
Câu 46. Chọn C
S
Q
P
A
D
N
M
B
C
- Giả sử mặt phẳng (P) cắt (SBC) theo giao tuyến PQ .
27
Khi đó do MN || BC nên theo định lý ba giao tuyến song song hoặc đồng quy áp dụng cho ba
mặt phẳng (P );(SBC );(ABCD ) thì ta được ba giao tuyến MN ; BC ; PQ đôi một song song.
Do đó thiết diện là một hình thang.
Câu 47. Chọn C
Gọi giao điểm của CG với AB là I . Thiết diện của mặt phẳng CGD với tứ diện ABCD là tam
giác DCI .
a 3
a 3
và CG
. Áp dụng định lí Pytago
2
3
1
1 a 6 a 3 a2 2
DG. CI .
.
.
2
2 3
2
4
G là trọng tâm tam giác đều ABC nên ta có CI
nên DG DC 2 CG 2
Câu 48.
a 6
. Vậy S DCI
3
Chọn C
Trong ABCD : CD và BC cắt MN lần lượt tại I và E .
Trong SBC : PI cắt SB tại J . Trong SDC : PE cắt SD tại K .
Khi đó MNP giao với ABCD , SDA , SBC , SAB , SDC lần lượt theo các giao tuyến
MN , NK , PJ , JM , KP . Nên thiết diện tạo thành là ngũ giác MNKPJ .
28
Câu 49.
Chọn B
A
P
S
B
D
R
Q
C
AP CQ 1
PQ // AC .
AB CB 3
Giao tuyến của mặt phẳng PQR và ACD là đường thẳng đi qua R và song song với AC , cắt
Do
AD tại S .
Do đó PQRS là thiết diện của mặt phẳng PQR với hình tứ diện ABCD .
Theo cách dựng thì PQ // RS mà R bất kỳ trên cạnh CD nên thiết diện là hình thang.
Câu 50. Chọn C
Trong mp ABCD , gọi K MN CD , L MN BC suy ra K SCD , L SBC .
Trong mp SCD , gọi P KQ SD .
Trong mp SBC , gọi R LQ SC .
Khi đó ta có: MNQ ABCD MN ; MNQ SAD NP ; MNQ SCD PQ ;
MNQ SBC QR ; MNQ SAB RM .
Câu 51.
Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác.
Chọn B
29
Trong SAC , gọi I SO EF , trong SBD , gọi N BI SD . Suy ra N là giao điểm của
đường thẳng SD với mặt phẳng BEF .
Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng BEF là tứ giác BFNE .
Câu 52.
Chọn B
Gọi N EG SB; K NF BC; O AC BD; FE SO; H NI SD.
Khi đó, ta có: SAB EGF EG; ABCD EGF GK ;
EGF SBC KF ; EGF SCD FH ; EGF SAD EH .
Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng EGF là ngũ giác EGKFH .
Câu 53.
Chọn C
30
S
I
J
G
B
A
O
D
C
Gọi O là giao điểm AC và BD . Gọi G là giao điểm của SO , CI .
Trong SBD , gọi J là giao điểm của BG với SD .
Suy ra J là trung điểm của SD .
Vậy thiết diện là hình thang IJCB ( J là trung điểm SD ).
Cách khác:
BC IBC
AD SAD
Ta có:
IBC SAD IJ // AD // BC
BC // AD
I IBC SAD
J SB .
Do IJ là đường trung bình của tam giác SAD nên J là trung điểm SD .
Vậy thiết diện là hình thang IJCB ( J là trung điểm SD ).
Câu 54. Chọn C
Gọi M là trung điểm AB . Khi đó cắt tứ diện bởi mặt phẳng GCD ta được thiết diện là
MCD .
Ta có tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2 MC MD
Khi đó nửa chu vi MCD : p
Nên SMCD
Câu 55.
2 3
3 ; CD 2 .
2
3 32
1 3 .
2
p p MC p MD p CD 2 .
Chọn A
31
Qua A dựng đường thẳng song song với EF cắt CD, CB lần lượt tại I , J . Khi đó, IF cắt DD '
tại G và EJ cắt BB ' tại K , ta có thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng AEF là
ngũ giác AKEFG .
Ta có: GD D F 1 GD 1 DD a GF KE a 13 , GK BD a 2 và
GD DA 2
3
3
6
2
a 2
a 17
. Suy ra S EFGK
EF
.
2
8
a 13
a 2 17
Tam giác AKG cân tại A và AK AG
Suy
ra
.
S AGK
.
3
6
7 a 2 17
Vậy S AKEFG S EFGK S AGK
.
24
Câu 56.
Hướng dẫn giải
Chọn
D.
S
N
M
D
A
C
B
Gọi SC AMN P .
Khi đó, Thiết diện của hình chóp S . ABCD và mặt phẳng AMN là tứ giác AMPN .
Câu 57.
Chọn D
32
A
Trong mp ABC kéo dài MP, AC cắt nhau tại I.
Trong mp ACD kéo dài IN cắt AD tại Q.
ợc:
ABC MNP MP
M
Q
BCD MNP PN
ACD MNP NQ
ABD MNP QM
B
D
P
N
C
Vậy thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng
MNP là tứ giác MPNQ.
I
Câu 58.
Chọn.
S
P
M
D
E
C
N
A
B
Kéo AN cắt CD tại E , kéo EM cắt SD tại P , ta có:
AMN ABCD AN ; AMN SBC NM ; AMN SCD MQ
AMN SAD QA . Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác ANMQ .
Câu 59.
và
Sửa trên hình điểm P thành điểm K nhé
33
Gọi E MN AC và F PE SO . Trong SBD qua F kẻ đường thẳng song song với s MN
và lần lượt cắt SB, SD tại H , G . Khi đó ta thu được thiết diện là ngũ giác MNHKG.
S
D'
A
I
C'
D
O
B
C
Câu 60.
Gọi O AC BD và I AC SO ; Kéo dài BI cắt SD tại D . Khi đó
ABC ABCD AB ; ABC SAB AB ; ABC SBC BC và
ABC SAD AD ; ABC SBD C D .
Suy ra thiết diện là tứ giác ABC D nên m 4 .
34
A
R
M
Q
B
D
P
N
C
Câu 61.
Gọi Q NP BD . Gọi R QM AD . Suy ra: Q MNP và R MNP .
Vậy thiết diện của tứ diện bị cắt bởi mặt phẳng MNP là tứ giác MRNP .
Câu 62. Chọn D
Trong mp ABC kéo dài MP, AC cắt nhau tại I.
Trong mp ACD kéo dài IN cắt AD tại Q.
ABC MNP MP
BCD MNP PN
ACD MNP NQ
ABD MNP QM
Vậy thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng MNP là tứ giác MPNQ .
Câu 63.
Chọn A
S
E
F
G
A
B
J
I
D
C
35
AB CD
.
2
Xét 2 mặt phẳng ( IJG ), ( SAB ) có G là điểm chung ⇒ giao tuyến của chúng là đường thẳng EF
đi qua G , EF // AB // CD // IJ với E SA , F SB .
Nối các đoạn thẳng EI , FJ ta được thiết diện là tứ giác EFJI , là hình thang vì EF // IJ .
2
Vì G là trọng tâm của tam giác SAB và EF // AB nên theo định lí Ta – lét ta có: EF AB
3
AB CD 2 AB
AB 3CD
Nên để thiết diện là hình bình hành ta cần: EF IJ
2
3
Câu 64. Chọn A
Từ giả thiết suy ra IJ // AB // CD , IJ
Mặt phẳng MNP cắt tứ diện ABCD theo một thiết diện là một tam giác MND .
Do tứ diện ABCD có các mặt là những tam giác đều có độ dài các cạnh bằng 2a nên
MD AC
MD DN a 3 .
DN BC
1
MN AB a (tính chất đường trung bình ).
2
p
S MND
Câu 65.
MN MD ND a 2 3 1
.
2
2
a4
a 2 11
2
3
1
2
3
1
.
24
4
p p MN p MD p ND
Chọn C
E
B
C
F
D
A
J
B'
G
C'
I
A'
H
D'
36
Gọi E , F , G , H , I , J lần lượt là trung điểm của BC , CD, DD, AD, AB, BB .
Ta có EA EC E thuộc mặt phẳng trung trực của AC .
Tương tự F , G , H , I , J thuộc mặt phẳng trung trực của AC .
Do đó thiết diện của hình lập phương đã cho cắt bởi mặt phẳng trung trực của AC là lục giác đều
a 2
.
EFGHIJ cạnh EF
2
2
a 2
3 3 3 2
Vậy diện tích thiết diện là S 6.
a .
.
4
2 4
Câu 66. Chọn C
A
P
N
B
M
D
Q
C
Trong BCD dựng MQ / / CD , (Q BD )
Trong ABC dựng MN / / AB, ( N AC )
Trong ( ACD ) dựng NP / / CD, ( P AD )
Thiết diện ( H ) là hình chữ nhật MNPQ (do tứ diện
ABCD là tứ diện đều).
(1) Đúng.
(2) Đúng.Vì:
Đặt BM k , (0 k 1) thì MQ k ; MN 1 k
Do đó chu vi của hình chữ nhật MNPQ là: 2 k 1 k 2
(3) Sai.Vì: S MNPQ k (1 k ) .
(4) Sai.Vì trọng tâm hình chữ nhật MNPQ nằm trên đoạn nối trung điểm cạnh AB và cạnh CD
.Đoạn đó dài
Câu 67.
2
.
2
Chọn C
37
A
R
N
P
B
G
Q
M
D
S
C
Gọi R, S lần lượt là trung điểm của AB và CD. Trong hình tứ diện đều ta chứng minh được RS đi
qua G và vuông góc với AB
a 3
Ta có: AS BS
2
AB BS SA a a 3
Kí hiệu: p
2
2
1
dt ( G AS) GR. AB
2
1 1
1
( SR. AB) dt SAB
2 2
2
.
a 3
a 3
p p a p
p
2
2
a2 2
8
Câu 68.
Trong mặt phẳng ABCD : EF BC I ; EF CD J
Trong mặt phẳng SCD : GJ SC K ; GJ SD M
Trong mặt phẳng SBC : KI SB H
38
Ta có: GEF ABCD EF , GEF SAD FM , GEF SCD MK
GEF SBC KH , GEF SAB HE
Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng EFG là ngũ giác EFMKH
S
M
Q
R
D
A
K
P
C
N
B
I
Câu 69.
Gọi PN AB I , NP AD K .
Kẻ IM cắt SB tại R , kẻ MK cắt SD tại Q .
Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng MNP là ngủ giác MPQMR .
S
E
G
F
A
B
H
I
Câu 70.
J
D
C
Vì IJG SAB G ta có IJ / / AB vì IJ là đường trung bình của hình thang ABCD
IJG SAB Gx / / AB / / IJ . Gọi
E Gx SA, F Gx SB
IJG SAD EI ; IJG ABCD IJ ; IJG SBC JF
Suy ra thiết diện IJG và hình chóp là hình bình hành IJFE IJ EF 1
2
2
vì G là trọng tâm tam giác SAB SG GH EF AB 2
3
3
và IJ
AB CD
2
3
vì IJ là đường trung bình của hình thang ABCD
39
Từ 1 , 2 và 3
AB CD
2
AB
4 AB 3 AB 3CD AB 3CD
3
2
C
B
A
D
A
C'
B'
A'
C'
A'
D'
H
Câu 71.
Gọi H là thiết diện của hình lập phương và mặt phẳng chứa AC .
+ Trường hợp H có một đỉnh thuộc cạnh BB hoặc DD .
Giao tuyến của và ABC D là đường thẳng d , hình chiếu vuông góc của A lên d là
điểm H . Khi đó góc giữa và ABC D là
AHA .
AA AA
sin
AC A , do đó cos cos
AC A
AH AC
Hình chiếu vuông góc của hình H lên ABC D là hình vuông ABC D , do đó diện tich
Vì AH d nên AH AC , do đó sin
hình H : S ABC D S H .cos S H
S ABC D
.
cos
2
Diện tích thiết diện nhỏ nhất khi cos lớn nhất, tức là cos cos
AC A
. Khi đó diện tích
3
4 3
2 6.
2
+ Trường hợp H có một đỉnh thuộc cạnh CD hoặc AB , chọn mặt phẳng chiếu là BCC B ,
cần tìm là S H
S BBC C
, min S H 2 6 .
cos
+ Trường hợp H có một đỉnh thuộc cạnh BC hoặc AD , chọn mặt phẳng chiếu là BAAB ,
chứng minh tương tự ta cũng có S H
chứng minh tương tự ta cũng có, min S H 2 6 .
DẠNG 5. ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG
Câu 72. Chọn B
40
Trong ( SCD ) , DM SI J . Khi đó J DM SAB .
Câu 73.
Do NH cắt MG tại I nên bốn điểm M , N , H , G cùng thuộc mặt phẳng . Xét ba mặt phẳng
ABC MG
ABC , BCD , phân biệt, đồng thời BCD NH mà MG NH I
ABC BCD BC
Suy ra MG , NH , BC đồng quy tại I nên B , C , I thẳng hàng.
41
Câu 74.
Ta có M SAB nên đường thẳng JM không thuộc mặt phẳng SAB .
Câu 75. Chọn A
Ta có M , N , P , Q đồng phẳng và tạo thành tứ giác MNPQ nên hai đường MP và NQ cắt nhau.
(1)
MNPQ SAC MP
Mặt khác: MNPQ SBD NQ (2)
SAC SBD SO
Từ (1), (2) suy ra các đường thẳng MP, NQ , SO đồng qui.
Câu 76. Chọn C
42
S
D'
A'
C'
D
B'
A
I
B
C
Hai mặt phẳng P và SAC cắt nhau theo giao tuyến A ' C ' .
Hai mặt phẳng P và SBD cắt nhau theo giao tuyến B'D' .
Hai mặt phẳng SAC và SBD cắt nhau theo giao tuyến SI .
Vậy ba đường thẳng A ' C ', B'D',SI đồng quy.
Câu 77.
Chọn C
I EH ABD
I ABD ABC BD .
I FG ABC
Vậy I , D, B thẳng hàng.
Câu 78. ChọnD
I EH FG
Tam giác SBC có MN là đường trung bình nên MN song song BC, lại có BC song song AD nên
suy ra MN song song AD, do đó M, N, A, D đồng phẳng.
43
Xét ba mặt phẳng: SAB , SCD , MNDA có:
SAB SCD SI ; SAB MNDA AM ; SCD MNDA DN
Suy ra AM, DN, SI đôi một song song hoặc đồng quy (định lý về giao tuyến 3 mặt phẳng)
Nên D đúng.
Câu 79. Chọn B
S
N
P
M
C
Q
B
O
A
D
Ta có: MP mp SAC ; NQ mp SBD
Và SAC SBD SO
Gọi I MP NQ
Thì I SO nên MP, NQ, SO đồng quy.
DẠNG 6. TỈ SỐ
Câu 80.
Ta có:
IG1 IG2 1
GG
1
1
1 2 G1G2 AB .
IB
IA 3
AB
3
3
44
Câu 81.
Gọi F là giao điểm của AB và CD . Nối F với M , FM cắt SC tại điểm N . Khi đó N là giao
điểm của ABM và SC .
Theo giả thiết, ta chứng minh được C là trung điểm DF .
Trong mặt phẳng SCD kẻ CE song song NM ( E thuộc SD ). Do C là trung điểm DF nên
suy ra E là trung điểm MD . Khi đó, ta có SM ME ED và M là trung điểm SE .
Do MN // CE và M là trung điểm SE nên MN là đường trung bình của tam giác SCE . Từ đó
SN 1
.
suy ra N là trung điểm SC và
SC 2
Câu 82. Chọn B
S
M
A
E
N
G
D
F
O
B
C
Ta có: O FE .Xét hai mặt phẳng SEF và SCD có:
O EF ( SEF )
O SEF SAC . Mà S SEF SAC nên SEF SAC SO.
O AC SAC
G MN
MN SAC G .
Trong mặt phẳng SEF ta có: SO MN G
G SO SAC
SG SM 2
SG
Xét tam giác SFE có: MG / / EF do MN / / EF
2.
SO SE 3
GO
Câu 83. Chọn C
45
S
Q
M
E
I
A
C
K
P
N
B
Gọi I là giao điểm của NP và AC . Khi đó Q là giao điểm của MI và SC .
Từ A kẻ đường thẳng song song với BC , cắt IN tại K .
AK AP 1
IA AK 1
Khi đó
.
BN BP 2
IC CN 2
Từ A kẻ đường thẳng song song với SC , cắt IQ tại E .
AE AM
AE IA 1
1
SQ 1
Khi đó
1 AE SQ ,
AE CQ . Do đó
.
SC 3
SQ SM
CQ IC 2
2
Câu 84. Chọn B
S
Q
M
A
I
C
P
N
B
+) Gọi I PN AC ; gọi Q IM SC
QS IC MA
QS IA
1
. .
(1)
QC IA MS
QC IC
IA NC PB
IA PA 1
+) Áp dụng định lí Menalaus trong tam giác ABC ta có
1
(2)
.
.
IC NB PA
IC PB 2
QS 1
SQ 1
+) Từ 1 và 2 suy ra
hay
.
SC 3
QC 2
Câu 85. Chọn A
Áp dụng định lý Menelaus đối với tam giác AND và cát tuyến IGM ta có:
MA GD IN
IN
IN 1
AN
1 1.2.
1
1
.
.
MD GN IA
IA
IA 2
NI
Câu 86. Chọn B
+) Áp dụng định lí Menalaus trong tam giác SAC ta có
46
S
N
I
J
A
M
D
O
K
B
L
C
Gọi O AC BD, BD MC K . Trong SAC : SO AN I .
Trong SMC : SK MN J .
IN 1
.
IA 2
K là trọng tâm tam giác ABC , lấy L là trung điểm KC . Ta có MK KL LC .
NL là đường trung bình của tam giác SKC nên NL / / SK , mà K là trung điểm ML nên KJ là
JN
IN JN 3
1
.
đường trung bình của tam giác MNL . Khi đó
JM
IA JM 2
Câu 87. Chọn B
Ta thấy I là trọng tâm tam giác SAC nên
Trong mặt phẳng BCD hai đường thẳng JK và CD không song song nên gọi E JK CD
Khi đó E ACD .
Suy ra : ACD IJK EJ .
Trong ACD gọi F EI AD . Khi đó IJK AD F .
Cách 1 :
Vẽ DH // BC và H IE . Ta có :
BJ BK
BJ
1
2 HD
HD JC .
HD KD
2
2
Suy ra D là trung điểm của CE .
Xét ACE có EI và AD là hai đường trung tuyến nên F là trọng tâm của ACE .
47
AF
2.
FD
Cách 2 :
Vậy
JB EC KD
EC 1
EC
1 1.
2.
.
.
. 1
JC ED KB
ED 2
ED
EC FD IA
FD
FD 1
Xét ACD , áp dụng định lí Menelaus có :
.
.
1 2.
.1 1
.
ED FA IC
FA
FA 2
FA
Vậy
2.
FD
Câu 88. Chọn
D.
Vì M là trung điểm AC nên IM là trung tuyến tam giác IAC Mặt khác AN=2 ND nên ta có D là
trung điểm của IC (Áp dụng định lí Ptoleme trong tam giác ACD có cát tuyến MI)
Áp dụng định lí Ptoleme trong tam giác BCD có đường thẳng QI cắt BD,DC,CB lần lượt tại J,I,Q
BJ DI CQ
BJ 1 3
JB 2
nên:
.
.
1
. . 1
JD IC QB
JD 2 1
JD 3
Áp dụng định lí Ptoleme trong tam giác QIC có đường thẳng BD cắt QI,DC,CQ lần lượt tại B,I,D
QJ ID CB
QJ 1 4
JB 1
nên:
.
.
1
. . 1
JI DC BQ
JI 1 1
JD 4
JB JQ 2 1 11
JD JI 3 4 12
Câu 89. Chọn A
Xét BCD , áp dụng định lí Menelaus có :
S
M
N
A
D
K
B
C
I
Trong mặt phẳng ABCD :
Gọi I AB CD I AB ABM
Trong mặt phẳng SCD :
Gọi N IM SC và K là trung điểm IM .
IC BC 1
Ta có:
(do BC // AD )
ID AD 2
Trong tam giác IMD có KC là đường trung bình nên KC // MD và KC
1
MD
2
1
MD SM KC .
2
Lại có KC // SM do M SD
Mà SM
48