Các chuyên đề ôn tập Đại số 8

Tài liệu ôn tập - Đại số 8 CHUYÊN ĐỀ NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC, ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC VÀ BẨY HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ. I) Nhân đơn thức với đa thức: 1. Kiến thức cơ bản: A(B + C) = A. B + A. C 2. Bài tập áp dụng: Bài 1. Làm tính nhân: a) 3x(5x2 - 2x - 1); b) (x2 - 2xy + 3)(-xy); 1 2 2 2 3 2 c) 2 x y(2x - 5 xy - 1); d) 7 x(1,4x - 3,5y); 1 2 3 4 e) 2 xy( 3 x2 - 4 xy + 5 y2); f)(1 + 2x - x2)5x; 2 g) (x2y - xy + xy2 + y3). 3xy2; h) 3 x2y(15x - 0,9y + 6); 3 i) 7 x4(2,1y2 - 0,7x + 35); Bài 2. Đơn giản biểu thức rồi tính giá trị của chúng. 3 a) 3(2a - 1) + 5(3 - a) với a = 2 . b) 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x) với x = 2,1. c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - 2 với a = -0,2. 1 d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1) với b = 2 Bài 3. Thực hiện phép tính sau: a) 3y2(2y - 1) + y - y(1 - y + y2) - y2 + y; b) 2x2.a - a(1 + 2x2) - a - x(x + a); c) 2p. p2 -(p3 - 1) + (p + 3). 2p2 - 3p5; d) -a2(3a - 5) + 4a(a2 - a). Bài 4. Đơn giản các biểu tức: a) (3b2)2 - b3(1- 5b); b) y(16y - 2y3) - (2y2)2; 1 1 3 c) (- 2 x) - x(1 - 2x - 8 x2); d) (0,2a3)2 - 0,01a4(4a2 - 100). Bài 5. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x. a) x(2x + 1) - x2(x + 2) + (x3 - x + 3); b) x(3x2 - x + 5) - (2x3 +3x - 16) - x(x2 - x + 2); Bài 6. Chứng minh rằng các biểu thức sau đây bằng 0; a) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y); b) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x). Bài tập nâng cao Bài 7. Tính giá trị biểu thức: a) P(x) = x7 - 80x6 + 80x5 - 80x4 +….+ 80x + 15 với x = 79. b) Q(x) = x14 - 10x13 + 10x12 - 10x11 + …+ 10x2 - 10x + 10 với x = 9. c) M(x) = x3 - 30x2 - 31x + 1 với x = 31. 5 4 3 2 d) N(x) = x - 15x + 16x - 29x + 13x với x = 14. Bài 8. Chứng minh rằng : a) 356 - 355 chia hết cho 34 b) 434 + 435 chia hết cho 44. Bài 9. Cho a và b là các số nguyên. Chứng minh rằng: a) nếu 2a + b  13 và 5a - 4b  13 thì a - 6b  13; b) nếu 100a + b  7 thì a + 4b  7; c) nếu 3a + 4b  11 thì a + 5b  11; 1 Tài liệu ôn tập - Đại số 8 II) Nhân đa thức với đa thức. 1. Kiến thức cơ bản: (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D; 2. Bài tập áp dụng: Bài 1. Thực hiện phép tính: a) (5x - 2y)(x2 - xy + 1); b) (x - 1)(x + 1)(x + 2); 1 1 c) 2 x2y2(2x + y)(2x - y); d) ( 2 x - 1) (2x - 3); 1 1 e) (x - 7)(x - 5); f) (x - 2 )(x + 2 )(4x - 1); 2 3 4 g) (x + 2)(1 + x - x + x - x ) - (1 - x)(1 + x +x2 + x3 + x4); h) (2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b); i) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3); Bài 2.Chứng minh: a) (x - 1)(x2 - x + 1) = x3 - 1; b) (x3 + x2y + xy2 + y3)(x - y) = x3 - y3; Bài 3. Thực hiện phép nhân: a) (x + 1)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (x - 1)(1 + x + x2 + x3 + x4); b) ( 2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b); c) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3); d) (2ab + 2a2 + b2)(2ab2 + 4a3 - 4a2b) e) (2a3 - 0,02a + 0,4a5)(0,5a6 - 0,1a2 + 0,03a4). Bài 4. Viết các biểu thức sau dưới dạng đa thức: a) (2a - b)(b + 4a) + 2a(b - 3a); b) (3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b); c) 5b(2x - b) - (8b - x)(2x - b); d) 2x(a + 15x) + (x - 6a)(5a + 2x); Bài 5. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến y: a) (y - 5)(y + 8) - (y + 4)(y - 1); b) y4 - (y2 - 1)(y2 + 1); Bài 6. Tìm x, biết: a) (2x + 3)(x - 4) + (x - 5)(x - 2) = (3x - 5)(x - 4); b) (8x - 3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x - 1); c) 2x2 + 3(x - 1)(x + 1) = 5x(x + 1); d) (8 - 5x)((x + 2) + 4(x - 2)(x + 1) + (x - 2)(x + 2); e) 4(x - 1)( x + 5) - (x +2)(x + 5) = 3(x - 1)(x + 2). Bài tập nâng cao Bài 7. Chứng minh hằng đẳng thức: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca). Bài 8. Cho a + b + c = 0. Chứng minh M = N = P với : M = a(a + b)(a + c); N = b(b + c)(b + a); P = c(c + a)(c + b); Bài 9. Số 350 + 1 có là tích của hai số tự nhiên liên tiếp không ? HD: Trước hết chứng minh tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia cho 3 thì dư 0 hoặc 2. Thật vậy nêu trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3 thì tích của chúng chia hết cho 3, nếu cả hai số đều không chia hết cho 3 thì tích của chúng chia cho 3 dư 2 ( tự chứng minh). Số 350 + 1 chia cho 3 dư 1 nên không thể là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Bài 10. Cho A = 29 + 299. Chứng minh rằng A  100 HD: Ta có A = 29 + 299 = 29 + (211)9 = (2 + 211)(28 - 27 .211 + 26.222 - …-2.277 + 288) Thõa sè thø nhÊt 2 +211 2050   A4100  A100 Thõa sè thø hai ch½ n  2 Tài liệu ôn tập - Đại số 8 III) Các hằng đẳng thức đáng nhớ 1) Kiến thức cơ bản: 1.1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2. 1.2) (A - B)2 = A2 - 2.AB + B2. 1.3) A2 - B2 = (A - B)(A + B). 1.4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3. 1.5) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 + B3. 1.6) A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2). 1.7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2). 2) Bài tập áp dụng: Bài 1. Tính a) (x + 2y)2; b) (x - 3y)(x + 3y); c) (5 - x)2. 1 f) (x - 2 )2. d) (x - 1)2; e) (3 - y)2 Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng: 1 2 2 a) x + 6x + 9; b) x + x + 4 ; c) 2xy2 + x2y4 + 1. Bài 3. Rút gọn biểu thức: a) (x + y)2 + (x - y)2; b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)2 + (x + y)2; c) (x - y + z)2 + (z - y)2 + 2(x - y + z)(y - z). Bài 4. ứng dụmg các hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau; a) (y - 3)(y + 3); b) (m + n)(m2 - mn + n2); c) (2 - a)(4 + 2a + a2); d) (a - b - c)2 - (a - b + c)2; 3 3 e) (a - x - y) - (a + x - y) ; f) (1 + x + x2)(1 - x)(1 + x)(1 - x + x2); Bài 5. Hãy mở các dấu ngoặc sau: a) (4n2 - 6mn + 9m2)(2n + 3m) b) (7 + 2b)(4b2 - 4b + 49); 2 2 c) (25a + 10ab + 4b )(5a - 2b); d)(x2 + x + 2)(x2 - x - 2). Bài 6. Tính giá trị biểu thức: a) x2 - y2 tại x = 87 với y = 13; b) x3 - 3x2 + 3x - 1 Với x = 101; c) x3 + 9x2 + 27x + 27 với x = 97; 2 d) 25x - 30x + 9 với x = 2; e) 4x2 - 28x + 49 với x = 4. Bài 7. Đơn giản các biểu thức sau và tính giá trị của chúng: a) 126 y3 + (x - 5y)(x2 + 25y2 + 5xy) với x = - 5, y = -3; 3 3 2 2 b) a + b - (a - 2ab + b )(a - b) với a = -4, b = 4. Bài 8. Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau: a) (a + 1)(a + 2)(a2 + 4)(a - 1)(a2 + 1)(a - 2); b) (a + 2b - 3c - d)(a + 2b +3c + d); c) (1 - x - 2x3 + 3x2)(1 - x + 2x3 - 3x2); d) (a6 - 3a3 + 9)(a3 + 3); e) (a2 - 1)(a2 - a + 1)(a2 + a + 1). Bài 9. Tìm x, biết: a) (2x + 1)2 - 4(x + 2)2 = 9; b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1; c) 3(x + 2)2 + (2x - 1)2 - 7(x + 3)(x - 3) = 36; d)(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1; e) (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -19. Bài 10.Tính nhẩm theo các hằng đẳng thức các số sau: a) 192; 282; 812; 912; b) 19. 21; 29. 31; 39. 41; c) 292 - 82; 562 - 462; 672 - 562; Bài 11. Chứng mih các hằng đẳng thức sau: 3 Tài liệu ôn tập - Đại số 8 a) a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab; b) a4 + b4 = (a2 + b2)2 - 2a2b2; c) a6 + b6 = (a2 + b2)[(a2 + b2)2 - 3a2b2]; d) a6 - b6 = (a2 - b2)[(a2 + b2)2 - a2b2]. Các bài toán nâng cao Bài 12. Chứng minh các hằng đẳng thức sau: X4 + y 4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2; Bài 13. Hãy viết các biểu thức dưới dạng tổng của ba bình phưong: (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2. Bài 14. Cho (a + b)2 = 2(a2 + b2). Chứng minh rằng a = b. Bài 15. Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca. Chứng minh rằng a = b =c. Bài 16. Cho ( a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca). Chứng minh rằng a = b = c. Bài 17. Cho a + b + c = 0 (1) a2 + b2 + c2 = 2(2) Tính a4 + b4 + c4. Bài 18. cho a + b + c = 0. Chứng minh đẳng thức: a) a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 +c2a2); b) a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2; a 2  b2  c2  2 2 c) a4 + b4 + c4 = ; Bài 19. Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến. a) 9x2 - 6x +2; b) x2 + x + 1; c) 2x2 + 2x + 1. Bài 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A = x2 - 3x + 5; b) B = (2x -1)2 + (x + 2)2; Bài 21. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A = 4 - x2 + 2x; b) B = 4x - x2; Bài 22. Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10. Tính giá trị của biểu thức x3 + y3. Bài 23. Cho x + y = a; xy = b. Tính giá trị của các biểu thức sau theo a và b: a) x2 + y2; b) x3 + y3; c) x4 + y4; d) x5 + y5; 3 3 Bài 24. a) cho x + y = 1. Tính giá trị biểu thức: x + y + 3xy. b) cho x - y = 1. Tính giá trị của biểu thức: x3 - y3 - 3xy. Bài 25. Cho a + b = 1. Tính giá trị của các biểu thức sau: M = a3 + b3 + 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b). Bài 26. Rút gọn các biểu thức sau: a) A = (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(3x + 5) + (5x + 5)2; b) B = (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(318 + 1)(332 + 1); c) C = (a + b - c)2 + (a - b + c)2 - 2(b - c)2; d) D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 + (b - c - a)2+ (c - b - a)2; e) E = (a + b + c + d)2 + (a + b - c - d)2 + (a + c - b - d)2 + (a + d - b - c)2; g) G = (a + b + c)3 - (b + c - a)3 - (a + c - b)3 + (a + b - c)3; h) H = (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 - 3(a + b)(b + c)(c + a). Bài 28. Chứng minh các đẳng thức sau: a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 +(b + c)2 + (c + a)2; b) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a). Bài 29. Cho a + b + c = 0. chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc. Bài 30. Chứng minh rằng: a) nếu n là tổng hai số chính phương thì 2n cũng là tổng của hai số chính phương. b) nếu 2n là tổng hai số chính phương thì n cũng là tổng của hai số chính phương. c) nếu n là tổng của hai số chính phương thì n2 cũng là tổng của hai số chính phương. Bài 31. a) Cho a = 11…1(n chữ số 1), b = 100…05(n - 1 chữ số 0). Chứng minh rằng: ab + 1 là số chính phương. 4 Tài liệu ôn tập - Đại số 8 b) Cho một dãy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là các số tạo thành bằng cách viết chèn số 15 vào chính giữa số hạng liền trước : 16, 1156, 111556, … Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số chính phương. Bài 32. Chứng minh rằng ab + 1 là số chính phương với a = 11…12(n chữ số 1), b = 11…14(n chữ số 1). Bài 33. Cho a gồm 2n chữ số 1, b gồm n + 1 chữ số 1, c gồm n chữ số 6. Chứng minh rằng a + b + c + 8 là số chính phương. Bài 34. Chứng minh rằng các biểu thức sau là số chính phương: 11...1  22...2 11...1  44...4 1     n n a) A = 2 n b) B = 2 n Bài 35. Các số sau là bình phương của số nào ? 99...9 00...0 25 99...9800...01     n n n a) A = ; b) B = n ; 44...488...89 11...122...25     n 1 n1 c) C = n ; d) D = n . CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I) Phương pháp đặt nhân tử chung: A(B + C ) =A.B +A.C *) Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử *) Bài 1: Phân tích thành nhân tử 5 Tài liệu ôn tập - Đại số 8 a) 3x-3y 2 Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh© n tö 3 2 b) 2x  5x  x y a) 4x2  6x; c)14x2  21xy2  28x2y2 b)21x2y  12xy2; d)4x3  14x2 c)x3  x2  2x; e)5y10  15y6 d)3x x  1  7x2  x  1 ; f)9x2y2  15x2y  21xy g)x(y  1)  y(y  1) e)x2y2z  xy2z2  x2yz; h)10x(x  y)  8y(y  x) g)4x x  2y  8y 2y  x f )2x x  1  2 x  1 ; 2 i)3x (x  1)  2(x  1) j)a(b  c)  3b  3c Bµi 4: TÝnh gi¸ trÞcña biÓu thøc a) 15.91,5+150.0,85 k)a(c  d)  c  d l)b(a  c)  5a  5c m)b(a c)  5a 5c n)a(m n)  m n b) 5x5 (x  2z)  5x5 (2z  x)t¹i x=1999; y=2000; z Bµi 4: T× mx, biÕt a) 5x(x-2)-(2-x)=0 b) 4x(x+1)=8(x+1) o)mx  my  5x  5y p)ma  mb  a  b q)1 xa  x  a 1 2 c) x(2x-1)+  x 0 3 3 d)x(x  4)  (x  4)2 0 r)(a  b)2  (b  a)(a  b) e)x2  5x 0; f )3x(x  2)  2(2 x) 0; g)5x(3x  1)  x(3x  1)  2(3x  1) 0. t)a(a  b)(a  b)  (a  b)(a2  ab  b2) Bµi 2: Ph© n tÝch c¸c ® a thøc sau thµnh nh© n tö a)2x(x+3)+2(x+3) e)(x  5)2  3(x  5) Bµi 5:Chøng minh r»ng a) B× nh ph­ ¬ng cña mét sè lÎ chia cho 4 th×d­ 1 b) B× nh ph­ ¬ng cña mét sè lÎ chia cho 8 th×d­ 1 f)2x(x  3)  (x  3)2 Bµi 6: chøng minh r»ng: g)x(x  7)  (7 x)2 n2  n  1  2n n  1 b)4x(x-2y)+8y(2y-x) c) y2(x2  y)  zx2  zy d)3x(x  7)2  11x2(x  7)  9(x  7) lu«n chia hÕt cho 6 ví i mäi sè nguyªn n. h)3x(x  9)2  (9 x)3 i)5x(x  2)  (2  x) j)4x(x  1)  8x2(x  1) k)pm2.q  pm1.q3  p2.qn1  p.qn3 o)5x5(x  2z)  5x5(2z  x) p)10x(x  y)  8y(y  x) q)21x2  12xy2 r)2x(x  1)  2(x  1) t)4x(x  2y)  8y(2y  x) II) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dung hằng đẳng thức: 1) Phương pháp: Biến đổi các đa thức thành dạng tích nhờ sử dụng hằng đẳng thức 6 Tài liệu ôn tập - Đại số 8 1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 2. A2 - 2AB + B2 = (A + B)2 3. A2 - B2 = (A - B)(A + B) 4. A3 + 3A2B + 3AB2 +B2 = (A + B)3 5. A3 -3A2B + 3AB2 - B3 = ( A - B)3 6. A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) 7. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB +B2) 2)Bài tập: Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 - 9; b) 4x2 - 25; c) x6 - y6 d) 9x2 + 6xy + y2; 2 2 e) 6x - 9 - x ; f) x + 4y2 + 4xy g) 25a2 + 10a + 1; h)10ab + 0,25a2 + 100b2 1 i)9x2 -24xy + 16y2 j) 9x2 - xy + 36 y2 k)(x + y)2 - (x - y)2 l)(3x + 1)2 - (x + 1)2 3 3 3 n) x + y + z - 3xyz. Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x3 + 8; b) 27x3 -0,001 6 3 c) x - y ; d)125x3 - 1 e) x3 -3x2 + 3x -1; f) a3 + 6a2 + 12a + 8 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x6 + 2x5 + x4 - 2x3 - 2x2 + 1; 2 2  4abcd   a 2  b 2   c 2  d 2    4  cd  a 2  b 2   ab  c 2  d 2      b) M =  Bài 4 Tính nhanh: a) 252 - 152; b) 872 + 732 - 272 - 132 2 2 c) 73 -27 ; d) 372 - 132 e) 20092 - 92 Bài 5 Tìm x, biết a) x3 - 0,25x = 0; b) x2 - 10x = -25 c) x2 - 36 = 0; d) x2 - 2x = -1 e) x3 + 3x2 = -3x - 1 Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2x8 - 12x4 + 18; b) a4b + 6a2b3 + 9b5; c) -2a6 - 8a3b - 8b2; d) 4x + 4xy6 + xy12. Bài 7 Chứng minh rằng các đa thức sau chỉ nhận những giá trị không âm a) x2 - 2xy + y2 + a2; b) x2 + 2xy + 2y2 + 2y + 1; c) 9b2 - 6b + 4c2 + 1; d) x2 + y2 +2x + 6y + 10; Bài 8 Chứng minh rằng các đa thức sau không âm với bất kì giá trị nào của các chữ: a) x2 + y2 - 2xy + x - y + 1 b) 2x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy - 2xz + 6yz c) 8x2 + y2 + 11z2 + 4xy - 12 xz - 5yz d) 5x2 + 5y2 + 5z2 + 6xy - 8xz - 8yz Bài 9 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có: (4n + 3)2 - 25 chia hết cho 8. III) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử. 1) Kiến thức cơ bản: Tìm cách tách đa thức đã cho thành nhóm các hạng tử thích hợp sao cho khi phân tích mỗi nhóm hạng tử thành nhân tử thì xuất hiện nhân tử chung. 7 Tài liệu ôn tập - Đại số 8 2) Bài tập áp dụng: Bài 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 - xy + x - y; b) xz + yz - 5(x + y) c) 3x2 -3xy - 5x + 5y. d) x2 + 4x - y2 + 4; e) 3x2 + 6xy + 3y2 - 3z2; 2 2 2 2 f) x -2xy + y - z + 2zt - t ; g) x2 - x - y2 - y; h) x2 - 2xy + y2 - z2; i) 5x - 5y + ax - ay; 3 2 2 j) a - a x - ax + xy; k) 7a -7ax - 9a + 9x; l) xa - xb + 3a - 3b; Bài 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử; a) ma - mb + na - nb -pa + pb; b) x2 + ax2 -y - ax +cx2 - cy; 2 c) ax - bx - cx + ay - by - cy; d) ax + 5y - bx2 + ay + 5x2 - by; Bài 3 Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x3 + y3 + 2x2 -2xy + 2y2; b) a4 + ab3 - a3b - b4; c) a3 - b3 + 3a2 + 3ab + 3b2; c) x4 + x3 y - xy3 - y4; Bài 4 Phân tích đa thức thành nhân tử. a) 70a - 84b - 20ab - 24b2; b) 12y - 9x2 + 36 - 3x2y; 2 3 c) 21bc - 6c - 3c +42b; d) 30a3 - 18a2b - 72b + 120a. Bài 5 Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x3 + 3x2y + x +3x2y + y + y3; b) x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3; 1 3 2 c) 27x + 27x + 9x +1 + x + 3 ; d) x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x +1)2. Bài 6 Tìm x, biết: a) x3 + x2 + x + 1 = 0; b) x3 - x2 - x + 1 = 0; c) x2 - 6x + 8 = 0; d) 9x2 + 6x - 8 = 0. e) x(x - 2) + x - 2 = 0; f) 5x(x - 3) - x + 3 = 0. Bài 7 Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức sau; a) x2 - 2xy - 4z2 + y2 tại x = 6; y = -4; z = 45. b) 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2 + 48 tại x = 0,5 Bài 8. Tính nhanh : a) 37,5 . 6,5 - 7,5 . 3,4 - 6,6 . 7,5 + 3,5 . 37,5; b) 452 + 402 - 152 + 80.45. Bài 9. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a). Bài 10. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x3z + x2yz - x2z2 - xyz2; b) pm+2q - pm+1q3 - p2qn+1 + pqn+3. IV) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp. 1) Kiến thức cơ bản: - Đặt nhân tử chung. - Dùng hằng đẳng thức. - Nhóm nhiều hạng tử và các phương pháp khác. 2) Bài tập áp dụng: Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x3 - 2x2 + x; b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2; c) 2xy - x2 - y2 + 16; d) a4 + a3 + a3b + a2b e) a3 + 3a2 + 4a + 12; f) a3 + 4a2 + 4a + 3; 2 2 2 2 2 2 g) x y + xy + x z + xz + y z + yz + 2xyz; h) a2 + b2 + 2a - 2b - 2ab; i) 4a2 - 4b2 - 4a + 1; j) a3 + 6a2 + 12a + 8; k) (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - ( a - b + c)3 - (-a + b +c)3. Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử: a) (2x + 3y)2 - 4(2x + 3y); b) (x + y)3 - x3 - y3; 2 2 c) (x - y + 4) - (2x + 3y - 1) ; d) (a2 + b2 - 5)2 - 4(ab + 2)2. e) bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b); f) 2a2b + 4ab2 - a2c + ac2- 4b2c + 2bc2 - 4abc; g) y(x - 2z)2 + 8xyz + x(y - 2z)2 - 2z(x + y)2; h) x5 - 5x3 + 4x; 8 Tài liệu ôn tập - Đại số 8 i) x3 - 11x2 + 30x; k) x3 + 4x2 - 7x - 10; n) (x +2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24; o) (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) - 6. Bài 2: Tìm x, biết. j) 4x4 - 21x2y2 + y4; l) (x2 + x)2 - (x2 + x) + 15; m) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15; 1 a) 5x(x - 1) = x - 1; b) 2(x + 5) - x - 5x = 0; c) x - 4 x = 0; 2 2 2 d) (2x - 1) - (x + 3) = 0 e) x (x - 3) +12 - 4x =0. Bài 3. Tính nhanh giá trị biểu thức: 1 1 a) x2 + 2 x + 16 tại x = 49,75; b) x2 - y2 - 2y - 1 tại x = 93 và y = 6. 2 3 Toán khó mở rộng: Bài 4. a) Số 717 + 17. 3 - 1 chia hết cho 9. Hỏi số 718 + 18.3 - 1 có chia hết cho 9 không? b) Biến đổi thành tích các biểu thức: A = 1 + a[(a + 1)9 + (a + 1)8 + (a + 1)7 + …+ (a + 1)2 + a + 2]. Bài 5. Chứng minh các hằng đẳng thức sau: 1) x6 + 3x2y2 + y6 = 1 Với x2 + y2 = 1 4 2 2 4 2 2 2) x + x y + y = a - b với x2 + y2 = a, xy = b 3) (a3 + b3 - a3b3)3 + 27a6b6 = 0 với ab = a + b. 4) p2 + (p - a)2 + (p - b)2 + (p - c)2 = a2 + b2 + c2 với a + b + c = 2p. Bài 6. Tính giá trị biểu thức: a) A = 217 - 216 - 215 - 214 - …- 22 - 2 - 1. b) B = x17 - 12x16 + 12x15 - 12x14 +…- 12x2 + 12x - 1 với x = 11. Bài 7. Rút gọn: a) A = 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1). 2 22 23 24 2n b) Mở rộng: B = 3(2  1)(2  1)(2  1)(2 1)...(2 1) Bài 8. Chứng minh: 1 a5(b2 + c2) + b5(a2 + c2) + c5(a2 + b2) = 2 (a3 + b3 + c3)(a4 + b4 + c4) với a + b + c = 0 Bài 9. Chứng minh: 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2) với a + b + c = 0. Bài 10. Tổng các số nguyên a1, a2, a3, …, an chia hết cho 3. Chứng minh rằng A = a13 + a23 + a33 + …+ an3 cũng chia hết cho 3 V) Một số phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử. 1) Phương pháp tách một số hạng thành nhiều số hạng khác. 1.1) Đa thức dạng f(x) = ax2 + bx + c. - Bước 1: Tìm tích ac. - Bước 2: Phân tích a.c ra tích của hai thứa số nguyên bằng mọi cách. - Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b. Các bài tập áp dụng dạng này: Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử a) 4x2 - 4x - 3; b) x2 - 4x + 3; c) x2 + 5x + 4; d) x2 - x - 6; e) x2 + 8x + 7; f) x2 - 13 x + 36; 2 2 2 g) x +3x - 18; h) x - 5x - 24; i) 3x - 16x + 5; 2 2 j) 8x + 30x + 7; k) 2x - 5x - 12; l) 6x2 - 7x - 20. 1.2) Đa thức từ bậc ba trở lên người ta dùng phương pháp tìm nghiệm của đa thức. a) Chú ý: nếu đa thức f(x) có nghiệm x = a thì nó chứa thừa số x - a. Trong đó a là ước số của an,, với f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2+ …+ an-1 + an. b) Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: f(x) = x3 - x2 - 4. Lần lượt kiểm tra với x = 1, 2, 4, ta thấy f(2) = 23 - 22 - 4 = 0. Đa thức có nghiệm x =2, do đó chứa thừa số x - 2. 9 Tài liệu ôn tập - Đại số 8 Ta tách như sau: Cách 1: x3 - x2 - 4 = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x - 4 = x2(x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2) = ( x - 2)(x2 + x + 2). 3 2 3 Cách 2: x - x - 4 = x - 8 - x2 + 4 = (x - 2)(x2 + 2x + 4) - (x + 2)(x - 2) = (x - 2)(x2 + 2x + 4 - x - 2) = (x - 2)(x2 + x + 2). 2) Phương pháp đặt ẩn phụ: Khi một đa thức phức tạp, hoặc có bậc cao, ta có thể đặt ẩn phụ nhằm “ giảm bậc” của đa thức để phân tích. 2.1) Ví dụ. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12. b) g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24. 2 HD: a) Đặt y = x + x + 1, khi đó đa thức f(x) = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12 = (y - 3)(y + 4) Thay ngược trở lại y = x2 + x + 1 vào đa thức f(x) ta được: f(x) = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x + 5)(x2 + x - 2) = (x - 1)(x + 2)(x2 + x + 5) b) f(x) = [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] - 24 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 24 = y(y + 2) - 24 với y = x2 + 5x + 4 = y2 + 2y - 24 = (y - 4)(y + 6) Thay ngược trở lại y = x2 + 5x + 4 ta được f(x) = (x2 + 5x + 4 - 4)(x2 + 5x + 4 + 6) = (x2 +5x)(x2 + 5x + 10) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10) 3) Phương pháp thêm, bớt một hạng tử thích hợp để làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu hai bình phương. *) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x8 + x4 + 1; b) x4 + 4; HD: a) x8 + x4 + 1 = x8 + 2x4 + 1 - x4 = (x4 + 1)2 - x4 = (x4 + x2 +1)(x2 - x2 + 1) = [(x4 + 2x2 + 1) - x2][(x4 + 2x2 + 1) - 3x2] = [(x2 + 1)2 - x2][(x2 + 1)2 - ( 3 x)2] = (x2 +1 - x)(x2 + 1 - 3 x)(x2 + 1 + x)(x2 + 1 + 3 x) *) Bài tập áp dụng : Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử: a) f(x) = x4 + 324 b) f(x) = x8 + 1024; c) f(x) = x8 + 3x4+ 4 1 Bài 2. a) Phân tích n4 + 4  4 1  4 1   4 1   1    2   ...  19   4  4  4   4 1  4 1   4 1   2    4   ...  20   4  4  4 b) Áp dụng: Rút gọn S =  4) Phương pháp xét giá trị riêng: Trước hết ta xác định dạng của các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại. a) Ví dụ: Phân tích thành thừa số: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y). Giải: Thử thay x bởi y thì P = y2(y - z) - y2(z - y) = 0. Như vậy P chứa thừa số x = y nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì P không đổi. Do đó P chứa thừa số có dạng (x - y), (y - z), (z - x). vậy P có dạng P = k(x - y)(y - z)(z - x). Vì đăngt thức x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) đúng với mọi x, y, z, Nên ta gán x = 2, y = 1, z = 0 vào đẳng thức ta được: 10 Tài liệu ôn tập - Đại số 8 4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2)  2 = -2k  k = -1 vậy P = -(x - y)(y - z)(z - x) Các bài tập áp dụng của các dạng trên. Bài 1: Phân tích ra thừa số nguyên tố a) 6x2 - 11x + 3; b) 2x2 + 3x - 27; 2 2 c) 2x - 5xy + 3y ; d) 2x2 -5xy - 3y2. Bài 2. Phân tích ra thừa số nguyên tố: a) x3 + 2x - 3; b) x3 - 7x + 6; c) x3 + 5x2 + 8x + 4; d) x3 - 9x2 + 6x + 16; 3 2 e) x - x - 4; f) x3 - x2 - x - 2; 3 2 g) x + x - x + 2; h) x3 - 6x2 - x + 30. Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử (bằng nhiều cách). x3 - 7x - 6. Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 27x3 - 27x2 + 18x - 4; b) 2x3 - x2 + 5x + 3. Bài 5. Phân tích đa thức thành nhân tử: a) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15; b) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12; c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12; d) (x + 2)(x + 3)(x + 4)( x+ 5) - 24; e) (x + a)( x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4 f) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2; g) 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4. Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử (dùng phương pháp đổi biến - Đặt ẩn phụ) a) (a + b + c)3 - 4(a3 + b3 + c3) - 12abc HD: Đặt x = a + b, y = a - b. Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 4x4 - 32x2 + 1; b) x6 + 27; c) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2; d) (2x2 - 4)2 + 9; 4 e) 4x + 1; f) 64x4 + y4; g) x4 + 324; h) x8 + x + 1; 7 5 8 i) x + x + 1; j) x + x4 + 1; 6 4 2 2 4 6 k) a + a + a b + b - b ; l) x3 + 3xy + y3 - 1. Bài 8. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1; b) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 c) x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + 1; c) x4 - 8x + 63. Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử: x8 + 98x2 + 1. Bài 10. Phân tích đa thức thành nhân tử ( Dùng phương pháp xét giá trị dương). a) M = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c( a + b - c)2 + (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b). b) N = a(m - a)2 + b(m - b)2 + c(m - c)2 - abc với 2m = a + b + c CHUYÊN ĐỀ CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC I) Chia đơn thức cho đơn thức (trường hợp đơn thức A chia hết cho đơn thức B). 1) Phương pháp: - Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B. - Chia từng luỹ thừa của từng biến trong A cho luỹ thừa của biến đó có trong B. - Nhân các kết quả tìm được với nhau. 1) Ví dụ và bài tập: Bài 1. Làm phép tính chia: a) 10015 : 10012; b) (-79)33 : (- 79)32; 16 14 21 18 1 1  3  3   :    :  2 2     c) ; d)  5   5  . 11 Tài liệu ôn tập - Đại số 8 Bài 2. Chia các đơn thức: a) -21xy5z3 : 7xy2z3; c) x2yz : xyz; e) 18x2y2z : 6xyz; g) 27x4y2z : 9x4y; 3 1 2 4 i) ( 4 m n ) : 2 m2n2; k) (-7a3b4c5) : (-21b3c2); n) (x + y)2 : (x + y); 1 3 b) ( 2 a3b4c5) : 2 a2bc5; d) x3y4 : x3y; f) 5a3b : (-2a2b); h) 9x2y3 : (-3xy2); j) 5x4y3z2 : 3xyz2; 3 1 l) 2 (a - b)5 : 2 (b - a)2; m)(x - y)5 : (y - x)4; 2 ơ) 0,5ambnc3 : ( 3 a2bc); o) (x - y +z)4 : (x - y + z)3; p) 1,8an+3bn+2cn +1 : (-0,9an+1bn-1c). Bài 3. Tính giá trị của biểu thức sau: 1 (-x2y5)2 : (-x2y5) tại x = 2 và y = -1. Bài 4. Thực hiện phép chia: 4 6 1 a) (xy2 - 3 x2y3 + 5 x3y2) : 2xy; b) (x3 - 3x2y +5xy2) : ( 3 x); 3 6 9 3 3 6 2 4 3 5 2 3 c) ( 4 a b c + 5 a b c - 10 a b c ) : 5 a3bc; d) [3(a - b)5 - 6(a - b)4 + 21(b - a)3 + 9(a - b)2] : 3(a - b)2 e) (u4 - u3v + u2v2 - uv3) : (u2 + v2). Bài 5. Với giá trị nào của n thì thực hiện được các phép chia đơn thức sau? Với điều kiện tìm được hãy thực hiện phép chia đó . a)x2n : xn + 3; b) 3xny2 : 4x2y; c) 6x3y5 : 5xny2; d) xnyn+2 : 3x3y4. II) Chia đa thức cho đơn thức. 1) Phương pháp: Chia đa thức A cho đơn thức B. - Chia mỗi hạng tử của đa thức A cho đơn thức B. - Cộng các kết quả lại với nhau. 2) Bài tập áp dụng: Bài 1. Thực hiện phép tính: a) (7. 35 - 34 + 36) : 34; b) (163 - 642) : 83; Bài 2. Làm tính chia: a) (5x4 - 3x3 + x2) : 3x2; b) (5xy2 + 9xy - x2y2): (-xy); 1 1 3 3 2 3 3 2 c) (x y - 2 x y - x y ) : 3 x2y2; d) (24x4y3 - 40x5y2 - 56x6y3) : (-24x4y2); 2 e) [a3 - (4a6 + 6a5 - 9a4) : 6a2].(1,5a2 + 3 a4); f) [(3x2y - 6x3y2) : 3xy + (3xy - 1)x]2 : 0,5x2. g) [7(a - b)5 + 5(a - b)3] : (b - a)2; h) [7(a - 3b)3 + (a - 3b)] : (2a - 6b); 3 2 2 3 i) (x + 3x y + 3xy + y ) : (2x + 2y). Bài 3. Thực hiện phép tính: 15 a) (3ambn - 1cp-2x - 7a5b3c5 + 4 a2mnbn-1cp+2x) : (-3a3-mb5c4); b) [(a + b - c)3 + (a - b + c)3 + (-a + b + c)3 - (a + b + c)3] : 24abc; c) [(x + y)7 - (x7 + y7)] : 7xy. 12 Tài liệu ôn tập - Đại số 8 d) Chứng minh số có dạng A = 34n + 4 - 43n + 3 chia hết cho 17 ( n thuộc N). Bài 4. Làm tính chia: a) [5(a - b)3 + 2(a - b)2] : (b - a)2 b) 5(x - 2y)3 : (5x - 10y); c) (x3 - 8y3) : (x + 2y); d) [5(a + b)7 - 12(a + b)5 + 7(a + b)11] : 4(-a - b)3 e) [3(a - b)4(2a + b)3 + 10(a - b)5 - (a - b)6(2a + b)] : 5(a - b)3. Bài 5. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức với x = -2. A = (2x2 - x) : x + (3x3 - 6x2) : 3x2 + 3. III) Chia đa thức một biến đã sắp xếp: 1) Phương pháp chung: - Chia hạng tử cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử cao nhất của đa thức chia thì được hạng tử cao nhất của thương. - Nhân hạng tử cao nhất của thương với đa thức chia rồi lấy đa thức bị chia trừ đi tích vừa tìm được, ta được dư thứ nhất. - Chia hạng tử cao nhất của đa thức dư thứ nhất cho hạng tử cao nhất của đa thức chia ta được hạng tử thứ hai của thương. - Nhân hạng tử thứ hai của thương với đa thức chia rồi lấy dư thứ nhất trừ đi tích vừa tìm được, ta được dư thứ hai. - Lặp lại quá trình trên cho đến khi: +) nếu dư cuối cùng bằng 0 thì phép chia có dư bằng 0 và được gọi là phép chia hết. +) nếu dư cuối cùng khác 0 và bậc của đa thức dư thấp hơn bậc của đa thức chia thì phép chia đó được gọi là phép chia có dư. 2) Ký hiệu: A(x) là đa thức bị chia; B(x) là đa thức chia; Q(x) là đa thức thương; R(x) là đa thức dư; Ta luôn có: A(x) = B(x). Q(x) + R(x); - Nếu R(x) = 0 thì A(x) = B(x) . Q(x) gọi là phép chia hết. - Nếu R(x) 0 thì A(x) = B(x). Q(x) + R(x),( bậc của R(x) nhỏ hơn bậc của B(x)) gọi là phép chia có dư. 3) Bài tập áp dụng: Bài 1. Làm tính chia: a) (6x2 + 13x - 5) : (2x + 5); b) (x3 - 3x2 + x - 3) : (x - 3); 4 3 2 2 c) (2x + x - 5x - 3x - 3) : (x - 3); Bài 2. Sắp sếp các đa thức sau theo luỹ giảm dần thừa của biến: a) (12x2 - 14x + 3 - 6x3 + x4) : (1 - 4x + x2); b) (x5 - x2 - 3x4 + 3x + 5x3 - 5) : (5 + x2 - 3x); c) (2x2 - 5x3 + 2x + 2x4 - 1) : (x2 - x - 1); d) (x3 - 7x + 3 - x2) : (x - 3); e) (2x4 - 3x3 - 3x2 - 2 + 6x) : (x2 - 2); f) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3); g) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5); h) (6x3 - 2x2 - 9x + 3) : (3x - 1); i) (3x4 + 11x3 - 5x2 - 19x + 10) : (x2 + 3x - 2); j) (-3x2 + 10x3 - x - 3 + 12x4) : (x + 1 + 3x2); k) (5x + 3x2 - 2 + 2x4 - 11x3 + 6x5) : (-3x + 2x2 + 2); l) (2x3 + 5x2 - 2x + 3) : (2x2 - x + 1); n) (2x3 - 5x2 + 6x - 15) : (2x - 5); m) (x4 - x - 14) : (x - 2). Bài 3. Không thực hiện phép chia, hãy xem phép chia sau đây có là phép chia hết không và tìm đa thức dư trong trường hợp không chia hết; a) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3); b) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5). 13 Tài liệu ôn tập - Đại số 8 HD: a) Kí hiệu số dư là r, ta có thể biết: x3 + 2x2 - 3x + 9 = (x + 3).q(x) + r Trong đẳng thức trên đặt x = -3, ta được: r = (-3)3 + 2(-3)2 - 3(-3) + 9 = 9 vậy dư trong phép chia là 9. b) Ta thấy ngay thương trong bước thứ nhất của phép chia là 3x và do đó đa thức dư thứ nhất là 2x - 1. Vì 2x - 1 có bậc nhỏ hơn 3x2 - 2x + 5 nên không thể thực hiện tiếp phép chia được nữa. Do đó phép chia không là phép chia hết và đa thức dư là 2x - 1. Bài 4. Không thực hiện phép chia, xét xem phép chia sau đây có là phép chia hết không và tìm đa thức dư trong trường hợp không chia hết. 1 a) (8x2 - 6x + 5) : (x - 2 ); b) 6x2 - 3x + 3) : (2x - 1); c) (x4 + x3 + x2 + x - 4) : (x - 1); d) (18x5 + 9x4 - 3x3 + 6x2 + 3x - 1) :(6x2 + 3x - 1). Bài 5. Tính nhanh: a) (9a2 - 16b2) : (4b - 3a); b) (25a2 - 30ab + 9b2) : (3b - 5a); c) (27a3 - 27a2 + 9a - 1) : (9a2 - 6a + 1); 1 4 1 3 3 2 d) (64a - 27 b ) : (16a + 3 ab + 9 b2). 4) Một số phương pháp khác để tìm đa thức thương và đa thức dư: 4.1) Phương pháp đặt phép chia: Ví dụ: Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x + 2. Giải Thực hiện phép chia x3 + ax + b x2 + x - 2 x3 + x2 - 2x -x2 + (a +2)x + b x-1 -x2 x + 2 (a + 3)x + (b -2) Để chia hết, đa thức dư phải đồng nhất băng 0, nên :  a  3 0  a  3    b  2 0  b 2 vậy với a = -3; b = 2 thì x3 + ax + b chia hết cho x2 + x + 2. 4.2) Phương pháp hệ số bất định. - Nếu hai đa thức f(x) và g(x) bằng nhau với mọi giá trị của biến số x thì người ta goi là hai đa thức hằng đẳng hoặc hai đa thức đồng nhất. Kí hiệu f(x)  g(x). - Hai đa thức (đã viết dưới dạng thu gọn) được gọi là đồng nhất (hằng đẳng) khi và chỉ khi các hệ số của các đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức đó là bằng nhau. *) Ví dụ: Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x + 2. Giải Đa thức bị chia có bậc là ba, đa thức chia có bậc hai, nên thương là một nhị thức bậc nhất, hạng tử bậc nhất là x3 : x2 = x. Gọi thương của phép chia là x + c, ta có: x3 + ax + b = (x2 + x - 2)(x + c) x3 +ax + b = x3 + (c + 1)x2 + (c - 2)x - 2c. Hai đa thức trên đồng nhất nên : 14 Tài liệu ôn tập - Đại số 8  c  1 0   c  2 a    2c b   c  1   a  3  b 2  Vậy với a = -3, b = 2 thì x3 + ax + b chia hết cho x2 + x - 2, thương là x - 1. 4.3) Phương pháp xét giá trị riêng. *) Ví dụ: Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x + 2. Giải Gọi thương của phép chia x3 + ax + b cho x2 + x - 2 là Q(x), ta có: x3 + ax + b = (x - 1)(x + 2).Q(x) Vì đẳng thức đúng với mọi x, nên lần lượt cho x = 1, x = -2 ta được :  1  a  b 0  a  b  1  a  3      8  2a  b 0   2a  b 8  b 2 Với a = -3; b = 2 thì x3 + ax + b chia hết cho x2 + x - 2 và thương là x - 1. 4.4) Phương pháp vận dụng vào định lý Bơdu a) Định lý: Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x = a.(Nghĩa là r = f(a)). b) Chú ý: Đa thức f(x) chia hết cho x - a khi và chỉ khi f(a) = 0 Các bài tập áp dụng cho các phương pháp trên. Bài 1. Xác định a và b để đa thức x4 - 6x3 + ax2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức. HD: sử dụng phương pháp hệ số bất định, ta có ha đáp số. x4 - 6x3 + 7x2 + 6x + 1 = (x2 - 3x - 1)2 x4 - 6x3 + 11x2 - 6x + 1 = (x2 - 3x +1)2 Bài 2. Xác định a và b để đa thức x4 - 3x3 + 2x2 - ax + b chia hết cho đa thức x2 - x - 2. HD: sử dụng phương pháp giá trị riêng, ta được kết quả a = 2; b = - 4. Bài 3. Xác định các hệ số a và b sao cho: a) x4 + ax2 + b chia hết cho x2 + x + 1; b) 2x3 + ax + b chia cho x + 1 dư -6, chia cho x - 1 dư 21. HD: ta có kết quả a) a = 1; b = 1; b) a = 3; b = -1. Bài 4. Tìm các giá trị nguyên của x để: a) Giá trị của biểu thức x3 + 3x2 + 3x - 2 chia hết cho giá trị của biểu thức x + 1; b) Giá trị của biểu thức 2x2 + x - 7 chia hết cho giá trị của biểu thức x - 2. HD a) Thực hiện phép chia (x3 + 3x2 + 3x - 2) : (x + 1) = x2 + 2x + 1 dư là -3 Suy ra -3  (x + 1)  x  {0; -2; 2; -4}. b) x  {3; 1; 5; -1}. Bài 5. Cho đa thức A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a (a thuộc Q). Xác định a sao cho A(x) chia hết cho x + 1. HD *) Cách 1. (Đặt phép chia đa thức). A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a chia cho đa thức (x + 1) được thương là 2 2 a x + (3a - a2)x + (a2 - 3a - 6) và đa thức dư là -a2 + a + 6 - Để đa thức A(x) chia hết cho đa thức x + 1 thì đa thức dư phải bằng 0, tức là -a2 + a + 6 = 0, giải phương trình ta được a = -2; a = 3. *) Cách 2. (Dùng phương pháp hệ số bất định). +) Tìm hạng tử bậc cao nhất a2x3 : x = a2x2, hạng tử bậc thấp nhất -2a : 1 = -2a +) Biểu diễn A(x) = (a2x2 + bx - 2a)(x + 1), sau đó dùng phương pháp đồng nhất để tìm ra a = -2; a = 3 và kết luận. *) Cách 3. (Dùng phương pháp xét giá trị riêng). Bài 6. Xác định hằng số a sao cho: 15 Tài liệu ôn tập - Đại số 8 a) 10x2 - 7x + a chia hết cho2x - 3; b) 2x2 + ax + 1 chia cho x - 3 dư 4; c) ax5 + 5x4 - 9 chia hết cho x - 1. Bài 7. Xác định các hằng số a và b sao cho: a) x4 + ax2 + b chia hết cho x2 - x + 1; b) ax3 + bx2 + 5x - 50 chia hết cho x2 + 3x - 10; c) ax4 + bx3 + 1 chia hết cho đa thức(x - 1)2; d) x4 + 4 chia hết cho x2 + ax + b. Bài 8. Tìm các hằng số a và b sao cho x3 + ax + b chia cho x + 1 thì dư 7, chia cho x - 3 thì dư - 5. CHUYÊN ĐỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I) Phân thức đại số: 1) Kiến thức cơ bản: A a) Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng B , trong đó A, B là những đa thức, B là đa thức khác đa thức 0 A là tử thức (tử). B là mẫu thức Mỗi một đa thức cũng được coi là một đa thức có mẫu là 1. b) Hai phân tức bẳng nhau: A C A C Với hai phân thức B và D , ta nói B = D nếu A.D = B.C 2) Bài tập: Bài 1. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau: x2  x  2 x x 2 y 3 7 x3 y 4   2 x2 x x  2 35 xy ; a) 5 b)  ; 2 3 2 3  x x  6x  9 x  4x  x  2x   2 9 x 5 c) 3  x ; d) 10  5 x ; 3x  x  5 3x 5 y 20 xy   2  x  5 2 7 8 x e) ; f) ; 2 2 x  2 x  1   x2  x  x  2 x  3x  2   2 x 1 x 1 x 1 ; g) x  1 ; h) x3  8 x  2 2 i) x  2 x  4 . Bài 2. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau. A 6 x 2  3x 4 x 2  3x  7 4 x  7  2  A 2x  3 ; a) 2 x  1 4 x  1 ; b) 4 x2  7 x  3 A x2  2x x2  2x   2 x2  1 x2  2x 1 ; A . c) d) 2 x  3 x  2 Bài 3. Bạn Lan viết các đẳng thức sau và đố các bạn trong nhóm học tập tìm ra chỗ sai. Em hãy sửa sai cho đúng. 5 x  3 5 x 2  13 x  6 x 1 x2  3   2 x2  4 a) x  2 ; b) x  3 x  6 x  9 ; x2  2 x  2  2 c) x  1 x  1 ; Bài 5. Ba phân thức sau có bằng nhau không? 2 x2  5x  3 2 x2  x  3  2 2 d) x  3x  4 x  5 x  4 . 16 Tài liệu ôn tập - Đại số 8 2 2 x  x 2 x2 x  4 ; ; x 2  1 x 1 x 2  x  2 . Bài 6. Tìm tập xác định của các phân thức sau: x2  3 3 2 a) 5 x  2 ; b) x  6 x  9 ; x 2x 1 2 2 c) x  3x ; d) x  3 x  2 . Bài 7. tìm các giá trị của biến để các biểu thức sau bằng 0. x2  x 3x  1 2 a) x  5 ; b) 2 x  1 ; 2 x  3x  2 x2  2x 2 x2 1 ; c) d) x  4 x  4 ; x 4  x3  x 1 x4  5x2  4 4 3 2 4 2 e) x  x  2 x  x  1 ; f) x  10 x  9 . Bài 8. Tìm các giá trị nguyên của biến để các phân thức sau nhận giá trị nguyên: 2  x  1 3 6 2 3 a) x  x  1 ; b) x  3 ; c) x  1 ; II) Tính chất cơ bản của phân thức đại số: 1) Kiến thức cơ bản: a) Tính chất: A A.M  - Tính chất 1: B B.M (M là đa thức khác đa thức 0). A A: M  - Tính chất 2: B B : M (M là nhân tử chung khác 0). A A  b) Quy tắc đổi dấu: B  B . 2) Bài tập áp dụng: Bài 1. Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy điền một đa thức thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau: x  x2 x x 2  8 3 x 3  24 x   2 ... a) 5 x  5 ... ; b) 2 x  1 ; c) ... 3 x 2  3 xy  x  y 3 y  x 2 3  x 2  2 xy  y 2 ...  2 2 x y y  x ; d) 2 2 5x  5 y 5x  5 y  2 y  2x . f) ... ; 2 x x ...  2 e) x  1 x  1 ; Bài 2. Biến đổi mỗi phân thức sau thành một phân thức bằng nó và có tử thức là đa thức A cho trước. 8x2  8x  2 4x  3 2 , A 1  2 x , A= 12x +9x 2 4 x  2   15 x  1 a) x  5 ; b)  ; Bài 3. Dùng tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng tử thức. x 2  25 3 x 1 x 5 a) x  2 và 5 x ; b) 4 x và 2 x  3 ; Bài 4. Dùng tính chất cơ bản của phân thức hoặc quy tắc đổi dấu để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng mẫu thức: 17 Tài liệu ôn tập - Đại số 8 3x 7x  2 a) x  5 và 5  x ; 2 x 4 c) x  8 x  16 và 2 x  8 ; Bài 5. Các phân thức sau có bằng nhau không? x3 y3 x2 3 a) xy và y ; 2 4x 3x b) x  1 và x  1 ; 2x x 3 x  1  x  3 x  1  x  2  d)  và  ; x2 x2 2 2 2 b) x  y và x  y ;  3( x  1) 3( x  1) 2 2 d) (1  x) và ( x  1) ; 1 x x 1 c) ( x  1)(3  x) và ( x  1)( x  3) ; Bài 6. Hãy viết các phân thức sau dưới dạng một phân thức có mẫu thức là 1 - x3; x2 x x 1 3 2 a) x  1 ; b) x  1 ; c) x  x  1 . Bài 7. áp dụng quy tắc đổi dấu để viết các phương trình bằng các phân thức sau:  xy 2 1  x2 a) 2 x  x ; b) x  1 ; y2  x2  2 x 1 c) x  y ; d)  x  2 . Bài 8. Viết các phân thức sau dưới dạng những phân thức có cùng mẫu thức: x x y 2 2 y a) x và x  1 ; b) và x ; 2x  y x x 1 1 x 3 3 5 4 4 5 c) x  y và x  y ; d) x y và x y . Bài 9. Viết các phân thức sau dưới dạng những phân thức có cùng tử thức: x 1 x 2 y a) x và x  3 ; b) y và x ; x2  y 2 x3 y 2 x2 y3 x y 2 c) 2 x  xy và x ; d) x  y và x  y ; BỘ ĐỀ ĐÁP ÁN HSG MÔN TOÁN FILE WORD Zalo 0946095198 160 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 6=110k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 6 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 250 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7=180k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 7 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 220 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8=150k; 50 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 8 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 250 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 HUYỆN=180k; 200 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 CẤP TỈNH=140k 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 (2019-2020)=100k; 80 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 CÁC HUYỆN CỦA TỈNH VĨNH PHÚC=100k (Các đề thi HSG cấp huyện trở lên) III) Rút gọn phân thức 1) Phương pháp: - Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung. - Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó. 2) Bài tập áp dụng: Bài 1. Rút gọn các phân thức sau: 14 xy 5 (2 x  3 y ) 8 xy (3x  1)3 2 2 3 a) 21x y(2 x  3 y ) ; b) 12 x (1  3 x) ; 18 Tài liệu ôn tập - Đại số 8 2 20 x  45 2 c) (2 x  3) ; 80 x3  125 x e) 3( x  3)  ( x  3)(8  4 x) ; 32 x  8 x 2  2 x 3 x 3  64 g) ; x2  5x  6 2 i) x  4 x  4 . x 2  xy  x  y 2 k) x  xy  x  y ; 5 x 2  10 xy 3 d) 2(2 y  x ) ; 9  ( x  5) 2 2 f) x  4 x  4 ; 5x3  5 x 4 h) x  1 ; 10 xy 2 ( x  y ) 3 J) 15 xy ( x  y ) ; 7 x 2  14 x  7 2 n) 3x  3 x ; x 2  xy 2 2 o) y  x ; 3 x 2  12 x  12 x4  8x l) ; 2 2a  2ab m) ac  ad  bc  bd ; 2x  2 y 2 2 ơ) x  2 xy  y ; 2  2a 3 p) a  1 ; x 4  2 x3 4 3 v) 2 x  x ; x2  6x  9 2 q) x  8 x  15 ; x7  x 4 6 u) x  1 ; ( x  2) 2  ( x  2) 2 16 x ư) ; 3 2 a  3a  2a  6 a2  2 y) ; Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: x 2 y  2 xy 2  y 3 xy  y 2  2 2 2 x  xy  y 2x  y ; a) 24,5 x 2  0,5 y 2 2 x) 3,5 x  0,5 xy ; ( a  b)(c  d ) 2 2 2 2 z) (b  a )(d  c ) . x 2  3xy  2 y 2 1  3 2 2 3 x y . b) x  2 x y  xy  2 y Bài 3. Đổi dấu ở tử hoặc ở mẫu rồi rút gọn phân thức: y 2  x2 45 x(3  x ) 3 2 3 3 a) 15 x( x  3) ; b) x  3 x2 y  3 xy  y . Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức sau: ax 4  a 4 x 1 2 2 a) a  ax  x với a = 3, x = 3 ; x3  3x 1  3 5 c) 3x  x với x = 2 ; 10ab  5a 2 1 1 2 e) 16b  8ab với a = 6 , b = 7 ; 2x  4 y 2 2 g) 0, 2 x  0,8 y với x + 2y = 5; x3  x 2  6 x 3 b) x  4 x với x = 98 x 4  2 x3 1  2 3 d) 2 x  x với x = 2 ; a7 1 15 8 f) a  a với a = 0,1; x2  9 y 2 h) 1,5 x  4,5 y với 3x - 9y = 1. a b Bài 5. Cho 3a2 + 3b2 = 10ab và b > a > 0. Tính giá trị của biểu thức P = a  b . Bài 6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x. 19 Tài liệu ôn tập - Đại số 8 2 2 x  y a) ( x  y )( ay  ax) ; Bài tập nâng cao. Bài 7. Rút gọn các biểu thức. m4  m 2 a) 2m  2m  2 ; xy  1  x  y c) y  z  1  yz ; a 2  b2  c 2  2ab 2 2 2 e) a  b  c  2ac ; a3 1 2 g) 2a  4a  2 ; x 2  ( a  b) x  ab 2 i) x  ( a  b) x  ab ; 3x3  2 x 2  4 x  5 6 x 2  3x  9 ; k) a 2 x  b2 x x x n) a  b ; 33 x  33 y x y o) 3  3 ; a 2 (b  c)  b 2 (c  a )  c 2 (a  b) ab 2  ac 2  b3  bc 2 p) ; 3 3 3 x  y  z  3xyz 2 2 2 u) ( x  y )  ( y  z )  ( z  x) ; 2ax  2 x  3 y  3ay b) 4ax  6 x  6 y  6ay ; ab 2  a 3  a 2b a 3b  b 4 b) ; ax  ay  bx  by d) ax  ay  bx  by ; a 2  b2 2 2 f) a  a  b  b ; a 3 (b 2  c 2 )  b3 (c 2  a 2 )  c3 (a 2  b 2 ) a 2 (b  c )  b 2 (c  a )  c 2 (a  b) ; h) x 2  a 2  b 2  2bc  2ax  c 2 2 2 2 2 j) x  b  a  2bx  2ac  c ; x x 2 2 l) x  5 x  6 . 1  (2a  3b) 2 m) 2a  3b  1 ; 24 m  24 n 2n 2m ơ) 2  2 ; 2 x3  7 x 2  12 x  45 3 2 q) 3 x  19 x  33x  9 ; x3  y 3  z 3  3xyz 2 2 2 ư) ( x  y )  ( y  z )  ( z  x) . Bài 8. Tìm các giá trị của x để các phân thức sau bằng 0. x 4  x3  x 1 x4  5x2  4 4 3 2 4 2 a) x  x  2 x  x  1 ; b) x  10 x  9 . Bài 9. Viết gọn biểu thức sau dưới dạng một phân thức. A = (x2 - x + 1)(x4 - x2 + 1)(x8 - x4 + 1)(x16 - x8 + 1)(x32 - x16 + 1). HD: Nhân biểu thức A với x2 + x + 1, từ đó xuất hiện những biểu thức liên hợp nhau x2  y 2  z 2 2 2 2 Bài 10. Rút gọn ( y  z )  ( z  x)  ( x  y ) biết rằng x + y + z = 0. 3x  2 y Bài 11. Tính giá trị của phân thức A = 3x  2 y , biết rằng 9x2 + 4y2 = 20xy, và 2y < 3x <0. HD 9 x 2  4 y 2  12 xy 20 xy  12 xy 8 xy 1    2 2 2 9 x  4 y  12 xy 20 xy  12 xy 32 xy 4 Ta có A =  1 2. Do 2y < 3x < 0  3x  2 y  0, 3x  2 y  0  A  0 . vậy A = (14  4)(54  4)(94  4)...(214  4) 4 4 4 4 Bài 12. Rút gọn biểu thức: P = (3  4)(7  4)(11  4)...(23  4) . HD 20