Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Các chuyên đề chọn lọc toán lớp 6, tập 1

4784185a60fe5eb347432baa3c50f2e3
Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương 20 tháng 11 2020 lúc 14:32:25 | Được cập nhật: 26 tháng 3 lúc 6:45:20 Kiểu file: PDF | Lượt xem: 737 | Lượt Download: 33 | File size: 1.750653 Mb

Nội dung tài liệu

Tải xuống
Link tài liệu:
Tải xuống

Các tài liệu liên quan


Có thể bạn quan tâm


Thông tin tài liệu

 Tài liệu sưu tầm CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 TẬP 1 Thanh Hóa, ngày 12 tháng 5 năm 2020 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP 1 PHẦN SỐ HỌC Chương I: ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN Chuyên đề 1: TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Tập hợp. Tập hợp con - Tập hợp là một khái niệm cơ bản của Toán học. Để kí hiệu một tập hợp, ta dung các chữ cái in hoa A, B, … còn để viết một tập hợp, ta có thể sử dụng một trong hai cách: • Liệt kê các phần tử của tập hợp. • Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp. - Một tập hợp có thể có một phần tử, nhiều phần tử,vô số phần tử nhưng cũng có thể không có phần tử nào. Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng, kí hiệu là ∅ . Để minh họa một tập hợp cùng các phần tử của nó, người ta dùng biểu đồ Ven. - Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì ta nói A là tập hợp con của B. kí hiệu: A ⊂ B. - Hai tập hợp A và B gọi là bằng nhau nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B và ngược lại. Kí hiệu: A = B. - Một số tính chất: • Với mọi tập hợp A, ta có: ∅ ⊂ A và A ⊂ A. • Nếu A ⊂ B và B ⊂ A thì A = B. • Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C ( tính chất bắc cầu). 2. Tập hợp các số tự nhiên - Tập hợp các số tự nhiên được kí hiệu là N. N = {0; 1; 2; 3; 4;…} Tập hợp các số tự nhiên khác 0 kí hiệu là N*. N* = {1; 2; 3; 4;…} - Tia số tự nhiên: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP 1 Mỗi số tự nhiên được biểu diễn bởi một điểm trên tia số. Điểm biểu diễn số tự nhiên a trên tia số gọi là điểm a. - Để ghi số tự nhiên trong hệ thập phân, ta dùng 10 chữ số là: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Trong hệ La Mã, ta dùng bảy kí hiệu: I, V, X, L, C, D, M với giá trị tương ứng trong hệ thập phân lần lượt là: 1; 5; 10; 50; 100; 500; 1000. - Thứ tự trong tập hợp số tự nhiên: Với hai số tự nhiên a và b bất kì, xảy ra một trong ba khả năng sau: a < b; a = b; a > b. Nếu a < b thì trên tia số tự nhiên, điểm a nằm bên trái điểm b. II. MỘT SỐ VÍ DỤ Dạng 1. Viết tập hợp, tập hợp con và sử dụng các kí hiệu ∈, ∉, ⊂ Ví dụ 1: Cho hai tập hợp A = {1; 2; 4; 5; 7; 9} và B = {2; 3; 5; 6; 7}. a) Viết tập hợp C gồm các phần tử thuộc tập hợp A mà không thuộc tập hợp B. b)Viết tập hợp D gồm các phần tử thuộc tập hợp B mà không thuộc tập hợp A. c) Viết tập hợp E gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp A và B. d) Viết tập hợp G gồm các phần tử hoặc thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B. Giải a) Ta thấy phần tử 1 ∈ A mà 1 ∉ B, do đó 1 ∈ C. Tương tự, ta cũng có: 4; 9 ∈ C Vậy C = {1; 4; 9} b) Làm tương tự câu a), ta có: D = {3; 6} c) Ta thấy phần tử 2 vừa thuộc A, vừa thuộc B nên 2 ∈ E. Tương tự, ta có: 5; 7 ∈ E. Vậy E = {2; 5; 7}. d) Ta thấy phần tử 1 ∈ A nên 1 ∈ G; 3 ∈ B nên 3 ∈ G; … Vậy G = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9} Nhận xét: Tập hợp C gồm những phần tử thuộc tập hợp A, trừ những phần tử của A mà cũng thuộc B. Trên biểu đồ Ven, tập hợp C có minh họa là miền gạch chéo. Kí hiệu: C = A \ B (đọc là C là hiệu của A và B). 2 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP 1 Tương tự, tập hợp D có minh họa là miền chấm D = B \ A (đọc là: D là hiệu của B và A). Tập hợp E gồm những phần tử chung của hai tập hợp A và B. Trên biểu đồ Ven, E có minh họa là miền kẻ carô. Kí hiệu: E = A ∩ B (đọc là: E là giao của A và B). Tập hợp G gồm những phần tử hoặc thuộc A, hoặc thuộc B nên có minh họa là cả hai vòng kín. Kí hiệu: G = A ∪ B (đọc là: G là hợp của A và B). Ví dụ 2. Cho tập hợp A = {a, b, c}. Hỏi tập hợp A có tất cả bao nhiêu tập hợp con? Giải Tập hợp con của A không có phần tử nào là: ∅ Các tập hợp con của A có một phần tử là: {a}, {b}, {c} Cấc tập hợp con của A có hai phần tử: {a, b}, {b, c}, {c, a} Tập hợp con của A có ba phần tử là: {a, b, c} Vậy A có tất cả tám tập hợp con. Nhận xét: Để tìm các tập hợp con của một tập hợp có n phần tử (n ∈ N), ta lần lượt tìm các tập hợp con có 0; 1; 2; 3; …; n phần tử của tập hợp đó. Tập hợp A ∅ Các tập hợp con của A Số tập hợp con của A ∅ 1 (n = 0) {a} ∅ ; {a} 2=2 (n = 1) {a, b} ∅ ; {a}; {b}; {a, b} 4 = 2.2 (n = 2) {a, b, c} ∅ ; {a}; {b}; {c}; {a, b}; 8 = 2.2.2 (n = 3 {b, c}; {c, a}; {a, b, c} … Từ đó ta rút ra kết luận sau: - Tập hợp rỗng chỉ có một tập hợp con duy nhất là chính nó. 3 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP 1 - Tập hợp có n phần tử ( n ≥ 1) thì có 2.2...2  tập hợp con. n thua sô 2 Dạng 2: Tính số phần tử của một tập hợp Ví dụ 3. Cho A là tập hợp các số tự nhiên lẻ có ba chữ số. Hỏi A có bao nhiêu phần tử? Giải Khi liệt kê các phần tử của tập hợp A theo giá trị tăng dần ta được một dãy số cách đều có khoảng cách 2: 101; 103; 105; …; 999 Từ đó, số phần tử của tập hợp A bằng số các số hạng của dãy số cách đều: (999 – 101):2 + 1 = 898:2 + 1 = 450 Vậy tập hợp A có 450 phần tử. Ví dụ 4. Cho A là tập hợp các số tự nhiên lẻ lớn hơn 5 và không lớn hơn 79. a) Viết tập hợp A bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử. b) Giả sử các phần tử của A được viết theo giá trị tăng dần. Tìm phần tử thứ 12 của A. Giải a) Số tự nhiên n lớn hơn 5 và không lớn hơn 79 là số thỏa mãn điều kiện: 5 < n ≤ 79. Vậy ta có: A = {n ∈ N| n lẻ và 5 < n ≤ 79}. b) Khi giá trị của n tăng dần thì giá trị các phần tử của A tạo thành một dãy số cách đều tăng dần (bắt đầu từ số 7, khoảng cách giữa hai số lien tiếp là 2). Giả sử phần tử thứ 12 của A là x thì ta có: (x – 7): 2 + 1 = 12 ⇒ (x – 7): 2 = 11 ⇒ (x – 7) = 11.2 = 22 ⇒ x = 22 + 7 = 29 Vậy phần tử thứ 12 cần tìm của A là 29 Nhận xét: Số phần tử của tập hợp A là: (79 – 7): 2 + 1 = 37 nên A có phần tử thứ mười hai. Ở câu b), ta có thể viết tập hợp A dưới dạng liệt kê các phần tử cho tới phần tử thứ mười hai. Tuy nhiên cách này có nhược điểm là ta phải liệt kê được tất cả các phần tử đứng trước phần 4 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP 1 tử cần tìm. Vậy với cách làm này, bài toán yêu cầu tìm phần tử ở vị trí càng lớn thì sẽ càng khó khăn. Dạng 3. Đếm số chữ số Ví dụ 5. Cần bao nhiêu số để đánh số trang (bắt đầu từ trang 1) của một cuốn sách có 1031 trang? Giải Ta chia số trang của cuốn sách thành 4 nhóm: - Nhóm các số có một chữ số (từ trang 1 đến trang 9): Số chữ số cần dùng là 9. - Nhóm các số có hai chữ số (từ trang 10 đến trang 99): Số trang sách là: (99 – 10) : 1 + 1 = 90 số. Số chữ số cần dùng là 90.2 = 180. - Nhóm sốc các số có ba chữ số (từ trang 100 đến trang 999): Số trang sách là: (999-100):1+1 = 900. Số chữ số cần dùng để đánh số trang nhóm nay là: 900.3 = 2700. - Nhóm các số có bốn chữ số (từ trang 1000 đến trang 1031): Số trang sách là: (1031 – 1000) : 1 + 1 = 32. Số chữ số cần dung là: 32.4 = 128 Vậy tổng số chữ số cần dùng để đánh số trang của cuốn sách đó là: 9 + 180 + 2700 + 128 = 3017. Nhận xét: Việc chia các số trang thành các nhóm giúp chúng ta dễ dàng tính được số chữ số cần dùng trong mỗi nhóm, từ đó tính được tổng số chữ số cần dùng. Một câu hỏi ngược lại là: Nếu ta biết số chữ số cần dùng để đánh số trang của một cuốn sáchthì ta có thể tìm được số trang của cuốn sách đó hay không? Ta có bài toán ngược của ví dụ trên. Ví dụ 6. Tính số trang sách của một cuốn sách biết rằng để đánh số trang của cuốn sách đó (bắt đầu từ trang 1) cần dung đúng 3897 chữ số. Giải Để đánh các số trang có một chữ số (từ trang 1 đến trang 9), cần 9 chữ số. Để đánh các số trang có hai chữ số (từ trang 10 đến trang 99, gồm 90 trang), cần 90.2 = 180 chữ số. Để đánh các số trang có ba chữ số (từ trang 100 đến trang 999, gồm 900 trang), cần 900.3 = 2700 chữ số Vì 9 + 180 + 2700 = 2889 < 3897 nên cuốn sách có nhiều hơn 999 trang, tức là số trang của cuốn sách có nhiều hơn ba chữ số. Số chữ số còn lại là: 3897 – 2889 = 1008. 5 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP 1 Vì để đánh tất cả các số trang có bốn chữ số (từ trang 1000 đến trang 9999, gồm 9000 trang), cần 9000.4 = 36000 chữ số (vượt quá 1008 chữ số), nên số trang của cuốn sách là số có bốn chữ số. Giả sử cuốn sách có n trang mà số trang có bón chữ số. Số chữ số cần dùng để đánh n trang này là 4.n. Ta có: 4.n = 1008, suy ra n = 1008 : 4 = 252. Vì các trang này bắt đầu từ trang 1000 nên trang cuối cùng sẽ là 252 + 999 = 1251. Vậy cuốn sách có 1251 trang Nhận xét: Trong cách giải trên, ta xét lần lượt nhóm các số trang có một chữ số, hai chữ số, … cho đến khi dùng hết chữ số mà bài cho. Vậy làm thế nào để biết số trang của cuốn sách có bao nhiêu chữ số? Sau đây là một số gợi ý: Số chữ số dùng để đánh số trang Từ 1 đến 99 (kí hiệu: 1 → 9) 10 → 189 Số trang của cuốn sách (n) n≤9 10 ≤ n ≤ 99 100 ≤ n ≤ 999 1000 ≤ n ≤ 9999 10000 ≤ n ≤ 99999 190 → 2889 2890 → 38889 38889 → 488889 … Với gợi ý trên, từ quy luật của phạm vi số các chữ số được cho ta có thể suy ra phạm vi số trang của cuốn sách. Chẳng hạn, nếu số chữ số được cho là 16789432, nằm trong phạm vi từ 5888890 đến 68888889, thì số trang cuối cùng của cuốn sách là số có bảy chữ số. Dạng 4. Các bài toán về cầu tạo số Ví dụ 7. Tìm một số có hai chữ số biết rằng khi viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số của số đó thì được số mới gấp 7 lần số đã cho. Giải Gọi số có hai chữ số cần tìm là ab ( 0 < a ≤ 9;0 ≤ b ≤ 9 ) . Khi viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số ta được số mới là a0b . Theo bài ra, ta có: a 0b = 7.ab 100.a= + b 7.(10.a + b) 100.a + b= 70.a + 7.b 30.a = 6.b 5.a = b. 6 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP 1 Vì a, b là các chữ số và a ≠ 0 nên suy ra a = 1; b = 5. Vậy số cần tìm là 15. Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng phương pháp tách cấu tạo số theo các chữ số trong hệ thập phân. Sauk khi tìm được mối quan hệ giữa các chữ số, ta xác định được cụ thể từng chữ số. Ví dụ 8. Tím số có ba chữ số biết rằng nếu viết thêm chữ số 1 vào trước số đó thì được số mới gâó 9 lần số ban đầu. Giải x abc ( 0 < a ≤ 9;0 ≤ b ≤ 9 ) Gọi số có ba chữ số cần tìm là= Khi viết thêm số 1 trước số x ta được số mới là 1abc . Theo bài ra, ta có: 1abc = 9.abc 1000 + abc = 9.abc hay 1000 + x = 9.x 1000 = 8.x Suy ra: x = 1000 : 8 = 125 Vậy số cần tìm là 125. Nhận xét: Ở ví dụ này ta không tách cấu tạo số cần tìm theo các chữ số mà tách theo cụm chữ số. Ta thấy số viết thêm không làm thay đổi cụm chữ số abc nên ta giữ nguyên cụm chữ số này trong quá trình tách cấu tạo số. Ví dụ 9. Tìm tất cả các số tự nhiên khác 0, sao cho khi viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số đó được gấp lên 9 lần. (Đề thi HSG tỉnh Yên Bái, 2005) Nhận xét: Ta chưa biết số phải tìm có bao nhiêu chữ số, nhưng từ đề bài ta thấy nó có ít nhất hai chữ số. Từ đó ta gọi bộ phận số đứng trước chữ số hàng chục là x (x có thể bằng 0), sử dụng phương pháp tách cấu tạo số theo các chữ số và cụm chữ số, ta có lời giải như sau: Giải Gọi số cần tìm là xab , trong đó: a, b là các chữ số; x ∈ N. 7 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP 1 Khi viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị ta được số mới là xa 0b Theo đề bài, ta có: xa 0b = 9.xab 1000.x + 100.= a + b 9.(100.x + 10.a + b) 1000.x + 100.a += b 900.x + 90.a + 9.b 100.x + 10.a = 8.b 50.x + 5.a = 5.b Vì b ≤ 9 nên 4.b ≤ 4.9 = 36 , do đó: 50.x + 5.a ≤ 36 ⇒ x = 0 Khi đó số cần tìm là ab , với 5.a = 4.b Vì a ≠ 0 và a, b là các chữ số nên ta có a = 4. Từ đó suy ra b = 5. Vậy số cần tìm là 45. III. BÀI TẬP. 1.1. Cho tập hợp A = {1; 2;3; 4} . Trong các cách viết sau, cách viết nào đúng? Cách viết nào sai? Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng. a) 1∈ A 1.2. 1.3. 1.4. b) {1} ∈ A c) 3 ⊂ A d ) {2;3} ⊂ A Cho hai tập hợp: A = {2;3;7;8} , B = {1;3;5;7;9} . a) Mỗi tập hợp trên có bao nhiêu phần tử? b) Viết tất cả các tập hợp vừa là tập con của A , vừa là tập con của B Viết các tập hợp sau và cho biết mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử? a) Tập hợp A các số tự nhiên x mà 15 – x = 7; b) Tập hợp B các số tự nhiên y mà 19 – y – 21. Tính số phần tử của các tập hợp sau: a) A = {10;12;14;...;98} b) B = {10;13;16;19;...;70} 1.5. 1.6. Cho dãy số 2;7;12;17;22;… a) Nêu quy luật của dãy số trên. b) Viết tập hợp B gồm 5 số hạng liên tiếp của dãy số đó, bắt đầu từ số hạng thứ năm. c) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số. Hãy viết lại mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử: A = { x ∈ N; x lẻ và 30 < x< 50 } B = { x ∈ ; x  5; x  2; x < 90} 1.7. 1.8. Mẹ mua cho Hà một quyển sổ tay 256 trang. Để tiện theo dõi Hà đánh số trang từ 1 đến 256. Hỏi hà đã phải viết bao nhiêu chữ số để đánh số trang hết cuốn sổ ta đó? Người ta viết liền nhau các số tự nhiên 123456….. 8 CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6, TẬP 1 1.9. 1.10. 1.11. 1.12. 1.13. a) Hỏi các chữ số đơn vị của các số 53; 328; 1587 đứng ở hang thứ bao nhiêu? b) Chữ số viết ở hang thứ 427 là chữ số nào? Cho bốn chữ số a, b, c, d đôi một khác nhau và khác 0. Tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số gồm cả bốn chữ số a, b, c, d có bao nhiêu phần tử? Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà: a) Trong số đó có ít nhất một chữ số 5? b) Trong số đó chữ số hàng chục bé hơn chữ số hàng đơn vị? c) Trong số đó chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị? Với hai chữ số I, V có thể viết được bao nhiêu số La mã (theo cách viết thông thường)? Số nhỏ nhất là số nào? Số lớn nhất là số nào? Mỗi tập hợp sau đây có bao nhiêu phần tử? a) Tập hợp các số có hai chữ số được lập nên từ hai số khác nhau. b) Tập hợp các số có ba chữ số được lập nên từ ba chữ số đôi một khác nhau. Tổng kết đợt thi đua lớp 6A có 45 bạn được 1 điểm 10 trở lên, 41 bạn được từ 2 điểm 10 trở lên, 15 bạn được từ 3 điểm 10 trở lên, 5 bạn được 4 điểm 10 trở lên. Biết không có ai đạt trên 4 điểm 10, hỏi trong đợt thi đua đó lớp 6A có bao nhiêu điểm 10? 1.14. Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, chữ số hàng đơn vị là 1. Nếu chuyển chữ số hàng đơn vị lên đầu thì được số mới nhỏ hơn số đã cho 2889 đơn vị. 1.15. Hiệu của hai số tự nhiên là 57. Chữ số hàng đơn vị của số bị trừ là 3. Nếu bỏ chữ số hàng đơn vị của số bị trừ ta được số trừ. Tìm hai số đó. 1.16. Tìm số có ba chữ số, biết rằng nếu viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì được một số mới lớn hơn số ban đầu 792 đơn vị. 1.17. Cho một số có hai chữ số. Nếu viết thêm chữ số 1 vào bên trái và bên phải số đó ta được số mới gấp 23 lần số đã cho. Tìm số đã cho. 1.18. Tìm một số có năm chữ số biết rằng nếu viết chữ số 7 đằng trước số đó thì được số lớn gấp 5 lần số có được bằng cách viết thêm chữ số 7 vào đằng sau chữ số đó. 1.19. Một số gồm ba chữ số có tận cùng là chữ số 7, nếu chuyển chữ số 7 đó lên đầu thì được một số mới mà khi chia cho số cũ thì được thương là 2 dư 21. Tìm số đó. 1.20. (Đề thi HSG Hà Nội, 2005) a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà chữ số hàng đơn vị là 4? b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số thỏa mãn có chữ số hàng đơn vị là 4 và chia hết cho 3? 9