Các chuyên đề chọn lọc toán 8 tập 2

TON THAN (Chi bién) NGUYEN ANH HOANG - DANG VAN QUAN GACCHUYENDE TON THAN (Chui bién) NGUYEN ANH HOANG - DANG VAN QUAN ~ as CAC CHUYEN DE CHON LOC TOAN 8 TAP HAI NHA XUAT BAN GIAO DUC VIET NAM IN | $$ Phan Phin Phan ____________ cong bién soan : Dai s6 : Dang Van Quan Hinh hoc : Nguyén Anh Hoang LOI NOI DAU Dé gitip cdc em hoc sinh hoc tap tot mon Toan 6 Trung hoc co sé (THCS) hién nay va 6 Trung hoc pho thong (THPT) sau nay, ching t6i bién soan bo sach gdm 8 cudn : "Cdc chuyén dé chon loc Todn 6, 7,8, 9 tap mot va tap haiâ. € MGi cuén trong b6 sach cé cdc chuong tuong img véi cdc chuong trong Sach gido khoa Toan. Cac chuong déu duoc viét theo nhitng chuyén dé (co ban va nang cao) ma cdc tac gia cho rang dé 1a nhitng chuyén dé can thiét cho viéc hoc va hiéu sau kién thife cla chuong. MOi chuyén dé gém ba phan: A. Kién thite can nho:; Phan nay dua ra nhing kién thitc co ban, nhing kién thifc b6 sung cén thiét dé c6 thé giai duoe cdc bai tap, cdc dang todn cla chuyén dé, B. Mot sé vi du: Phan nay trinh bay nhitng vi du chon loc minh hoa cho nhimg dang toan dién hinh cla chuyén dé véi cach trinh bay Idi giai chudn muc kém theo nhing niidn xér, lew §, binh ludn,... vé phuong phap giai, vé cic sai l4m hoc sinh cé thé mac, vé viée tim toi thém cae cach giai khac,.... Nhiéu vi du 6 phan nay dugc trich trong cdc dé thi hoc sinh gidi Toan 6 THCS, trong cic dé thi vao lép 10 THPT chuyén. C. Bai tap: Phan nay dua ra hé thong céc bai tap duge phan loai theo cac dang todn dé hoc sinh dé st dung. Hé thong cac bai tap nay kha da dang, bao gém cac bai tap co ban va cac bai tap nang cao cho hoc sinh kha, gidi. Nhiéu bai duge trich tir céc dé thi hoc sinh gioi Toan 6 trong va ngoai nuGc. Modi cudn sach déu cung cap mot s6 lugng I6n cac bai tap v6i hung dan giai kha chi tiét, minh hoa cho phuong phiap giai cac dang todn, cdc chuyén dé da dé cap. Cudi sach 1a phan Huong ddan gidi - Dap so cho cdc bai tap 6 cdc chuyén dé. Qua nhiing hudng dan giai cu thé, hoc sinh sé nam r6 hon cach giai cho méi dang todn. Cac kién thifc trong mdi cudn sach duge sap xép tir dé dén khé, duoc trinh bay don gian, dé hiéu, dp mg cho nhiéu déi tong hoc sinh. Cac tac gia cla bo sach 1a nhimg thdy co giéo da cé nhiéu kinh nghiém trong viéc giang day, béi dudng hoc sinh gidi Toin 6 THCS, dé 1a cac thdy c6 giéo: PGS.TS. NGND Ton Than (Chi bién b6 séch), NGUT Bui Van Tuyén, NGUT Nguyén Ngoc Dam, Ths. Nguyén Dite Truéng, Ths. Nguyén Dufc Tan, Ths. Nguyén Anh Hoang, Ths. Dang Van Quan, Ths. Pham Thi Lé Hang. Mac di da cé nhiéu cé gang, song bé sach khé tranh khoi nhimg thiéu sot. Cac tac gia rat mong nhan duoc thu gép Â¥ cla cdc em hoc sinh, cdc thay cO gido va céc bac phu huynh. Moi y kién gép y xin gtri vé theo dia chi : Ban Todn - Tin, Nha xudt ban Gido duc Viét Nam - 187B Gidng V6 Ha Noi. Hi vong rang, b6 sdch sé 1a tai liéu tham khao thiét thuc, hitu ich d6i véi cac em hoc sinh THCS, cac thay c6 gido day Toan va ban doc yéu thich Toan. CAC TAC GIA Cums III PHUONG TRINH BAC NHAT MOT AN Chuyén dé 1 PHUONG TRINH BAC NHAT MOT AN A. KIEN THUC CAN NHO 1. Kién thac co ban 1.1. Mo dau vé phuong trinh Phuong trinh mot an \a phuong trinh c6é dang P(x) = Q(x) (x 1a an), trong dé vé trai P(x) va vé phai Q(x) 1a hai biéu thie cla cing mot bién x. — S6 Xpq goi lA nghiém cha phuong trinh néu P(x) = Q(xp) 1a mot dang thiic diing. — Mot phuong trinh cé thé cé mot nghiém, hai nghiém, ..., nhung ciing cé thé khong cé nghiém nao (vO nghiém). Gidi phuong trinh la tim tat ca cac nghiém (hoac tim tap nghién) cua phuong trinh do. — Hai phuong trinh duge goi 1a mong duwong néu ching c6 tap nghiém bang nhau (ké ca bang tap réng). Quy tac bién mot phuong trinh thanh mot phuong trinh tuong duong vi né duge goi la quy tac bién déi twong duong. 1.2. Phuong trinh bac nhat mot an a) Dinh nghia: Phuong trinh dang ax + b = 0, véi a, b 1a hai s6 da cho va a #0, duge goi la phuong trinh bac nhat mot dn. b) Hai quy tac bién déi twong duong: — Quy tic chuyén vé: Trong mot phuong trinh, ta c6é thé chuyén mot hang ttr tir vé nay sang vé kia va d6i dau hang tir do. — Quy tic nhan véi mot s6: Ta cé thé nhan (hodc chia) ca hai vé cua mot phuong trinh véi (cho) cing mot so khac 0. ¢) Cach giai phuong wrinh bac nhat mot an: Ta c6é: ax +b =0 <> ax =âb €” (quy tac chuyén vé) x= 2 (chia hai vé cho a # 0). a Vay phuong trinh bac nhat mot an ax + b = 0 ludn c6 mot nghiém duy nhat 1a b X=-— a 2. Kién thc N&ng cao a) Phuong trinh cé dang bac nhdt mét dn: ax + b = 0. — Voi a 0, phuong trinh c6 nghiém duy nhat la x =-â. €” a — V6i a = 0, phuong trinh c6 dang: 0x = — b e Néu b = 0 thi phuong trinh 6 v6 s6 nghiém. e Néu b 0 thi phuong trinh v6 nghiém. b) Véi phuong trinh chifa tham sé m, gidi va bién ludn phuong tinh 1a giai phuong trinh d6 ty theo cdc trudng hgp vé gid tri cua m. B. MOT SO Vi DU Dang 1. Xét xem mét s6 cd IG nghiém cua phuong trinh hay khéng Vi du 1. Hay xét xem x = — 3 c6 phai la nghiém cla méi phuong trinh sau hay khong ? 9 a) 2x-S=-l4-x; b) 2x-7==3x y 6 2 c) â-S5=2x+l; €” d) x° -4=2x4l1l. x Giai a) Thay 2.(- 3) <> — 11 Vay x = b) Thay x = — 3 vao phuong trinh, ta duoc: -S5 =- 14 -(â3) €” =- 11: 1a mot dang thttc diing. — 3 langhiém cua phuong trinh. x = — 3 vao phuong trinh, ta duoc: 2 3-9) -7=-3.(â3) €” <> -— 9 = 9: 1d mot dang thiic sai. Vay x = — 3 khong la nghiém cua phuong trinh. c) Thay x = — 3 vao phuong trinh, ta duoc: 6 =a = 2.(-3)+1 <> â7=â-â5: €” €” €” 1a mot dang thitc sai. Vay x =— 3 khong 1a nghiém cua phuong trinh. d) Thay x = — 3 vao phuong trinh, ta duge: (33) 4 e838) a1 <> 5=5: 1a mot dang thite ding. Vay x = — 3 la nghiém cua phuong trinh., Nhan xét: Dé xét xem mot s6 c6 1a nghiém cua phuong trinh hay khong, ta thay s6 d6 vio phuong trinh. Néu két qua 1a mot dang thtfe diing thi s6 da cho 1a nghiém; trai lai, s6 da cho khéng phai 1a nghiém. Vi du 2. Tim gia tri cla m, biét rang x = 5 14 nghiém cua phuong trinh; 2x+m?(x-1)=19. Giai Vi x = 5 la nghiém cia phuong trinh 2x +m?(xâ1)=19, €” nén: 2.5+m*(5-1)=19 <> 10+4.m? = 19 Dang 2. Gidi phuong trinh dua dugce vé dang ax +b =0 Vi du 3. Giai cic phuong trinh sau: = — a) aa eS: b) 2x(xâ5)+21=x(2x+1)-12. €” Giat 3x-2 4-7x 5 3 a) = 3(3x — 2) = 5(4 — 7x) = 9x -6= 20 - 35x <> 9x + 35x = 20+6 = 44x = 26 13 © x=â. €” 22 Vay phuong trinh c6 nghiém duy nhat 1a x = 5 , b) 2x(x-5)+21=x(2x+1)-12 & 2x? -10x +21 =2x7 +x-12 > 2x? -10x — 2x” -x =-12-21 <-Illx=-33 x = 3. Vay phuong trinh cé tap nghiém 1a S = {3}. Vi du 4. Giai cdc phuong trinh sau: X+98 x+96 x+65 x+3 x45 x+49 + + = + + : 2 4 35 97 95 5] x-91 x-86 x-78 x-49 + + + = 37 42 50 79 Nhan xét: Néu thue hién phép quy d6éng mau sé thi ta thay phép tinh kha céng kénh va s6 lon. Néu quan sat quy luat cua cac cap sé 6 ttt va mau cla cac phan sé thi ta thay nhu sau: a) b) 4. — O cau a), tong cua sé trén tr va sé du6éi mau cua cdc phan s6 bang nhau: 98 +2=96+4=65 + 35=3+97=5+95=49+ 5]. - O cau b), hiéu cia sé trén tir va sé dui mau cia céc phan s6 bang nhau: — 91 -37 =- 86 — 42 =- 78 - 50 =- 49 - 79. Dé khai thic quy luat nay, ta cong thém | vao mdi phan sé 6 cau a) va trit mdi phan s6 @ cau b) di | don vi. Giai a) Phuong trinh da cho tuong duong voi: SS — ) XS ) +1 }+ +] }+ +1|= 2 4 35 YS ) ee (x+49 =| â⠀” €” +1 |+| ââ+] €” €” |+ +1 97 95 l 51 x+100 x+100 x+100 x+100 x+I100 x+I100 => + + = + + 2 4 35 is 95 S| = (x+100){ 5+ Ts ; x-a-e-a}-° 2 4 "35 97 95 5I =x+ 100=0 =x =- 100. Vay phuong trinh cé tap nghiém 1a S = {— 100}. b) Phuong trinh da cho tuong duong véi: Seb a ee x-128 x-128 x-128 x-128 ~ + + =0 37 42 50 79 © (x-128) 5+ shea +5)" 0 37 42 "50 79 <x-128=0 ux = 128. Vay phuong trinh c6 nghiém duy nhat x = 128. Dang 3. Xét xem hai phuong trinh cé tuong duong hay khéng Vi du 5. Hai phuong trinh sau cé tuong duong khong ? Vi sao ? a) 2x =6 va (x-3)(x? +1)=0; b) x7-4=0 vax+2=0. Giai a) Phuong trinh 2x = 6 c6 tap nghiém 1a S, = {3}. x-3=0 Phuong trinh (x=3)(x° * 1) -0-| ay a= x =3, nén cé tap nghiém x" +l= la Sy = {3}. Vi S, = Sy nén hai phuong trinh da cho 1a tuong tuong. x-2=0 x=2 = x b) Ta co: Pada 0e2 (4=21042)= 069 | Xx+2= => Tap nghiém 1a S, = {- 2; 2). Phuong trinh x + 2 =0 <> x =— 2, cé tap nghiém 1a S, = (- 2}. Vi S; # S, nén Nhan xét: © cau b) ta c6 x7 -4=0 (do 2° (do 2420), nén hai phuong trinh da cho khong tuong duong. thé giai thich nhu sau: Vi x = 2 1A nghiém cia phuong trinh -4=0) nhung khong la nghiém cua phuong trinh x + 2 = 0 hai phuong trinh khong tuong duong. Vi du 6. Tim m dé hai phuong trinh sau tuong duong: x-m=0 (1) va’ mx-9=0 (2) Giai Phuong trinh (1): x = m = 0 c6 nghiém duy nhat 1a x = m. Vi hai phuong trinh tuong duong nén x = m cing la nghiém cua phuong tinh (2), tite la; m.m = 9 oom =3? oo m=+3. Ther lai: - Voi m = 3, tacé phuong trinh (1): x — 3 = 0 va phuong trinh (2): 3x - 9 =0 cé cling tap nghiém 1a {3}. Vay m = 3 tho»miin. - Voi m= -— 3, tacé phuong tinh (1): x + 3 = 0 va phuong trinh (2): (— 3)x -9 =0c6 cing tap nghiém 1a {-— 3). Vay m = — 3 thoa min. Vay cé hai gid tri clam thoa man yéu cau la - 3 va 3. Nhan xét: Loi giai trén dua vao tinh chat: Hai phuong trinh tuong duong khi va chi khi moi nghiém cua phuong trinh nay cting 1a nghiém cua phuong trinh kia. Ngoai cach lam nay ta cé thé giai thich nhu sau: Vi (2) la phuong trinh cé dang bac nhat nén dé (2) tuong duong véi (1), tute 1a cé mot nghiém duy nhat bang m, thi (2) phai 1 phuong trinh bac nhat (m # 0) va cé nghiém x = m. Uu diém cua cach nay 1a ching ta khong phai thit lai cdc gid tri cua m ma chi céin kiém tra diéu kién m # 0. Dang 4. Gidi va bién luan phuong trinh ax +b = 0 Vi du 7. Giai va bién luan phuong trinh: (mâ3)x €” = m* â3m. €” Giai Ta cé: (mâ3)x €” =m* -3m <> (m-3)x=m(m-3). + Néu m — 3 # 0, tic m Â¥ 3, thi phuong trinh cé nghi¢m duy nhat Ia: _m(m-3) _ x m. m-3 + Néu m = 3 = 0 tte m = 3, thi ta cé phuong trinh: 0.x = 0, dung v6i moi x. Vay, néu m # 3 thi phuong trinh co tap nghiém 1a {m)}; néu m = 3 thi phuong trinh cé tap nghiém 1a R. Vi du 8. Cho phuong trinh m(mâ1)x €” =m? +3m+2(x +1). (1) Tim m dé phuong trinh (1): a) Cé nghiém duy nhat. b) V6 nghiém. Giai Tacé6(1) <> (m? ~m)x-2x =m? +3m+2 = (m° -m-~2)x = m* +3m+2 <> (m+1)(mâ2)x €” =(m+1)(m+2). a) Phuong trinh (1) c6 nghiém duy nhat khi va chi khi: (m+1)(mâ2) €” #0 <om#-1vam#2. b) Phuong trinh (1) v6 nghiém khi va chi khi: Neetyimeayeo⢠„ = 2. (m+1)(m+2)#0 Nhan xét: Phuong phap giai bai todn tim m dé phuong trinh thoa man diéu kién vé s6 nghiém: — Bién d6i dua vé phuong trinh vé dang bac nhat: ax + b =0 (*) — Ap dung mot trong cac két qua sau: ~ Phuong trinh (*) c6é nghiém duy nhat <=> a = 0. . ; a=0 — Phuong trinh (*) v6 nghiém <> bz0 a=0 — Phuong trinh (*) c6 v6 s6 nghiém <> is sid C. BAI TAP 3.4. Xét xem x =4 6 1a nghiém cua mdi phuong trinh sau hay khong? a) 2(3x-1)-7 =15-(xâ4); €” b) x(3â4x)-S=1-x°. €” 3.2. Timm dé x = 1,5 la nghiém cla phuong trinh: m?(2x--3)-4x+m=5. 3.3. Ching minh rang phuong trinh: 2mx â5=âx+6mâ2 €” €” €” ludn cé mot nghiém x khong phu thudc vao m. 3.4. Giai cdc phuong trinh sau: a) 5 — (x — 6) = 4(3 — 2x); b) 3 — 4x(25 — 2x) = 8x" + x — 300. 3.5. Giai cdc phuong trinh sau: (+2 â) €˜ 3x+2 3x+l ea, 2 6 3 2x-5 x+8 x-l + =7+ : 5 6 3 5 Sx+2 8xâI €” _ 4%+2 6 3 5 3.6. Giai cdc phuong trinh sau: b) x- -5, x+]l x+2 x+4 a) ââ+ €” €” +6=0; 15 7 12 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11. 3.12. 3.13. 3.14, Xx+14 x+27 x+105 x+200 x+I187 x+109 + = + + ; + 200 187 109 14 zi 105 x-342 x-323 x-300 x-273 c) cs - =10. 1S 17 19 21 Giai céc phuong trinh sau: x+97 x-63 x-7 x-77 + = + ; a) 125 35 21 49 X+2 2x+45 3x+8 4x+69 b) + = + i 13 15 37 9 Giai phuong trinh: X x+2 x+4 x+12 + + ton. = 7; 2000 2002 2004 2012 Tim m dé hai phuong trinh sau tuong duong: 2x+3=0 va (2x+3)(mx-1)=0. Giai va bién luan cdc phuong trinh sau: a) (I-m)x=m*-1; b) (m? âSm+6)x €” =mâ-9. €™ Cho phuong trinh (4m° -25)x-5=2m. a) Giai phuong trinh véi m = 5. b) Tim m dé phuong trinh v6 nghiém. Cho phuong trinh (4m? = 9)x = 2m? +m-â3. €” Tim m dé phuong trinh: a) C6 nghiém duy nhat. b) C6 v6 sé nghiém. Giai phuong trinh an x sau: a+b-x | b+ce~-x Chas. . 4x =h c a b a+b+ec Giai phuong trinh dn x sau: x-a x-b x-c 2 2 2 â= €” + + ==â+â+-, €” €” be ca ab a bec 13 Chuyén dé 2 PHUONG TRINH TICH A. KIEN THUC CO BAN — Phuong trinh tich la phuong trinh c6é dang: A(+).B(x)...C(v) = 0 (1) — Dé gidi phuong trinh (1) ta gidi cdc phuong trinh A(x) = 0; BOY) = 0: ...: C(x) = 0, r6i lay hop tat ca céc nghiém cua ching. Trong Chuyén dé nay ta thudng van dung cdc phuong phap phan tich da thie thanh nhan tr dé bién déi phuong trinh da cho vé phuong trinh tich. B. MOT SO Vi DU Dang 1. Gidi phuong trinh tich Vi du 9. Giai c4c phuong trinh sau: a) (2x -7)(4-5x)=0; b) 8x (3xâ5) €” =6(3x-5). Giai F 5x =0 ale me 2x-7= a) (2x -7)(4-5x)= 0<| eee iF {2 Vay phuong trinh cé tap nghiém 1a $= {2 wale b) a 5 Xx â_⠀” €” x-5=0 <> (3x-5)(8x-6)=0< [3 = | 8x-6=0 3 x=— 4 Pt aie et 8S Vay phuong trinh c6 tap nghiém 1a S = =13' a" I4 Luu y: Khong duge chia hai vé cua phuong trinh cho 3x — 5, vi nhu vay sé lam mat nghiém x = 5 cua phuong trinh. Néu muon chia ta phai xét tudng hop 3x — 5 = 0 trude. Vi du 10. Giai cac phuong trinh sau: a) Xx" -6x+9=49: b) (x? +3x+2) =(x?-x-2)â. €™ Giai a) x?-6x+9=49 > (x-3) =7° <(x-3)'-77 =0 = (x -3-7)(x-3+7)=0<>(x-10)(x+4)=0 ole olin x+4=0 x=-4 Vay phuong trinh co tap nghiém 1a S = {-4; 10}. 7 = b) (x? +3x +2] =(x? =x-3) (x? +3x+2) -(x° =x -2) =0 | (x? +3x+2)â-(x? €” âx €” -2)|[(x? +3x+2)+(x7 -x-2)|=0 > (4x +4)(2x? + 2x) =0 <> 8x(x +1)" oe" ° ; Xx [ = it Vay phuong trinh cé tap nghiém 1a S = {- 1; 0}. Nhan xét: C6 thé giai cdc phuong trinh trén theo bién d6i sau: 9 * a" =b* aa=tb. Dang 2. Gidi phuong trinh da thiic bac cao quy vé phuong trinh tich Vi du 11. Giai cdc phuong trinh sau: a) (12x? â3)(x+3)+(2x° €” +7x +3}(x-3)=0; b) x*-3x?-6x+8=0. 15