Các chuyên đề chọn lọc toán 8 tập 1

TON THAN (Chu bién) BUI VAN TUYEN - NGUYEN DUC TRUONG ~ IA CAC CHUYEN DE CHON LOC TOAN & TAP MOT NHA XUAT BAN GIAO DUC VIET NAM wre SAO TARPL IR Lo: NOI DAU Dé gitip cdc em hoc sinh hoc tap t6t mon Toan 6 Trung hoc co sé (THCS) hién nay va 6 Trung hoc phé thong (THPT) sau nay, chting toi bién soan bo sich gdm 8 cu6n : "Cae chuyén dé chon loc Todn 6,7,8,9 tap mot va tap haiâ. € M6i cudn trong bo sdch cé céc chuong tuong ting véi cac chuong trong sach giao khoa Toan. Cac chuong déu duoc viét theo nhiing chuyén dé (co ban va nang cao) ma cac tic gia cho rang d6 1a nhing chuyén dé can thiét cho viéc hoc va hiéu sau kién thite cla chuong. Mi chuyén dé g6m ba phan : A. Kién tite can nho: Phan nay dua ra nhimg kién thite co ban, nhimg kién thifc b6 sung can thiét dé c6 thé giai duoc cac bai tap, cdc dang toan cua chuyén dé. B. Mot so vi du: Phan nay trinh bay nhing vi du chon loc minh hoa cho nhig dang todn dién hinh cia chuyén dé v6i cach trinh bay 106i giai chuan muc kém theo nhiing whan xét, law Â¥, bink ludn,... vé phuong phap giai, vé cac sai lim hoc sinh c6 thé mac, vé viéc tim toi thém cac cach giai khac, ... Nhiéu vi du 6 phan nay duoc trich trong cac dé thi hoc sinh gidi Toan 6 THCS, trong cac dé thi vao Iép 10 THPT chuyén. C. Bai tap: Phan nay dua ra hé thong cac bai tap duoc phan loai theo cdc dang todn dé hoc sinh dé str dung. Hé thong cac bai tap nay kha da dang, bao g6m cac bai tap co ban va cac bai tap nang cao cho hoe sinh kha, gidi. Nhiéu bai duoc trich wr cac dé thi hoc sinh giodi Toan 6 trong va ngoai nudc. Méi cuén sach déu cung cdép mot sé lugng Ién cac bai tap véi huéng dan giai kha chi tiét, minh hoa cho phuong phap giai cdc dang todn, cdc chuyén dé da dé cap. Cu6i sdch 14 phan Huéng ddan gidi — Dap sé cho cac bai tap 6 cdc chuyén dé. Qua nhimg huéng dan giai cu thé, hoc sinh sé nam ro hon cach giai cho mi dang toan. Cac kién thttc trong méi cudn sich duge sap xép tt dé dén khé, duoc trinh bay don gian, dé hiéu, dap tmg cho nhiéu doi tugng hoc sinh. Cac tac gia cla bo sich 1a nhimg thay co gido da c6é nhiéu kinh nghiém trong viéc giang day, b6i duGng hoc sinh gioi Toan 6 THCS, d6 la cac thay co giao: PGS.TS NGND Ton Than (Chu bién b6 sach), NGUT Bui Van Tuyén, NGUT Nguyén Ngoc Dam, Ths. Nguyén Dtic Truéng, Ths. Nguyén Ditc Tan, Ths. Nguyén Anh Hoang, Ths. Dang Van Quan, Ths. Pham Thi Lé Hang. Mac di da cé nhiéu cé gang, song bo sach kho tranh khoi nhing thiéu sét. Cac tac gia rat mong nhan dugce thu gop y cua cac em hoc sinh, cac thdy c6 gido va cdc bac phu huynh. Moi y kién xin gin vé theo dia chi : Bun Todn âTin, €” Nha xudat ban Gido duc Viét Num — 187B Gidng V6 âHa €” Noi. Hi vong rang, b6 sach sé 1a tai liéu tham khao thiét thuc, hitu fch d6i vGi céc em hoc sinh THCS, cac thay co gido day Toan va ban doc yéu thich Toan. Ha Noi, thang 3 ndm 2013 CAC TAC GIA PHAN DAI SO Crone I PHEP NHAN VA PHEP CHIA CAC DA THUC Chuyén dé 1 PHEP NHAN CAC BDA THUC A. KIEN THUC CAN NHO 1. Muén nhan mot don thitc v6i mot da thic ta nhan don thitc véi timg hang wr cua da thuc réi cong cac tich véi nhau. 2. Muon nhan mot da thie véi mot da thitc, ta nhan méi hang tr cla da thife nay vdi timg hang tu cua da thitc kia réi cong cac tich véi nhau. B. MOT SO Vi DY Vi du 1. Cho b6n s6, s6 sau hon s6 truéc 1a 2. Chig minh rang hiéu cua tich hai s6 6 giita va tich cla s6 dau v6i s6 cudi ludn khong déi. Giai. Goi bon sé da cho la x, x + 2, x + 4 va x + 6. Hiéu cilia tich hai s6 6 gitta va tich cua s6 dau vGi s6 cudi 1a : (x + 2)(x +4) — x(x + 6) =x? + 4x + 2x +8 — x? - 6x = 8 (khong déi). Vi du 2. Cho m s6, mdi sé bang 3n + | va n s6, mdi so bang 9 — 3m. Biét téng tat ca cdc s6 dé bang 5 lan tong m +n. Chimg minh rang m =n. Giai. Téng cha m s6 (3n + 1) voi n s6 (9 — 3m) 1a m(3n + 1) +n(9 — 3m). Theo dé bai ta cé m(3n + 1) + n(9 — 3m) = 5(m +n) <= 3mn +m + 9n — 3mn=5m+5n = 9n-5n=Sm-m @ 4n=4m @n=m. Vi du 3. Tinh tong cac hé s6 cua luy thita bac ba, luf thira bac hai va luy thira bac nhat trong két qua cua phép nhan (x7 +x + Lx â-x+l). €” Giai Ta c6 (x2 +x + Ix - x41) axr-x¢x2¢xt— x ex ex? x +1 =x 4x 41. Hé sé ctia luy thiva bac ba 14 0, hé s6 cia luy thira bac 2 14 0, hé so cua luy thira bac nhat 1a 0 nén tong cdc hé sé nay bang 0. Vi du 4. Cho M = (x +a)(x” + bx + 16) vaN =x° — 64. a) Viét biéu thitc M dui dang mot da thifc thu gon theo luy thira giam dan cua x. b) Voi gid tri nado cla a va b thi hai da thifc M va N lu6n cé gia tri bang nhau v6i moi gid tri cua x ? Giai a) Taco M=(x + a(x? + bx + 16) = x° + bx? + 16x + ax? + abx + 16a=x° + (a+ b)x? + (ab + 16)x + 16a. b) M=N véi moi gia tri cua x ox +(atb)x? + (ab + 16)x + 16a =x° — 64, Vx a+b=0 a=-4 <= sab+16=0 4 b = 4. 16a = -64 Nhan xét : Hai da thitc viét duéi dang thu gon co gia tri bang nhau voi moi gia tri cua bién khi va chi khi cdc hé s6 cha cdc luy thira cing bac bang nhau. Vi du 5. Cho biéu thitc A = (4m — 1)(n — 4) — (m — 4)(4n — 1). Chimg minh rang A : 15 vi moi gid tri nguyén cua m va n. Giai A = (4m — 1)(n — 4) — (m — 4)(4n — 1) = 4mn - 16m ân €” +4 — (4mn — m — 16n + 4) = 4mn - 16m â-n+4-4mn+m-+ €” l6n-4 =-15m + 15n=-15(mân): €” 15. Vi du 6. Cho b6n s6 nguyén lién tiép khong chia hét cho 5, khi chia cho 5 duoe nhimg s6 du khac nhau. Chitmg minh rang hiéu cua tich hai s6 cudi véi tich cua hai sé dau 14 mot s6 cé tan cling dting mot chit sé 0. 6 Giai. Goi bon sé nguyén lién tiép khong chia hét cho 5, khi chia cho 5 dugc nhimg so du khac nhau lan luot 1a Sk + 1, Sk + 2, 5k + 3, Sk + 4 (k ⬠‚ Z). Ta c6 (Sk + 3)(5k + 4) — (5k + 1)(5k + 2) = (25k? + 20k + 15k + 12) — (25k? + 10k + 5k +2) = 25k" + 35k + 12 — 25k? — 15k — 2 = 20k + 10 = 10(2k + 1). Vi 2k + 11a mot so le nén 10(2k + 1) cé tan cing bdi ding mot chit sé 0. C. BAI TAP 1.1. Viét c&c biéu thiic sau duéi dang da thifc sap xép theo luy thita giam cla bién x a) (3x + a)(2x — Sa) — 6a(2x — a) ; b) (9x — Sy)(2x + Ty) — (4x + 3y)(8x — y). 1.2. Chimg minh dang thife (x + a)(x + b) = x? +(a+b)x + ab. Ap dung tinh nhanh : a) (Xx + 5)(x + 2); b) (x -— 7)(x - 4); C) (x + 8)(x - 3); d) (x — 9)(x + 1). 1.3. Cho da thite A=x?+ 11x +m trong do m 1a mot s6 nguyén duong. Tim gia tri nho nhat cia m, gid tri 1l6n nhat cua m dé da thife A 18 tich cia hai da thife vGi hé s6 nguyén. 1.4. Xac dinh cdc hé s6 a, b, c biét rang véi moi gid tri cua x thi: a) (5x — 3)(2x âc) €” = ax? + bx +21; b) (ax + 4)(x? + bx — 1) = 9x" + 58x” + 15x +c. 1.5. Cho biéu thttc A = 3xâ¢'(x"! „ — y") + y"(3x"*! — y") trong dé n ⬠‚ Nâ. €™ Hay thu gon biéu thtic A dé chimg to rang khi thay cdc gid tri clla x va y béi cac s6 d6i cua ching thi gid tri cua biéu thttc A van khong doi. 1.6. Mot khu dat hinh chit nhat cé chu vi 1a 100 m. Néu chiéu dai va chiéu rong cling giam di a (mét) trong dé a < SO thi dién tich khu dat nay giam di bao nhiéu mét vudng ? 1.7. Cho x” + y” =2, ching minh dang thit : 2(x + I)(y + 1) = (x + y)(x + y + 2). 1.8. 1.9: 1.10. 111; 1.12. 1.13. 1.14. 1.15. 1.16, 1.17. Cho biét (x + y)(x + z) + (y + zy + x) = 2(z + x)(z + y). Chimg minh rang 7 ey" > . _ 9 x == Tinh gid tri cla biéu thite sau bing céch hop li: a) A=x° — 70x* — 70x* — 70x? — 70x + 29 taix =71; b) B=x° — 36x" + 37x° — 69x? — 34x + 15 tai x = 35. Cho biéu thtte A = 3(x° +X + 2y(x? -~x°-x+ 1) Hay thuc hién phép nhan réi viét két qua theo luy thita giam dan cia x. Cho biét hé s6 cua luy thira bac 4, cla luy thira bac 3, cua luy thira bac 2 trong két qua. Chimg minh rang gid tri cla céc biéu thitc sau khong phu thudc vaio gid tri cla bién x : a) A = (4x — 5)(2x + 3) — 4(x + 2)(2x — 1) + (10x +7); b) B= (7x — 6y)(4x + 3y) — 2(14x + y)(x — 9y) — 19(13xy — 1). Tim x, biét: a) 4x(5x + 2) — (10x — 3)(2x + 7) = 133; b) 3(6x = 5)(4x + 1) = (8x + 3)(9x = 2) = 203. Cho biéu thie B = (n — 1)(n + 6) — (n + 1)(n = 6). Ching minh rang véi moi gid tri nguyén cla n thi B: 10. Cho ba s6 nguyén lién tiép. Lap cdc tich cla hai trong ba sé d6. Biét téng cua ba tich nay 14 242. Tim ba s6 nguyén do. Goi y : Goi sO nguyén 6 gitra 1a a. Cho biéu thife P = (x — a)(x — b)(x - c), trong dé: a+b+c= 12; ab + be + ca =47 va abe = 60. a) Hay viét P duéi dang mot da thifc thu gon, sp xép theo luy thiva giam cua bién x. b) Tinh gid tri cua P khi |x| = 3. Chimg minh dang thifc (a— 1)\(aâ2)(a €” +3) — (a+ 1)(a + 2)(a— 3) = 12. Ap dung két qua trén dé chimg minh ring : 149.148.153 — 151.152.147 = 99.98.103 — 101.102.97. Cho cdc s6 x, y, 2 ti 1é véi cdc sé a, b, c. Chimg minh rang : (x? ~ 2y? + 32°\(a" +2b7 + 3c?) = (ax + 2by + 3cz)°. Chuyén dé 2 NHUNG HANG DANG THUC DANG NHO A. KIEN THUC CAN NHO e(A+B)* =A? +2AB +B? (1) e(A-B) =Aâ-2AB+B° €™ (2) eA*-B? =(A+B)(A-B) (3) e(A+B) =A*?+3A°B+3AB*+B° (4) = A*+B* +3AB(A +B) e(A-B)> =A*â3A°B €” + 3ABâ-B° €™ (5) = A*- B*- 3AB(A - B) eA°+B°> = (A+B\(A*-AB+B°) (6) eA°-B* =(AâB)(A2+AB €” +Bâ) €™ (7) B. KIEN THUC BO SUNG 1. Binh phuong cua da thitc (a) +a +..+ a,)° = a? + a3 Pct a2 + 2a,a, + 2a,a, +... + 2aja, + 2458, + 2ana,4 +... + 2a9a, +... + 2a,_)a,. Dac biét, voi n = 3 taco: (a+b+c) =a’ +b’ +c” + 2ab + 2ac + 2be. 2. Luy thtta bac n cua mét nhi thc (nhi thie Niu-ton) ss = al n(n UY) 9-242 ie n(n â1)(n €” 2) n-31,3 Â¥ (2 1.2.3 Cho n cdc gid tri tr O dén 5 ta duge : Véin=0 th (a+b)â= €™ | (a+b)"=a"+na⢠„ âb+ €˜ wet Bb". Véin=1 thi (a+b)! = a+b V6in=2 thi (a+b)â= €™ a°+2ab+b° Véin=3 th (a+b)â= €™ a°+3a°b+ 3ab" + b* Voin=4 thi (a+b)'= aâ+4a'b+6a°b⠀™ €™ +4ab'+b* V6in=5 thi (a+b)= a°+5aâ*b+ €˜ 10a°b’ + 10a°b’ + Sab’ +b° Ta nhan thay khi khai trién (a + b)" ta duoc mot da thie cé n + | hang wr, hang tir dau 1A a", hang tir cudi 1a b", cdc hang tir con lai déu chia cdc nhan tra va b. Vi vay (a + b)" = Bia) + b" = B(b) +a". 3. Bang cdc hé s6 khi khai trién (a + b)” Voin=0: 1 Védin=1: 1 1 Véin=2: 12 1 Voin=3: 1 3 3 l Voin=4: 1 4 6 4] VéinewS5: 15 10 10 5.1 ~— Méi dong déu bat dau bang | va két thiic bang | — Méi s6 6 mot dong ké tir déng thit hai déu bang sé lién trén cong véi s6 bén tral cula sO lién trén. Bang trén day dugce goi 14 tam gidc Pa-xcan. B. MOT SO vi DU Vi du 7. Chimg minh rang néu mot tam gidc cé dé dai ba canh 1a a, b, c thoa man : (5a — 3b + 4c)(Sa - 3b — 4c) = (3a - 5b)” thi tam giic do la tam giac vudng. Giai. Ta c6 (Sa — 3b + 4c)(Sa — 3b — 4c) = (3a - Sb)” > [(Sa — 3b) + 4c][(5a - 3b) - 4c] = (3a - 5b)” = (5a - 3b)" ~ (4c)° = (3a- 5b)” <> 25a” — 30ab + 9b” — 16c? = 9a” — 30ab + 25b" <> 25a” — 9a” + 9b” — 25b” — 16c* =0 > 16a" — 16b* — 16c” = 0 <> 16a” = 16b" + 16c7<> a? =b? +câ, € Do dé tam gidc cé do dai ba canh 1a a, b, c chinh 14 mot tam gidc vudng. Vi du 8. Cho x + y =â9; €” xy = 18. Khong tinh cdc gid tri cla x va y, hay tinh gid tri cla cdc biéu thttc sau : a)M=x'+yâ: €™ b)N=x'+yâ; €™ c) P=x?-yâ, € 10 Giai. Dé bai cho gia tri cua tong x + y va tich xy nén muon tinh duoc gid tri cua cdc biéu thite M, N, P ta phai biéu dién cic biéu thitc nay dudi dang cic biéu thuc c6 (x + y) va xy. a) M=x+ y” =x°+ 2xy + y — 2xy =(x + y)” — 2xy = (-9) — 2.18 =45. b)N=x?+ y" =x) + 2xy? + y" - 2x7y" = (x? + yy - (xy) = 45° - 2.187 = 1377. c) Ta cé (x - y) =x"*- 2xy + y= ee 2xy + yâ⠀™ €” 4xy = (x +y)° â4xy €” =(-9) - 4.18 = 9. Suy rax -— y=+3. . e Néux ây €” =3 thi P=x°- y= (x ây)(x €” + y) = 3.(-9) = -27. e Néu x — y =-3 thi P= ” y = (x — y)(x + y) = (â3).(-9) €” = 27. Vi du 9. Tim x, y, z biel: x? — 6x + y + 1Oy + 34 =-(4z- iy. Giai. Ta cé x? - 6x +y" + Wy +34 =-(4z- 1) Suy ra (x? â6x+9)+ €” (y" + 10y + 25) = -(4z - 1) > (x - 3)? + (y +5) + (4z- 1)" =0 Ta thay (x — 3)? > 03 (y +5)° 20; (42-1) 20 ma (x — 3)" + (y +5)" + (4z- 1)° =0. (x - 3)? =0 x= 3 nén j(y +5)? =0 © y=âo €œ - | 4z-1)° =0 zZ=-â. €” (4z-1) z 4 Nhan xét : Ta goi phuong phip giai trong vi du trén 1a phuong phap "Téng cac binh phuong"â. € Noi dung cua phuong phap nay dua vao nhan xét: A*>0;B°20;C’ 20. Néu cé A? +B? +C? = 0 thi A? = B’ =C’ =0. Vi du 10. Choa +b +c =0, chting minh rang a+b +c = 3abe. 1] Giai. Tir a+b+c=0, suy raat+b=-c. Lap phuong hai vé ta duge (a + by’ =(-c)*. Suy ra a+b + 3ab(a + b) = ae, Thay a + b = âc €” vao dang thifc trén ta dugc a + b* + 3ab(-c) = -c*. Do dé a° + b* +c° = 3abe. Lint y. e Nén nhé két qua cua vi du nay dé van dung giai nhiéu bai toan khac. ¢ Trong qué tinh giai vi du trén ta da khai trién (a + b)* thanh a’ + b* + 3ab(a + b) (1) tién loi hon 1a khai trién thanh a’ + 3a°b + 3ab? + b* (2) vi trong Khai trién (1) c6 sin (a + b) dé thay bang — c ra két qua duoc nhanh chong. Vidu 11.S6a= 3 — 1 1a s6 nguyén t6 hay hop s6 ? Gidi. Ta c6 3'° = 3 nen ta dat 3!" = 3n (n ENâ). €™ Do d6a=8""-1=(8") - 17 = (8° = 18" +8" 1), S6 a 1a tich cla hai s6 tu nhién I6n hon | nén a 1a hop so. Vi du 12. Chimg minh dang thitc a’ âb° €” â(aâb)° €” €” = Sab(a — b)(a° — ab + b>) Giai hte q' aiG 5 e Xét vé trai T: T=a âb €” -(a-âb). €” =a° âb° €” â(a° €” — 5aâb €˜ + 10a°b” — 10a°b* + Sab* — b*) =a°âb°⠀” €” a’ +5aâb €˜ - 10a°b” + 10a°b* — Sab’ +b” = Sab — 10a°b? + 10aâb* €™ — Sabâ. €™ e Xét vé phai P: 2 2 3 2 2 3 P = S5ab(a — b)(a° — ab + b*) = Sab(a’ — 2a°b + 2ab* — bâ) €™ = Saâb €˜ — 10a°b* + 10a7b* — Sabâ. €™ Vay T=P. Vi du 13. Cho (a + b +c)” = 3(ab + be + ca). Chitmg minh rang a= b =c. Gidi. Ta c6 (a + b +c)” = 3(ab + be + ca) <a +b? +c? + ab + be + ca) = 3(ab + be + ca) a? +b* +c? -ab- be -ca=0 2 2 2 2a* + 2b*° + 2c* — 2ab — 2bc — 2ca) = 0 $ er ei rmil|— _~ <> â[(a? €” â2ab €” +b? )+(b? â2be €” +c? y+(c? â2ca+a €” 2y]=0 = =| (a-b)? +(bâc)? €” +(c-a)?]=0 => (aâb)* €” +(b-c)’ +(c-a) =0 > (aâb)⠀” € =(b-c)* =(c — a) =0 (vi (aâb)* €” > 0; (b-c)* 20; (c— a)’ > 0). a-b=0 = ~b-c=0 ma=be=c. c-a=0 C. BAI TAP e Cac hang dang thiic (1), (2), (3) 1.18. Ching minh ring gid tri cla cdc biéu thitc sau khong phu thudc vao gid tri 1.19. 1.20. 1.21. cua bién : a) 5(x + 4)” + 4(x — 5)” - 9(4 + x(x - 4); b) (x + 2y)" + (2x - y) — 3(x + y)(x — y) — 10(y + 3)(y — 3). Tinh gid tri cla biéu thitc bang cach hop If : a) 413(413 — 26) + 169: b) (6257 + 3)(25° — 3) - 51° +10; 41? +392 + 82.39 c â⠀” €” aoe a 5 âi €˜ 41? â39 €” Khong tinh gid tri cu thé cua mdi biéu thitc, hay so sanh gid wi cdc biéu thufe sau : a) A= 2014. 2016 va B= 2015"; b) C=1+48(3" + 1)(3° + 1% + 1) vaD = (3°) + 3°) c) E= 5017 + 503 + 4967 va F = 499° + 4977 + 504°: d) M = 5x" + 10y* - 2xy + 4x -6y +2 vAaN=-I. Cho M = 777 + 75° + 73° +...+3°+ 1°; N=76° +747 +727 +... 4 M-N-3 to JM Tinh gia tri cua biéu thitc 1.22. Rit gon réi tinh gid tri cic biéu thie sau : 4 9 > z l a) A = (3x — 2)° + (3x + 2)" + 2(9x" — 4) tax = -â; €” b) B=(x + y — 7)" â2(x €” + y - Ty — 6) + (y — 6) taix = 101; c) C = 4x7 — 20x + 27 tai x = 52.5. 1.23. Cho x + y =â-9, €” tinh gid tri cla biéu thttc : D = xP 2xy + y" — 6x — 6y — 5. 1.24. Tim x biét: : a) (Sx — 1)" — (5x — 4)(5x + 4) =7: b) (4x — 1)? - (2x +3)? + (x + 2) + 3(x — 2)(x + 2) = 500. 1.25. Cho biéu thitc A = (x +x + I(x? =x#1)(x" =x" + 1). Chimg minh rang biéu thitc A luén ludn cé gid tri duong véi moi gid tri cua bién. 1.26. Chimg minh rang cdc biéu thie sau lun ludn cé gid tri duong véi moi gia tri cua cic bién : a) M = 25x” - 20x +7; b) N= 9x7 - 6xy + 2y? +I. 1.27. Chimg minh rang gid tri cua cdc biéu thifc sau ludn luén am véi moi gia tri cua ciic bién : 7 y 9 a) P=2x-x' -2; b)Q=-x"-y + 8x +4y— 21. 1.28. Tim gia tri nho nhat cla cdc biéu thtic sau : a) A=x°> + 12x +39; b) B= 9x" — 12x. 1.29. Tim gia tri lon nhat cua cic biéu thifc sau : a) C=4x-x?41: b) D=3 - 10x” - 4xy - 4yâ. € 1.30. Cho day hinh vudng (h.1) duoi day : Hinh Il inh 7.2 Minh 1.3 Hinh dan Hinh | Hoi 6 hinh 1.75 co bao nhiéu hinh vudng khong dugc to dam ?