Các câu hình học Toán 8 giải chi tiết

Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI
HỌC SINH GIỎI TOÁN 8
Tham gia Nhóm: Chuyên đề Toán THCS để cập nhật nhiều hơn
Tại: https://www.facebook.com/groups/chuyen.de.toan.thcs/
Câu 1 : Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ
thuộc cạnh BC (M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD tại N . Trên
cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
Chứng minh : ∆OEM vuông cân.
Chứng minh : ME // BN.
Từ C kẻ CH BN ( H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.

Hướng dẫn giải
E

A

B
1

1
O

2
3

M

1
D
C

H'
H

N

a. Xét ∆OEB và ∆OMC
Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC
. Mặt khác: BE = CM ( gt )

Và

Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c)
OE = OM và
Lại có

vì tứ giác ABCD là hình vuông
kết hợp với OE = OM

∆OEM vuông cân tại O

Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

b. Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông

AB = CD và AB // Chọn đáp án D.

+ AB // CD

( Theo ĐL Ta- lét) (*)

AB // CN

Mà BE = CM (gt) và AB = CD

AE = BM thay vào (*)

ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét)

Ta có :

c. Gọi H’ là giao điểm của OM và BN
Từ ME // BN

vì ∆OEM vuông cân tại O

Mà

∆OMC

( cặp góc so le trong)

∆BMH’ (g.g)
,kết hợp

∆OMB

( hai góc đối đỉnh)

∆CMH’ (c.g.c)

Vậ y
Mà CH

BN ( H

BN)

H

H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm).

Câu 2: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo
BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC.
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.
Hướng dẫn giải
a. Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF
Chứng minh :
Suy ra: BE = DF
Do đó : Tứ giác BEDF là hình bình hành.
b. Ta có:
Chứng minh :
Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

.
H

C

B
F
O
E

A

K

D

c. Chứng minh :
Chứng minh :
Mà : CD = AB
Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm).
Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD.
Kẻ MEAB, MFAD.
a. Chứng minh:
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Hướng dẫn giải
a. Chứng minh:
đpcm
b. DE, BF, CM là ba đường cao của

đpcm

c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
không đổi

Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

lớn nhất

(AEMF là hình vuông)

là trung điểm của BD.
Câu 4: Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O.
Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC
theo thứ tự ở M và N.
a, Chứng minh rằng OM = ON.
b, Chứng minh rằng .
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính
SABCD.

Hướng dẫn giải
a. Lập luận để có

,

Lập luận để có
OM = ON
b, Xét
Từ (1) và (2)

để có
OM.(

(1), xét

để có

(2)

)

Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

từ đó có (OM + ON).
C.

,

Chứng minh được

Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2

SAOD = 2008.2009

Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT)
Câu 5:Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (HBC).
Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D
cắt AC tại E.
Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài
đoạn BE theo .
Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM
và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .

Hướng dẫn giải
1. + Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc C chung.
+

(CDE

 CAB đồng dạng)

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).
Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).

Suy ra:

do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra:

Nên
2. Ta có:

(do

)

(tam giác AHD vuông vân tại H)

mà
nên

(do

Do đó

)

(c.g.c), suy ra:

3. Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
Suy ra:

, mà

Do đó:

.

Câu 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Qua A vẽ đường
thẳng song song với BC cắt BD ở E và cắt CD ở K. Qua B kẻ đường thẳng
song song với AD cắt AC ở F và cắt CD ở I. Chứng minh rằng:
a) DK = CI
b) EF // CD
c) AB2 = CD.EF
Hướng dẫn giải
a. Tứ giác ABCK có:
AB // CK (AB // CD, K

CD)

AK // BC (gt)
ABCK là hình bình hành
CK = AB
DK = CD – CK = CD – AB

(1)

Chứng minh tương tự, ta có DI = AB
IC = CD – DI = CD – AB

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: DK = IC

Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

A

B

F

E

D

b.

K

I

C

DEK có AB // DK, theo hệ quả định lý Ta-let ta có:
(3)
FIC có AB // IC, theo hệ quả định lý Ta-let ta có:
(4)
Mà: DK = IC (câu a)

(5)

Từ (3), (4), (5) suy ra:
EF // KC (định lý Ta-lét đảo)

AKC có
EF // CD
c. Ta có:

(vì AB = CK)

(6)

BCD có EK // BC, theo định lý Ta-lét ta có:
(7)
BDI có EF // DI, theo định lý Ta-let ta có:

Mà DI = AB
Suy ra:

(8)

Từ (6), (7), (8) suy ra:
AB2 = CD. EE

Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

Câu 7: Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD
lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH
cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.
1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.
2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH.
Chứng minh rằng: AC = 2EF.
3. Chứng minh rằng: .

Hướng dẫn giải
(cùng phụ

1. Ta có

)

AB = AD ( gt)
(ABCD là hình vuông)
(g.c.g)
=> DM=AF, mà AF = AE (gt)
Nên. AE = DM
Lại có AE // DM ( vì AB // DC )
Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành
Mặt khác.

(gt)

Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật

Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

b. Ta có

(g.g)
hay

Lại có

( AB=BC, AE=AF)
(cùng phụ

)

(c.g.c)
, mà
BC = 2AE

(gt)

nên BC2 = (2AE)2

E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD

Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm)
3. Do AD // CN (gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:

Lại có: MC // AB ( gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:
hay

Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

(Pytago)
(đpcm)

Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh
AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này
cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC.
b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng
BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi.
c) Kẻ. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH.
Chứng minh .

Hướng dẫn giải
a) Chứng minh EA.EB = ED.EC. Chứng minh

EBD đồng dạng với

ECA (g-g)

- Từ đó suy ra
b) Kẻ MI vuông góc với BC (

. Ta có

BIM đồng dạng với

BDC (g-g)

(1)
Tương tự:

ACB đồng dạng với

ICM (g-g)

Từ (1) và (2) suy ra

Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

(2)
(không đổi)

Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT
E

D
A
M
Q

B

c) Chứng minh

- Chứng minh

P

I

BHD đồng dạng với

DPB đồng dạng với

C

H

DHC (g-g)

CQD (c-g-c)

mà

.

Câu 9:Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình thang
ABCD (AB//CD). Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC
lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh OM=ON.
b) Chứng minh .
c) Biết Tính ?
d) Nếu . Chứng minh BD > AC.

Hướng dẫn giải
a/ Ta có

Do MN//DC

b/ Do MN//AB và CD

và

Do đó:
Tương tự:

OM=ON.
.

(1)
(2)

Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

Từ (1);(2)
c/ Hai tam giác có cùng đường cao thì tỉ số diện tích 2 tam giác bằng t ỉ s ố gi ữa 2
cạnh đáy tương ứng.
Do vậy :

và

Nhưng
nên
Tương tự

.

.Vậy

d/ Hạ AH, BK vuông góc với CD tại H và K
nên H, K nằm trong đoạn CD

Do
Ta có

.

Tứ giác BCEA là hình bình hành nên BC=AE
Vậy AD>BC

DH>KC

DK > CH.

Theo định lý pitago cho tam giác vuông BKD ta có :
(Do

.

ĐẶT BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 8-NH-2020-2021

Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

Bộ phận bán hàng: 0918.972.605(Zalo)
Đặt mua tại: https://xuctu.com/
FB: facebook.com/xuctu.book/
Email: [email protected]
Đặt online tại biểu mẫu:

https://forms.gle/ypBi385DGRFhgvF89

Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD,BE,CF cắt nhau

Câu 10:
tại H.

Tính tổng:
Chứng minh: BH.BE + CH.CF = BC
Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác DEF.
Trên các đoạn HB,HC lấy các điểm M,N tùy ý sao cho HM = CN.
Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm
cố định.
Hướng dẫn giải
a. Trước hết chứng minh:
Tương tự có:

;

Nên

=

=1

b. Trước hêt chứng minh
Và

=

CDH

CFB

BDH

BEC

BH.BE = BD.BC

CH.CF = CD.CB.

BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC (đpcm)
A

E

F

H
M

I
B

K
N

D

C

O

c. Trước hết chứng minh:

AEF

ABC

Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

Và

CDE

CAB

mà EB AC nên EB là phân giác của góc DEF.
Tương tự: DA, FC là phân giác của các góc EDF và DFE.
Vậy H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF
nên H cách đều ba cạnh của tam giác DEF (đpcm)
d. Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của hai đoạn MN và HC, ta có
OMH =

ONC (c.c.c)

Mặt khác ta cũng có

.(1)
OCH cân tại O nên:

Từ (1) và (2) ta có:

.(2)

HO là phân giác của góc BHC

Vậy O là giao điểm của trung trực đoạn HC và p/giác của góc BHC nên O là
điểm cố định.
Hay trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định là O.
Câu 11: Cho hình vuông ABCD ( AB = a ), M là một điểm bất kỳ trên
cạnh BC. Tia Ax vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại K. Gọi I là
trung điểm của đoạn thẳng MK. Tia AI cắt đường thẳng CD tại E.
Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI tại N.
1/ Tứ giác MNKE là hình gì ? Chứng minh.
2/ Chứng minh: AK2 = KC . KE.
3/ Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì tam
giác CME luôn có chu vi không đổi.
4/ Tia AM cắt đường thẳng CD ở G. Chứng minh rằng không phụ
thuộc vào vị trí của điểm M. Hướng dẫn giải
1. + Từ MN // AB // CD và MI = IK áp dụng định lý Ta let ta có NI = IE
+ Chỉ ra tam giác AMK vuông cân tại A để có AE  KM
+ Tứ giác MNKE là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau
nên MNKE là hình thoi.

Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT
A

B

M

N
I

K

2:

D

E

C

G

+ Từ tính chất hình vuông có  ACK = 45 0.
+ Chứng minh hai tam giác AKE và CKA đồng dạng, suy ra ĐPCM.

3:

+ Từ hai tam giác ABM và ADK bằng nhau ta có MB = DK

nên EK = MB + ED.
+ Tam giác AMK vuông cân tại A có MI = IK
Nên AI là trung trực của MK
Do đó ME = EK.
+ Từ đó ME = MB + ED, suy ra ME + CM + CE = 2a.
4:

+ Tam giác AMK vuông cân tại A nên AM = AK; do đó
1
1
1
1


.
2
2 =
2
AM
AG
AK
AG 2

+ Tam giác AKG vuông tại A nên AK . AG = KG . AD = 2. dt AKG, do đó
AK2 . AG2 = KG2 . AD2.
+ Mặt khác lại có KG2 = AK2 + AG2 và AD = a nên ta có
AK2 . AG2 = a2( AK2 + AG2 ), hay

1
1
1
AK 2  AG 2
1

 2 , suy ra
2
2 =
2
2
AK
AG
a2
AK . AG
a

Câu 12: Cho hình vuông ABCD, độ dài các cạnh bằng a. Một điểm M
chuyển động trên cạnh DC (MD, MC) chọn điểm N trên cạnh BC sao cho
MAN = 45o, DB thứ tự cắt AM, AN tại E và F.
1. Chứng minh:  ABF  AMC
2.Chứng minh AFM = AEN = 90o

Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)