Bộ đề thi học sinh giỏi lớp 9

 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN 9 HẢI DƯƠNG Thanh Hóa, ngày 28 tháng 3 năm 2020 1 BỘ ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN LỚP 9 TỈNH HẢI DƯƠNG LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh luyện thi học sinh giỏi môn toán lớp 9, website lib24.vn giới thiệu đến thầy cô và các em bộ đề thi học sinh giỏitoán lớp 9 của các tỉnh Hải Dương có hướng dẫn giải cụ thể. Đây là bộ đề thi mang tính chất thựctiễn cao, giúp các thầy cô và các em học sinh luyện thi học sinh giỏi lớp 9 có một tài liệu bám sát đềthi để đạt được thành tích cao, mang lại vinh dự cho bản thân, gia đình và nhà trường. Bộ đề gồmnhiều Câu toán hay được các thầy cô trên cả nước sưu tầm và sáng tác, ôn luyện qua sẽ giúp cácem phát triển tư duy môn toán từ đó thêm yêu thích và học giỏi môn học này, tạo được nền tảng đểcó những kiến thức nền tốt đáp ứng cho việc tiếp nhận kiến thức ở các lớp, cấp học trên được nhẹ nhàng và hiệu quả hơn. Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng tuyển tập đề toán này để giúp con em mình học tập. Hy vọng Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh Hải Dương này sẽ có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung. Bộ đề này được viết theo hình thức Bộ đề ôn thi, gồm: đề thi và hướng dẫn giải đề ngay dưới đề thi đó dựa trên các đề thi chính thức đã từng được sử dụng trong các kì thi học sinh giỏi toán lớp 9 ở các tỉnhr Hải Dương. Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học! Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ bộ đề này! 2 MỤC LỤC Phần 1. Đề thi ĐỀ SỐ TỈNH THÀNH 1. Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hải Dương năm học 2018-2019 2. Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hải Dương năm học 2017-2018 3. Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hải Dương năm học 2016-2017 4. Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hải Dương năm học 2015-2016 5. Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hải Dương năm học 2014-2015 6. Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hải Dương năm học 2013-2014 7. Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hải Dương năm học 2012-2013 8. Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hải Dương năm học 2011-2012 9. Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hải Dương năm học 2010-2011 10. Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hải Dương năm học 2009-2010 11. Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hải Dương năm học 2008-2009 (đề 3) 12. Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hải Dương năm học 2008-2009 (đề 2) 13. Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hải Dương năm học 2008-2009 (đề 1) 14. Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hải Dương năm học 2006-2007 15. Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hải Dương năm học 2005-2006 16. Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hải Dương năm học 2004-2005 17. Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hải Dương năm học 2003-2004 Phần 2. Đ{p {n 3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH TỈNH HẢI DƯƠNG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN THI: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề số 1 (Đề thi có một trang) Câu 1: (2,0 điểm) 1) a) Cho P  x xy  x  3  y yz  y  1  3 z và xyz  9 . Tính xz  3 z  3 10P  1 . b) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: x  y  z  xyz  4 . Chứng minh rằng: Câu 2: x  4  y  4  z   y  4  z  4  x   z  4  x  4  y   8  xyz . (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 2) Câu 3: x2  x  2 2  3  3x 2  6 x . 2 2   x  y  xy  1  2 x b) Giải hệ phương trình:  . 2 2 x x  y  x  2  2 y     (2,0 điểm) a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình x2  x  2 y 2  y  2 xy 2  xy  3 . b) Chứng minh rằng a13  a23  a33  ...  an3 chia hết cho 3 , biết a1 , a2 , a3 ,..., an là các chữ số của 20192018 . Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác MNP có 3 góc M , N , P nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O , bán kính R . Gọi Q l| trung điểm của NP v| c{c đường cao MD, NE, PF của tam giác MNP cắt nhau tại H . Chứng minh rằng: a) MH  2OQ . b) Nếu MN  MP  2 NP thì sin N  sin P  2sin M . c) ME.FH  MF .HE  2R2 biết NP  R 2 . Câu 5: (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  dương thỏa mãn ab2 bc 2 ca 2   biết a, b, c là các số ab bc ca 1 1 1    3. bc ca ab -----------------HẾT---------------- 4 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH TỈNH HẢI DƯƠNG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017 – 2018 MÔN THI: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề số 2 (Đề thi có một trang) Câu 1. (2,0 điểm) a) Cho biểu thức A  x2  x x2  x 1  . Rút gọn B  1  2 A  4 x  1 (với 0  x  ) 4 x  x 1 x  x 1 b) Cho x, y, z  0 v| đôi một khác nhau thỏa mãn 1 1 1    0. Chứng minh rằng x y z   2016 1 1 1 2017 2018  2  2  2   x  y  z   xy  yz  zx  x  2 yz y  2 zx z  2 xy  Câu 2. (2,0 điểm) a) Giải phương trình:  *   x  5  x  2 1  x 2  3x  10  7. 2 2  x  y  xy  2 b) Giải hệ phương trình:  3  x  x  y Câu 3. (2,0 điểm) a) Tìm các số thực x sao cho x  2018 và 7  2018 đều là số nguyên. x 2 2 b) Tìm các số tự nhiên có dạng ab. Biết rằng ab  ba là một số chia hết cho 3267. Câu 4. (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có BDC  900 , đường phân giác của góc BAD cắt cạnh BC v| đường thẳng CD tại E và F . Gọi O và O’ lần lượt l| t}m đường tròn ngoại tiếp BCD và CEF . 1) Chứng minh rằng O’ thuộc đường tròn  O  ; 2) Khi DE vuông góc với BC a) Tiếp tuyến của  O  tại D cắt BC tại G. Chứng minh rằng BG.CE  BE.CG; b) Đường tròn  O  và  O’ cắt nhau tại H ( H khác C ). Kẻ tiếp tuyến chung IK ( I thuộc đường tròn  O  , K thuộc đường tròn  O’ và H , I , K nằm cùng phía bờ OO’. Dựng hình bình hành CIMK . Chứng minh rằng OB  O’C  HM . Câu 5. (1,0 điểm) Cho x, y, z  0 thỏa mãn x 2  y 2  z 2  3xyz. Tìm giá trị lớn nhất của P x2 y2 z2   . x 4  yz y 4  zx z 4  xy -----------------HẾT---------------- 5 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH TỈNH HẢI DƯƠNG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN THI: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề số 3 (Đề thi có một trang) Bài 1. (2,0 điểm) a) Cho biểu thức: P  1  x  1  x  1  x 2  1  x  1  x  1  x 2 (với 1  x  1). Tính giá trị của biểu thức P khi x   1 2019 2. Cho a,b,c là ba số thực không âm thỏa mãn a  b  c  a  b  c  2. Chứng minh rằng a b c    1 a 1 b 1 c 2 1  a 1  b 1  c  Bài 2. (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 2 x 2  2 x  1   2 x  1   x2  x  2  1 .  x 2   y  12  xy  x  1 b) Giải hệ phương trình :  . 3 2 x  x  y  1  Bài 3. (2,0 điểm) a) Tìm c{c cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn: 2 x 2  2 y 2  3x  6 y  5xy  7. b) Tìm các số tự nhiên n sao cho n2  2n  n2  2n  18  9 là số chính phương. Bài 4. (3,0 điểm) 1) Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC  nội tiếp đường tròn  O; R  . C{c đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H  D  BC;E  AC;F  AB  . Tia EF cắt tia CB tại P, AP cắt đường tròn  O; R  tại M ( M khác A ). a) Chứng minh PE.PF  PM .PA và AM vuông góc với HM ; b) Cho cạnh BC cố định, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. X{c định vị trí của A để diện tích tam giác BHC đạt giá trị lớn nhất. 2) Cho tam giác ABC có góc A nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A ( I không trùng với B, C ). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E , đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F . Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. Bài 5. (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a 2  b2  c2  3. Chứng minh rằng a 2  3ab  b 2 6a  8ab  11b 2 2  b 2  3bc  c 2 6b  8bc  11c 2 2  c 2  3ca  a 2 6c  8ca  11a 2 2  3. 6 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH TỈNH HẢI DƯƠNG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề số 4 (Đề thi có một trang) Câu 1 (2,0 điểm) a) Cho x  3  5 . Tính giá trị của biểu thức A  x5  8x4  17 x3  6 x2 116 x  104 . b) Cho x, y là hai số thực dương. Chứng minh rằng: 2  x2  y 2  x   x2  y 2  y  x  y  x2  y 2 . Câu 2 (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x2  20 x  24  8. 3( x  1)  0 . 2 2  x  4 y  3  4x b) Giải hệ phương trình:  3 . 3 2   x  12 x  8 y  6 x  9 Câu 3 (2,0 điểm) a) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: 5x2  5 y 2  6 xy  20 x  20 y  24  0 . b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n4  n3  1 là số chính phương. Câu 4 (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có AB  c , AC  b , BC  a . Chứng minh rằng: sin A a  . 2 2 bc 2) Cho tam giác ABC có AB  c , AC  b , BC  a ( c  a , c  b ). Gọi M, N lần lượt là các tiếp điểm của cạnh AC và cạnh BC với đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC. Đường thẳng MN cắt tia AO tại P và cắt tia BO tại Q. Gọi E, F lần lượt l| trung điểm của AB và AC. a) Chứng minh rằng: MP NQ PQ   . a b c b) Trên đoạn thẳng NC lấy điểm I sao cho MF = NI. Chứng minh IQ đi qua trung điểm của NF. Câu 5 (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức: P x y z .   y  z  2x z  x  2y x  y  2z -----------------HẾT---------------- 7 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH TỈNH HẢI DƯƠNG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN THI: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề số 5 (Đề thi có một trang) Câu 1 (2,0 điểm): a) Tính giá trị của biểu thức: A = 2 x3  3x 2  4 x  2 với x  2  5 5 5 5  2  3  5 1 2 2 b) Cho x, y thỏa mãn: x  2014  2015  x  2014  x  y  2014  2015  y  2014  y Chứng minh: x  y Câu 2 (2,0 điểm):  a) Giải phương trình x3   x  1 x  1  2 2  x  x  1  2  3 2  3x  xy  4 x  2 y  2 b) Giải hệ phương trình sau:    x  x  1  y  y  1  4 Câu 3 (2,0 điểm): a) Tìm số nguyên tố p sao cho các số 2 p 2  1; 2 p 2  3; 3 p 2  4 đều là số nguyên tố. b) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 3x2  18 y 2  2 z 2  3 y 2 z 2  18x  27 . Câu 4 (3,0 điểm): Cho đường tròn (O;R) đường kính BC. Gọi A l| điểm thỏa mãn tam giác ABC nhọn. AB, AC cắt đường tròn trên tại điểm thứ hai tương ứng là E và D. Trên cung BC không chứa D lấy F(F  B, C). AF cắt BC tại M, cắt đường tròn (O;R) tại N(N  F) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE tại P(P  A). a) Giả sử BAC  600 , tính DE theo R. b) Chứng minh AN.AF = AP.AM c) Gọi I, H thứ tự là hình chiếu vuông góc của F trên c{c đường thẳng BD, BC. Các đường thẳng IH và CD cắt nhau ở K. Tìm vị trí của F trên cung BC để biểu thức BC BD CD   đạt giá trị nhỏ nhất. FH FI FK Câu 5 (1,0 điểm): Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: xy  yz  zx  xyz . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M  1 1 1 .   4 x  3 y  z x  4 y  3z 3x  y  4 z -----------------HẾT---------------- 8 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH TỈNH HẢI DƯƠNG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN THI: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề số 6 (Đề thi có một trang) Câu 1 (2 điểm). a) Rút gọn biểu thức A  1 1 x2 .  (1  x)3  (1  x)3 2  1 x2  với 1  x  1. b) Cho a và b là các số thỏa mãn a > b > 0 và a3  a2b  ab2  6b3  0 . a 4  4b4 Tính giá trị của biểu thức B  4 . b  4a 4 Câu 2 (2 điểm). a) Giải phương trình x2 ( x2  2)  4  x 2 x2  4.  x3  2 x  y b) Giải hệ phương trình  3 . y  2 y  x  Câu 3 (2 điểm). a) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình xy 2  2 xy  x  32 y . b) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a2  a  3b2  b . Chứng minh rằng 2a  2b 1 là số chính phương. Câu 4 (3 điểm). Cho tam gi{c đều ABC nội tiếp đường tròn (O, R). H là một điểm di động trên đoạn OA (H kh{c A). Đường thẳng đi qua H v| vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB tại M. Gọi K là hình chiếu của M trên OB. a) Chứng minh HKM  2AMH. b) Các tiếp tuyến của (O, R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O, R) lần lượt tại D và E. OD, OE cắt AB lần lượt tại F và G. Chứng minh OD.GF = OG.DE. c) Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB theo R. Câu 5 (1 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2ab  6bc  2ac  7abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C  4ab 9ac 4bc   . a  2b a  4c b  c -----------------HẾT---------------- 9 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH TỈNH HẢI DƯƠNG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN THI: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề số 6 (Đề thi có một trang) Câu 1 (2,0 điểm): a) Rút gọn biểu thức: A =  x  50  x + 50  x + x 2  50 với x  50 b) Cho x + 3 = 2 . Tính giá trị của biểu thức: B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2018 Câu 2 (2,0 điểm): a) Giải phương trình 4x x  5x + 6 + 2 3x x  7x + 6 =6 2   x + y + 4 xy = 16 b) Giải hệ phương trình sau:    x + y = 10 Câu 3 (2,0 điểm): a) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 4a + 3ab  11b chia hết cho 5 thì 2 2 a 4  b 4 chia hết cho 5. 2 b) Cho phương trình ax +bx+1 0 với a, b là các số hữu tỉ. Tìm a, b biết x = 5 3 5+ 3 là nghiệm của phương trình. Câu 4 (3,0 điểm): Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn t}m O thay đổi nhưng luôn đi qua B v| C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại c{c điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K. a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn t}m O thay đổi. c) Gọi D l| trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P l| trung điểm ME. Câu 5 (1,0 điểm): Cho A n = 1 với n (2n +1) 2n 1 * . Chứng minh rằng: A1 + A2 + A3 + ... + An <1 .