Bộ đề luyện thi vào chuyên toán



Tài liệu sưu tầm

BỘ ĐỀ LUYỆN THI
VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN

Tài liệu sưu tầm

1

BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
ĐỀ SỐ 1
Câu 1 (2,0 điểm)

a + b −1
a− b
b
b 
+
+

 (với a, b > 0 và a ≠ b ).
a + ab
2 ab  a − ab a + ab 

a) Cho biểu thức P =

Rút gọn biểu thức P và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Q= 2019 + 4 P + 13 a − 6a + a a .
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( x, y ) sao cho cả hai số x 2 + 8 y và y 2 + 8 x đều là
các số chính phương.
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2 x 3 + 3 x 2 + 4 x +=
3 3 x ( x + 1) 3 x + 2 .

2
2
0
 x( x + y ) + y ( xy + 12) =
b) Giải hệ phương trình:  2
.
2
0
 x + 4(2 y − 3) =
Câu 3 (0,5 điểm). Cho hai hàm số y = 2 x 2 và y = mx . Tìm m để hai đồ thị của hai hàm số

đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt là ba đỉnh của tam giác đều.
Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2 BC . Trên cạnh BC lấy điểm E . Tia
AE cắt đường thẳng CD tại F .

1 
1
 1
.
−
=
2
2 
AE  AF 2
 AB
b) Từ một điểm M trong tam giác ABC , vẽ MI ⊥ BC , MH ⊥ CA, MK ⊥ AB . Xác định vị
a) Chứng minh rằng 4 

trí điểm M để MI 2 + MH 2 + MK 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) , D là một điểm trên cạnh
BC ( D khác B và C ). Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC . Đường
thẳng MN cắt (O) tại các điểm P, Q ( P, Q lần lượt thuộc 
AC ). Đường tròn ngoại
AB và 
tiếp tam giác BDP cắt AB tại I (khác B ). Các đường thẳng DI và AC cắt nhau tại K .

PK QB
=
.
PD QA
b) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G (khác P ). Đường
thẳng IG cắt đường thẳng BC tại E . Chứng minh rằng khi D di chuyển trên BC thì
CD
không đổi.
CE
Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
8
8
8
8
8
8
+
+
+ a 2 + b2 + c2 ≥
+
+
.
2
2
2
(a + b) + 4abc (b + c) + 4abc (c + a ) + 4abc
a+3 b+3 c+3
Câu 7 (0,5 điểm). Cho tập X = {0;1;2;3;4;5} . Hỏi từ tập X ta lập được bao nhiêu số tự
a) Chứng minh rằng tứ giác AIPK nội tiếp và

nhiên abcdef gồm 6 chữ số khác nhau thỏa mãn: d + e + f − a − b − c =
1.
===Hết===

2
ĐỀ SỐ 2
Câu 1 (2,0 điểm).
a) Cho biểu thức


 a 2 − b2
a −b
a −b
=
+
P 
(với a > b > 0 )
: 2
2
2
2
+
a
b
+
+
−
a
b
a
b
−
−
+
a
b
a
b


Rút gọn biểu thức P và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này khi b= a − 1 .
x2 y 2
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn
+
=
9.
y
x
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình

3

x 2 − 1 − x3 − 2 + x =
0.

697
 4
2
x + y =
b) Giải hệ phương trình 
.
81
 x 2 + y 2 + xy − 3 x − 4 y + 4 =
0

Câu 3 (0,5 điểm)
Cho parabol ( P ) : y = x 2 và đường thẳng d :=
y mx + 3 . Tìm m để đường thẳng d cắt ( P )
tại hai điểm A, B phân biệt sao cho độ dài AB ngắn nhất.
Câu 4 (2,0 điểm). Trong tam giác ABC lấy điểm O sao cho 
ABO = 
ACO . Gọi H , K lần
lượt là hình chiếu của O lên AB và AC .

 = OC.sin OAB
.
a) Chứng minh rằng OB.sin OAC
b) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và HK . Chứng minh rằng MN vuông góc
với HK .
Câu 5 (2,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC , nội tiếp đường tròn (O) và ngoại
tiếp đường tròn ( I ) . Điểm D thuộc cạnh AC sao cho 
ABD = 
ACB . Đường thẳng AI cắt
đường tròn ngoại tiếp tam giác DIC tại điểm thứ hai là E và cắt đường tròn (O) tại điểm
thứ hai là Q . Đường thẳng đi qua E và song song với AB cắt BD tại P .
a) Chứng minh tam giác QBI cân và BP.BI = BE.BQ .
b) Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD , K là trung điểm của EJ . Chứng
minh rằng PK // JB .
Câu 6 (1,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương sao cho ab + bc + ca =
3abc . Chứng minh rằng

1
1
1
+ 2
+ 2
≤ 1.
2
2
2a + b
2b + c
2c + a 2
2

Câu 7 (0,5 điểm)
Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số mà tổng các chữ số của nó là bội của 4.
===Hết===

3
ĐỀ SỐ 3
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + abc =
4 . Tính giá trị của
biểu thức P=

a (4 − b)(4 − c) + b(4 − c)(4 − a ) + c(4 − a )(4 − b) − abc + 2019 .

b) Với mọi số nguyên dương n , hãy xác định theo n số tất cả các cặp thứ tự hai số nguyên
dương ( x; y ) sao cho x 2 − y 2 =
100.302 n đồng thời số cặp này không thể là số chính
phương.
Câu 2 (2,0 điểm)

(

)

a) Giải phương trình: x +

x +1

2 − x = x 2 + x + 1.

 5 x 2 + 2 xy + 2 y 2 + 2 x 2 + 2 xy + 5 y 2 = 3 ( x + y )

b) Giải hệ phương trình: 

.

 2 x + y + 1 + 2 7 x + 12 y + 8= 2 xy + y + 5
Câu 3 (0,5 điểm). Cho parabol ( P ) : y = x 2 và đường thẳng d=
: y 5mx + 4m (m ≠ 0) . Tìm
m để đường thẳng d cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ lần lượt là x1 , x2
3

sao cho

x22 + 5mx1 + 12m
m2
=
A
+
đạt giá trị nhỏ nhất.
x12 + 5mx2 + 12m
m2
Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình vuông ABCD, điểm E nằm trên cạnh BC (E khác B , E khác
C). Hai đường thẳng AE và CD cắt nhau tại F.
a) Chứng minh

1
AE

2

+

1

1
=
.
AF
AB 2
2

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD và I là trung điểm của cạnh AD. Điểm M di
động trên đoạn thẳng ID, đường thẳng MG cắt AC tại N. Chứng minh
và khi giá trị của tích AM. AN nhỏ nhất hãy tính tỉ số

AD AC
+
=
3
AM AN

AM
.
AD

Câu 5 (2,0 điểm). Cho đường tròn (O; R ) và điểm A cố định trên (O; R ) . Gọi M, N là các

 của
giao điểm của hai đường tròn (O; R ) và ( A; R ) ; H là điểm thay đổi trên cung nhỏ MN
đường tròn ( A; R ) .Đường thẳng qua H và vuông góc với AH cắt (O; R ) tại B, C. Kẻ
HI ⊥ AB ( I ∈ AB ), HK ⊥ AC ( K ∈ AC ) .
a) Chứng minh rằng IK luôn vuông góc với một đường thẳng cố định và AB. AC = 2 R 2 .
b) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích ∆AIK khi H thay đổi.
Câu 6 (1,0 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của

4a
9b
16c
.
+
+
b+c−a a +c−b a +b−c
Câu 7 (0,5 điểm). Cho tập X = {1,2,3,...,81} . Chứng minh rằng trong 3 phần tử tùy ý của
biểu thức: P =

X luôn có hai phần tử a, b sao cho : 0 < 4 a − 4 b < 1 .
===Hết===

4
ĐỀ SỐ 4
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho x =
1 + 3 2 + 3 4 . Tính giá trị của biểu thức P =

x3 − 3 x 2 − 3 x + 2019 .

b) Tìm các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho

4 3
+ 4−b = 3 4+ 4 b +b + 3 4−4 b +b .
a
Câu 2 (2,0 điểm)

16 .
a) Giải phương trình: 13 x 2 − x 4 + 9 x 2 + x 4 =
 x 4 − y 4 =
240
b) Giải hệ phương trình: 
.
2
3
3
2
2
3
4
4
8
x
y
x
y
x
y
−
=
−
−
−
)
(
) (

Câu 3 (0,5 điểm)
Cho parabol =
( P ) : y 2ax 2 (a > 0) và đường thẳng d : y = 4 x − y − 2a 2 . Tìm a để d cắt
( P ) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ x1 , x2 sao cho biểu thức

=
Q

8
1
+
x1 + x2 2 x1 x2

đạt giá trị nhỏ nhất.

 = 450 quay quanh đỉnh A . Các tia
Câu 4 (2,0 điểm) . Cho hình vuông ABCD có xAy
Ax, Ay cắt cạnh BC và CD theo thứ tự tại P và Q . Kẻ PM song song với AQ và QN
song song với AP . Đường thẳng MN cắt AP tại E và cắt AQ tại F . Chứng minh rằng
a) Tam giác AMN cân.
Câu 5 (2,0 điểm)

2
b) EF
=
ME 2 + NF 2 .

Cho đường tròn ( O; R ) và đường tròn ( O′; R′ ) cắt nhau tại A và B . Trên tia đối của AB
lấy điểm C . Kẻ tiếp tuyến CD, CE với đường tròn tâm O , trong đó D, E là các tiếp điểm
và E nằm trong đường tròn (O′) . Đường thẳng AD, AE cắt đường tròn (O′) lần lượt tại
M và N ( M , N =/ A ). Tia DE cắt MN tại I . Chứng minh rằng:
a) MIB  AEB
b) O′I ⊥ MN .
Câu 6 (1,0 điểm)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c =
1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P= 2(a 2b + b 2c + c 2 a ) + (a 2 + b 2 + c 2 ) + 4abc .
Câu 7 (0,5 điểm). Cho tập A = {1,2,...,16} . Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho
trong mỗi tập con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt a, b mà a 2 + b 2 là
một số nguyên tố.

===Hết===

5
ĐỀ SỐ 5
Câu 1 (2,0 điểm) a) Cho a, b là các số dương, a ≠ b và

(

)(

)


 (a + 2b) 2 − (2a + b) 2   a a + b b a a − b b
− 3ab  =
3.

:

a
+
b
a
−
b

 

Tính S =

1 + 2ab − 2(a 2 + b 2 )
.
a 2 + b2

b) Cho các số nguyên dương a, b, c, d thoả mãn a < b ≤ c < d ;=
ad bc;
Chứng minh rằng a là một số chính phương.
Câu 2 (2,0 điểm)

(

a) Giải phương trình: x 4 + x 3 + 2 x 3 x x 2 − 2

)

2

d − a ≤1 .

+ 4= 6 x 2 + 2 x + ( x 2 + x − 2 ) 3 x 4 − 2 x 2 .

1 1
9
x + y =

b) Giải hệ phương trình: 
.
 1 + 1  1 + 1  1 + 1  =
18

3
3 y 
 3 x 3 y  
x




2
Câu 3 (0,5 điểm). Cho parabol ( P ) : y = x và hai điểm A, B thuộc ( P ) có hoành độ lần
lượt là −1 và 2. Tìm M thuộc 
AB sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.

Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài và chiều rộng tương ứng là a, b .
Điểm G nằm trên đường chéo AC sao cho
cạnh AD và AB tương ứng tại P và Q .

GA 1
= . Một đường d bất kì qua G cắt các
GC 2

AD AB
+
có giá trị không đổi.
AP AQ
b) Đặt AP = x và gọi S là diện tích ngũ giác BCDPQ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a) Chứng minh rằng

M

2

ax 2 
3 S +

6 x − 2b 


+

3
biết rằng a + b ≤ 3 .
a +1

Câu 5 (2,0 điểm). Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn ( O; R ) . Trên cung nhỏ AD
lấy điểm E ( E không trùng với A và D ). Tia EB cắt các đường thẳng AD, AC lần lượt
tại I và K . Tia EC cắt các đường thẳng DA, DB lần lượt tại M , N . Hai đường thẳng
AN , DK cắt nhau tại P .

 = DKM
 .
a) Chứng minh rằng các tứ giác IABN , EPND nội tiếp và EKM
b) Khi điểm M ở vị trí trung điểm của AD . Hãy xác định độ dài đoạn AE theo R .
Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c > 0 bất kỳ. Chứng minh rằng:

(a

2

+ bc ) ( b + c )

a ( b2 + c2 )

+

(b

2

+ ca ) ( c + a )

b ( c2 + a2 )

+

(c

2

+ ab ) ( a + b )

c ( a 2 + b2 )

≥3 2 .

Câu 7 (0,5 điểm). Trong một hình vuông cạnh bằng 1 ta sẽ một số đường tròn có tổng chu vi
bằng 10. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng cắt ít nhất bốn đường tròn trong chúng.

6
ĐỀ SỐ 6
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho x > 1, y < 0 thỏa mãn điều kiện
Tính tỉ số

( x + y )( x 3 − y 3 ) 4 x − 16 x − 4

(

)

1 − 4 x − 1 ( x 2 y 2 + xy 3 + y 4 )

= −2019 .

x
.
y

b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n 7 − n5 + 2n 4 + n3 − n 2 + 1 có đúng một ước nguyên
tố.
Câu 2 (2,0 điểm)

x2 + 5x + 2
a) Giải phương trình: x + x + 2 =
.
2x + 2
6 x 2 x 3 − 6 x + 5 = ( x 2 + 2 x − 6 )( x 3 + 4 )

b) Giải hệ phương trình: 
.
2
2
x
+
=
1
+

x
y2

2

1 2
x và d là đường thẳng đi qua hai điểm
2
I (0; −2), M (m;0) với m ≠ 0 . Chứng minh rằng d luôn cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt A, B
với độ dài AB > 4 .
Câu 4 (2,0 điểm) Giả sử ABCD là một miếng bìa hình vuông cạnh a . Trên mặt phẳng có
hai đường thẳng song song l1 và l2 cách nhau 1 đơn vị. Hình vuông ABCD được đặt
trong mặt phẳng đó sao cho AB và AD lần lượt cắt l1 tại E , F . Cũng vậy CB và CD lần
lượt cắt l2 tại G và H . Gọi chu vi của các  AEF và CGH tương ứng là m1 , m2 . Lấy hai
điểm M và N lần lượt nằm trên BC và DC sao cho NH = AE và MG = AF .
a) Chứng minh rằng tổng m1 + m2 là chu vi MCN .
Câu 3 (0,5 điểm). Cho parabol ( P ) : y = −

b) Chứng minh rằng với cách đặt tấm bìa hình vuông như thế, thì dù đặt thế nào đi nữa
m1 + m2 vẫn là một hằng số.
Câu 5 (2,0 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) ( AD < BC ) . Gọi I là giao điểm của AC
và BD . Vẽ đường kính CM , DN . Gọi K là giao điểm của AN , BM . Đường tròn ngoại
tiếp tam giác IBC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác NOC tại điểm J khác C .
a) Chứng minh KBNJ là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh I , K , O thẳng hàng.
Câu 6 (2,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c =
0. Chứng minh rằng

a −1
b −1
c −1
3
+ 2
+ 2
≥− .
2
a +8 b +8 c +8
8
Câu 7 (0,5 điểm). Cho một lớp học có 35 học sinh, các học sinh này tổ chức một số câu lạc
bộ môn học. Mỗi học sinh tham gia đúng một câu lạc bộ. Nếu chọn ra 10 học sinh bất kì thì
luôn có ít nhất 3 học sinh tham gia cùng một câu lạc bộ. Chứng minh có một câu lạc bộ
gồm ít nhất 9 học sinh.
===Hết===

7
ĐỀ SỐ 7
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho x =

1
2

2 −1
. Tính giá trị của biểu thức
2 +1

(

)

2019

 1 − 2x 
P = (4 x + 4 x − x + 1) + 4 x + 4 x − 5 x + 5 x + 3 + 
 .
2
 2x + 2x 
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( x, n) sao cho x n + 2n + 1 là một ước của
x n +1 + 2n +1 + 1 .
5

4

3

29

5

4

3

9

Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2 x 2 − 11x + 21 − 3 3 4 x − 4 =
0.
3
2
−49
 x + 3 xy =
b) Giải hệ phương trình:  2
.
2
 x − 8 xy + y = 8 y − 17 x
1
4
Câu 3 (0,5 điểm). Cho parabol ( P ) : y = x 2 và đường thẳng d : y =− x + . Gọi A và B là
3
3
giao điểm của d với ( P ) . Tìm điểm M trên trục tung sao cho độ dài MA + MB nhỏ nhất.

Câu 4 (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A có 
A = 360 . Phân giác BD và đường cao AH cắt nhau tại I .
Tia phân giác 
ADB cắt AH tại O . Gọi E là giao điểm của BO và AC ; F là giao điểm
của CI và DO .
a) Chứng minh  BEF cân
b) Chứng minh các tứ giác BCEF và BDAF là hình thoi.
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Lấy một điểm P trên cung BC không chứa
điểm A của (O) . Gọi ( K ) là đường tròn đi qua A, P tiếp xúc với AC . Đường tròn ( K )
cắt PC tại S khác P . Gọi ( L ) là đường tròn qua A, P đồng thời tiếp xúc với AB .
Đường tròn ( L) cắt PB tại T khác P .Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC .
a) Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác DPT .
b) Ba điểm S , D, T thẳng hàng.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=

2a 2 + ab

(b +

ca + c

+

2b 2 + bc

) (c +
2

ab + a

+

2c 2 + ca

) (a +
2

bc + b

)

2

.

Câu 7 (0,5 điểm). Cho tập X = {1,2,3,...,200} . Chứng minh rằng với mọi tập con A của X
có số phần tử bằng 101 luôn tồn tại hai phần tử mà phần tử này là bội của phần tử kia.
===Hết===

8
ĐỀ SỐ 8
Câu 1 (2,0 điểm)

 1+ x
 2 x y + 2 xy
xy + x
( với x > 0, y > 0, xy ≠ 1 ).
+
+ 1 :
 1 + xy

1
xy
−
1
xy
−


16 xy
Q
P + ( x2 + y 2 )P2 .
Rút gọn biểu thức P và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức =
x+ y
a) Cho biểu thức P =

b) Tìm các cặp số nguyên ( x; y ) thỏa: y 6060 = x 6060 − x 4040 − x 2020 + 2 .
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 4 x + 3 + 2 2 x + 7 = ( x + 1)( x 2 + 4 x + 2).

 x + y + 2( x + y ) 2 = 2(2 + 3 xy )
b) Giải hệ phương trình: 
.
4
3
4
3
6
 3 x + 6 x y + 3 y + 6 xy =
Câu 3 (0,5 điểm). Cho parabol ( P ) : y = − x 2 và đường thẳng d : =
y 2 x − 3 . Gọi A, B là hai
giao điểm của d và ( P ) . Tìm điểm M trên 
AB của parabol ( P ) sao cho MAB vuông
tại M .
Câu 4 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC có trực tâm H . Qua A kẻ đường thẳng song song
với BH cắt CH tại E .
a) Gọi p1 , p2 lần lượt là chu vi các tam giác EHA và ABC . Chứng minh rằng

EH p1
=
AB p2

b) Qua A kẻ đường thẳng song song với CH cắt tia BH tại D . Kẻ đường trung tuyến
AM của  ABC . Chứng minh rằng DE ⊥ AM .
Câu 5 (2,0 điểm). Cho 3 đường tròn (O ),(O1 ),(O2 ) biết (O1 ),(O2 ) tiếp xúc ngoài với nhau
tại điểm I và (O1 ),(O2 ) lần lượt tiếp xúc trong với (O) tại M 1 , M 2 . Tiếp tuyến của (O1 ) tại

I cắt (O) lần lượt tại A, A . Đường thẳng AM 1 cắt (O1 ) tại điể N1 , đường thẳng AM 2 cắt
(O2 ) tại điểm N 2 . Chứng minh tứ giác M 1 N1 N 2 M 2 nội tiếp và OA  N 2 N1.
b) Kẻ đường kính PQ của (O) sao cho PQ  AI ( điểm P nằm trên 
AM không chứa
1

điểm M 2 ). Chứng minh rằng nếu PM 1 , PM 2 không song song thì các đường thẳng

AI , PM 1 , QM 2 đồng quy.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:
1
1
1
1
+
+
≤
.
2
2
2
a (a + 8bc) b(b + 8ac) c(c + 8ab) 3abc
Câu 7 (0,5 điểm) . Trên mặt phẳng tọa độ có 3 điểm nguyên nằm trên một đường tròn bán
kính là r . Chứng minh rằng tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa đúng không nhỏ hơn
3

r.
===Hết===

9
ĐỀ SỐ 9
Câu 1 (2,0 điểm)

2 a b
2  ab

(với a, b  0 và a  1 ).
ab  2 a  b  2
ab  2 a  b  2
Tìm giá trị lớn nhất của P khi a  1 là số tự nhiên.
a) Cho biểu thức P 

b) Cho m, n là hai số nguyên dương lẻ sao cho n 2 1 chia hết cho m 2  n 2  1 . Chứng
minh rằng m 2  n 2  1 là số chính phương.
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2 x +

x −1
=
x

1−

1
1
+3 x− .
x
x



 x  1 y 2  y  2   y 1 x 2  x  1  x  y


b) Giải hệ phương trình: 
.
2
2

x
x
x
y
3
2
x
x
y
1











2
Câu 3 (0,5 điểm). Cho parabol ( P ) : y  x 2 . Lấy hai điểm thay đổi A và B trên ( P ) sao
3
cho OA  OB . Chứng minh rằng hình chiếu H của O trên AB thuộc một đường tròn cố
định đồng thời xác định vị trí của A và B để OH lớn nhất.
  CAD
 và 
Câu 4 (2,0 điểm). Cho tứ giác lồi ABCD có BAC
ABC  
ACD . Hai tia AD và
BC cắt nhau tại E , hai tia AB và DC cắt nhau tại F . Chứng minh rằng
1
a) AB.DE  BC.CE .
b) AC 2  ( AD. AF  AB. AE ) .
2
Câu 5 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC không là tam giác cân, biết tam giác ABC ngoại tiếp
đường tròn ( I ) . Gọi D, E , F lần lượt là các tiếp điểm của BC , CA, AB với đường tròn ( I ) .
Gọi M là giao điểm của đường thẳng EF và đường thẳng BC , biết AD cắt đường tròn
( I ) tại điểm N ( N không trùng với D ), gọi K là giao điểm của AI và EF .
a) Chứng minh rằng các điểm I , D, N , K cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn ( I ) .

1
4

Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c ≤ .
Chứng minh rằng:
2

2

2

1 + 4a 1 + 4b 1 + 4c
1  b − c  1 c − a  1 a − b 
+
+
≤6+ 
 + 
 + 
 .
1 − 4a 1 − 4b 1 − 4c
a b + c  b c + a  c a + b 
Câu 7 (0,5 điểm). Một nước có 80 sân bay, mà khoảng cách giữa hai sân bay nào cũng
khác nhau. Mỗi máy bay cất cánh từ một sân bay và bay đến sân bay nào gần nhất.
Chứng minh rằng trên bất kỳ sân bay nào cũng không thể có quá 5 máy bay đến.
===Hết===

10
ĐỀ SỐ 10
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức P =

3

 a + 8  a −1 3
 a + 8  a −1
.
a+
+ a −


 3  3
 3  3

b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau:

 x3 − 3x + x 2 − 1 x 2 − 4
x3 − 3 x − ( x 2 − 1) x 2 − 4
(
)

3
3
+
8

2
2

với điều kiện 2 ≤ y < x < 10 .


 = y 2 − z 2 + 16



Câu 2 (2,0 điểm)

(

)

a) Giải phương trình: 2 x 2 + x − 1

2

+ 2 x2 + 2 x = 3 + 4 x + 5 .

2
 x + y + 1 + 1= 4( x + y ) + 3( x + y )
.
2020
2019 x − 2 y =

b) Giải hệ phương trình: 

1 2
2
(với
x và đường thẳng d có hệ số góc −
2
m
m ≠ 0 ) và đi qua điểm I (0;2) . Chứng minh rằng d cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt A, B
khác phía đối với Oy và AB > 4; y A2 + yB2 > 8 . (Ở đây y A , yB lần lượt là tung độ của hai
điểm A và B ).
Câu 4 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE , CF cắt nhau tại H .
Biết rằng S=
S=
SCDE . Chứng minh rằng
AEF
BFD
Câu 3 (0,5 điểm). Cho parabol ( P ) : y =

a) H là tâm đường tròn nội tiếp  DEF







b)  ABC là tam giác đều.

Câu 5 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC có A  B  C nội tiếp trong đường tròn O  , ngoại



tiếp đường tròn I  . Cung nhỏ BC có M là điểm chính giữa. N là trung điểm cạnh BC

 

. Điểm E đối xứng với I qua N . Đường thẳng ME cắt đường tròn O tại điểm thứ hai

Q . Lấy điểm K thuộc BQ sao cho QK  QA . Chứng minh rằng:

 

a) Điểm Q thuộc cung nhỏ AC của đường tròn O .
b) Tứ giác AIKB nội tiếp và BQ  AQ  CQ .
Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca =
3abc. Tìm giá trị

a2
b2
c2
nhỏ nhất của biểu thức P =
+
+
.
b(a 2 + 2) c(b 2 + 2) a (c 2 + 2)
Câu 7 (0,5 điểm). Bên trong đường tròn tâm O bán kính R = 1 có 8 điểm phân biệt.
Chứng minh rằng: tồn tại ít nhất hai điểm trong số chứng mà khoảng cách giữa hai
điểm này nhỏ hơn 1.
===Hết===

11
ĐỀ SỐ 11
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho ba số dương x, y, z thỏa xy + yz + zx =
1 . Tính giá trị của biểu thức

(1 + y )(1 + z ) + y (1 + z )(1 + x ) + z (1 + x )(1 + y ) .
2

P=x

1 + x2

2

2

2

1 + y2

2

2

1+ z2

b) Cho ba số tự nhiên a, b, c thỏa mãn đồng thời hai điều kiện a − b là số nguyên tố và

3c 2 = c ( a + b ) + ab . Chứng minh rằng 8c + 1 là một số chính phương.
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 32 x 4 − 80 x 3 + 50 x 2 + 4 x − 3 − 4 x − 1 =
0.

 x 3 + 8 y 3 − 4 xy 2 =
1
b) Giải hệ phương trình:  4
.
4
0
2 x + 8 y − 2 x − y =
Câu 3 (0,5 điểm). Cho parabol ( P ) : y = − x 2 và đường thẳng d :=
y mx − 1 . Chứng minh
rằng d luôn đi qua một điểm cố định I và cắt ( P ) tại hai điểm A, B phân biệt khi m thay
đổi. Tìm m để

IA
= 4.
IB

Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình vuông ABCD, có độ dài cạnh bằng a. E là một điểm di chuyển
trên CD ( E khác C, D). Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng vuông
góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K. Chứng minh rằng
a)

1
1
.cos EFK
 + sin EFK
.cos EKF
.
+
không đổi. =
b) cos 
AKE sin EKF
2
2
AE
AF

Câu 5 (2,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) . Các đường cao AD, BE , CF cắt
nhau tại H . Tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau tại G . Gọi=
S GD ∩ EF và M là trung
điểm cạnh BC . Giả sử EF ∩ BC= T , AT ∩ ( O )= K .

a) Chứng minh 5 điểm A, K , F , E , H cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh 4 điểm M , H , S , K thẳng hàng.

1
2

Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = . Tính giá trị lớn nhất
của

( a + b )( b + c ) +
( b + c )( a + c ) +
( a + c )( a + b ) .
( a + b )( b + c ) + a + c ( b + c )( a + c ) + a + b ( a + c )( a + b ) + b + c
Câu 7 (0,5 điểm). Trên bảng cho đa thức A ( x ) = x 2 + 4 x + 3 . Thực hiện trò chơi sau, nếu trên
biểu thức P =

bảng đã có đa thức B ( x) thì được phép viết lên bảng một trong hai đa thức sau:

1 
2
1 
C ( x) =
x 2 A  + 1 ; D ( x ) =
( x − 1) A 
.
x 
 x −1 
Hỏi sau một số bước ta có thể viết được đa thức E ( x ) =x 2 + 10 x + 9 hay không?
===Hết===

12
ĐỀ SỐ 12
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho các số a, b thỏa mãn điều kiện

3

4b − 1
3
. Chứng minh rằng −1 ≤ a < 0 .
a+3b=
4

b) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p 2 − p + 1 là lập phương của một số tự nhiên.
Câu 2 (2,0 điểm)

3 x 4 + 9 x 3 + 17 x 2 + 11x + 8
=+
( x 1) x 2 + 3 .
a) Giải phương trình:
2
3x + 4 x + 5
 xy + x − y
(
) xy − 2 + x =y + y

b) Giải hệ phương trình: 
.
( x + 1) y + xy + x (1 − x ) =
4

Câu 3 (0,5 điểm). Cho hàm số f ( x) =
(− m 2 + 7 m − 14) x 2 và các số thực

(

)

(

)

a = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 và b = 2 + 4 + 6 + 8 +

10
.
2

Hãy so sánh f (a ) và f (b) .
Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R và r lần lượt là các bán kính các
đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ABC. Chứng minh rằng

1
1
4
+ 2=
2
R r
a2
8R 3r 3
b) S = 2
; ( Kí hiệu S là diện tích tứ giác ABCD).
( R + r 2 )2
Câu 5 (2,0 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) tâm O , đường kính AD .
Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I . Gọi H là hình chiếu của I lên AD và M là
trung điểm của ID . Đường tròn ( HMD ) cắt (O) tại N ( N khác D ). Gọi P là giao điểm
của BC và HM . Chứng minh rằng
a) Tứ giác BCMH nội tiếp.
b) Ba điểm P, D, N thẳng hàng.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c > 0 thỏa 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
1 2 3
thức P = + + .
a b c
a)

Câu 7 (0,5 điểm). Chứng minh rằng trong 2015 số tự nhiên liên tiếp bất kì luôn tồn tại ít
nhất một số có tổng các chữ số chia hết cho 28.
===Hết===

13
ĐỀ SỐ 13
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho các số thực x, y thỏa mãn x=

3

y − y 2 + 1 + 3 y + y 2 + 1 . Tính giá trị của biểu

thức

P = x 4 + x 3 y + 3 x 2 + xy − 2 y 2 + 2019 .

a 2 + b2
b) Cho các số nguyên a, b và số nguyên tố p thỏa mãn
∈  . Cho biết p là tổng
p
a 2 + b2
của hai số chính phương. Chứng minh rằng
cũng là tổng của hai số chính phương.
p
Câu 2 (2,0 điểm)

2
37
4 x + 1 − 9 x 2 + 26 x −
=
0.
3
3
1
1
2

+
=

1 + 2 xy
 1 + 2x2
1 + 2 y2
b) Giải hệ phương trình: 
.
2
 x 1 − 2x + y 1 − 2 y =
(
)
)
 (
9
a) Giải phương trình:

Câu 3 (0,5 điểm). Cho parabol ( P ) : y = − x 2 và đường thẳng d đi qua điểm I (0; −1) có hệ
số góc k . Chứng minh rằng với mọi k , d luôn cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho x1 − x2 ≥ 2 và OAB vuông.
Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh
BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N . Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho
BE = CM .
a) Chứng minh rằng OEM vuông cân và ME // BN.
b) Từ C kẻ CH ⊥ BN ( H ∈ BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Câu 5 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) . có AD, BE , CF là ba
đường cao. Đường thẳng EF cắt BC tại G , đường thẳng AG cắt lại đường tròn (O) tại
điểm M .
a) Chứng minh rằng bốn điểm A, M , E , F cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi N là trung điểm của cạnh BC và H là trực tâm tam giác ABC . Chứng minh rằng
GH ⊥ AN .
Câu 6 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 + ( x + y + z ) 2 ≤ 4 .

xy + 1
yz + 1
zx + 1
+
+
≥3 .
( x + y ) 2 ( y + z ) 2 ( z + x) 2
Câu 7 (0,5 điểm). Cho A là tập con gồm 6 phần tử của tập S = {0;1;2;...;14} . Chứng minh
rằng tồn tại hai tập con B và C của A ( B, C khác nhau và khác rỗng) sao cho tổng các
phần tử của B bằng tổng các phần tử của C .
Chứng minh rằng

===Hết===

14
ĐỀ SỐ 14
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho n là số tự nhiên và n ≥ 1 . Chứng minh rằng

1

+

1 + 1
3

1
2 + 2
3

+

1
3 + 3
3

+ ... +

1
n + n
3

< 2.

b) Cho x, y là các số nguyên sao cho x 2 − 2 xy − y và xy − 2 y 2 − x đều chia hết cho 5.
Chứng minh rằng 2 x 2 + y 2 + 2 x + y cũng chia hết cho 5.
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:

1 + 2 x − x 2 + 1 − 2 x − x 2 = 2 ( x − 1) ( 2 x 2 − 4 x + 1) .
4

 2 xy + y x 2 − y 2
x+ y
x− y
=
+

14
2
2

b) Giải hệ phương trình: 
.
3
3
  x+ y
 x− y
9
  2  +  2  =



 
Câu 3 (0,5 điểm). Cho parabol ( P ) : y = 2 x 2 và đường thẳng d : y =
−2mx + m + 1 . Tìm m
để d cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 sao cho biểu thức

1
1
đạt giá trị lớn nhất.
P=
−
−
2
(2 x1 − 1) (2 x2 − 1) 2
Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD.
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là
hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
a) Chứng minh tứ giác BEDF là hình bình hành và CH .CD = CB.CK .
b) Chứng minh rằng AB. AH + AD. AK =
AC 2 .
Câu 5 (2,0 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2 R và C là điểm chính giữa


 ( M khác B ). Gọi N là giao điểm của hai tia OC và
AB . Lấy điểm M tùy ý trên BC
BM . Gọi H , I lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AO, AM ; K là giao điểm của các
đường thẳng BM và HI .
a) Chứng minh rằng A, H , K , N cùng nằm trên một đường tròn.
 ( M khác B ) sao cho AK = R 10 .
b) Xác định vị trí của điểm M trên cung BC

2

Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương sao cho ab + bc + ca =
1. Chứng minh
rằng

1
1
1
1
.
+ 6b + 3 + 6c + 3 + 6a ≤
a
b
c
abc
Câu 7 (0,5 điểm). Giả sử A là tập con của các số tự nhiên  . Tập A có phần tử nhỏ nhất là
1, phần tử lớn nhất là 100 và mỗi x ∈ A ( x ≠ 1), luôn tồn tại a, b ∈ A sao cho x= a + b ( a
có thể bằng b ). Hãy tìm một tập A có số phần tử nhỏ nhất.
3

===Hết===

15
ĐỀ SỐ 15
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho n là số tự nhiên và n ≥ 1 . Chứng minh rằng

1
1
1
1
1
+
+
+
...
+
<
.
12.3. 2 22.4. 3 32.5. 4
n2 ( n + 2) n + 1 2 2
b) Tìm bộ số nguyên dương ( m; n ) sao cho =
p m 2 + n 2 là số nguyên tố và m3 + n3 − 4 chia
hết cho p .
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:

( x − 1)

(x

2

4

− 3)

+ ( x 2 − 3) +
4

2

1

( x − 1)

2

= 3x 2 − 2 x − 5 .

 6x
 − 2= 3 x − y + 3 y
b) Giải hệ phương trình:  y
.
2 3x + 3x − y = 6 x + 3 y − 4

Câu 3 (0,5 điểm). Lấy các điểm A và B thuộc parabol ( P ) : y = x 2 với x A < 0 , xB > 0 . Hãy
xác định tọa độ các điểm A, B sao cho OAB đều.
Câu 4 (2,0 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt
BD ở E và cắt CD ở K. Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC ở F và cắt CD ở I.
Chứng minh rằng
a) DK = CI và EF // CD
b) AB 2 = CD.EF .
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm là H . Giả sử

 không chứa A ( M khác B, C ). Gọi N , P lần lượt là điểm đối
M là một điểm trên BC
xứng của M qua các đường thẳng AB, AC .
a) Chứng minh tứ giác AHCP nội tiếp và ba điểm N , H , P thẳng hàng.
b) Tìm vị trí của M để đoạn thẳng NP lớn nhất.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx =
xyz .
Chứng minh rằng

x + yz + y + zx + z + xy ≥ xyz + x + y + z .

Câu 7 (0,5 điểm). Xét tập X gồm 700 số nguyên dương lớn hơn 1, đôi một khác nhau và
mỗi
số nhỏ hơn 2017. Chứng minh rằng trong tập hợp X luôn tìm được hai phần tử x, y sao
cho x − y thuộc tập E = {3;6;9} .
===Hết===

16
ĐỀ SỐ 16
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho a ≥ 0 và a ≠ 1 . Rút gọn biểu thức



a −1
− 1 .
6 − 4 2 . 3 20 + 14 2 + 3 (a + 3) a − 3a − 1 : 
 2 a −1



b) Giả sử số nguyên dương n có tất cả k ước số dương là d1 , d 2 ,..., d k . Chứng minh rằng
P=

(

)

nếu

d1 + d 2 + ... + d k + k = 2n + 1 thì

n
là số chính phương.
2

Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2 4 27 x 2 + 24 x +

28
27
=
1+
x+6.
3
2

8 xy
 2
2
16
x + y + x + y =

b) Giải hệ phương trình:  2
.
x3 x 2 y
 x + 2x =
+
−
8 y 3
3
y
4
2


Câu 3 (0,5 điểm). Cho đường thẳng d : =
y ax + b đi qua điểm M (2;7) . Tìm các số nguyên
a, b sao cho đường thẳng d cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ là một số nguyên
âm, cắt trục tung tại một điểm có hoành độ là một số nguyên dương.
Câu 4 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ
C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA
tại E.
a) Chứng minh rằng EA.EB = ED.EC và khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng
BM .BD + CM .CA có giá trị không đổi.
b) Kẻ DH ⊥ BC ( H ∈ BC ) . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH.
Chứng minh rằng CQ ⊥ PD .
Câu 5 (2,0 điểm). Cho đường tròn tâm O và dây AB cố định ( O không thuộc AB ). P là
điểm di động trên đoạn AB ( P khác A, B ). Qua A, P vẽ đường tròn tâm C tiếp xúc với
(O) tại A . Qua B, P vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với (O) tại B . Hai đường tròn (C ) và
( D) cắt nhau tại N ≠ P .

 = 900 .
 và PNO
a) Chứng minh rằng 
ANP = BNP
b) Chứng minh rằng khi P di động thì N luôn nằm trên một cung tròn cố định.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 + ( a + b + c ) ≤ 4.
2

Chứng minh rằng

ab + 1

(a + b)

2

+

bc + 1

(b + c )

2

+

ca + 1

(c + a)

2

≥ 3.

Câu 7 (0,5 điểm). Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bằng một trong ba màu xanh, vàng
hoặc đỏ. Chứng minh rằng luôn tìm được hai điểm cùng màu có khoảng cách bằng 1 cm.
===Hết===

17
ĐỀ SỐ 17
Câu 1 (2,0 điểm)
3
3
a) Cho các số thực a, b, c, x, y, z sao cho x, y, z ≠ 0 , ax
=
by
=
cz 3 và

minh rằng

3

1 1 1
+ + =
1 . Chứng
x y z

ax 2 + by 2 + cz 2 = 3 a + 3 b + 3 c .

(a − b)(b − c)(c − a )
+ 2 là một lũy
2
là một số có dạng 20182019 n với n là một số

b) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên (a, b, c) sao cho số
thừa của 20182019 . (Một lũy thừa của 20182019
nguyên không âm).
Câu 2 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình: x 2 + 2 2 x + 7 = 2 −2 x + 3 + 5 .

 4 x 2 − 6 xy + 3 y 2 + 2 xy − y 2 =
4
b) Giải hệ phương trình: 
.
 x + 2 x − y + 3 y = y + 4
Câu 3 (0,5 điểm) . Cho đường thẳng d : y = (m − 2) x − m + 5 . Tìm m để khoảng cách từ O
đến đường thẳng d lớn nhất.
Câu 4 (2,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM = 3MD .

 . Kẻ tia phân giác của CBI
 , tia này cắt
Kẻ tia Bx cắt cạnh CD tại I sao cho 
ABM = MBI
cạnh CD tại N.
a) So sánh MN với AM + NC.

b) Tính diện tích tam giác BMN theo a.
Câu 5 (2,0 điểm)
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) . Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC ( B, C là hai tiếp điểm)
và một cát tuyến AEF đến (O) sao cho ( AEF nằm giữa 2 tia AO, AB , F , E ∈ (O ) và

 < FAC
 ). Vẽ đường thẳng qua E vuông góc với OB cắt BC tại M , cắt BF tại N .
BAF
Vẽ OK ⊥ EF . Chứng minh rằng:
a) Tứ giác EMKC nội tiếp.
b) Đường thẳng FM đi qua trung điểm của AB.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c là ba số thực không âm thỏa mãn

a + b + c ≥ 1 . Chứng

minh rằng a 2 + b 2 + c 2 + 7 ( ab + bc + ca ) ≥ 8 ( a + b )( b + c )( c + a ) .
Câu 7 (0,5 điểm). Cho đường gấp khúc khép kín có độ dài bằng 1. Chứng minh rằng luôn
tồn tại một hình tròn có bán kính R =

1
chứa toàn bộ đường gấp khúc đó.
4
===Hết===

18
ĐỀ SỐ 18
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho x, y > 0 sao cho x + y =1 − xy . Tính giá trị của biểu thức

1 + y2
1 + x2
=
P 2x
+ 2y
+ (1 + x 2 )(1 + y 2 ) .
2
2
1+ x
1+ y
b) Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho phương trình x 2 + y 2 + x + y =
kxy có
nghiệm nguyên dương.
Câu 2 (2,0 điểm)

x2 − 2
1 + x2
.
=
−
5
x
2x2
21
 2
2
 x + y + x + y =8
b) Giải hệ phương trình: 
.
2
2
 x + x +1 y + y +1 =
4

1
Câu 3 (0,5 điểm). Cho parabol ( P ) : y = x 2 và đường thẳng d : mx − y + 1 =
0 . Tìm m để
2
3
d cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác AOB bằng .
2
Câu 4 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC với các đỉnh A, B, C và các cạnh đối diện với các
đỉnh tương ứng là a, b, c .
a) Tính diện tích tam giác ABC theo a, b, c .
8 − x2 +

a) Giải phương trình:

(

)

)(

b) Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 3 S .

Câu 5 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) với AB < AC . Gọi M
là trung điểm BC , AM cắt ( O ) tại điểm D khác A . Đường tròn ngoại tiếp tam giác

MDC cắt đường thẳng AC tại E khác C . Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDB cắt
đường thẳng AB tại F khác B.
a) Chứng minh rằng  BDF CDE ; ba điểm E , M , F thẳng hàng và OA ⊥ EF .
 cắt EF tại điểm N . Phân giác của các góc CEN
 và BFN
 lần
b) Phân giác của góc BAC

lượt cắt CN , BN tại P và Q . Chứng minh rằng PQ song song với BC.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca ≤ 3abc
. Chứng minh rằng

2

(

a 2 + b2
b2 + c 2
c2 + a 2
a+b + b+c + c+a ≥
+
+
+ 3.
a+b
b+c
c+a

)

Câu 7 (0,5 điểm). Trên một hòn đảo có 13 con tắc kè xanh, 15 con tắc kè đỏ và 17 con tắc kè
vàng. Khi hai con tắc kè khác màu gặp nhau, chúng đổi sang màu còn lại. Liệu có thể đến
một lúc nào đó tất cả các con tắc kè có cùng màu hay không ?
===Hết===

19
ĐỀ SỐ 19
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho các số thực x, y, z đôi một khác nhau thỏa mãn

( y − z ) 3 1 − x3 + ( z − x) 3 1 − y 3 + ( x − y ) 3 1 − z 3 =
0.
Chứng minh rằng (1 − x 3 )(1 − y 3 )(1 − z 3 ) =(1 − xyz )3 .
b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

x2 − y
y
= .
2
8x − y
x

Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: x + 1 + x 2 − 4 x + 1 =
3 x.

2 x 2 + 2 − x + y − 1 − 34= 2 xy + x
b) Giải hệ phương trình: 
.
2
2 y + 2 − x + y − 1 − 34 =− xy + 2 y
y 2 x − 1 có đồ thị (C ) . Tìm m để đường thẳng
Câu 3 (0,5 điểm). Cho hàm số =
d : y= x + m cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho đoạn thẳng AB có độ dài
bằng 4.
Câu 4 (2,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) có đường cao AH sao cho
AH = HC . Trên AH lấy một điểm I sao cho HI = BH . Gọi P và Q lần lượt là trung
điểm của BI và AC . Gọi N và M lần lượt là hình chiếu của H trên AB và IC ; K là
giao điểm của đường thẳng CI với AB ; D là giao điểm của đường thẳng BI với AC .
a) Chứng minh I là trực tâm của tam giác ABC .
b) Chứng minh tứ giác HNKM là hình vuông và bốn điểm N , P, M , Q thẳng hàng.
Câu 5 (2,0 điểm). Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2 AC , điểm C thuộc đường tròn

( C ≠ A, C ≠ B ) . Trên nửa mặt phẳng bờ

AB chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đường
tròn (O) . Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AC . Tia BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt
BC tại N .
a) Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân.
b) Khi MB = MQ , tính BC theo R.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực không âm a, b, c thoả mãn a 2 + b 2 + c 2 =
2.
Chứng minh bất đẳng thức a + b + c + 3abc ≥
3

3

3

8max {a 2b 2 ; b 2c 2 ; c 2 a 2 }

(a + b + c)

2

.

Câu 7 (0,5 điểm). Cho ba đống sỏi khác nhau. Sisyphus thực hiện di chuyển 1 viên sỏi từ 1
trong ba đống sỏi sang 1 trong 2 đống sỏi còn lại. Mỗi lần chuyển sỏi, Sisyphus nhận được
từ Zeus một số tiền bằng hiệu số giữa số sỏi của đống sỏi lấy đi và đống sỏi nhận thêm
trước khi di chuyển. Nếu số chênh lệch này âm thì Sisyphus cũng phải trả cho Zeus số tiền
chênh lệch đó. Sau một số bước thực hiện thì số sỏi mỗi đống sẽ trở về như ban đầu. Hỏi
khi đó số tiền tối đa mà Sisyphus nhận được là bao nhiêu ?
===Hết===

20
ĐỀ SỐ 20
Câu 1 (2,0 điểm).

  6 5x − 3
  1 + 5 5 x3

5x
−
− 6 .
x
.
5

 .

3


 5 5x − 8 5x + 2 5x + 4   1 + 5x

  5x − 1
7
Rút gọn biểu thức P và tìm số nguyên x ≥ 11 để P > .
2
b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x 4 + y = x 3 + y 2 .
 10 x + 4

a) Cho biểu thức P =


−

Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: x 3 + (3 x 2 − 4 x − 4) x + 1 =
0.

( x 4 + 1)( y 4 + 1) =
4 xy
b) Giải hệ phương trình: 
.
3
3
 x − 1 − y − 1 = 1 − x
1
1
Câu 3 (0,5 điểm). Cho parabol ( P ) : y = x 2 và đường thẳng d : y = ( m + 1) x − m 2 − ( m
2
2
là tham số). Tìm m thì đường thẳng d cắt Parabol ( P ) tại hai điểm A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) sao
cho biểu thức T = y1 + y2 − x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình thang ABCD ( AB / / CD, AB < CD ). Gọi K , M lần lượt là
trung điểm của BD , AC . Đường thẳng qua K và vuông góc với AD cắt đường thẳng qua
M và vuông góc với BC tại Q . Chứng minh rằng
a) KM // AB
b) QC = QD .
Câu 5 (2,0 điểm). Cho hình vuông ABCD tâm O , cạnh a . M là điểm di động trên đoạn
( M không trùng với O, B ). Vẽ đường tròn tâm I đi qua M và tiếp xúc với
OB
BC tại B , vẽ đường tròn tâm J đi qua M và tiếp xúc với CD tại D . Đường tròn ( I ) và
đường tròn ( J ) cắt nhau tại điểm thứ hai là N .
a) Chứng minh rằng 5 điểm A, N , B, C , D cùng thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra 3
điểm
C , M , N thẳng hàng.
b) Tính OM theo a để tích NA.NB.NC.ND lớn nhất.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho x, y, z > 0 thỏa x +

x 2 + yz
2x2 ( y + z)

+

y+ z=
1 . Chứng minh rằng:

y 2 + zx
2 y 2 ( z + x)

+

z 2 + xy
2 z 2 ( x + y)

≥ 1.

Câu 7 (0,5 điểm). Một quân cờ di chuyển trên bàn cờ n × n theo một trong 3 cách: đi lên
một ô, sang bên phải một ô, đi xuống về bên trái một ô. Hỏi quân cờ có thể đi qua tất cả
các ô, mỗi ô đúng một lần và quay lại ô kề bên phải ô xuất phát được không ?
===Hết===

21
ĐỀ SỐ 21
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng biểu thức sau nhận giá trị nguyên dương với mọi giá trị nguyên
dương của n

=
P

(

2n 2 + 2n + 1 + 2n 2 − 2n + 1

)

4n 2 + 2 − 2 4n 4 + 1 .

b) Tìm tất cả các số tự nhiên ( x; y ) thỏa mãn 2 x.x 2 = 9 y 2 + 6 y + 16 .
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2

(

)

2( x + 2) + 2 2 − x =

9 x 2 + 16 .

 xy + 2 ( x 4 + y 4 ) =
1

b) Giải hệ phương trình: 
.
2
2019 2023
2023 2019
x y + x y
=
32021

Câu 3 (0,5 điểm). Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol ( P ) : y = x 2 và đường thẳng
−2mx − 4m . Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt ( P ) tại hai điểm
d:y=
phân biệt có hoành độ x1 , x2 sao cho x1 + x2 =
3.
Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình chữ nhật ABCD có=
AB a=
, AD b . Gọi H là hình chiếu của
A lên BD . Gọi E và F lần lượt là các hình chiếu của H lên BC và CD , gọi M là giao
điểm của CH và AD . Chứng minh:

a 6 + b6
.
a2
Câu 5 (2,0 điểm). Cho đường tròn (O) đường kính AB , qua A và B lần lượt vẽ các tiếp
tuyến d1 và d 2 với (O) . Từ điểm M bất kỳ trên (O) vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt d1
tại C và cắt d 2 tại D . Đường tròn đường kính CD cắt đường tròn (O) tại E và F ( E
thuộc cung 
AM ), gọi I là giao điểm của AD và BC .
a) HE =

a3
a 2 + b2

b) CM =

a) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD .
b) Chứng minh MI vuông góc với AB và ba điểm E , I , F thẳng hàng.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c > 0 sao cho a + b + c ≥ 9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

b2 c2
1 9 25
.
=
Q 2 a + + +3
+ +
3 5
a b c
2

Câu 7 (0,5 điểm). Trong 100 số tự nhiên từ 1 đến 100, hãy chọn n số (n ≥ 2 ) sao cho 2 số
phân biệt bất kì được chọn có tổng chia hết cho 6. Hỏi có thể chọn n số thỏa mãn điều kiện
trên với n lớn nhất là bao nhiêu ?
===Hết===

22
ĐỀ SỐ 22
Câu 1 (2,0 điểm)

1
1
a b
− = a + b + + + 1.
a −b b
b a
b) Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố ( a; b; c) thỏa mãn a < b < c, bc − 1 a, ca − 1b, ab − 1c .
a) Cho a = 2 ; b = 3 2 . Chứng minh rằng

Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:

64 x3 + 4 x
.
5x + 6 x + 5 = 2
5x + 6 x + 6
2

 x 2 + 2 y − 4 x =
0
b) Giải hệ phương trình:  2
.
2
4
0
4 x − 4 xy + y − 2 y + 4 =
Câu 3 (0,5 điểm). Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol ( P ) : y = x 2 và hai đường thẳng

d : y = m ; d ′ : y = m 2 (với 0 < m < 1 ). Đường thẳng d cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt A, B
và đường thẳng d ′ cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt C , D (với hoành độ A và D là các số
âm). Tìm m sao cho diện tích hình thang ABCD gấp 9 lần diện tích tam giác OCD .
Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình bình hành ABCD , lấy điểm M trên BD sao cho MB ≠ MD .
Đường thẳng qua M và song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại E và F . Đường
thẳng qua M và song song với AD cắt AB và CD lần lượt tại K và H .
a) Chứng minh rằng KF // EH và các đường thẳng EK , HF , BD đồng quy.
b) Chứng minh rằng S MKAE = S MHCF .
Câu 5 (2,0 điểm). Cho AB là một đường kính cố định của đường tròn (O) . Qua điểm A
vẽ đường thẳng d vuông góc với AB . Từ một điểm E bất kì trên đường thẳng d , vẽ tiếp
tuyến với đường tròn (O) ( C là tiếp điểm, C khác A ). Vẽ đường tròn ( K ) đi qua C và
tiếp xúc với đường thẳng d tại E , vẽ đường kính EF của đường tròn ( K ) . Gọi M là
trung điểm của OE . Chứng minh rằng:
a) Điểm M thuộc đường tròn ( K ) .
b) Đường thẳng đi qua F và vuông góc với BE luôn đi qua một điểm cố định khi E thay
đổi trên đường thẳng d .
Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số dương x, y . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=

2
(2 x + y )3 + 1 − 1

+

(2 x + y )( x + 2 y )
8
−
.
4
3( x + y )
( x + 2 y )3 + 1 − 1
2

+

Câu 7 (0,5 điểm). Trên bảng ban đầu ghi số 2 và số 4. Ta thực hiện viết thêm các số lên
bảng như sau: trên đã đã có 2 số, giả sử là a, b ( a ≠ b ), ta viết thêm lên bảng số có giá trị là
a + b + ab . Hỏi với cách thực hiện như vậy, trên bảng có thể xuất hiện số 2016 được không
? Giải thích.
===Hết===

23
ĐỀ SỐ 23
Câu 1 (2,0 điểm).

(

)


2 b 2 a − b 
3
6 b +4

a) Cho biểu thức P=  2 a − b −
+

  2 a − b a − ab + a − b
a+ b

 

(

)



2


(với a, b là các số nguyên dương, a, b ≤ 9, a ≠ b, b ≠ 4a ).
Rút gọn P và tìm n = ab ( n là số có hai chữ số a, b và a ≠ 0 ) để P đạt giá trị lớn nhất.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn 2n + 1 , 3n + 1 là các số chính phương và 2n + 9 là
số nguyên tố.
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:

3 x − 5 + 7 − 3 x= 9 x 2 − 36 x + 38 .

1
x + y =

b) Giải hệ phương trình:  2
1  2
1  25 .
x
y
+
+


=

4 y2 
4 x 2  16

Câu 3 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol ( P ) : y =

1 2
x . Giả sử hai đường
4

thẳng đi qua I (0;1) cắt ( P ) ở A1 , B1 và A2 , B2 tương ứng. Chứng minh rằng

1
1
1
1
+
=
+
= 1 và
IA1 IB1 IA2 IB2

1
1
≤ 1.
+
IA1.IA2
IB1.IB2

Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình thoi ABCD có cạnh AB
= a=
,
A 600 . Một đường thẳng bất kì
đi qua C cắt tia đối của tia BA và DA theo thứ tự tại M và N .
a) Chứng minh rằng tích BM .DN có giá trị không đổi.

.
b) Gọi K là giao điểm của BN và DM . Tính số đo BKD
Câu 5 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC . Kẻ đường

AH
AC

cao AH của  ABC . Cho=
biết BC 20
=
cm,

3
.
4

a) Tính độ dài cạnh AB và AC .
b) Đường tròn đường kính AH cắt đường tròn (O) , AB, AC lần lượt tại M , D, E . Đường
thẳng DE cắt đường thẳng BC tại K . Chứng minh ba điểm A, M , K thẳng hàng và bốn
điểm B, D, E , C cùng nằm trên một đường tròn.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc = 2 . Chứng minh rằng

a 3 + b3 + c 3 ≥ a b + c + b a + c + c a + b .
Câu 7 (0,5 điểm). Đặt tùy ý 2018 tấm bìa hình vuông cạnh bằng 1 nằm trong một hình
vuông lớn có cạnh bằng 131. Chứng minh rằng bên trong hình vuông lớn, ta luôn đặt
được một hình tròn có bán kính bằng 1 sao cho hình tròn trên không có điểm chung với
bất cứ tấm bìa hình vuông nào.
===Hết===

24
ĐỀ SỐ 24
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng số x0 =

2 + 2 + 3 − 6 − 3 2 + 3 là một nghiệm của phương

trình x 4 − 16 x 2 + 32 =
0.

 và độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp. Tính độ dài các
 + 2C
b) Cho  ABC có 
A= B
cạnh của  ABC .
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:

4 x
3 x
+
=
1.
4 x − 8 x + 7 4 x − 10 x + 7

 x + 6 xy =
y+6

b) Giải hệ phương trình: 
.
6 ( x3 + y 3 )
2
2
− 2( x + y ) =
3
x + 2
x + xy + y 2

Câu 3 (0,5 điểm). Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : y= x + 8 và ( P ) : y = x 2 .
Xác định độ dài cạnh hình vuông ABCD biết hai đỉnh A, B thuộc đường thẳng d còn hai
đỉnh C , D thuộc parabol ( P ) .
Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh
AB, BC , CD, DA của hình vuông.
AC
( MN + NP + PQ + QM ) .
2
b) Xác định vị trí của M , N , P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất.
a) Chứng minh rằng S ABCD ≤

Câu 5 (2,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE , CF cắt nhau tại
điểm H . Đường thẳng EF cắt nhau tại điểm M . Gọi O là trung điểm BC . Giả sử các
đường tròn ngoại tiếp các tam giác OBF , OCE cắt nhau tại giao điểm thứ 2 là P .
a) Chứng minh các tứ giác EFPH , BCHP, MEPB là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh OPM là tam giác vuông.
Câu 6 (2,0 điểm). Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh bất đẳng thức

4a 2 + (b − c) 2 4b 2 + (c − a ) 2 4c 2 + (a − b) 2
+
+
≥ 3.
2a 2 + b 2 + c 2 2b 2 + c 2 + a 2 2c 2 + a 2 + b 2
Câu 7 (0,5 điểm). Trong bảng 11×11 ô vuông ta đặt các số tự nhiên từ 1 đến 121 vào các ô
đó một cách tùy ý (mỗi ô đặt duy nhất một số và hai ô khác nhau thì đặt hai số khác
nhau). Chứng minh rằng tồn tại hai ô vuông kề nhau (tức là hai ô vuông có chung một
cạnh) sao cho hiệu của hai số đặt trong hai ô đó lớn hơn 5.
===Hết===

25
ĐỀ SỐ 25
Câu 1 (2,0 điểm)

a
a2
với a ≠ −1 . Rút gọn biểu thức P và tính giá
+ 1 + a2 +
(a + 1) 2
a +1
trị của biểu thức P khi a = 2020 .
p
q +1
2n
+
= với mọi n là số nguyên
b) Cho p, q là các số nguyên tố thỏa mãn
p +1
q
n+2
dương. Tìm tất cả các giá trị dương của q − p .
a) Cho biểu thức P=

Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:

3 x − 5 + 7 − 3 x= 9 x 2 − 36 x + 38 .

3 x 2 + 2 y 2 − 4 xy + x + 8 y − 4 =
0
.
2
2
x
−
y
+
2
x
+
y
−
3
=
0


b) Giải hệ phương trình: 

Câu 3 (0,5 điểm). Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol ( P ) : y = x 2 . Trên ( P ) lấy 6 điểm
phân biệt Ai (ai ; ai2 ) với i = 1,2,...,6 . Giả sử A1 A2 ⊥ A4 A5 và A2 A3 ⊥ A5 A6 . Chứng minh rằng
nếu

(a1 + a2 )(a2 + a3 )(a3 + a4 )(a4 + a5 )(a5 + a6 )(a6 + a1 ) ≠ −1 thì A3 A4 và A6 A1 không thể vuông
góc với nhau.
Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình vuông ABCD , trên tia đối của tia CD lấy điểm M bất kì (
CM < CD ), vẽ hình vuông CMNP ( P nằm giữa B và C ), DP cắt BM tại H , MP cắt
BD tại K .
a) Chứng minh rằng DH vuông góc với BM và tính

PC PH KP
.
+
+
BC DH MK

b) Chứng minh rằng MP.MK + DK .BD =
DM 2 .
Câu 5 (2,0 điểm). Cho (O) và ( d ) không giao nhau. Vẽ OH ⊥ ( d ) , lấy hai điểm A, B thuộc
(d ) sao cho HA = HB . Lấy điểm M thuộc đường tròn (O) . Dựng các cát tuyến qua

S . Dựng đường
H , A, B và điểm M cắt đường tròn (O) lần lượt tại C , D, E , DE ∩ ( d ) =
thẳng qua O vuông góc với CE cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K . Dựng ON ⊥ DE tại N .
a) Chứng minh tứ giác HNCS là tứ giác nội tiếp.
b) Ba điểm S , C , K thẳng hàng.
Câu 6 (1,0 điểm) Cho ba số x, y, z không âm thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 =
1.

 x+ y
 y+z
 x+z
1− 
 + 1− 
 + 1− 
 ≥ 6.
 2 
 2 
 2 
2

Chứng minh rằng

2

2

Câu 7 (0,5 điểm). Từ một đa giác đều 15 đỉnh, chọn ra 7 đỉnh bất kì. Chứng minh rằng có
ba đỉnh trong số các đỉnh đã chọn là ba đỉnh của một tam giác cân.
===Hết===

26

BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 1
Vă Phú Q ố

ờ

GV T

THPT h

ễ Bỉ h

ê N

Câu 1
a) Ta có

a + b −1
a− b
b
b 
+
+
P=


a + ab
2 ab  a − ab a + ab 


a + b −1
a− b
=
+
2 ab  a
a a+ b


(

)

a + b −1
a

(

a+ b

a + b −1

=

a

(

a+ b

)

+

a− b b
.
2 ab
a

)

+

1

a

(

a+ b

b

(

(
(

)

a− b

)

+
a



a+ b 

b

(

)

)
b)

a+ b+ a− b
a+ b

=

)(

a−

a + b −1+1
a

(

a+ b

)

=

1
.
a

Khi đó

Q= 2019 + 4 P + 13 a − 6a + a a= 2019 +

(

4
+ 13 a − 6a + a a (a > 0) .
a

)

(

4 

= 2019 + 12 + a a − 4a + 4 a +  a − 4 +
 − 2a − 8 a + 8
a


(

)

= 2031 + a a − 4 a + 4 +

(

) (

1
a−4 a +4 −2 a−4 a +4
a

(

)

)

1
1




= 2031 +  a +
− 2  a − 4 a + 4 = 2030 +  a +
− 2
a
a




Áp dụng bất đẳng thức AM – GM (Cô si) ta có
Hơn nữa

(

)

2

a − 2 ≥ 0 nên Q ≥ 2031.

Vậy min Q = 2031 khi a = 1 hoặc a = 4 . 

a+

1
≥ 2.
a

)

(

a −2

)

2

27
b) Không giảm tính tổng quát, giả sử x ≥ y . Khi đó, ta có đánh giá

x 2 < x 2 + 8 y ≤ x 2 + 8 x < ( x + 4) 2 .
Do x 2 + 8 y là số chính phương nên ta xét các trường hợp sau:




Trường hợp 1: x 2 + 8 y =( x + 1) 2 ⇔ 8 y = 2 x + 1 . Điều này không thể xảy ra vì hai vế
khác tính chẵn lẻ.
Trường hợp 2: x 2 + 8 y =( x + 3) 2 ⇔ 8 y =6 x + 9 . Điều này cũng không thể xảy ra vì hai
vế khác tính chẵn lẻ.
Trường hợp 3: x 2 + 8 y = ( x + 2) 2 ⇔ x = 2 y − 1 .
Do y 2 + 8 x = y 2 + 8(2 y − 1) = y 2 + 16 y − 8 là số chính phương nên
ta xét các khả năng sau
•
•

Với y = 1 thì cặp số ( x; y ) = (1;1) thỏa yêu cầu bài toán.
Với y ≥ 2 , ta có

( y + 3) 2 < y 2 + 16 y − 8 < ( y + 8) 2
Do y 2 + 16 y − 8 là số chính phương nên

y 2 + 16 y − 8 ∈{( y + 4) 2 ,( y + 5) 2 ,( y + 6) 2 ,( y + 7) 2 } .
Giải trực tiếp từng trường hợp ta thu được, ta thu được các cặp số

(5;3),(3;5),(21;11),(11;21) .
Tóm lại, các cặp số ( x; y ) thỏa mãn yêu cầu bài toán là

(1;1),(5;3),(3;5),(21;11),(11; 21) . 
Câu 2
3
a) Đặt a =
x; b =+
x 1; c =
x + 2 . Khi đó a 3 + b3 + c3 = 2 x3 + 3 x 2 + 4 x + 3 .

Phương trình đã cho thành
3
a 3 + b3 + c=
3abc ⇔

1
2
2
2
( a + b + c ) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = 0
2

0
a + b + c =
⇔
a − b = b − c = c − a = 0

0
a + b + c =
.
⇔
a
=
b
=
c



Với a + b + c =
0 ta có

x + ( x + 1) + 3 x + 2 =
0

28

⇔ 3 x+2 =
−2 x − 1

⇔ x + 2 =( −2 x − 1)

3

⇔ ( x + 1) ( 8 x 2 + 8 x + 3) =
0
⇔x=
−1 (do 8 x 2 + 8 x + 3 > 0, ∀x ∈  ).
 Với a= b= c ta có x = x + 1 = 3 x + 2 (vô lý).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 . 
3
2
0
 x + 2 xy + 12 y =
b) Hệ phương trình đã cho được viết lại như sau  2
.
2
12
 x + 8 y =

Thay 12
= x 2 + 8 y 2 vào phương trình đầu tiên của hệ, ta được:

x 3 + 2 xy 2 + ( x 2 + 8 y 2 ) y =
0

⇔ x 3 + 2 xy 2 + x 2 y + 8 y 3 =
0
⇔ ( x 3 + 8 y 3 ) + (2 xy 2 + x 2 y ) =
0
⇔ ( x + 2 y )( x 2 − 2 xy + 4 y 2 ) + xy (2 y + x) =
0
⇔ ( x + 2 y )( x 2 − xy + 4 y 2 ) =
0


Nếu x + 2 y =
0⇔ x=
−2 y thì thay vào phương trình thứ hai của hệ

ta được 12 y 2 =
12 ⇔ y =
±1 .
•
•

Với y = 1 suy ra x = −2 .
Với y = −1 suy ra x = 2 .
2

y  15 y 2

 Nếu x − xy + 4 y = 0 ⇔  x −  +
= 0 ⇔ x = y = 0 thì thay vào
2
4

2

2

phương trình thứ hai của hệ thấy không thỏa.
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là

S=
{(−2;1),(2; −1)} . 
Câu 3
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là

x =0
 m m

2x =
mx ⇔ 2 x − m . x =
0⇔
m ⇔ x ∈ 0; ; −  .
2
 2
x=
2

2

2

Để hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt thì m ≠ 0 .

29

 m m2   m m2 
;B − ;
Gọi 3 giao điểm của hai đồ thị là O (0;0); A  ;
.
 2 2   2 2 

 

m2
Gọi H là giao điểm của AB và trục tung, suy=
ra AB m
.
=
; OH
2
Do OAB đều nên

OH=

3
m2
AB ⇔ =
2
2

3
2
m⇔ m =
2

3 m ⇔ m ∈{0; 3; − 3}

So điều kiện, chọn m = ± 3 .
Vậy m = ± 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
Câu 4
K

A

B

M

I
N

H

E

L
G

D

C

F

a) Vẽ AG ⊥ AF (G ∈ CD ) .
Dễ thấy  ABE đồng dạng với  ADG (g-g)
Suy ra

AE AB
1
= =⇒
2 AG = AE .
AG AD
2

Xét  AGF vuông tại A ta có

1
1
1
=
+
2
2
AD
AG
AF 2
Khi đó

1 
1
1
1
1
 1
hay 4 
.
−
=
=
+
2
2
2
2 
2
AE  AF 2
AF
 AB
1

1

 AB 
 AE 
2

2

b) Vẽ đường cao BL trong tam giác ABC và MN ⊥ BL . Khi đó

MI 2 + MK 2 =≥
MB 2 BN 2 .

30
Mặt khác, MH = NL nên

MI 2 + MH 2 + MK 2 ≥ BN 2 + NL2
Áp dụng bất đẳng thức x 2 + y 2 ≥

(1)

( x + y)2
ta có
2

BN 2 + NL2 ≥

( BN + NL) 2 BL2
=
2
2

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

BL2
.
MI + MH + MK ≥
2
2

2

2

BL2
Vậy min( MI + MH + MK ) =khi và chỉ khi M là trung điểm BL . 
2
2

2

2

Câu 5
K

A

I
M

P

N

Q

O

J

G
B

D

E

C

a) Do tứ giác BDIP nội tiếp nên

 = 1800 − PID
 = PBC
.
PIK
Lại do tứ giác APBC nội tiếp nên

 =1800 − PAC
 = PBC
.
PAK
Suy ra

 = PAK
.
PIK
Do đó tứ giác AIPK nội tiếp.

 = PAI
 và PDI
 = PBI
.
Do các tứ giác AIPK và BDIP nội tiếp nên PKI
Suy ra  PKD  PAB (g – g), do đó

31

PK PA
=
PD PB

(1)

 = MAQ
 và MBP
 = MQA
.
Lại do tứ giác APBQ nội tiếp nên MPB
Suy ra MPB MAQ (g – g), do đó

PB MP
=
QA MA

(2)

Tương tự, MAP MQB (g – g), suy ra

PA MP
=
QB MB

(3)

Mà MA = MB nên từ (2) và (3) ta suy ra

PB PA
=
QA QB

(4)

Từ (1) và (4) ta đi đến

PK QB
=
.
PD QA
 = PBI
 và PBA
 = PCA
 , suy ra
b) Do các tứ giác BDIG và APBC nội tiếp nên PGI
 = PCA
 . Do đó IG // AC và
PGI

CD KD
=
CE KI

(5)

=
Trên cạnh AB , lấy điểm J sao cho KPI
APJ .
 = 1800 − KAI
 = BAC
 không đổi, vì thế J là điểm cố
Vì tứ giác AIPK nội tiếp nên KPI
định, nghĩa là tỉ số

AB
không đổi.
AJ

(6)

Lại vì  PKI  PAJ (g – g) và  PKD  PAB (g – g) nên

KI PK KD
= =
AJ PA AB
Từ (5), (6) và (7) dẫn đến

CD AB
.
=
CE AJ

Vậy khi D di chuyển trên BC thì
Câu 6

CD
không đổi. 
CE

(7)

32
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có

(a + b) 2 = (1.a + 1.b) 2 ≤ 2(a 2 + b 2 ) .

(1)

Hơn nữa, từ bất đẳng thức cơ bản 2ab ≤ a 2 + b 2 ta đi đến

4abc ≤ 2c(a 2 + b 2 )

(2)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1) và (2) ta được

(a + b) 2 + 4abc ≤ 2(a 2 + b 2 )(c + 1)
Suy ra

8
4
≥ 2
(a + b) + 4abc (a + b 2 )(c + 1)

(3)

2

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

4
a 2 + b2
2
4
+
≥2
=
2
2
(a + b )(c + 1)
2
c +1
2(c + 1)

(4)

Lại áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được

2(c + 1)
c + 3 (c + 1) + 2
=
≥
8
8
4

(5)

Từ (3), (4) và (5) ta suy ra

a 2 + b2
8
≥
2
c+3

(6)

8
b2 + c2
8
+
≥
2
(b + c) + 4abc
2
a+3

(7)

8
(a + b) 2 + 4abc

+

Tương tự

8
c2 + a2
8
+
≥
2
b+3
(c + a ) + 4abc
2

(8)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (6), (7) và (8) ta thu được

8
8
8
+
+
+ a 2 + b2 + c2
2
2
2
(a + b) + 4abc (b + c) + 4abc (c + a ) + 4abc
8
8
8
.
≥
+
+
a+3 b+3 c+3
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b= c= 1 . 
Câu 7

33
Từ giả thiết ta có: a + b + c =
7 . Các bộ ba phần tử của X có tổng bằng 7 là

{0;2;5} ,{0;3;4} ,{1;2;4} . Gọi

A là tập các số abcdef cần tìm và

{

}

{

}

{

}

B = abcdef ∈ A : a, b, c ∈ {0;2;5}

C = abcdef ∈ A : a, b, c ∈ {0;3;4}

D = abcdef ∈ A : a, b, c ∈ {1;2;4} .
Ta có: A = B ∪ C ∪ D và B, C , D là các tập rời nhau.
Do đó: A = B + C + D = 2.( 2.2.1) .3!+ 3!.3! = 84 . 

===Hết===

BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 2
Vă Phú Q ố

ờ

GV T

THPT h

ê N

ễ Bỉ h

Câu 1.
a) Ta có:


 a 2 − b2
a −b
a −b
+
P 
: 2
2
a 2 − b2 − a + b  a + b
 a +b + a −b

a −b

+
 a +b + a −b
a −b


(
(

)

 2
2
. a + b
a + b − a − b  a 2 − b2

a −b

2

)

1
1

 a 2 + b2
=
+
a − b .
.
a + b − a − b  a 2 − b2
 a +b + a −b
=

2 a − b. a + b a 2 + b2
.
( a + b) − ( a − b) a 2 − b 2

a 2 + b2
.
=
b
Thay a= b + 1 vào biểu thức P ta được

(b + 1) 2 + b 2 (1 − 2 2b + 2b 2 ) + (2 + 2 2)b (1 − 2b) 2
=
P =
=
+2+2 2 ≥ 2+2 2.
b
b
b

34


2+ 2
a=

1 − 2b =
0 
2
Vậy min P =
.
⇔
2+2 2 ⇔ 
b= a − 1
2
b =

2
b) Cách 1
Phương trình đã cho được viết lại như sau

x3 + y 3 = 9 xy ⇔ x3 + y 3 + 33 − 3.x. y.3 = 27 (*)
Áp dụng hằng đẳng thức a 3 + b3 + c 3 − 3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca ) , ta có
phương trình (*) tương đương với

( x + y + z )( x 2 + y 2 + 9 − xy − 3 x − 3 y ) =
27
⇔ ( x + y + z )[( x + y ) 2 − 3( x + y ) − 3 xy + 9] =
0.
Do x, y ∈  + nên x + y + 3 ≥ 5 nên x + y + 3 ∈{9; 27} .
Xét các trường hợp:

9
x + y + 3 =

6
x + y =
. Giải hệ này ta thu được
⇔

2
8
xy
=
(
)
3(
)
3
9
0
x
y
x
y
xy
+
−
+
−
+
=


các nghiệm ( x; y ) là (2;4),(4;2) .
24
x + y =
27
x + y + 3 =

 Trường hợp 2: 
⇔
512 (vô lý).
2
1  xy =
( x + y ) − 3( x + y ) − 3 xy + 9 =
3



Trường hợp 1: 

Vậy các cặp số ( x; y ) cần tìm là (2;4),(4;2) .
Cách 2
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương, ta có

9 xy ==
x3 + y 3 ( x + y )( x 2 + y 2 − xy ) ≥ ( x + y ) xy .
Suy ra

2 ≤ x + y ≤ 9.
Mặt khác, ta có

9 xy = x3 + y 3 ⇔ 9 xy = ( x + y )3 − 3 xy ( x + y ) (*)
Suy ra x + y chia hết cho 3. Do đó x + y ∈{3;6;9} .


3 , thay vào (*) thì xy =
Trường hợp 1: Với x + y =

3
(vô lý).
2

35


6 , thay vào (*) ta được xy = 8 ⇔ x = 4, y = 2 hoặc
Trường hợp 2: Với x + y =
=
x 2,=
y 4.



9 , thay vào (*) thì xy =
Trường hợp 3: Với x + y =

Vậy các cặp số ( x; y ) cần tìm là (2;4),(4;2) . 

81
(vô lý).
4

Câu 2
a) Điều kiện: x ≥ 3 2 . Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với:

(
⇔

)

x 2 − 1 − 2 + ( x − 3=
)

3

x3 − 2 − 5

x2 − 9

x 3 − 27
+ ( x − 3) =
2
x3 − 2 + 5
3 x2 − 1
( ) + 2 3 x2 − 1 + 4



2
x+3

 ( x − 3) ( x + 3 x + 9 )
⇔ ( x − 3) 
+ 1 =
2
3 2
x3 − 2 + 5
3 x2 − 1
) + 2 x − 1 + 4 
 (

x = 3

x+3
x 2 + 3x + 9
⇔
+1 =
2
3 2
3 2
x3 − 2 + 5
 ( x − 1) + 2 x − 1 + 4

x 2 + 3x + 9

Nhận xét:

x3 − 2 + 5

(*)

x+3

>2 ;
3

(x

2

− 1) + 2 x − 1 + 4
2

3

<1

2

Thật vậy,



x 2 + 3x + 9
x −2 +5
3

> 2 ⇔ x 2 + 3x + 9 > 2

(

x3 − 2 + 5

)

2 x3 − 2 < x 2 + 3x − 1 ⇔ 4 x3 − 8 < x 4 + 9 x 2 + 1 + 6 x3 − 2 x 2 − 6 x
⇔ x 4 + 2 x3 + 7 x 2 − 6 x + 9 > 0 ⇔ ( x 2 + x ) + ( x − 3) + 5 x 2 > 0 (luôn đúng).
2

x+3


3

=
t
Đặt

3

(x

2

− 1) + 2 3 x 2 − 1 + 4
2

<1⇔

3

(x

2

2

− 1) + 2 3 x 2 − 1 + 1 > x .
2

x 2 − 1 ; t > 0 . Cần chứng minh: t 2 + 2t + 1 > t 3 + 1 .

2
3
4
3
2
Ta có: t + 2t + 1 > t + 1 ⇔ t + 3t + 6t + 4t > 0 (luôn đúng ∀t > 0 ).

36
Do đó phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3 . 
2
2
0 . Xem
b) Phương trình thứ hai của hệ được viết lại như sau: x + ( y − 3) x + y − 4 y + 4 =

đây là một phương trình bậc hai đối với x . Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi

∆ x ≥ 0 ⇔ ( y − 3) − 4.1. ( y 2 − 4 y + 4 ) ≥ 0 ⇔ 1 ≤ y ≤
2

7
.
3

Tương tự ta cũng xét một phương trình bậc hai đối với y và thu được 0 ≤ x ≤

4
.
3

Khi đó
4

2

 4   7  697
x + y ≤  +  = .
81
3 3
4

Dấu “=” xảy ra ⇔ x=

2

4
7
. Thay vào hệ phương trình thấy không thỏa.
, y=
3
3

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. 
Câu 3
Phương trình hoành độ giao điểm của ( P ) và d là

x 2 = mx + 3 ⇔ x 2 − mx − 3= 0 (*)
c
=−3 < 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu ∀m . Do đó d luôn cắt ( P )
a
tại hai điểm phân biệt ∀m . Gọi A( x1 ; mx1 + 3), B ( x2 ; mx2 + 3) .
Vì

Do x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (*) nên theo định lí Vi-ét ta có

m
 x1 + x2 =
.

 x1 x2 = −3
Ta có

AB 2 =( x2 − x1 ) 2 + (mx2 − mx1 ) 2 =(m 2 + 1)( x2 − x1 ) 2
=(m 2 + 1)[( x1 + x2 ) 2 − 4 x1 x2 ] =(m 2 + 1)(m 2 + 12) ≥ 12 .
Suy ra AB ≥ 2 3 .
Vậy min AB = 2 3 khi và chỉ khi m = 0 . 
Câu 4

37

A
K

N
H

B

O
F

E

C

M

a) Ta có


OB OH : sin OBH
(do OBH ,OCK lần lượt vuông tại H , K )
=

OC OK : sin OCK
=

OH
(do 
ABO = 
ACO )
OK

=


OA.sin OAH
(do OAH ,OAK lần lượt vuông tại H , K )

OA.sin OAK

=


sin OAB
 = OC.sin OAB
.
hay OB.sin OAC

sin OAC

b) Gọi E , F lần lượt là trung điểm của OB, OC .

 = MFO

Do MEOF là hình bình hành nên MEO

(1)

Ta có

 2=



=
OEH
ABO 2=
ACO OFK

(2)

 = MFK
.
Từ (1) và (2) suy ra MEH
Lại có

ME
= OF
= FK ; EH
= EO
= MF nên MEH =MFK (c.g.c) .
Suy ra MH
= MK ⇒MHK cân tại M ⇒ MN ⊥ HK . 
Câu 5

 nên Q là điểm chính giữa của cung BC của (O).
a) Ta có AI là phân giác của BAC



.
Suy ra BAQ
= QAC
= QBC
 =IBC
 + QBC
 =IBA
 + BAQ
 =BIQ

IBQ

38
Hay tam giác QBI cân tại Q.
P

Do  ABD  ACB nên

A
D

AB AD
hay AB 2 = AD. AC
=
AC AB

J
I

O

(1)

Tam giác ADI đồng dạng tam giác AEC

K
B

C
H
E

Do  ADI  AEC (có góc A chung và 
AID = 
ACE )
nên

AD AI
hay AI . AE = AD. AC (2)
=
AE AC

Q

Từ (1) và (2) suy ra AI . AE = AB 2 ,
Suy ra  ABI  AEB


ABC


Suy ra AEB
= ABI
=
2

BAC

Ta có 
(hai góc so le trong),
= BAE
=
AEP

2

 
 = ABC + BAC .
Suy ra BEP

2

 
 = BEP

 = BAC + ABC suy ra BIQ
Theo a) ta có BIQ
2




Ta có BPE
= ABD
= 
ACB
= BQI
Suy ra  PBE QBI , suy ra

BP BE
= ⇔ BP.BI =
BE.BQ .
BQ BI

b) Do  PBE QBI và tam giác BQI cân tại Q nên tam giác PBE cân tại P, suy ra

+
BAC
ABC

và PH ⊥ BE với H là trung điểm của BE.
PBE =
2
Do HK là đường trung bình của tam giác EBJ nên HK//BJ.


+
ACB
BAC
ABC


 = 90o hay JB vuông góc BE.
Ta có JBD =
và DBE =
, suy ra JBE
2
2

39
Suy ra PH//JB, suy ra P, H, K thẳng hàng hay PK//JB. 
Câu 6
Đặt
, y ca
, z ab . Khi đó
=
x bc
=
=

x+ y+z
x + y + z 3abc
x+ y+z
=b;
= = a;
=c.
3y
3x
3bc
3z
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

9x2 y 2
9 y2 z2
9z 2 x2
+
+
≤ ( x + y + z )2 .
2
2
2
2
2
2
x + 2y
y + 2z
z + 2x
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

x2 + 2 y 2 = x2 + y 2 + y 2 ≥ 3 3 x2 .y 2 .y 2 =
3 3 x2 y 4 .
Suy ra

9x2 y 2
9x2 y 2
3 3 x4 y 2 .
≤
=
2
2
2
4
x + 2y
33 x y
Lại áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

3 3 x 4 y 2 = 3 3 x 2 .xy.xy ≤ x 2 + xy + xy = x 2 + 2 xy .
Suy ra

9x2 y 2
≤ x 2 + 2 xy .
2
2
x + 2y
Chứng minh tương tự

9z 2 x2
9 y2 z2
2
≤ z 2 + 2 zx .
;
2
≤
y
+
yz
2
2
2
2
z + 2x
y + 2z
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên, ta đi đến

9x2 y 2
9 y2 z2
9z 2 x2
≤ ( x + y + z )2 .
+ 2
+ 2
2
2
2
2
x + 2y
y + 2z
z + 2x
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= y= z hay a= b= c= 1 . 
Câu 7. Gọi A là tập các số có 4 chữ số abcd ( a ≥ 1) sao cho a + b + c + d chia hết cho 4.
Xét b + c + d = 4k + r ( 0 ≤ r ≤ 3) . Nếu r ∈ {0;1;2} thì với mỗi giá trị của r tồn tại hai giá trị
của a sao cho a + b + c + d chia hết cho 4 là a= 4 − r và a= 8 − r . Nếu r = 3 thì tồn tại ba
a 1,=
a 7,=
a 9.
giá trị của a sao cho a + b + c + d chia hết cho 4 là =

40

{

}

B = bcd : 0 ≤ b, c, d ≤ 9; b + c + d = 4k + r ,0 ≤ r ≤ 2

Ký hiệu:

{

}

C = bcd : 0 ≤ b, c, d ≤ 9; b + c + d = 4k + 3

Ta có: A = 2 × B + 3 × C = 2 × ( B + C ) + C = 2 × 103 + C .
Xét tập hợp C . Giả sử c + d = 4m + s . Nếu s ∈ {0;1} thì tồn tại hai giá trị của b sao cho

b + c + d = 4k + 3 . Nếu s ∈ {2;3} thì tồn tại ba giá trị của b sao cho b + c + d = 4k + 3 .

{

}

D = cd : 0 ≤ c, d ≤ 9; c + d = 4m + s ( 0 ≤ s ≤ 1)

Ký hiệu:

{

}

E = cd : 0 ≤ c, d ≤ 9, c + d = 4m + s,2 ≤ s ≤ 3 .
Ta có: C = 2 × D + 3 × E = 2 × ( D + E ) + E = 2 × 103 + E .
Xét tập E : đếm trực tiếp theo tổng c + d ta được: E = 24 + 25 = 49 .
Vậy A = 2 × 103 + 2 × 102 + 49 = 2249 . 

===Hết===

BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 3
Vă Phú Q ố

GV T

ờ

THPT h

Câu 1
a) Ta có

a (4 − b)(4 − c)

= a (16 − 4b − 4c + bc)= a[4(a + b + c + abc ) − 4b − 4c + bc]
=
a (4a + 4b + 4c + 4 abc − 4b − 4c + bc) =
a (4a + 4 abc + bc)

= 4a 2 + 4a abc + abc = (2a + abc ) 2 .
Suy ra

a (4 − b)(4 − c) = 2a + abc .
Tương tự

b(4 − c)(4 − a ) = 2b + abc ;

ê N

ễ Bỉ h

41

c(4 − a )(4 − b) = 2c + abc .
Do đó

P=
2(a + b + c + abc ) + 2019 =
2.4 + 2019 =
2027 . 
b) Theo đề, ta có ( x − y )( x + y ) =
100.302 n .
Suy ra x + y và x − y đều chẵn.
Đặ a
=

x+ y
x− y
2 n 2 n 2 n+ 2
, ta thu
được: ab 2=
=
,b
.3 .5
A.
=
2
2

Số các ước của A là (2n + 1) 2 (2n + 3) .
Vì a > b nên suy ra số cặp ( x; y ) thỏa mãn là số cặp ( a; b) thỏa mãn là

1
[(2n + 1) 2 (2n + 3) − 1] = (n + 1)(4n 2 + 6n + 1) .
2
Ta sẽ chứng minh (n + 1)(4n 2 + 6n + 1) không thể là số chính phương.
Thật vậy, giả sử (n + 1)(4n 2 + 6n + 1) là số chính phương.
Do gcd(n + 1; 4n 2 + 6n + 1) =
1 nên 4n 2 + 6n + 1 phải là số chính phương. Điều này vô lý vì

(2n + 1) 2 < 4n 2 + 6n + 1 < (2n + 2) 2 . 
Câu 2
a) Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 2 .
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với:

(

)

x + x +1

(

2 − x = ( x + 1) −
2

)

⇔ x + x +1

(

( )

2

x

)(

)

2 − x = x + x +1 x − x +1

⇔ 2 − x = x − x + 1 (do x − x + 1 > 0 với mọi 0 ≤ x ≤ 2 )
⇔ x + 2 − x = x + 1 ⇔ x + 2 x ( 2 − x ) + 2 − x = x2 + 2x + 1

 x 2 + 2 x − 1 ≥ 0
⇔ 2 x ( 2 − x) = x + 2x −1 ⇔ 
2
2
4 x ( 2 − x ) = ( x + 2 x − 1)
2

42

x ≥ 2 −1
 x ≥ 2 − 1

.
⇔
⇔
 x = 1
3
2
−
+
+
−
=
x
x
x
x
1
5
11
1
0
)
(
)
(

 3
2

  x + 5 x + 11x − 1 = 0 (*)
Với x ≥ 2 − 1 > 0 thì x 3 + 5 x 2 + 11x > 03 + 5.0 + 11.

(

)

2 − 1 > 1 . Do đó phương trình (*) vô

nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1 .
Bình luận. Cần chú ý đến phân tích quen thuộc và hấp dẫn sau đây

(

x 4 + ax 2 + 1 = ( x 2 + 1) − ( 2 − a ) x 2 = ( x 2 + 1) − x 2 − a
2

=

(x

2

2

)(

)

2

)

− x 2 − a + 1 x 2 + x 2 − a + 1 với a < 2 . 

b) ∀x, y ∈  ta có:

5 x 2 + 2 xy + 2 y 2 = ( 2 x + y ) + ( x − y ) ≥ 0 ; 2 x 2 + 2 xy + 5 y 2 = ( x + 2 y ) + ( x − y ) ≥ 0 .
2

2

2

2

Điều kiện để hệ phương trình xác định là: .2 x + y + 1 ≥ 0 .
Viết lại phương trình thứ nhất của hệ và đánh giá như sau:

5 x 2 + 2 xy + 2 y 2 + 2 x 2 + 2 xy + 5 y 2=

≥ 2x + y +

( 2x + y )

+ ( x − y) +

( x + 2y)
x + 2 y ≥ 3 x + y ≥ 3( x + y ) .
2

2

2

+ ( x − y)

Phương trình thứ nhất của hệ chỉ có thể được thỏa mãn nếu:

0
x − y =

y≥0 .
2 x + y ≥ 0 ⇔ x =
x + 2 y ≥ 0

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

3 x + 1 + 2 3 19 x + 8= 2 x 2 + x + 5

(

) (

)

⇔ 2 x 2 − 2 x + ( x + 1) − 3 x + 1 + 2 ( x + 2 ) − 3 19 x + 8 =
0

( 2 x + 14 ) ( x 2 − x )
x2 − x
⇔ 2( x − x) +
+
=
0
x + 1 + 3 x + 1 ( x + 2 )2 + ( x + 2 ) 3 19 x + 8 + 3 (19 x + 8 )2
2

⇔ x2 − x =
0.

2

43
(do 2 +

1
x + 1 + 3x + 1

+

2 x + 14

( x + 2)

2

+ ( x + 2 ) 19 x + 8 +
3

3

(19 x + 8)

2

> 0)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là: ( 0;0 ) , (1;1) . 
Câu 3
Phương trình hoành độ giao điểm của ( P ) và d là

x 2 = 5mx + 4m ⇔ x 2 − 5mx − 4m = 0 (1)

d cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt A, B

16

m
<
−
=
∆ 25m + 16m > 0 ⇔ 
⇔ phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇔
25

m > 0
2

(*)

5m
 x1 + x2 =
.
 x1 x2 = −4m

Theo định lý Viet, ta có: 

Vì x1 là nghiệm của phương trình nên: x12 − 5mx1 − 4m =0 ⇒ x12 =5mx1 + 4m .
Do đó

x12 + 5mx2 + 12m = 5mx1 + 4m + 5mx2 + 12m = 5m ( x1 + x2 ) + 16m = 15m 2 + 16m > 0 .
Tương tự, ta cũng tính được: x22 + 5mx1 + 12m = 25m 2 + 16m > 0 .

x22 + 5mx1 + 12m
m2
m2
25m 2 + 16m
+
=
+
≥ 2.
Khi đó: A = 2
x1 + 5mx2 + 12m
m2
25m 2 + 16m
m2
( Bất đẳng thức AM – GM cho 2 số dương).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

m2
25m 2 + 16m
=
⇔ m 4=
2
2
25m + 16m
m

( 25m

2

+ 16m ) ⇔ m 2= 25m 2 + 16m
2

m = 0
.
⇔ 24m + 16m =
0⇔
m = − 2
3

2

2
3

Kết hợp với (*) ta chọn m = − .

2
3

Vậy min A = 2 khi m = − . 

44
Câu 4
a) Cách 1
Ta có
2

2

 AB   AB 
+
=
⇔

 +
 =1.
 AE   AF 
AE 2 AF 2 AB 2
1

A

1

1

B

I

AE

N

G
M

AB
AB AD


Đặt BAE
= AFD
= α . Ta có: = cos α , = = sin α .
E

D'

2

K

D

C

AF

AF

2

 AB   AB 
2
2
Vậy 
 +
 = cos α + sin α = 1 .
 AE   AF 

F

C'

Cách 2
Ta có

1
AE 2

+

1
AB 2 AB 2
DC 2 AD 2
=
⇔
+
=
1
⇔
+
=
1.
AF 2 AB 2
AE 2 AF 2
AE 2 AF 2
1

Laị có

AE DC
DC DF
.
=
⇒
=
AF DF
AE AF
Vậy

DC 2
AE 2

+

AD 2
AF 2

=

DF 2
AF 2

+

AD 2
AF 2

=

DF 2 + AD 2
AF 2

=

AF 2
AF 2

= 1.

Cách 3
A

Dựng đường thẳng qua A, vuông góc với AE và cắt đường
thẳng CD tại J.

B

+ Chứng minh được hai tam giác ADJ và ABE bằng nhau.
Suy ra AJ = AE.

E

J

D

C

F

1
AD 2

+ Trong tam giác vuông AJF có:

=

1
AJ 2

+

1
AF 2

⇔

1
AB 2

=

1
AE 2

+

1
AF 2

.

45
b) Cách 1


Trường hợp 1: M trùng I hoặc M trùng D ta có:

AD AC
+
=
3.
AM AN

 Trường hợp 2: M khác I và M khác D:
Gọi K là trung điểm của CD. Dựng CC’// MG, DD’// MG (C’, D’ thuộc AG).
Khi đó

AD AD ' AC AC '
.
= =
,
AM AG AN AG
Do đó

AD AC AD ' AC ' AD '+ AC '
.
+
=
+
=
AM AN AG AG
AG
Hai tam giác KDD’ và KCC’ bằng nhau nên KC’=KD’.
Suy ra

AD AC 2 AK
3
+
=
= 2. = 3 .
AM AN
AG
2
Ta có

=
3

AD AC
AD AC
4
+
≥2
.
⇒ AM . AN ≥ AD. AC (AD, AC không đổi).
AM AN
AM AN
9

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

AD AC
=
⇔ MN // DC hay MG // DC .
AM AN
Khi đó

AM AG 2
.
= =
AD AK 3
Vậy khi AM . AN nhỏ nhất thì
Câu 5

AM 2
= .
AD 3

46

N

A
K
J
t

O

I

C

M
B

H

A'

0 
a) Ta=
có 
AIH 90
=
; AKH 900 . Vì 
1800 nên tứ giác AIHK nội tiếp.
AIH + 
AKH =

Kẻ tiếp tuyến At của đường tròn (O; R ) tại A.

=
 
900
ACB + HAC

Ta có: 
ACB =
AHK
⇒
0


90
 AHK + HAC =

(1)

Ta lại có: 
AHK = 
AIK (do tứ giác AIHK nội tiếp)

(2)

1
=
BAt
ACB (cùng bằng sđ 
AB )

(3)

2


Từ (1), (2) và (3) suy ra: BAt
= 
AIK ⇒ At  IK .
Mặt khác OA ⊥ At ⇒ IK ⊥ OA . Vậy IK luôn vuông góc với đường thẳng cố định OA.
Gọi J là giao điểm của AO và IK; A′ là điểm đối xứng với A qua O.

(

)

Ta có: ∆ACH ∼ ∆AA′B 
AHC
= 
ABA
=′ 900 ; 
ACH
= 
AA′B .

⇒

AC AH
=
⇒ AB. AC = AH . AA′ = 2 R. AH = 2 R 2 .
AA′ AB
AK
AH

b) Ta có ∆AKH ∼ ∆AHC ⇒ =

AH
⇒ AK . AC
= AH 2 .
AC

Gọi S , S ′ lần lượt là diện tích các tam giác ABC và AIK.
Ta có ∆AIK  ∆ACB ⇒

AI AK IK
AJ
, suy ra:
=
=
=
AC AB BC AH

47

1
2
2
AJ .IK
S′ 2
AJ IK  AK   AK . AC 
=
=
=
.=  =
 

S 1 AH .BC AH BC  AB   AB. AC 
2

1
4

1
8

R
8

Suy ra S ′ = .S = AH .BC = .BC ≤

AH 4
AH 2 1
.
=
=
2
2
R
4
4
AH
R
.2
(
)

R
R2
.2 R = .
8
4

R2
Vậy giá trị lớn nhất của tam giác AIK bằng
, đạt khi H ≡ O. 
4
Câu 6
Đặt x = b + c − a; y = c + a − b; z = a + b − c .
Suy ra x, y, z > 0=
và a

y+z
z+x
x+ y
.
=
,b =
,c
2
2
2

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

P=

2 y + 2 z 9 z + 9 x 8x + 8 y
+
+
x
2y
z

 2 y 9x   2z 8x   9z 8 y 
=
+
+
+
+
+
 ≥ 2 9 + 2 16 + 2 36 = 26.
2y   x
z   2y
z 
 x
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

2 y 9x 2z 8x 9z 8 y
z
3
4
=
, =
, =
⇔ 4 y 2 = 9 x 2 , 2 z 2 = 8 x 2 ,9 z 2 = 8 y 2 ⇔ x =
, y=
x, z =
y
x 2y x
z 2y
z
2
2
3
Vậy min P = 26 ⇔ x =

z
3
4
,y=
x, z =
y. 
2
2
3

Câu 7
Xét 3 phần tử x1 , x2 , x3 ∈ X . Đặt
=
ci

=
xi , i 1,2,3 ta có: 1 ≤ ci ≤ 3 . Chia khoảng [1;3]

4

thành hai khoảng [1;2] và [ 2;3] . Theo nguyên lý Dirichlet thì ba trong số c1 , c2 , c3 có hai số
cùng thuộc một trong hai khoảng nói trên. Giả sử hai số đó là: x = 4 a và y = 4 b thì a, b
là hai số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

===Hết===