Bài tập về mũ và logarit

CH NG 02ƯƠ :BÀI TOÁN NG CAOẬ ỤCHUYÊN HÀM MŨ, LÔGARITỀ ch ng này nh ng bài toán ng cao vào các ng bài Lãi su t, ng bài tínhỞ ươ ạs ch …ố ốCH 1:Ủ ỀTÍNH CH NHIÊNỐ ỰSau đây chúng ta cùng nghiên ng ng Logarit tron vi tính các ch sứ ốc nhiên.ủ ựĐ tiên xin nh khái ni th nào là ph nguyên .ầ ố1. Ph nguyên :ầ ốXét th A, nguyên nh mà không quá ng ta là ph nguyên aố ượ ườ ủA và kí hi là [A].ệNh th ấ[ 1A A£ .2. Công th tính các ch nhiên:ứ ựXét nhiên hi th đang bi di ng mũ hay ng nào đó mà taố ướ ạkhông các ch nó. có ch thì ta có công th sau đây: ượ ứ[ lg ]+1n A= .Tr khi đi vào ch ng minh, tôi mu nh cho các cách phân tích tướ ựnhiên ra ng ng lũy th 10, ví dạ ụ2 1423 4.10 2.10 3; 5678 5.10 6.10 7.10 8= +.Ch ng minh:ứGi nhiên có ch :ả ố1 31 11... .10 .10 .10 ...n nn nA a- -- -= Suy ra ()()()1 31 1log log .10 .10 .10 ... log 10n nn nA n- -- -= và()()()1 11 1log log .10 .10 .10 ... log .10 1n nn nA n- -- -= -.T hai đi này ta có: ề()()()1 log log log 1n A- Gi ữ()()log log 1A A+ ch có duy nh nhiên ơ()logA đó là ()log 1Aé ù+ë ậ()log 1n A=é ùë Sau đây ta cùng ng công th trên gi bài toán sau:ử ốBÀI TOÁN ÁP NGỤBài nguyên ng ạ2 1ppM= trong đó là nguyên là nguyên tộ ượ ốMec-xen. ố6972593M phát hi năm 1999. ng vi đó trong th phân thìượ ậcó bao nhiêu ch ?ữ ốTrích thi th Chuyên ng Yên 2.ề ầA. 2098960 ch .ữ B. 2098961 ch .ữ ốC. 6972593 ch .ữ D. 6972592 ch .ữ ốGi i:ảĐ tiên ta bi t: nhiên có ch thì ố()log 1n A=é ù+ë Ta tính ầ69725932 1- có bao nhiêu ch ta th ng ằ69725932 1- và 69725932 ch ch cóắ ắcùng ch nó gi ng nh là 213 và 213−1 có cùng ch y.ố ậT lu trên ta đi tính ch ủ69725932 ng công th c: ứ()log 1n A=é ù+ë Áp ngụcông th ta c:ứ ượ[]6972593log 6972593.log 2098960né ù= =ë û.Ch B.ọBài 2: Ng ta qui ườ ướlgx và logx là giá tr ủ10logx Trong các lĩnh thu t, ậlgx cượs ng khá nhi u, máy tính tay hay quang ph a, trong toán ng ta sử ườ ửd ng ụlgx tìm ch nguyên ng nào đó. Ví có ch thì khi đóể ươ ố[]lg 1n A= ớ[]lgA là nguyên nh nh ho ng A. ố20172017B= có baonhiêu ch ?ữ ốA. 9999 ch .ữ B. 6666 ch .ữ C. 9966 ch .ữ D. 6699 ch .ữ ốGi i:ảÁp ng công th ứ[]lg 1n A= tìm các ch A.ể ốTa có: 2017log log 2017 2017 log 2017 6665B= có 6666 ch .ậ ốCh B.ọBài nguyên ng ạ2 1ppM= trong đó là nguyên là nguyên Mec-ố ượ ốsen (Mersenne Marin, 1588-1648, ng Pháp)ườ+ -le phát hi ệ31M năm 1750.+ Luy-ca (Lucas Edouard, 1842-1891, ng Pháp) phát hi ườ 127M năm 1876+ 1398268M phát hi năm 1996.ượ ệH ng vi ba đó trong th phân thì có bao nhiêu ch ?ỏ ốA. 10; 39; 420921. B. 10; 49; 42092.C. 10; 69; 420923. D. 10; 59; 4209.Gi i:ảGi nguyên ố2 1ppM= vi trong th phân có ch thì ố110 10n npM-£ £hay 110 10n n-£ vì không ch th nguyên nên ố2 10p n< ).Suy ra: 1lg10 lg lg10n n-< hay .lg 2n n- Thay 31p= ta ượ31.lg 9, 33...= Suy ra 10n= .V nguyên ố31M vi trong th phân có 10 ch .ế ốLàm ng ta th ươ 127M có 39 ch ố1398269M có 420921 ch .ữ ốCh A.ọBài ố7568392 1p= là nguyên vi trong th phân thì đó có baoộ ốnhiêu ch ?ữ ốA. 227831 ch .ữ B. 227832 ch .ữ C. 227834 ch .ữ D. 227835 ch .ữ ốGi i:ảÁp ng công th ứ[]lg 1n A= tìm các ch A.ể ố()()756839 7568392 log log 2log 756839.log 227831, 24.p pp= =Û này có 227832 ch ch B.ậ ọBài năm 2016, Curtis Cooper và các công nhóm nghiên Central Mis-ầ ọsouri, công nguyên nh th đi đó. nguyên này là ng sỹ ốMersenne, có giá tr ng ằ742072812 1M= ỏM có bao nhiêu ch ?ữ ốA. 2233862 ch .ữ B. 22338618 ch .ữ ốC. 22338617 ch .ữ D. 2233863 ch .ữ ốGi i:ảÁp ng công th ứ[]lg 1n A= tìm các ch A.ể ốTa có: 74207281log log 74207281.log 22338617M» Do đó có 22338617 ch .ữ ốCh B.ọBài Nhà toán ng Pháp Pierre de Fermat là ng tiên ra khai ni Fermatọ ườ ườ ố22 1nnF= là nguyên ng không âm. Fermat đoán ươ ựnF là nguyên nh ng Eulerố ưđã ch ng minh ượ5F là Hãy tìm ch 13F.A. 1243 ch B. 1234 ch .ữ C. 2452 ch .ữ D. 2467 ch .ữ ốGi i:ảTa có: 132132 1F= .Suy ra 132 1313log log .log 2466F» Suy ra 13F có 2467 ch Ch D.ữ ọCH 2Ủ ỀCÁC NG BÀI TOÁN LÃI SU TẠ Ấ1. Lãi nơS ti lãi ch tính trên ti mà không tính trên ti lãi do ti sinh ra.ố ốCông th tính lãi n: ơ()01 .nV n= Trong đó:nV ti lãi sau kỳ n;ố ạ0V ti ban u;ố ần kỳ tính lãi;ố ạr Lãi su nh kỳ, tính theo %.ấ ị2. Lãi képLà ti lãi không ch tính trên ti mà còn tính trên ti lãi do ti đó sinh raố ốthay theo ng nh kỳ.ổ ịa. Lãi kép, nử ()01nnT r= Trong đó:nT ti lãi sau kỳ n;ố ạ0T ti ban u;ố ần kỳ tính lãi;ố ạr Lãi su nh kỳ, tính theo %.ấ ịb. Lãi kép liên cụ 0.nrnT e= Trong đó:nT ti lãi sau kỳ n;ố ạ0T ti ban u;ố ần kỳ tính lãi;ố ạr Lãi su nh kỳ, tính theo %.ấ ịc. Lãi kép, nh kỳ.ử ị Tr ng ti nh kì cu tháng.ườ ốBài toán cu tháng vào ngân hàng tri u, lãi su kép ấ%r (tháng ho năm). iặ ỏsau (tháng ho năm) ti thu là bao nhiêu?ặ ượNg ta ch ng minh ti thu là:ườ ượ ượ()1 1nnmT rré ù= -ë Ch ng minhứTháng thángầ Cu thángố1 Ch iư ửm 2m ()1m m+ 3()1m m+ +()()21 1m m+ +… …n ()()11 ... 1nm m-+ sau tháng ta ti ượ ề()()11 ... 1nnT m-= ()()11 ... 1nm r-é ù= +ë ,Ta th trong ngo là ng ổn ng nhân có ố()111, 1nnu r-= Ta bi ng: ằ1 11... .1nn nqS uq-= =- nên ()1 1nnmT rré ù= -ë ûBài toán cu tháng vào ngân hàng tri u, lãi su kép ấ%r (tháng ho năm). Sauặn (tháng ho năm) ti thu là tri u. ti tháng ượ là bao nhiêu?Ng ta ch ng minh ti tháng là: ườ ượ ỗ()1 1nArmr=+ Ch ng minh:ứÁp ng bài toán ta có ti thu là ượ()1 1nnmT rré ù= -ë mà cho ti đó chính là Aề ềnên ()()1 11 1nnm ArA mrré ù= =ë û+ .Bài toán cu tháng vào ngân hàng tri u, lãi su kép ấ%r (tháng ho năm). Sauặn (tháng ho năm) ti thu là tri u. tháng ho năm ượ là bao nhiêu?Ng ta ch ng minh tháng thu bài cho là: ườ ượ ượ ề1log 1rArnm+æ ö= +ç ÷è .Ch ng minh:ứÁp ng bài toán ta có ti thu là ượ()1 1nnmT rré ù= -ë mà cho ti đó chính là Aề ềnên ()()()11 log 11 1n nrnm Ar Ar ArA nr mr+æ öé ù= +ç ÷ë ûè ø+ -Nh trong tr ng này ta ng công th Bài toán đó có th dàngư ườ ễbi ra các công th bài toán 2, Bài toán 3.ế ở Tr ng ti nh kì tháng.ườ ầBài toán tháng vào ngân hàng tri u, lãi su kép ấ%r (tháng ho năm). iặ ỏsau (tháng ho năm) ti thu là bao nhiêu?ặ ượNg ta ch ng minh ti thu là: ườ ượ ượ()()1 1nnmT rré ù= +ë ûCh ng minh.ứTa xây ng ng sau:ự ảTháng thángầ Cu thángố1m ()1m r+2()1m m+ +()()21 1m r+ +3()()21 1m m+ +()()()3 21 1m r+ +… …n …()()1 ... 1nm r+ +V sau tháng ta ti n:ượ ề()()()()()()1 11 ... ... 1nn nnrT rr+ -é ù= +ë ûBài toán tháng vào ngân hàng tri u, lãi su kép ấ%r (tháng ho năm). Sauặn (tháng ho năm) ti thu là tri u. ti tháng ượ là bao nhiêu?Ng ta ch ng minh ti tháng là: ườ ượ ỗ()()1 1nArmr r=é ù+ -ë Ch ng minhứÁp ng bài toán 4. Ta có ti thu là: ượ()()1 1nnmT rré ù= +ë mà cho ti đó làề ềA nên ()()()()1 11 1nnm ArA mrr ré ù= =ë ûé ù+ -ë .Bài toán tháng vào ngân hàng tri u, lãi su kép ấ%r (tháng ho năm). Sauặn (tháng ho năm) ti thu là ượ tri u. tháng ho năm là bao nhiêu?Ng ta ch ng minh tháng thu bài cho là: ườ ượ ượ ề()1log 11rArnm r+é ù= +ê ú+ë .Ch ng minhứÁp ng bài toán 4. Ta có: ti thu là: ượ()()1 1nnmT rré ù= +ë mà cho ti đó làề ềA nên ()()()()()()1 111 1n nnm Ar ArA rr rr ré ù= +ë û+é ù+ -ë .()1log 11rArnm r+é ùÞ +ê ú+ë û.Nh trong tr ng này ta ng công th bài toán đó có th dàng bi nư ườ ếđ ra các công th bài toán 5, bài toán 6.ổ ở Tr ng vay và tr ti nh kì tháng.ườ ầBài toán Vay ngân hàng tri ng. tháng (năm) tr ngân hàng tri u, lãi su tệ ấkép %r (tháng ho năm). sau (tháng ho năm) ti còn là bao nhiêu?ặ ợNg ta ch ng minh ti còn là: ườ ượ ợ()()()1 11 1nnnrT rr+ -= Ch ng minh.ứTa xây ng ng sau:ự ảTháng thángầ Cu thángố1A m- ()()()()1 1A r- 2()()1 1A m+ ()()()2 21 1A r+ 3()()()2 21 1A m+ -()()()()3 21 1A r+ …n …()()()()21 ... 1n nA r+ +V sau tháng ta còn ti n:ậ ề()()()()()()()()()()21 ... ... 11 1n nnn nnnT rA rrA rr= +é ù= +ë û+ -= +Tr ng vay và tr nh kì cu tháng.ườ ốBài toán Vay ngân hàng tri ng. tháng (năm) tr ngân hàng tri u, lãi su tệ ấkép %r (tháng ho năm). sau (tháng ho năn) ti còn là bao nhiêu?ặ ợNg ta ch ng minh ti còn là: ườ ượ ợ()()()1 11 1nnnrT rr+ -= Ch ng minhứTa xây ng ng sau:ự ảTháng thángầ Cu thángố1A ()1A m+ 2()1A m+ ()()2 21 1A m+ 3()()21 1A m+ ()()()3 21 1A m+ …n …()()()11 ... 1n nA m-+ -V sau tháng ta còn ti n:ậ ề()()()()()()()()()111 ... ... 11 1n nnn nnnT mA rrA rr--= -é ù= +ë û+ -= +Sau đây cùng tìm hi cách áp ng các lý thuy vào các bài toán tính ti lãi, ti ph trể ảnh th nào ?ư ếBÀI ÁP NGẬ ỤBài 1:M ng mu ti ki ngân hàng và hi ng sau năm có 850 tri ng muaộ ườ ượ ểnhà. Bi ng lãi su ngân hàng tháng trong th đi hi là ạ0, 45% ng đó iỏ ườ ỗtháng ph vào ngân hàng thi bao nhiêu ti ti mua nhà? (Gi ti nả ềm tháng là nh nhau và lãi su trong năm là không thay i)ỗ ổA. 15,833 tri ngệ B. 16,833 tri ng.ệ ồC. 17,833 tri ng.ệ D. 18,833 tri ng.ệ ồGi i:ảGi ng này ti th đi nào đó, th đi này sau năm (48 tháng)ả ườ ểông mu có ti 850 tri u. Nh rõ ràng ta có th coi đây là bài toán ti nhố ịkì tháng.ầÁp ng bài toán ta có ti ph tháng là: ỗ()()1 1nArmr r=é ù+ -ë Theo đề: =48 tháng, 90, 45%2000r= Tiền thu được: 850 triệu đồng. thay vào:()()48850000000 0, 45%15, 8331 0, 45% 0, 45% 1m´= =é ù+ -ë Ch A.ọBài 2: Trích thi HK Chuyên ng Văn Ninh Bình.ề ươ ụM bà Vi Nam anh hùng ng ti là tri ng trên tháng (chuy vào tàiộ ượ ưở ểkho ngân hàng vào tháng). tháng năm 2016 không đi rút ti mà iả ạngân hàng và tính lãi su 1% trên tháng. tháng 12 năm 2016 rút toàn sượ ốti (g ti tháng 12 và ti đã tháng 1). khi đó lĩnh bao nhiêu ti ?ề ề(k qu làm tròn theo nghìn ng).ế ồA. 50 tri 730 nghìn ng.ệ B. 50 tri 740 nghìn ng.ệ ồC. 53 tri 760 nghìn ng.ệ D. 48 tri 480 nghìn ng.ệ ồGi i:ảTa có ng ti thu c, ban vào ng, tháng sau thêm aổ ượ ửđ ng (không i) vào tháng lãi su r% trong tháng:ồ ấ()()1 1naA rré ù= -ë Áp ng tri ng, ồ1%, 11r n= (t tháng cu tháng 12)???ừ ố()4000000(1 1%) 1% 4000000 50730012, 051%nAé ù= =ë Ch A.ọBài 3: Trích Minh năm 2017.ề ọÔng vay ng ngân hàng 100 tri ng, lãi su 12% trên năm. Ông mu hoàn choắ ợngân hàng theo cách sau: sau đúng tháng ngày vay, ông hoàn hai hoànộ ần liên ti cách nhau đúng tháng ti hoàn là nh nhau và tr ti nợ ợsau đúng ba tháng ngày vay. i, theo cách đó, ti mà ông ph tr cho ngân hàng làể ảbao nhiêu? Bi ng, lãi su ngân hàng không thay trong th gian ông hoàn .ế ợA. ()3100. 1, 013m= (tri ng).ệ B. ()()331, 011, 01 1m=- (tri ng).ệ ồC. 100.1, 033m= (tri ng).ệ D. ()()33120. 1,121,12 1m=- (tri ng).ệ ồGi i:ảLãi su 12%/năm ng ng 1%/tháng nên ươ ứ0, 01r= (do vay ng n)ắ ạS ti sau tháng là: ố(). 1T m+ ti sau tháng là:ố ố[][]()()2(1 (1 1T r+ ùë ti sau tháng là:ố ố()()3 21 0T ré ù+ =ë Do đó: ()()()()3 332 331 .1, 011, 01 11 1T rmr r+ += =-+ (tri ng).ệ ồCh B.ọBài 4: Ông mu kho ti 20.000.000đ vào ngày 2/3/2012 tài kho lãi su tố ấnăm là 6,05%. ông bao nhiêu ti trê tài kho này vào ngày 2/3/2007 tỏ ạđ tiêu ra?ượ ềA. 14.909.965,25 (đ ng).ồ B. 14.909.965,26 (đ ng).ồC. 14.909.955,25 (đ ng).ồ D. 14.909.865,25 (đ ng).ồGi i:ảG ọ0V là ng ban u, ng trong năm nên ta có:ượ ượ ượ ư()5020.000.000 0, 0605V= ()5020.000.000. 0, 0605 14.909.965, 25V-Þ đ.Ch A.ọBài 5: Ông Tu 9,8 tri ng ti ki lãi su 8,4%/năm và lãi su hàng năm cấ ượnh vào n. theo cách đó thì sau bao nhiêu năm ông Tu thu ng ti 20 tri uậ ượ ệđ ng (bi ng lãi su không thay i).ồ ổA. năm. B. năm. C. năm. D. 10 năm.Gi i:ảG là ti ban u. Sau năm ầ()nÎ¥ ti thu là:ố ượ()()1 0, 084 1, 084n nnP P= Áp ng ti bài cho ta c:ụ ượ