Bài 1: Cho một đường tròn (O) và một điểm M nằm ngoài (O). Tia MO cắt (O) tại A, B (A nằm giữa M và O. Chứng minh rằng:
a) MA là khoảng cách nhỏ nhất từ M tới các điểm của (O)
b) MB là khoảng cách lớn nhất từ M tới các điểm của (O)
Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AD = 2R; gọi I là trung điểm của OD. Qua I kẻ dây BC vuông góc với AD
a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều
b) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo R
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CH. Chứng minh rằng:
a) MD ⊥ BE
b) Bốn điểm M, N, D, E cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 4: Cho đường tròn (O; 5cm). Hai dây AB và CD song song với nhau. Tính khoảng cách giữa AB và CD biết AB = 6cm, CD = 8cm.
Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là giao điểm của đường trung tuyến CM với OA. Gọi G là trọng tâm của tam giác AMC. Chứng minh rằng:
a) OM ⊥ GH
b) OG ⊥ CM
Bài 6: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định trên đường tròn, B là một điểm di động trên đường tròn. Gọi M là một điểm trên AB sao cho 3AM = 2AB. Chứng minh rằng khi điểm B di động trên đường tròn (O) thì điểm M di động trên một đường tròn cố định.
Bài 7: Cho đường tròn (O) đường kính AB; C là điểm di động trên đường tròn; H là hình chiếu của C trên AB. Trên OC lấy điểm M sao cho OM = OH
a) Điểm M chạy trên đường nào?
b) Kéo dài BC một đoạn CD = CB. Điểm D chạy trên đường nào?
Đáp án và hướng dẫn giải
Bài 1:
Từ M kẻ cát tuyến bất kì cắt (O) tại A’, B’. Gọi bán kính của (O) là R.
a) Trong ΔMA’O có:
MO < OA’ + MA’ (Theo bất đẳng thức tam giác)
⇔ MA + AO < MA' + OA'
⇔ MA + R < MA' + R
⇔ MA < MA'
Do kẻ cát tuyến MA’B’ bất kì, mà MA < MA’ nên MA là khoảng cách nhỏ nhất từ M tới (O).
b) ΔOBB' cân tại O
Xét tam giác MBB’ có:
⇒ MB' < MB (góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại)
Do kẻ cát tuyến MA’B’ bất kì, mà MB’ < MB nên MB là khoảng cách lớn nhất từ M tới (O).
Bài 2:
a) Đường kính AD vuông góc với dây BC tại I nên I là trung điểm của dây BC
Tứ giác OBDC có:
I là trung điểm của BC và OD
OD ⊥ BC
⇒ Tứ giác OBDC là hình thoi
⇒ BD = OB = R
Mặt khác: do ΔABD có OA = OB = OD = R nên ΔABD vuông tại B.
ΔABD có cạnh góc vuông BD = 1/2 AD ⇒ góc BAD bằng 300
ΔABC có AI ⊥ BC và IB = IC ⇒ ΔABC cân tại A
⇒ AI cũng đồng thời là đường phân giác của góc A
ΔABC cân có một góc bằng 600
⇒ ΔABC đều
b) Trong ΔABD vuông tại D có:
Bài 3:
a) Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông
Trong tam giác AED vuông tại E có EM là trung tuyến
⇒ MB = ME = AB/2
Trong tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến
⇒ BD = DE = BC/2
⇒ MD là đường trung trực của BE, do đó MD ⊥ BE
b) Ta có DN là đường trung bình của tam giác BHC nên DN // BE
⇒ MD ⊥ DN, góc MDN bằng 900
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên CH⊥ AB
Do đó:
ΔMBE cân nên
ΔNCE cân nên
Từ (1), (2) và (3) suy ra
Ta có:
Hai tam giác vuông MDN và MEN chung cạnh huyền MN nên bốn điểm M, N, D, E cùng nằm trên một đường tròn có đường kính là MN
Bài 4:
Vẽ OH ⊥ AB; OK ⊥ CD
Do AB // CD nên 3 điểm H, O, K thẳng hàng
AH = 3cm; CK = 4 cm; R = 5 cm
Áp dụng định lí Pytago vào các tam giác vuông AHO, CKO ta được:
OH = 4 cm; OK = 3 cm
* Nếu O nằm giữa H và K thì HK = 7 cm
* Nếu O không nằm giữa H và K thì HK = 1 cm
Bài 5:
a) Gọi D là giao điểm của CG với AB, N là giao điểm của MG với AC
Ta có H là trọng tâm của tam giác ABC; G là trọng tâm của tam giác AMC
⇒ AB // GH
Mặt khác OM ⊥ AB (tính chất đường kính và dây cung)
⇒ OM ⊥ GH
b) Ta có: MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // BC
mà OA ⊥ BC nên OA ⊥ MN
Xét tam giác OMG có H là giao điểm của hai đường cao nên MH là đường cao thứ ba, do đó MH ⊥ OG hay OG ⊥ CM
Bài 6:
Gọi K là điểm trên bán kính OA sao cho 3AK = 2AO
Do A, O cố định nên K cố định
Xét ΔAMK và ΔABO có:
⇒ ΔAMK ~ ΔABO (c.g.c)
Do đó, M ∈ (K; 2/3R)
Bài 7:
a) Xét ΔOMB và ΔOHC có:
OM = OH
góc O chung
OB = OC
⇒ ΔOMB = ΔOHC (c.g.c)
Vậy M chạy trên đường tròn đường kính OB
b) Vì C ∈ (O) ⇒ góc ACB bằng 900 hay AC ⊥ DB
Mà CD = CB ⇒ Tam giác ADB có AC vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên ΔABD cân tại A
⇒ AD = AB = 2R
Vậy D chạy trên đường tròn (A; 2R)
Được cập nhật: 14 tháng 4 lúc 7:05:09 | Lượt xem: 584
