Bài 1: Chứng minh rằng nếu tất cả các cạnh của một tam giác nhỏ hơn 2 thì diện tích của tam giác nhỏ hơn √3 (đvdt)
Bài 2: Cho tam giác ABC, góc A bằng 600, đường phân giác AD. Chứng minh rằng:
Bài 3: Cho tam giác ABC có:
, AB = 4 cm; AC = 6 cm. Tính độ dài đường phân giác AD.
Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh hệ thức:
sinA = sinB.cosC + sinC.cosB
Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC, điểm D thuộc cạnh BC sao cho AD = BC. Chứng minh rằng sinA ≥ sinB.sinC
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A, AB = AC = 5 cm, góc A bằng 300. Trên tia đối của các tia AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM + AN = 6 cm. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác BCMN
Bài 7: Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm D, E, F. Biết rằng các đoạn thẳng AD, BE, CF không lớn hơn 1. Chứng minh rằng
Đáp án và hướng dẫn giải
Bài 1:
Giả sử góc C ̂là góc nhỏ nhất của tam giác ABC
Ta có:
Bài 2:
Ta có: SABC = SABD + SADC
Vậy
Bài 3:
Vì SABC = SABD + SACD nên:
Bài 4:
Vẽ đường cao AH, H nằm giữa B và C
Ta có:
Vậy sinB.cosC + sinC.cosB = sinA
Bài 5:
Vẽ AH vuông góc với BC
Gọi S là diện tích tam giác ABC
Xét các tam giác ABH và ACH vuông tại H, ta có:
AH = AB.sinB = AC.sinC
⇒ AH2 = AB.AC.sinB.sinC
Ta có: AD ≥ AH (dấu bằng xảy ra khi D ≡ H)
Do đó: BC ≥ AH ⇔ BC.AH ≥ AH2 = AB.AC.sinB.sinC (1)
Mặt khác, ta có:
BC.AH = 2S = 2.1/2 AB.AC.sinA (2)
Từ (1) và (2) ⇒ AB.AC.sinA ≥ AB.AC.sinB.sinC
Hay sinA ≥ sinB.sinC
Dấu bằng xảy ra khi D trùng với H.
Bài 6:
Ta có: BM + CN = AB + AC + AM + AN = 5 + 5 + 6 = 16 (cm)
Diện tích tứ giác BNMC là:
Dấu bằng xảy ra khi BM = CN ⇔ AN = AM = 3 cm
Bài 7:
Không mất tính tổng quát, giả sử
Xét ba trường hợp:
TH1: Tam giác ABC nhọn. Khi đó:
Vẽ các đường cao BH, CK
Ta có: BH ≤ BE ≤ 1; CK ≤ CF ≤ 1
TH2: Tam giác ABC tù, khi đó góc A lớn hơn 900 và α = 1800 - α < 900
Trong tam giác ABE, cạnh BE đối diện với góc tù nên là cạnh lớn nhất
Do đó: AB < BE ≤ 1
Tương tự: AC < CF ≤ 1
TH3: Tam giác ABC vuông
Khi đó góc A bằng 900 và
Được cập nhật: 15 tháng 4 lúc 18:46:27 | Lượt xem: 975
