Bài giảng Toán 11. Vector trong không gian

SỞ GIÁO DỤC  ĐÀO TẠO ĐĂKLĂK Giáo viên dạy giỏi cấp tỉnh – cấp THPT Bài 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTƠ PPCT: Tiết 33 Giáo viên: LÊ THỊ KIM UYÊN Đơn vị: Trường THPT Ngô Gia Tự Lớp 11A1 – Trường THPT Buôn Ma Thuột 1 04/02/21 15s Đ Ị N H H Ư Ớ NG T RỌ N G T ÂM Q U Y T Ắ C BA Đ I Ể M T R U N G ĐI Ể M C Ù N G P H Ư Ơ N G HÌ NH B Ì N H H À N H 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 B Đ Đ Đ Đ D Đ Đ ĐOẠN THẲNG B A tam A 2. Cho tam giác ABC và G là …….. của Cgiác. Ta có:    tắc nào?  thức  sau  đây 3. Đẳng thể hiện quy MA + MB + MC  = 3MG   + GB +làGC =của 0 và BB 4 .GA Cho M … đoạn thẳng AB. có: AC VECTƠ A Cho 3 điểm A,B,C bất kì. Ta có: ABTa ABC C D          5. Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là hai MA  MB  0 và IA  IB  2 IM , I tuỳ ý 1. Vectơ là đoạn thẳng…? vectơ 6. Theo dõi………? hoạt động, cho biết hoạt động đó thể hiện quy tắc nào? S S S S S S Vectơ, các phép toán vectơ trong không gian được định nghĩa hoàn toàn giống như trong mặt phẳng. 3 04/02/21 HĐ1.3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. a) Hãy kể tên  tất cả các vectơ bằng vectơ AB có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp. b) Thực hiện các phép toán sau:   AB  AD; D A B C A'    AB  AD  AA '     a) AB; DC ; A ' B '; D ' C '. B' D' C' b) ABCD là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có:    AB  AD  AC      AB  AD  AA '  AC  CC '      AB  AD  AA '  AC ' (1) Công thức (1) gọi là quy tắc hình hộp. 4 04/02/21 HĐ 1.4. Cho tứ diện ABCD với trọng tâm G. Chứng minh rằng:     AB  AC  AD  4 AG A B D C 5 04/02/21 Em hãy nêu các xác định trọng tâm của tứ diện ABCD. Cách 1: A Xác định các toạ độ trọng tâm A1 , B1 , C1 , D1 lần lượt của các mặt đối diện với A, B, C, D. Gọi đoạn nối đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện là trọng tuyến. Bốn trọng tuyến đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện. G B D A1 M C Tính chất: GA  3GA1 6 04/02/21 Em hãy nêu các cách xác định trọng tâm của tứ diện ABCD. Cách 2: A Lấy hai trung điểm H, K của hai đoạn BC và AD. Nối hai trung điểm, đoạn thẳng ấy gọi là trung đoạn. Ba trung đoạn đồng quy tại một điểm gọi là B trọng tâm của tứ diện. K G D H C Tính chất: GH  GK 7 04/02/21 HĐ 1.4. Cho tứ diện ABCD với trọng tâm G. Chứng minh rằng:     A AB  AC  AD  4 AG Giải. Gọi A1 là trọng tâm tam giác BCD. Theo quy tắc ba điểm, ta có:     G AB  AC  AD         AA1  A1B  AA1  A1C  AA1  A1D      B D  Theo bài toán trọng tâm,  ta có:      4 AA  AG A1B  A1C  A1D  0 và 1 3 A1 M C     Do đó AB  AC  AD  4 AG. 00:00 00:01 00:02 00:03 00:04 00:05 00:06 00:07 00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 00:13 00:14 00:15 00:16 00:17 00:18 00:19 00:20 00:21 00:22 00:23 00:24 00:25 00:26 00:27 00:28 00:29 00:30 00:31 00:32 00:33 00:34 00:35 00:36 00:37 00:38 00:39 00:40 00:41 00:42 00:43 00:44 00:45 00:46 00:47 00:48 00:49 00:50 00:51 00:52 00:53 00:54 00:55 00:56 00:57 00:58 00:59 01:00 01:01 01:02 01:03 01:04 01:05 01:06 01:07 01:08 01:09 01:10 01:11 01:12 01:13 01:14 01:15 01:16 01:17 01:18 01:19 01:20 01:21 01:22 01:23 01:24 01:25 01:26 01:27 01:28 01:29 01:30 01:31 01:32 01:33 01:34 01:35 01:36 01:37 01:38 01:39 01:40 01:41 01:42 01:43 01:44 01:45 01:46 01:47 01:48 01:49 01:50 01:51 01:52 01:53 01:54 01:55 01:56 01:57 01:58 01:59 02:00 02:01 02:02 02:03 02:04 02:05 02:06 02:07 02:08 02:09 02:10 02:11 02:12 02:13 02:14 02:15 02:16 02:17 02:18 02:19 02:20 02:21 02:22 02:23 02:24 02:25 02:26 02:27 02:28 02:29 02:30 02:31 02:32 02:33 02:34 02:35 02:36 02:37 02:38 02:39 02:40 02:41 02:42 02:43 02:44 02:45 02:46 02:47 02:48 02:49 02:50 02:51 02:52 02:53 02:54 02:55 02:56 02:57 02:58 02:59 03:00 03:01 03:02 03:03 03:04 03:05 03:06 03:07 03:08 03:09 03:10 03:11 03:12 03:13 03:14 03:15 03:16 03:17 03:18 03:19 03:20 03:21 03:22 03:23 03:24 03:25 03:26 03:27 03:28 03:29 03:30 03:31 03:32 03:33 03:34 03:35 03:36 03:37 03:38 03:39 03:40 03:41 03:42 03:43 03:44 03:45 03:46 03:47 03:48 03:49 03:50 03:51 03:52 03:53 03:54 03:55 03:56 03:57 03:58 03:59 04:00 04:01 04:02 04:03 04:04 04:05 04:06 04:07 04:08 04:09 04:10 04:11 04:12 04:13 04:14 04:15 04:16 04:17 04:18 04:19 04:20 04:21 04:22 04:23 04:24 04:25 04:26 04:27 04:28 04:29 04:30 04:31 04:32 04:33 04:34 04:35 04:36 04:37 04:38 04:39 04:40 04:41 04:42 04:43 04:44 04:45 04:46 04:47 04:48 04:49 04:50 04:51 04:52 04:53 04:54 04:55 04:56 04:57 04:58 04:59 05:00 8 04/02/21 Ví dụ 1. Chứng minh rằng điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau xảy ra:      A a) GA  GB  GC  GD  0  1     b) PG  PA  PB  PC  PD M 4   với mọi điểm P. Giải. G B Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Theo bài toán trung tuyến ta có:       GA  GB  2GM , GC  GD  2GN Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi       GM  GN  0 hay 2 GM  GN  0  D N C  Điều này tương đương với      GA  GB  GC  GD  0. 9 04/02/21 Ví dụ 1. Chứng minh rằng điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau xảy ra:      A a) GA  GB  GC  GD  0  1     M b) PG  PA  PB  PC  PD 4   với mọi điểm P. Giải. G B b) Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi      GA  GB  GC  GD  0 Điều này có nghĩa là với điểm P bất kì, ta có D N C           PA PG    PB  PG    PC  PG    PD  PG   0  1     hay PG  PA  PB  PC  PD . 4   10 04/02/21 1. Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta có:    AB  BC  AC ;    AB  AC  CB 2. Quy tắc hình bình hành:   Nếu ABCD là hình bình hành thì ta có: AB  AD  AC 3. Bài toán trung điểm: Nếu I là trung điểm đoạn thẳng AB thì IA  IB  0 4. Bài toán trọng tâm của tam giác: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì     GA  GB  GC  0 5. Quy tắc hình hộp. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó:     AB  AD  AA '  AC ' 6. Bài toán trọng tâm của tứ diện: G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi      GA  GB  GC  GD  0 HĐ 3.3. Cho tứ diện ABCD có AB = c, CD = c’, AC = b, BD = b’, BC = a, AD = a’.   1 2   1 2 2 2 a) Chứng minh rằng: CB.CD   a  c '  b '  và CB.CA   a  b 2  c 2  2 2    b) Tính góc giữa hai vectơ BC và DA theo a, b, c, a’, b’, c’. 2 2 a  a HĐ 3.3. Cho tứ diện ABCD có AB = c, CD = c’, AC = b, BD = b’, BC = a, AD = a’.   1 2   1 2 2 2 a) Chứng minh rằng: CB.CD   a  c '  b '  và CB.CA   a  b 2  c 2  2 2    b) Tính góc giữa hai vectơ BC và DA theo a, b, c, a’, b’, c’.    a) Ta có: CB  CD  DB . Do đó,   2 CB  2.CB.CD  CD 2  DB 2   1  CB.CD   CB 2  CD 2  DB 2  2 1   a 2  c '2  b ' 2  2   1 Tương tự, CB.CA   CB 2  CA2  AB 2  2 1   a 2  b2  c 2  2  1  2 HĐ 3.3. Cho tứ diện ABCD có AB = c, CD = c’, AC = b, BD = b’, BC = a, AD = a’.     1 2 1 2 2 2 a) Chứng minh rằng: CB.CD   a  c '  b '  và CB.CA   a  b 2  c 2  2 2   b) Tính góc giữa hai vectơ BC và DA theo a, b, c, a’, b’, c’.    Cho hai vectơ a và b đều khác 0. Hãy nêu cách xác định góc giữa hai vectơ đó. b B a O A Từ một điểm   O bất kì, ta vẽ các vectơ Khi đó,  a, b   AOB.   OA  a và   OB  b HĐ 3.3. Cho tứ diện ABCD có AB = c, CD = c’, AC = b, BD = b’, BC = a, AD = a’.     1 2 1 2 2 2 a) Chứng minh rằng: CB.CD   a  c '  b '  và CB.CA   a  b 2  c 2  2 2   b) Tính góc giữa hai vectơ BC và DA theo a, b, c, a’, b’, c’.    Cho hai vectơ a và b đều khác 0. Hãy nêu cách xác định góc giữa hai vectơ đó. Cách 2: Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ.      a.b  a . b .cos a, b   HĐ 3.3. Cho tứ diện ABCD có AB = c, CD = c’, AC = b, BD = b’, BC = a, AD = a’.   1 2   1 2 2 2 a) Chứng minh rằng: CB.CD   a  c '  b '  và CB.CA   a  b 2  c 2  2 2    b) Tính góc giữa hai vectơ BC và DA theo a, b, c, a’, b’, c’.     b) BC.DA  BC.DA.cos BC , DA (3)          mà BC.DA  BC. DC  CA  CB.CD  CB.CA     Từ (1), (2) và (3) ta được:   c 2  c '2  b 2  b '2 cos BC , DA  2aa '     Chú ý: Nếu b  c, b '  c ' thì cos BC , DA  0 hay   BC  DA.   HĐ1.1. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Chứng minh rằng đường thẳng IK và ED song song với mặt phẳng (AFC). IK / / AC ; ED / / FC Khi đó mp(AFC) chứa đường thẳng AF và song song với các đường thẳng IK và ED. Ta suy ra ba đường thẳng AF, IK và ED cùng song song với một mặt phẳng.    Khi đó ta nói ba vectơ AF , IK , ED đồng phẳng. 2. Sự đồng phẳng của các vectơ. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng Định nghĩa: Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. a  c B C  b A O          Nhận xét: Nếu ta vẽ OA  a, OB  b, OC  c thì ba vectơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi bốn điểm O, A, B, C nằm trên một mặt phẳng hay ba đường thẳng OA, OB, OC đồng phẳng. HĐ 3.1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các    cạnh AB, CD. Chứng minh rằng ba vectơ BC , AD, MN đồng phẳng. A A Gọi I là trung điểm của AC. M M I D B D B N C C N Khi đó, mp(MNI) chứa MN và song song với với các đường thẳng BC và AD. Ta suy ra ba đường thẳng BC, MN và AD cùng song song với mộtmặt phẳng. Khi đó ta    nói ba vectơ BC , AD, MN đồng phẳng. Từ định nghĩa ba vectơ đồng phẳng khi và sự khai triển một vectơ theo hai vectơ không cùng phương trong hình học phẳng ta có được định lí sau. Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng:      * Định lý 1: Cho ba vectơ a, b, c trong    đó a và bkhông cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba vectơ a, b, c đồng phẳng là có các số m, n sao cho    c  ma  nb .Hơn nữa các số m, n là duy nhất. Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng: Bài toán 2. Cho tứ diện ABCD. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. điểm P, Q lần lượt thuộc các đường thẳng  Lấycác   AB và BC sao cho PA  k PD, QC  kQD  k  1 Chứng minh rằng các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng. A P M Giải.   Để Từ chứng hệ thứcminh điểm ta được M, N, P,Q cùng thuộc PA các k PD       MN  mMP  nMQ. một mặtMA phẳng diễn  MPta biểu k MD  MP      MA  k MD B hay MP  D 1  k   N  MB  k MC Q Tương tự, MQ  C 1 k     MA  MB  k MC  MD   2k  Khi đó, MP  MQ   MN 1 k k 1     Vậy các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng. Định lí 1 nói đến điều kiện để biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương. Định lí dưới đây sẽ nói về biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng.  * Định lý 2: Nếu a, b, c là ba vectơ không đồng phẳng thì với mỗi vectơ d     ta tìm được các số m, n, p sao cho d  ma  nb  pc . Hơn nữa các số m, n, p là duy nhất.          Bài tập. Cho lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh 4. Đặt AB  a, AD  b, AA '  c. AM  A ' N  x Gọi M, . Hãy   N theo thứ tự trên   AC  và A’B sao cho biểu thị vectơ qua cáca,vectơ MN b, c. C B Ta có:    a MN  MA  AN N    A x  AC  AA '  A ' N 4 2 x   x    AC  AA '  A ' A  AB c 4 2 4 2   x    x B'  ab c c  a 4 2 4 2 x   x   b  1   c. 4 2  4 2       b D   A' 00:00 00:01 00:02 00:03 00:04 00:05 00:06 00:07 00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 00:13 00:14 00:15 00:16 00:17 00:18 00:19 00:20 00:21 00:22 00:23 00:24 00:25 00:26 00:27 00:28 00:29 00:30 00:31 00:32 00:33 00:34 00:35 00:36 00:37 00:38 00:39 00:40 00:41 00:42 00:43 00:44 00:45 00:46 00:47 00:48 00:49 00:50 00:51 00:52 00:53 00:54 00:55 00:56 00:57 00:58 00:59 01:00 01:01 01:02 01:03 01:04 01:05 01:06 01:07 01:08 01:09 01:10 01:11 01:12 01:13 01:14 01:15 01:16 01:17 01:18 01:19 01:20 01:21 01:22 01:23 01:24 01:25 01:26 01:27 01:28 01:29 01:30 01:31 01:32 01:33 01:34 01:35 01:36 01:37 01:38 01:39 01:40 01:41 01:42 01:43 01:44 01:45 01:46 01:47 01:48 01:49 01:50 01:51 01:52 01:53 01:54 01:55 01:56 01:57 01:58 01:59 02:00 02:01 02:02 02:03 02:04 02:05 02:06 02:07 02:08 02:09 02:10 02:11 02:12 02:13 02:14 02:15 02:16 02:17 02:18 02:19 02:20 02:21 02:22 02:23 02:24 02:25 02:26 02:27 02:28 02:29 02:30 02:31 02:32 02:33 02:34 02:35 02:36 02:37 02:38 02:39 02:40 02:41 02:42 02:43 02:44 02:45 02:46 02:47 02:48 02:49 02:50 02:51 02:52 02:53 02:54 02:55 02:56 02:57 02:58 02:59 03:00 03:01 03:02 03:03 03:04 03:05 03:06 03:07 03:08 03:09 03:10 03:11 03:12 03:13 03:14 03:15 03:16 03:17 03:18 03:19 03:20 03:21 03:22 03:23 03:24 03:25 03:26 03:27 03:28 03:29 03:30 03:31 03:32 03:33 03:34 03:35 03:36 03:37 03:38 03:39 03:40 03:41 03:42 03:43 03:44 03:45 03:46 03:47 03:48 03:49 03:50 03:51 03:52 03:53 03:54 03:55 03:56 03:57 03:58 03:59 04:00 04:01 04:02 04:03 04:04 04:05 04:06 04:07 04:08 04:09 04:10 04:11 04:12 04:13 04:14 04:15 04:16 04:17 04:18 04:19 04:20 04:21 04:22 04:23 04:24 04:25 04:26 04:27 04:28 04:29 04:30 04:31 04:32 04:33 04:34 04:35 04:36 04:37 04:38 04:39 04:40 04:41 04:42 04:43 04:44 04:45 04:46 04:47 04:48 04:49 04:50 04:51 04:52 04:53 04:54 04:55 04:56 04:57 04:58 04:59 05:00 M C' D' Bài toán. Bên trong phòng khách một căn nhà có dạng hình lập phương, được ký hiệu ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 4(m). Người ta tiến hành trang trí ngôi nhà bằng cách gắn các dây lụa tại điểm M và N theo thứ tự trên AC và A’B sao cho . Biết rằng chủ nhà muốn trang trí bằng dây lụa nhập khẩu giá 500.000 nghìn đồng 1m. Hỏi phải trang trí bằng cách nào cho đỡ tốn chi phí nhất? Giải.    Ta có: MN   x b  1  x  c   4 2  4 2 Do đó, 2 2  2   2 x 2 x x x     MN 2  . b  1  b . c  1  . c   32 4  4 2   4 2 2 C B a A M  x 2  4 2 x  16.  MN  x  2 2 2 N b D  2 8 8 Vậy để chi phí ít nhất thì MN  2 2m Chi phí phải mua là 2 2  500.000  1.414.214 đồng. c C' B' A' x2 x    .16  1  .16  32  4 2 D' HĐ3.1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Xét các điểm M và N lần lượt thuộc     các đường thẳng A’C và C’D sao cho MA '  3MC , NC '   ND. Đặt       BA  a, BB '  b, BC  c.      a) Hãy biểu thị các vectơ BM và BN qua các vectơ a, b, c. b) Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng BD’.       a) MA '  3MC  MB  BA '  3  MB  BC       4MB   BA  BB '  3BC  1  1  3   BM  a  b  c 4 4 4       Tương tự, BN  1 a  1 b  c 2 2      b) MN  BN  BM  1 a  1 b  1 c 4 4     4 và BD '  a  b  c   Do đó, BD '  4 MN . Vậy đường thẳng MN song song với đường thẳng BD’.