Bài giảng Toán 10 - Các phép toán trên tập hợp

1. Tổng của hai vectơ:  F 1. Tổng của hai vectơ: Định nghĩa: (Xem SGK) B  a  a  b A  b   ab      a  b  AB  BC  AC     AB  BC  AC C 2. Quy tắc hình bình hành:    Nếu ABCD là hình bình hành thì AB  AD  AC. B A C D      AB  AD  AB  BC  AC 3. Tính chất của phép cộng các vectơ: B  a  b   ab   ba  a A  b C E      a  b  AB  BC  AC      b  a  AE  EC  AC 3. Tính chất của phép cộng các vectơ: B  a   ab   ba A  b  b   bc  a C  c D E          a  b  c  ( AB  BC )  CD  AC  CD  AD          a  b  c  AB  ( BC  CD )  AB  BD  AD     3. Tính chất của phép cộng các vectơ:    Với ba vectơ a, b, c tùy ý ta có     a  b  b  a ( tính chất giao hoán)       a  b  c  a  b  c ( tính chất kết hợp)      a  0  0  a  a ( tính chất của vectơ - không)     4. Hiệu của hai vectơ: 4. Hiệu của hai vectơ: a) Vectơ đối: Hai vectơ đối nhau nếu chúng có cùng độ dài và ngược hướng. B A     a và b đối nhau, ta viết: a =  b   Ví dụ 1: AB   BA   MP   NB   NP   AM   PA   PC D C A M P B N C      Bài tập a: Chứng minh rằng AB  BC  0  AB   BC Giải:        AB  BC  0  AC  0  A  C  AB   BC     AB   BC  AB  CB      AB  BC  CB  BC        AB  BC  CC  AB  BC  0  Ghi nhớ: Hai vec tơ đối nhau có tổng bằng 0 và ngược lại. 4. Hiệu của hai vectơ: b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ: (Xem SGK) B  a  b A   ab  a  b O        a  b  a  b  OA  AB  OB       OB  OA  AB Chú ý: Với ba điểm A, B, C tùy ý ta luôn có:    AB  BC  AC    AB  AC  CB (quy tắc ba điểm) (quy tắc trừ)     Ví dụ 2: Cho A, B, C, D bất kỳ. Chứng minh AB  CD  AD  CB Giải: Lấy O tùy ý       VT  AB  CD  OB  OA  OD  OC        OD  OA  OB  OC  AD  CB  VP       Cách 2: VT  AB  CD  AD  DB  CB  BD      AD  CB  DB  BD     AD  CB  0  VP                 5. Áp dụng:    a) I là trung điểm của AB  IA  IB  0     b) G là trọng tâm của ΔABC  GA  GB  GC  0 Chứng minh:      a) I là trung điểm của AB  IA   IB  IA  IB  0 b) Gọi I là trung điểm BC. G là trọng tâm ΔABC nên GA=2GI. Lấy D đối xứng với G qua I. Khi đó, GADC là hình bình hành và G là trung điểm AD.        GB GD và GA  GD  0   GC     GA  GB  GC   0   Ngược lai, nếu GA  GB  GC  0 thì ta cũng dựng được hình như bên và suy ra G là trọng tâm ΔABC. I A B A G B C I D Bài 1/12:  Cho đoạn M nằm giữa AB sao cho MA>MB. Vẽ và   AB các vectơ MA  MBvà MA  MB. Giải:   Lấy N trên AB sao cho AN  MB. N M A B Vì MA>MB nên N nằm giữa AM. Ta có:      MA  MB  MA  AN  MN M    A B MA  MB  BA Bài 2/12: Cho hình bình hành và  ABCD    một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: MA  MC  MB  MD. Giải:   Cách 1: ABCD là hbh nên BA   DC B       VT  MA  MC  MB  BA  MD  DC      MB  MD  BA  DC A    D  MB  MD  0 VP Cách 2: ABCD là hbh nên BC   DA     MA  MC  MB  MD      MA  MD  MC  MB     DA  BC  0      MA  MC  MB  MD.             C Bài 3/12: Chứng minh rằng với tứ giác ABCD bất kỳ la luôn có:          a) AB  BC  CD  DA  0 b) AB  AD  CB  CD Giải:     a) VT= AB  BC  CD  DA    = AC  CA =0  VP        b) VT= AB  AD  DB b) AB  AD  CB  CD      VP=CB  CD  DB       VP=VT     = DB  DB  0      AB  AD  CB  CD Bài 4/12: Cho ΔABC. Bên ngoài tam giác vẽ các  hình  bình  hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng: RJ  IQ  PS  0. Giải:    Ta có: RJ  RA  AJ    IQ  IB  BQ    PS  PC  CS R J A S I B C mà ABIJ, BCPQ, CARS là các hình bình hành nên Q       RA  CS ; AJ   IB; BQ   PC           RJ  IQ  PS  RA  AJ  IB  BQ  PC  CS         RA  CS  AJ  IB  BQ  PC =0       P Bài 5/12: Cho ΔABC đều cạnh a. Tính độ dài các vectơ     AB  BC và AB  BC Giải: A    *) Ta có: AB  BC  AC    AB  BC = AC nên I a  AC  a E B **) Lấy E đối xứng với C qua B, I là trung điểm AE. a 3  AE  a 3 ΔABI là nửa tam giác đều cạnh a nên AI      2  CB Ta có: AB  BC  AB     AB  BE  AE    AB  BC = AE  AE  a 3 nên C Bài 6/12: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:       b) AB  BC  DB a ) CO  OB  BA         c) DA  DB  OD  OC d ) DA  DB  DC  0. Giải:   B a) Ta có: CO  OA      O  OA  OB  BA OB nên CO b) Ta có: BC  AD A      D nên AB  BC  AB  AD  DB   c) Ta có: BA  CD           và DA  DB  BA; OD  OC  CD nên DA  DB  OD  OC.         d) Ta có: BA   DC nên DA  DB  DC  BA  DC  0. C   Bài 8/12: So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a, b nếu:   ab  0 Giải:      ab  0  ab  0    a  b    a, b cùng độ dài và ngược hướng.    Bài 7/12: Cho hai vectơ a, b khác vectơ 0. Khi nào có đẳng thức:         b) a  b  a  b a) a  b  a  b Giải:     Dựng AB  a và BC  b a) Ta có:        a  b  AB  BC  AC  a  b  AC   và a  b  AB  BC     a  b  a  b  AB  BC  AC B  a  a  b A Suy ra A,B, C thẳng hàng, B nằm giữa A,C.   Suy ra a, b cùng phương. C   ab A  a  b B  b C    Bài 7/12: Cho hai vectơ a, b khác vectơ 0. Khi nào có đẳng thức:         b) a  b  a  b a) a  b  a  b Giải:     Dựng OA  a và OB  b , lấy C để OACB là hbh b) Ta có:        a  b  OA  OB  OC  a  b  OC        và a  b  OA  OB  BA  a  b  AB     a  b  a  b  AB  OC A  a  a   a b O  b   ab C  b B   Suy ra OABC là hình chữ nhật. Suy ra giá của a, b vuông góc với nhau.   *) Nếu a, b cùng phương thì đẳng thức trên không xảy ra.