Bài 53 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các bất phương trình
LG a
-5x2 + 4x + 12 < 0
Phương pháp giải:
Xét dấu vế trái, từ đó suy ra tập nghiệm của bpt.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\( - 5{x^2} + 4x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - {6 \over 5} \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right.\)
Có a = -5 < 0 nên:
Bảng xét dấu:
Do đó, -5x2 + 4x + 12 < 0 khi
\(\left[ \begin{array}{l}
x < - \frac{6}{5}\\
x > 2
\end{array} \right.\)
Tập nghiệm của bất phương trình \(S = ( - \infty , - {6 \over 5}) \cup (2, + \infty )\)
LG b
16x2 + 40x +25 < 0
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(16{x^2} + 40x + 25 = 0 \) \(\Leftrightarrow x = - {5 \over 4}\) (nghiệm kép)
\(\eqalign{
& a = 16 > 0 \cr
& \Delta ' = 200 - 16.25 = 0 \cr
& \Rightarrow 16{x^2} + 40x + 25 \ge 0\,\,\forall x \in R \cr} \)
Nên không có giá trị nào của x để 16x2 + 40x +25 < 0.
Vậy S = Ø.
Cách khác:
\(16{x^2} + 40x + 25\) \( = {\left( {4x} \right)^2} + 2.\left( {4x} \right).5 + {5^2} \) \( = {\left( {4x + 5} \right)^2} \ge 0,\forall x\)
Nên không có giá trị nào của x để 16x2 + 40x +25 < 0.
Vậy S = Ø.
LG c
3x2 - 4x + 4 ≥ 0
Lời giải chi tiết:
Ta có:
a = 3
Δ’ = 4 – 12 = -8 < 0
⇒ 3x2 - 4x + 4 > 0 ∀x ∈ R
Nên với mọi x ta đều có 3x2 - 4x + 4 ≥ 0.
Vậy S = R
LG d
x2 - x - 6 ≤ 0
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\({x^2} - x - 6 = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 3 \hfill \cr
x = - 2 \hfill \cr} \right.\)
Có a = 1 > 0 nên bảng xét dấu:
Do đó, \({x^2} - x - 6 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 3\) nên tập nghiệm S = [-2, 3]
Bài 54 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các bất phương trình sau:
LG a
\({{{x^2} - 9x + 14} \over {{x^2} - 5x + 4}} > 0\)
Phương pháp giải:
Tìm nghiệm và lập bảng xét dấu các tam thức bậc hai vế trái.
Từ đó suy ra tập nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& {x^2} - 9x + 14 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
x = 7 \hfill \cr} \right. \cr
& {x^2} - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = 4 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Bảng xét dấu:
Vậy \(S = (-∞, 1) ∪ (2, 4) ∪ (7, +∞)\)
LG b
\({{ - 2{x^2} + 7x + 7} \over {{x^2} - 3x - 10}} \le - 1\)
Phương pháp giải:
Biến đổi bpt làm xuất hiện các tam thức bậc hai.
Xét dấu suy ra tập nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& {{ - 2{x^2} + 7x + 7} \over {{x^2} - 3x - 10}} \le - 1\cr& \Leftrightarrow {{ - 2{x^2} + 7x + 7} \over {{x^2} - 3x - 10}} + 1 \le 0 \cr &\Leftrightarrow \frac{{ - 2{x^2} + 7x + 7 + {x^2} - 3x - 10}}{{{x^2} - 3x - 10}} \le 0\cr &\Leftrightarrow {{ - {x^2} + 4x - 3} \over {{x^2} - 3x - 10}} \le 0 \cr} \)
Ta lại có:
\(\eqalign{
& - {x^2} + 4x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = 3 \hfill \cr} \right. \cr
& {x^2} - 3x - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 5 \hfill \cr
x = - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Bảng xét dấu:
Vậy \(S = (-∞, -2) ∪ [1, 3] ∪ (5, +∞)\)
LG c
(2x + 1)(x2 + x – 30) ≥ 0
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}\\
{x^2} + x - 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 5\\
x = - 6
\end{array} \right.
\end{array}\)
Bảng xét dấu:
Vậy \(S = {\rm{[}} - 6,\, - {1 \over 2}{\rm{]}} \cup {\rm{[}}5,\, + \infty )\)
LG d
x4 – 3x2 ≤ 0
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& {x^4} - 3{x^2} \le 0 \Leftrightarrow {x^2}({x^2} - 3) \le 0 \cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x^2 = 0 \hfill \cr
{x^2} - 3 \le 0 (do\,{x^2} \ge 0,\forall x) \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\- \sqrt 3 \le x \le \sqrt 3 \end{array} \right.\cr & \Leftrightarrow - \sqrt 3 \le x \le \sqrt 3 \cr} \)
Vậy \(S = {\rm{[}} - \sqrt 3 ,\,\sqrt 3 {\rm{]}}\)
Bài 55 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau đây có nghiệm.
LG a.
(m-5)x2 - 4mx + m – 2 = 0 (1)
Phương pháp giải:
Xét các trường hợp a = 0 và a \(\ne \) 0.
Trường hợp a \(\ne \) 0 thì pt bậc hai có nghiệm khi \(\Delta \ge 0\).
Lời giải chi tiết:
+ Với m = 5 thì (1) trở thành \( - 20x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = {3 \over {20}}\)
+ Với m ≠ 5 thì (1) có nghiệm
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \Delta ' = 4{m^2} - (m - 5)(m - 2) \ge 0 \cr
&\Leftrightarrow 4{m^2} - \left( {{m^2} - 7m + 10} \right) \ge 0\cr & \Leftrightarrow 3{m^2} + 7m - 10 \ge 0 \cr} \)
Xét dấu Δ’
Ta có:
\(\Delta ' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = 1 \hfill \cr
m = - {{10} \over 3} \hfill \cr} \right.\)
Do đó \(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{m \le - {{10} \over 3} \hfill \cr m \ge 1 \hfill \cr} \right.\).
Kết hợp với trường hợp 1 ta được \( \left[ \matrix{m \le - {{10} \over 3} \hfill \cr m \ge 1 \hfill \cr} \right.\)
LG b.
(m+1)x2 + 2(m-1)x + 2m – 3 = 0 (2)
Lời giải chi tiết:
+ Với m = -1 thì phương trình (2) trở thành: \( - 4x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = - {5 \over 4}\)
+ Với m ≠ -1 thì phương trình (2) có nghiệm
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \Delta ' = {(m - 1)^2} - (m + 1)(2m - 3) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 - \left( {2{m^2} - m - 3} \right) \ge 0\cr &\Leftrightarrow - {m^2} - m + 4 \ge 0 \cr} \)
Xét dấu Δ’
(2) có nghiệm \( \Leftrightarrow {{ - 1 - \sqrt {17} } \over 2} \le m \le {{ - 1 + \sqrt {17} } \over 2}\).
Kết hợp với TH1 ta được \( \Leftrightarrow {{ - 1 - \sqrt {17} } \over 2} \le m \le {{ - 1 + \sqrt {17} } \over 2}\).
Bài 56 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các hệ bất phương trình
LG a.
\(\left\{ \matrix{
2{x^2} + 9x + 7 > 0 \hfill \cr
{x^2} + x - 6 < 0 \hfill \cr} \right.\)
Phương pháp giải:
Giải từng bpt có trong hệ và kết hợp nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& 2{x^2} + 9x + 7 > 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x < - {7 \over 2} \hfill \cr
x > - 1 \hfill \cr} \right. \cr
& {x^2} + x - 6 < 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 2 \cr} \)
Do đó
\(\left\{ \matrix{
2{x^2} + 9x + 7 > 0 \hfill \cr
{x^2} + x - 6 < 0 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x < - {7 \over 2} \hfill \cr
x > - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
- 3 < x < 2 \hfill \cr} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x < - \frac{7}{2}\\
- 3 < x < 2
\end{array} \right.\left( {VN} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
x > - 1\\
- 3 < x < 2
\end{array} \right.
\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow - 1 < x < 2\)
Vậy tập nghiệm của hệ là \(S = (-1, 2)\)
LG b.
\(\left\{ \matrix{
4{x^2} - 5x - 6 \le 0 \hfill \cr
- 4{x^2} + 12x - 5 < 0 \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\left\{ \matrix{
4{x^2} - 5x - 6 \le 0 \hfill \cr
- 4{x^2} + 12x - 5 < 0 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- {3 \over 4} \le x \le 2 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x < {1 \over 2} \hfill \cr
x > {5 \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow - {3 \over 4} \le x < {1 \over 2}\)
Vậy tập nghiệm của hệ là \(S = {\rm{[}} - {3 \over 4};{1 \over 2}{\rm{]}}\)
LG c.
\(\left\{ \matrix{
- 2{x^2} - 5x + 4 \le 0 \hfill \cr
- {x^2} - 3x + 10 \ge 0 \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
- 2{x^2} - 5x + 4 \le 0 \hfill \cr
- {x^2} - 3x + 10 \ge 0 \hfill \cr} \right.\cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2{x^2} + 5x - 4 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} + 3x - 10 \le 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le {{ - 5 - \sqrt {57} } \over 4} \hfill \cr
x \ge {{ - 5 + \sqrt {57} } \over 4} \hfill \cr} \right. \hfill \cr
- 5 \le x \le 2 \hfill \cr} \right.\cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{
- 5 \le x \le {{ - 5 - \sqrt {57} } \over 4} \hfill \cr
{{ - 5 + \sqrt {57} } \over 4} \le x \le 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(S = {\rm{[}} - 5,{{ - 5 - \sqrt {57} } \over 4}{\rm{]}} \cup {\rm{[}}{{ - 5 + \sqrt {57} } \over 4};2{\rm{]}}\)
LG d.
\(\left\{ \matrix{
2{x^2} + x - 6 > 0 \hfill \cr
3{x^2} - 10x + 3 > 0 \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\left\{ \matrix{
2{x^2} + x - 6 > 0 \hfill \cr
3{x^2} - 10x + 3 > 0 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x < - 2 \hfill \cr
x > {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left[ \matrix{
x < {1 \over 3} \hfill \cr
x > 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x < - 2 \hfill \cr
x > 3 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(S = ( - \infty , - 2) \cup (3, + \infty )\)
Bài 57 trang 136 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm:
x2 + (m - 2)x - 2m + 3 = 0
Phương pháp giải
Phương trình bậc hai có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta \ge 0\)
Lời giải chi tiết
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
Δ = (m – 2)2 – 4(-2m + 3) ≥ 0 \(\Leftrightarrow {m^2} - 4m + 4 + 8m - 12 \ge 0\)
⇔ m2 + 4m – 8 ≥ 0
Xét dấu Δ:
Ta thấy:
\(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m \le - 2 - 2\sqrt 3 \hfill \cr
m \ge - 2 + 2\sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)
Vậy pt có nghiệm khi \(m \le - 2 - 2\sqrt 3\) hoặc \(m \ge - 2 + 2\sqrt 3\).
Bài 58 trang 136 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm dù m lấy bất kỳ giá trị nào.
LG a.
x2 - 2(m + 1)x + 2m2 + m + 3 = 0
Phương pháp giải:
Phương trình bậc hai vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta < 0\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Δ’ = (m + 1)2 – (2m2 + m + 3) \( = {m^2} + 2m + 1 - 2{m^2} - m - 3\)
= -m2 + m – 2
*Xét tam thức f(m) = - m2 + m- 2
Có Δm = 12 - 4.(-1).(-2) = -7 < 0 và hệ số a = -1 < 0
=> f(m) < 0 với mọi m hay \(\Delta ' < 0,\forall m\).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm với mọi m.
LG b.
(m2 + 1)x2 + 2(m + 2)x + 6 = 0
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(m^2+1>0\) và
Δ’ = (m + 2)2 – 6(m2 + 1) \( = {m^2} + 4m + 4 - 6{m^2} - 6\)
= -5m2 + 4m – 2
Xét f(m)= -5m2 + 4m – 2 có:
Δ'm = 22 - (-5).(-2) = -6 < với mọi m
f(m) có hệ số a = -5 < 0
=> f(m)= -5m2 + 4m – 2 < 0 với mọi m hay \(\Delta < 0,\forall m\)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm với mọi m.
Bài 59 trang 136 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm m để bất phương trình sau:
(m – 1)x2 – 2(m + 1)x + 3(m – 2) > 0
nghiệm đúng với mọi x ∈ R
Phương pháp giải
Chia thành hai trường hợp a=0 và a \(\ne 0\)
TH a\(\ne 0\) thì sử dụng lý thuyết tam thức bậc hai
\(f\left( x \right) > 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\Delta < 0
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
+ Với m = 1, ta có: -4x – 3 > 0
Không nghiệm đúng với mọi x ∈ R
+ Với m ≠ 1, ta đặt \(f\left( x \right) = \left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3\left( {m - 2} \right)\)
BPT đã cho nghiệm đúng với mọi x \( \Leftrightarrow f\left( x \right) > 0,\forall x\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a > 0 \hfill \cr
\Delta '< 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m - 1 > 0 \hfill \cr
\Delta ' = {(m + 1)^2} - 3(m - 2)(m - 1) < 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{m^2} + 2m + 1 - 3\left( {{m^2} - 3m + 2} \right) < 0\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{m > 1 \hfill \cr - 2{m^2} + 11m - 5 < 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{m > 1 \hfill \cr \left[ \matrix{m < {1 \over 2} \hfill \cr m > 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m > 1\\
m < \frac{1}{2}
\end{array} \right.\left( {VN} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
m > 1\\
m > 5
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 5\)
Vậy với m > 5 thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ∈ R
Bài 60 trang 136 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các bất phương trình sau:
LG a.
\({{{x^4} - {x^2}} \over {{x^2} + 5x + 6}} \le 0\)
Phương pháp giải:
Lập bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của bpt.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\({{{x^4} - {x^2}} \over {{x^2} + 5x + 6}} \le 0 \) \(\Leftrightarrow {{{x^2}({x^2} - 1)} \over {{x^2} + 5x + 6}} \le 0\)
\(\begin{array}{l}
{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\\
{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\\
{x^2} + 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 2\\
x = - 3
\end{array} \right.
\end{array}\)
Bảng xét dấu:
Vậy \(S = (-3, -2) ∪ [-1, 1]\)
LG b.
\({1 \over {{x^2} - 5x + 4}} < {1 \over {{x^2} - 7x + 10}}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& {1 \over {{x^2} - 5x + 4}} < {1 \over {{x^2} - 7x + 10}} \cr&\Leftrightarrow {1 \over {{x^2} - 5x + 4}} - {1 \over {{x^2} - 7x + 10}} < 0 \cr
& \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 7x + 10 - \left( {{x^2} - 5x + 4} \right)}}{{\left( {{x^2} - 5x + 4} \right)\left( {{x^2} - 7x + 10} \right)}} < 0\cr &\Leftrightarrow {{ - 2x + 6} \over {({x^2} - 5x + 4)({x^2} - 7x + 10)}} < 0 \cr} \)
Xét dấu vế trái:
Vậy \(S = (1, 2) ∪ (3, 4) ∪ (5, +∞)\).
Bài 61 trang 136 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
LG a.
\(y = \sqrt {(2x + 5)(1 - 2x)} \)
Phương pháp giải:
Biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định khi \(f(x)\) xác định và \(f(x)\ge 0\).
Lời giải chi tiết:
Hàm số đã cho xác định
\(⇔ (2x + 5)(1 – 2x) ≥ 0\)
\( \Leftrightarrow - {5 \over 2} \le x \le {1 \over 2}\)
Vậy tập xác định \(D = {\rm{[}} - {5 \over 2},{1 \over 2}{\rm{]}}\)
LG b.
\(y = \sqrt {{{{x^2} + 5x + 4} \over {2{x^2} + 3x + 1}}} \)
Lời giải chi tiết:
Hàm số đã cho xác định:
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {{{x^2} + 5x + 4} \over {2{x^2} + 3x + 1}} \ge 0\cr & \Leftrightarrow {{(x + 1)(x + 4)} \over {(x + 1)(2x + 1)}} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ne - 1 \hfill \cr
{{x + 4} \over {2x + 1}} \ge 0 \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ne - 1 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x \le - 4 \hfill \cr
x > - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le - 4 \hfill \cr
x > - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = ( - \infty , - 4{\rm{]}} \cup ( - {1 \over 2}, + \infty )\)
Bài 62 trang 136 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các hệ bất phương trình
LG a.
\(\left\{ \matrix{
4x - 3 < 3x + 4 \hfill \cr
{x^2} - 7x + 10 \le 0 \hfill \cr} \right.\)
Phương pháp giải:
Giải từng bpt trong hệ và kết luận nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
4x - 3 < 3x + 4 \hfill \cr
{x^2} - 7x + 10 \le 0 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x < 7 \hfill \cr
2 \le x \le 5 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow 2 \le x \le 5\)
Vậy \(S = [2, 5]\)
LG b.
\(\left\{ \matrix{
2{x^2} + 9x - 7 > 0 \hfill \cr
{x^2} + x - 6 \le 0 \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2{x^2} + 9x - 7 > 0 \hfill \cr
{x^2} + x - 6 \le 0 \hfill \cr} \right.\cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x < {{ - 9 - \sqrt {137} } \over 4} \hfill \cr
x > {{ - 9 + \sqrt {137} } \over 4} \hfill \cr} \right. \hfill \cr
- 3 \le x \le 2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow {{ - 9 + \sqrt {137} } \over 4} < x \le 2 \cr} \)
Vậy \(S = ({{ - 9 + \sqrt {137} } \over 4};2{\rm{]}}\)
LG c.
\(\left\{ \matrix{
{x^2} - 9 < 0 \hfill \cr
(x - 1)(3{x^2} + 7x + 4) \ge 0 \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\({x^2} - 9 < 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 3\).
Bài 63 trang 136 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm các giá trị của a sao cho với mọi x, ta luôn có:
\( - 1 \le {{{x^2} + 5x + a} \over {2{x^2} - 3x + 2}} < 7\)
Phương pháp giải
Tam thức bậc hai
\(a{x^2} + bx + c \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\Delta \le 0
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
Vì 2x2 – 3x + 3 > 0 ∀x ∈ R
(do a = 3 > 0; Δ = -15 < 0)
Nên:
\(\eqalign{
& - 1 \le {{{x^2} + 5x + a} \over {2{x^2} - 3x + 2}} < 7 \cr&\Leftrightarrow - 2{x^2} + 3x - 2 \le {x^2} + 5x + a \cr& <7(2{x^2} - 3x + 2) \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}- 2{x^2} + 3x - 2 \le {x^2} + 5x + a\\{x^2} + 5x + a < 14{x^2} - 21x + 14\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{3{x^2} + 2x + a + 2 \ge 0\,\,(1) \hfill \cr 13{x^2} - 26x - a + 14 > 0\,\,(2) \hfill \cr} \right.\cr} \)
BPT đã cho nghiệm đúng với mọi x \(\Leftrightarrow\) hệ trên nghiệm đúng với mọi x
\(\Leftrightarrow\) các bpt (1) và (2) nghiệm đúng với mọi x.
\(VT\left( 1 \right) = 3{x^2} + 2x + a + 2 \ge 0,\forall x\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 > 0\\
{\Delta _{\left( 1 \right)}}' = 1 - 3\left( {a + 2} \right) \le 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow - 5 - 3a \le 0 \Leftrightarrow a \ge - \frac{5}{3}\) (3)
\(VT\left( 2 \right) = 13{x^2} - 26x - a + 14 > 0,\forall x \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
13 > 0\\
{\Delta _{\left( 2 \right)}}' = {13^2} - 13\left( { - a + 14} \right) < 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow - 13 + 13a < 0 \Leftrightarrow a < 1\) (4)
Kết hợp (3) và (4) ta được \( - {5 \over 3} \le a < 1\)
Bài 64 trang 136 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm các giá trị của m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
\(\left\{ \matrix{
{x^2} + 2x - 15 < 0 \hfill \cr
(m + 1)x \ge 3 \hfill \cr} \right.\)
Phương pháp giải
- Giải bpt đầu.
- Biện luận bpt thứ hai, từ đó suy ra điều kiện có nghiệm của hệ.
Lời giải chi tiết
Ta có: x2 + 2x – 15 < 0 ⇔ -5 < x < 3 \( \Rightarrow {S_1} = \left( { - 5;3} \right)\)
Ta xét bất phương trình: (m + 1)x ≥ 3 (*)
+ Nếu m = -1 thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow 0x \ge 3\) (vô lí) \(\Rightarrow S_2 = Ø\)
Do đó \({S_1} \cap {S_2} = \emptyset \) (loại)
+ Nếu m > -1 thì: \((*) \Leftrightarrow x \ge {3 \over {m + 1}}\)
\( \Rightarrow {S_2} = \left[ {\frac{3}{{m + 1}}; + \infty } \right)\)
Hệ có nghiệm: \( \Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{3}{{m + 1}} < 3 \Leftrightarrow 3 < 3\left( {m + 1} \right)\\
\left( {do\,m > - 1} \right)\\
\Leftrightarrow 3m > 0 \Leftrightarrow m > 0
\end{array}\)
Kết hợp \(m>-1\) ta được \(m>0\).
+ Nếu m < -1 thì \((*) \Leftrightarrow x \le {3 \over {m + 1}}\) \( \Rightarrow {S_2} = \left( { - \infty ;\frac{3}{{m + 1}}} \right]\)
Hệ có nghiệm: \( \Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{3}{{m + 1}} > - 5 \Leftrightarrow 3 < - 5\left( {m + 1} \right)\\
\left( {do\,m < - 1 \Rightarrow m + 1 < 0} \right)\\
\Leftrightarrow 5m + 8 < 0 \Leftrightarrow m < - \frac{8}{5}
\end{array}\)
Kết hợp \(m < -1 \) ta được \(m < - \frac{8}{5}\).
Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi:
\(\left[ \matrix{
m < - {8 \over 5} \hfill \cr
m > 0 \hfill \cr} \right.\)
Được cập nhật: 19 tháng 4 lúc 0:09:17 | Lượt xem: 463
