Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở O. Kẻ . Chứng minh rằng OD = OE ?

Bài 53 (Sách bài tập - tập 1 - trang 144)

Gửi bởi: Sách Giáo Khoa Vào 26 tháng 12 2018 lúc 11:17:02

Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở O. Kẻ $OD\perp AC;OE\perp AB$.

Chứng minh rằng OD = OE ?

Giải

Kẻ $O H ⊥ B C$

Xét hai tam giác vuông OEB và OHB, ta có:

$\hat{O E B} = \hat{O H B} = 90^{\circ}$

Cạnh huyền OB chung

$\widehat{EBO}=\widehat{\text{HB}O}$(gt)

Suy ra: ∆OEB = ∆OHB (cạnh huyền, góc nhọn)

$\Rightarrow$ OE = OH (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét hai tam giác vuông OHC và ODC, ta có:

$\widehat{\text{OHC}}=\widehat{\text{ODC}}$=90^o

Cạnh huyền OC chung

$\widehat{\text{HCO}}=\widehat{\text{DCO}}$ $\hat{H C O} = \hat{D C O} (g t)$

Suy ra: ∆OHC = ∆ODC (cạnh huyền, góc nhọn)

$\Rightarrow$ OH = OD (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OE = OD.