Tìm mối liên hệ giữa a, b, c, để phương trình có nghiệm ?

Phương trình (b2+c2)x2−2acx+a2−b2=0(b2+c2)x2−2acx+a2−b2=0 có nghiệm khi và chỉ khi b2+c2≠0b2+c2≠0 và Δ′≥0Δ′≥0 b2+c2≠0b2+c2≠0 suy ra b và c không đồng thời bằng 0. Δ′=(−ac)2−(b2+c2)(a2−b2)=a2c2−a2b2+b4−a2c2+b2c2=−a2b2+b4+c2b2=b2(−a2+b2+c2)Δ′≥0⇒b2(−a2+b2+c2)≥0Δ′=(−ac)2−(b2+c2)(a2−b2)=a2c2−a2b2+b4−a2c2+b2c2=−a2b2+b4+c2b2=b2(−a2+b2+c2)Δ′≥0⇒b2(−a2+b2+c2)≥0) Vì b2≥0⇒−a2+b2+c2≥0⇔b2+c2≥a2b2≥0⇒−a2+b2+c2≥0⇔b2+c2≥a2...

Bài 5.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 56)

Gửi bởi: Sách Giáo Khoa Vào 26 tháng 12 2018 lúc 11:16:33

Lý thuyết

Câu hỏi

Tìm mối liên hệ giữa a, b, c, để phương trình $\left(b^2+c^2\right)x^2-2acx+a^2-b^2=0$ có nghiệm ?

Hướng dẫn giải

Phương trình $(b^{2} + c^{2}) x^{2} - 2 a c x + a^{2} - b^{2} = 0$ có nghiệm khi và chỉ khi $b^{2} + c^{2} \neq 0$ và $Δ^{'} \geq 0$

$b^{2} + c^{2} \neq 0$ suy ra b và c không đồng thời bằng 0.

$\begin{aligned} Δ^{'} = {(- a c)}^{2} - (b^{2} + c^{2}) (a^{2} - b^{2}) \\ = a^{2} c^{2} - a^{2} b^{2} + b^{4} - a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2} \\ = - a^{2} b^{2} + b^{4} + c^{2} b^{2} \\ = b^{2} (- a^{2} + b^{2} + c^{2}) \\ Δ^{'} \geq 0 \Rightarrow b^{2} (- a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq 0 \end{aligned}$ )

Vì $b^{2} \geq 0 \Rightarrow - a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 0 \Leftrightarrow b^{2} + c^{2} \geq a^{2}$

Vậy với $a^{2} \leq b^{2} + c^{2}$ thì phương trình đã cho có nghiệm.

Update: 26 tháng 12 2018 lúc 14:57:32