Câu 21 trang 116 SGK Đại số 10 nâng cao
Một bạn tập luận như sau: Do hai vế của bất phương trình \(\sqrt {x - 1} < \,|x|\) luôn không âm nên bình phương hai vế ta được bất phương trình tương đương x - 1 < x2.
Theo em, hai bất phương trình trên có tương đương không? Vì sao?
Lời giải chi tiết
Không tương đương vì 0 là nghiệm của bất phương trình thứ hai nhưng không là nghiệm của bất phương trình thứ nhất.
Cần chú ý điều kiện xác định của bpt thứ nhất là \(x \ge 1\).
Câu 22 trang 116 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm điều kiện xác định rồi suy ra tập nghiệm của mỗi bất phương trình sau:
LG a
\(\sqrt x > \sqrt {-x} \)
Phương pháp giải:
Biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định khi f(x) xác định và \(f(x)\ge 0\).
Lời giải chi tiết:
Điều kiện:
\(\left\{ \matrix{
x \ge 0 \hfill \cr
- x \ge 0 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
x \le 0
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow x = 0\)
Thay x = 0 vào bpt ta được 0>0 (vô lí) nên x=0 không là nghiệm của bất phương trình.
Vậy \(S = Ø \).
LG b
\(\sqrt {x - 3} < 1 + \sqrt {x - 3} \)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(x ≥ 3\)
Ta có: \(\sqrt {x - 3} < 1 + \sqrt {x - 3} \Leftrightarrow 0 < 1\) (luôn đúng)
Vậy \(S = [3, +∞)\)
LG c
\(x + {1 \over {x - 3}} \ge 2 + {1 \over {x - 3}}\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(x \ne 3\)
Khi đó:
\(x + {1 \over {x - 3}} \ge 2 + {1 \over {x - 3}} \Leftrightarrow x \ge 2\).
Kết hợp \(x\ne 3\) ta được \(2\le x\ne 3\).
Vậy \(S = [2, +∞) \backslash \left\{ 3 \right\} = [2, 3) ∪ (3, +∞)\)
LG d
\({x \over {\sqrt {x - 2} }} < {2 \over {\sqrt {x - 2} }}\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(x > 2\)
Ta có:
\({x \over {\sqrt {x - 2} }} < {2 \over {\sqrt {x - 2} }} \Leftrightarrow x < 2\).
Kết hợp điều kiện x>2 ta thấy không có giá trị nào của x thỏa mãn.
Vậy \(S = Ø\).
Câu 23 trang 116 SGK Đại số 10 nâng cao
Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào tương đương với bất phương trình \(2x - 1 ≥ 0\).
\(2x - 1 + {1 \over {x - 3}} \ge {1 \over {x - 3}}\) và \(2x - 1 - {1 \over {x + 3}} \ge - {1 \over {x + 3}}\)
Phương pháp giải
Giải các bất phương trình suy ra kết luận.
Hai bất phương trình tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow 2x \ge 1 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}\)
Do đó, tập nghiệm của bpt \(2x - 1 \ge 0\) là \(S = {\rm{[}}{1 \over 2}; + \infty )\).
Xét bpt \(2x - 1 + {1 \over {x - 3}} \ge {1 \over {x - 3}}\).
ĐK: \(x\ne 3\).
Ta có: \(2x - 1 + \frac{1}{{x - 3}} \ge \frac{1}{{x - 3}}\) \( \Rightarrow 2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}\)
Kết hợp \(x\ne 3\) ta được tập nghiệm của bpt là \(S_1 = {\rm{[}}{1 \over 2}; + \infty )\)\(\backslash \left\{ 3 \right\}\)
Dễ thấy \(S_1\) khác S nên hai bpt không tương đương.
Xét bpt \(2x - 1 - {1 \over {x + 3}} \ge - {1 \over {x + 3}}\).
ĐK: \(x\ne -3\)
Ta có: \(2x - 1 - \frac{1}{{x + 3}} \ge - \frac{1}{{x + 3}}\) \( \Rightarrow 2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}\)
Kết hợp điều kiện \(x\ne -3\) ta được \(S_3 = {\rm{[}}{1 \over 2}; + \infty )=S\)
Vậy \(2x - 1 \ge 0 \) \(\Leftrightarrow 2x - 1 - {1 \over {x + 3}} \ge - {1 \over {x + 3}}\)
Câu 24 trang 116 SGK Đại số 10 nâng cao
Trong bốn cặp bất phương trình sau đây, hãy chọn ra tất cả các cặp bất phương trình tương đương (nếu có).
LG a
\(x - 2 > 0\) và \(x^2(x - 2) < 0\);
Phương pháp giải:
Lần lượt giải từng bpt và so sánh các tập nghiệm.
Hai bpt tương đương nếu chũng có cùng tập nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2 \)
\(\Rightarrow S_1 = \left( {2; + \infty } \right)\)
\({x^2}\left( {x - 2} \right) < 0\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
x - 2 < 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
x < 2
\end{array} \right. \) \(\Rightarrow {S_2} = \left( { - \infty ;2} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\ne S_1\)
Do đó: \(x – 2 > 0\) và \(x^2(x - 2) < 0\) không tương đương.
LG b
\(x - 2 < 0\) và \(x^2(x - 2) > 0\);
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
+ )x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2\\
\Rightarrow {S_1} = \left( { - \infty ;2} \right)\\
+ ){x^2}\left( {x - 2} \right) > 0\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
x - 2 > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
x > 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2\\
\Rightarrow {S_2} = \left( {2; + \infty } \right) \ne {S_1}
\end{array}\)
Do đó: \(x – 2 < 0\) và \(x^2(x - 2) > 0\) không tương đương.
LG c
\(x - 2 ≤0\) và \(x^2(x - 2) ≤ 0\);
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
+ )\,x - 2 \le 0 \Leftrightarrow x \le 2\\
\Rightarrow {S_1} = \left( { - \infty ;2} \right]\\
+ )\,{x^2}\left( {x - 2} \right) \le 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
x - 2 \le 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
x \le 2
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le 2\\
\Rightarrow {S_2} = \left( { - \infty ;2} \right] = {S_1}
\end{array}\)
Do đó: \(x – 2 ≤ 0\) và \(x^2(x - 2) ≤ 0\) là tương đương.
LG d
\(x - 2 ≥ 0\) và \(x^2(x - 2) ≥ 0\).
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
+ )\,x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2\\
\Rightarrow {S_1} = \left[ {2; + \infty } \right)\\
+ )\,{x^2}\left( {x - 2} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} = 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} \ne 0\\
x - 2 \ge 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
x \ge 2
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x \ge 2
\end{array} \right.\\
\Rightarrow {S_2} = \left[ {2; + \infty } \right) \cup \left\{ 0 \right\} \ne {S_1}
\end{array}\)
Do đó: \(x – 2 ≥ 0\) và \(x^2(x - 2) ≥ 0\) không tương đương.
Được cập nhật: 13 tháng 4 lúc 7:05:52 | Lượt xem: 524
