Bài 13 (Sách bài tập - tập 2 - trang 85)

Gửi bởi: Sách Giáo Khoa Vào 26 tháng 12 2018 lúc 11:16:26

Cho hình thang ABCD (AB //CD, AB < CD). Gọi trung điểm của các đường chéo AC, BD thứ tự là N và M (h.12).

Chứng minh rằng :

a) MN //AB

b) \(M=\dfrac{CD-AB}{2}\)

a) Vì ABCD là hình thang cân có AB // CD nên:

AC = BD (1)

Xét ∆ADC và ∆BCD, ta có:

AC = BD (chứng minh trên )

AD = BC (ABCD cân)

CD cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta ACD=\Delta BCD\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\)

Hay \(\widehat{OCD}=\widehat{ODC}\)

Suy ra tam giác OCD cân tại O

Suy ra: (tính chất tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OA = OB

Lại có: \(MD=3MO\left(gt\right)\Rightarrow NC=3NO\)

Trong tam giác OCD, ta có: \(\dfrac{MO}{MD}=\dfrac{NO}{NC}=\dfrac{1}{3}\)

Suy ra: MN // CD (Định lí đảo của định lí Ta-lét )

Ta có: OD = OM + MD = OM + 3OM = 4OM

Trong tam giác OCD, ta có: MN // CD

\(\Rightarrow\dfrac{OM}{OB}=\dfrac{MN}{AB}\) (Hệ quả định lí Ta-lét)

\(\Rightarrow\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{OM}{2OM}=\dfrac{1}{2}\)

Vậy: \(AB=2MN=2.1,4=2,8\left(cm\right)\)

b) Ta có: \(\dfrac{CD-AB}{2}=\dfrac{5,6-2,8}{2}=\dfrac{2,8}{2}=1,4\left(cm\right)\)

Vậy: \(MN=\dfrac{CD-AB}{2}\)