Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Áp dụng đẳng thức và bất đẳng thức mô đun tìm GTLN – GTNN của mô đun số phức

3b0001add65c97622b0d1572997eb84e
Gửi bởi: Khoa CNTT - HCEM 21 tháng 5 lúc 13:58 | Được cập nhật: 21 tháng 5 lúc 14:12 | IP: 10.1.1.225 Kiểu file: PDF | Lượt xem: 358 | Lượt Download: 8 | File size: 0.992444 Mb

Nội dung tài liệu

Tải xuống
Link tài liệu:
Tải xuống

Các tài liệu liên quan


Có thể bạn quan tâm


Thông tin tài liệu

NHÓM TOÁN VD – VDC

ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN

NHÓM TOÁN VD - VDC

NĂM HỌC 2020 – 2021
I.

LÝ THUYẾT

=I
Mỗi số phức, ở khía cạnh đại số, là nghiệm tương ứng duy nhất một tam thức bậc hai monic
hệ số thực có biệt thức âm. Nếu z là nghiệm của f(x) = x2 + ax + b với a,b 



NHÓM TOÁN VD – VDC

ÁP DỤNG ĐẲNG THỨC
VÀ BẤT ĐẲNG THỨC MÔ ĐUN

 = a − 4b  0 thì nghiệm còn lại sẽ gọi là liên hợp của nó. Tích hai nghiệm sẽ là b và là một
số không âm. Căn bậc hai của b gọi là module.
2

Ở khía cạnh hình học, mỗi số phức sẽ là cặp tọa độ của một vector, và độ lớn của vector đó
chính là module.
Module của số phức. Số phức liên hợp:
z = a + bi(a,b 

) thì module của z là z = a2 + b2 ; Số phức liên hợp của z là

z = a − bi Ta có: Phần thực của z là R e z =

z+ z
z−z
, phần ảo của z là Im z =
;
2
2

2

zz
1 2 = z1 z2 , z = zz ; z1 + z2 = z1 + z2 , zz
1 2 = z1z2 , z = z ;

z
z1
= 1 ,
z2
z2

NHÓM TOÁN VD – VDC

 z1  z1
( z2  0 ) .
 =
 z2  z2

1/ Đẳng thức Mô - Đun
+ m z1 + nz2

2

= m 2 z1 + n2 z2 + m n (z1.z2 + z1.z2 ) với m ,n 
2

2

+ z + z1 + z + z2
+ z1 + z2 =

2

2


z + z2
= 2 z + 1
2


2

2
z1 − z2 
+
 với z,z1,z2 
2


và z1,z2 

.

.

z2
z
z1 + 1 z2 với z1,z2 là các số phức khác 0 .
z1
z2

a,b,c 

+Nếu a  0
thì phương trình az2 + bz + c = 0 có hai nghiệm phức không
 = b2 − 4ac  0

thực z1,2 =

−b  i 
2a

. Dễ thấy z1 = z2  z1 = z2 .

2/ BĐT Mô - Đun
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 1

NHÓM TOÁN VD – VDC

ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN

Lớp 7: A B − B C  A C  A B + B C .
Lớp 10: a − b  a + b  a + b .

NHÓM TOÁN VD – VDC

Lớp 12: z1 − z2  z1 + z2  z1 + z2 .
+ z + z1 + z + z2  z1 − z2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
 z + z1

 z + z2

z + z2

 z + z1

= k ( z + z1 ) + ( −z − z2 ) 
= k ( z + z2 ) + ( −z − z1 ) 

(k 

;k  0;1)

.

=0
= k ( z + z2 ) ;( z + z2  0;k  ;k  0 )

+ z + z1 − z + z2  z1 − z2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
 z + z1

 z + z2

z + z2

 z + z1

II.

= k ( z + z1 ) + ( −z − z2 ) 
= k ( −z − z1 ) + z + z2 

(k 

1;+  ) )

,k  ( −;0 

.

=0
= k ( z + z2 ) ;( z + z2  0;k  ,k  0 )

MỘT SỐ VÍ DỤ

=I
Minh Hoạ-T4/N2021

Câu 1:

Xét hai số phức z1,z2 thỏa mãn z1 = 1,z2 = 2 và z1 − z2 = 3 . Giá trị lớn nhất
Ⓐ. 5 − 19 .

Ⓑ. 5 + 19 .

Ⓒ. −5 + 2 19 .

Ⓓ. 5 + 2 19 .

a Định hướng
2

Tất cả giả thiết của đề bài đều nói về Mô đun của số phức, chính vì thế ta xét: m z1 + nz2 .
Bằng tính toán ta có kết quả: m z1 + nz2

2

= m 2 z1 + n2 z2 + m n (z1.z2 + z1.z2 ) . Trong đó
2

2

m ,n là các số thực và z1,z2 là các số phức. Như vậy từ giả thiết ta sẽ tính được 3z1 + z2 và
đưa bài toán đã cho về bài toán quen thuộc.
b Lời giải tham khảo

Lời giải
+ 3 = z1 − z2

2

= z1 + z2 − (z1.z2 + z1.z2 ) = 5 − ( z1.z2 + z1.z2 )  ( z1.z2 + z1.z2 ) = 2 ;
2

2

3z1 + z2 = 9 z1 + z2 + 3 (z1.z2 + z1.z2 ) = 19 .
2

2

+Áp dụng bất đẳng thức mô đun, có:

3z1 + z2 − −5i  (3z1 + z2 ) + ( −5i)  3z1 + z2 + −5i
 5 − 19  3z1 + z2 − 5i  5 + 19 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 2

NHÓM TOÁN VD – VDC

3z1 + z2 − 5i bằng

NHÓM TOÁN VD – VDC

ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN

+Vì đây là bài toán trắc nghiệm nên chọn B; Tuy nhiên 3z1 + z2 − 5i = 5 + 19 khi và chỉ khi

k  ,k  0
 3z1 + z2 = −i 19  Chọn B

3
z
+
z
=
k

5
i
(
)
1
2


Xét các số phức z thỏa mãn z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2 . Gọi m ,M lần lượt là giá trị nhỏ
nhất, giá trị lớn nhất của z − 1 + i . Giá trị của biểu thức P = m + M bằng
Ⓐ. 13 + 73 .

Ⓑ.

5 2 + 2 73
.
2

Ⓒ. 5 2 + 73 .

Ⓓ.

5 2 + 73
.
2

a Định hướng

NHÓM TOÁN VD – VDC

Minh Hoạ-L2/N2017

Câu 2:

z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2  z + 2 − i + −z + 4 + 7i = (z + 2 − i) + ( −z + 4 + 7i) sẽ
suy ra z = a ( x) + b (x) .i với x  0;1 .Đến đây ta có bài toán quen thuộc.

b Lời giải tham khảo

Lời giải
+ z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2  z + 2 − i + −z + 4 + 7i = (z + 2 − i) + ( −z + 4 + 7i)
 z + 2 − i = x (6 + 6i) ;( x  ,0  x  1)  z = ( −2 + 6x) + (1 + 6x) i

 z − 1 + i = ( −3 + 6x) + (2 + 6x) i = 72x2 − 12x + 13 .

m ax f ( x) = f (1) = 73 .Vậy m =
0;1

5 2
;M = 73  Chọn B
2
Chuyên Thái Bình-L5/N2018

Câu 3:

Cho số phức z thỏa mãn (1 + i) z + 2 + (1 + i) z − 2 = 4 2 . Gọi m ,n lần lượt là giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Đặt w = m + ni, giá trị của w
Ⓑ. 41009 .

Ⓐ. 21009 .

2018

bằng
Ⓓ. 61009 .

Ⓒ. 51009 .

a Định hướng

+Biến đổi giả thiết: (1 + i) z + 2 + (1 + i) z − 2 = 4 2  z + 1 − i + z − 1 + i = 4 .
+Áp dụng BĐT: z1 + z2  z1 + z2 dễ dàng tìm được m .
2

+Áp dụng z + z1 + z + z2

2


z + z2
= 2 z + 1
2


https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

2

+

z1 − z2
2

2


 và a,b 


ta

Trang 3

NHÓM TOÁN VD – VDC

 1 5 2
+Xét hàm số f (x) = 72x2 − 12x + 13,x  0;1 , dễ thấy m in f (x) = f   =
;
0;1
2
 12 

NHÓM TOÁN VD – VDC

ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN

có : a + b  2 (a2 + b2 ) tìm được n .

Lời giải
+ 4 = z + 1 − i + z − 1 + i  z + 1 − i + z − 1 + i = 2z  z  2 (1) . Đẳng thức ở (1) xảy
z + 1 − i = k ( z − 1 + i) ,(k  ,k  0 )
ra khi 
 z =  2 ( −1 + i)  m = 2 .
 z = 2
2
2
2
2
+ 4 = z + 1 − i + z − 1 + i  2  z + 1 − i + z − 1 + i  = 2 z + i− 1



 z  2 (2 ) .

Đẳng

thức



(2 )

xảy

ra

NHÓM TOÁN VD – VDC

b Lời giải tham khảo

khi


2018
z + 1− i = z − 1+ i
 z =  (1 + i)  n = 2 . Vậy w
= 61009  Chọn D


z = 2
THPT Đặng Thúc Hứa Nghệ An-Lần1 Năm 2018

Câu 4:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 5 z − i = z + 1 − 3i + 3 z − 1 + i . Giá trị lớn nhất của
biểu thức z − 2 + 3i bằng
Ⓐ.

13
.
3

Ⓑ. 1 + 13 .

Ⓒ. 9 .

Ⓓ. 4 5 .

NHÓM TOÁN VD – VDC

a Định hướng
2
2
2
2
+ Ta có: z + 1 − 3i + z − 1 + i = 2  z − i + 1 − 2i  .

+ Mặt khác:
5 z − i = z + 1 − 3i + 3 z − 1 + i 

(

2

(1

2

(

+ 32 ) z + 1 − 3i + z − 1 + i
2

2

)

)

= 20 z − i + 5 . Từ đó suy ra z − i  2 5 . Đến đây ta có bài toán quen thuộc.

b Lời giải tham khảo

Lời giải
2
2
2
2
+ Ta có: z + 1 − 3i + z − 1 + i = 2  z − i + 1 − 2i  ; Từ đó

5 z − i = z + 1 − 3i + 3 z − 1 + i 

(

2

(1

2

(

+ 32 ) z + 1 − 3i + z − 1 + i
2

2

)

)

= 20 z − i + 5 . Suy ra z − i  2 5 .
+

z − 2 + 3i = (z − i) + ( −2 + 4i)  z − i + −2 + 4i  2 5 + 2 5 = 4 5
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 4

NHÓM TOÁN VD – VDC

ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN

(1) .

 z − 2 + 3i  4 5

Đẳng

thức

(1)



xảy

ra

khi

Chuyên Sư Phạm Hà Nội-L2/N2021

Câu 5

Xét các số phức z thỏa mãn z − 1 = 2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị bé
nhất của biểu thức P = z + 2 + 2 z − 3 . Tổng M + m bằng
Ⓐ. 14 .

Ⓑ. 7 .

Ⓒ.

45 + 3 35
.
5

NHÓM TOÁN VD – VDC

 z + 1 − 3i z − 1 + i
=

1
3

z − i = 2 5
 z = −2 + 5i. Vậy m ax z − 2 + 3i = 4 5  Chọn D

k  ,k  0

z − i = k ( −2 + 4i)

15 + 5 33
.
3

Ⓓ.

a Định hướng

+ z + zk
với

2

= (z + w ) + (zk − w ) = z + w + zk − w + (z + w ) (zk − w ) + (z + w ) (zk − w )
2

k = 1;2 .

Do

đó

nếu

2

2

z1 − w = p ( z2 − w )

2

2

a z + z1 + b z + z2 theo z + w và zk − w ( a,b 

với

p

thì

sẽ

tính

được

). Khi đó dễ dàng tính được M .

+Nhìn vào kết luận, ta tìm cách làm xuất hiện hệ số 2 trước biểu thức z + 2 (Cân bằng hệ số)
bằng công thức z1 + z2 =

z2
z
z1 + 1 z2 với z1,z2 là các số phức khác 0 nhưng không được.
z1
z2

b Lời giải tham khảo

Lời giải

(
(

)
)

(

)

 z + 2 2 = ( z − 1) + 3 2 = z − 12 + 9 + 3 z − 1 + z − 1 = 13 + 3 z − 1 + z − 1

+Ta có 
suy
2
2
2
z − 3 = ( z − 1) − 2 = z − 1 + 4 − 2 z − 1 + z − 1 = 8 − 2 z − 1 + z − 1


2

(

)

2

ra 2 z + 2 + 3 z − 3 = 50 ;
P =

1
2
. 2 z+2 +
. 3 z−3 
2
3

(

)

5 33
2
2
 1 4
. Vì làm bài
 +  2 z+2 +3 z−3 =
3
2 3 

5 33
.
3
+ P = ( −z − 2 + z − 3 ) + z − 3  −z − 2 + z − 3 + 0 = 5 . Khi z = 3 thỏa mãn điều kiện đề
trắc nghiệm nên dự đoán M =

bài thì P = 5 . Vậy m = 5  Chọn D
c Bài tập tương tự

Cho

số

phức

z

thỏa

mãn

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

z − 1 − 2i = 2 .

Giá

trị

lớn

nhất

của

biểu

Trang 5

NHÓM TOÁN VD – VDC

Viết P = ( −z − 2 + z − 3 ) + z − 3 ta dễ dàng tìm được m .

NHÓM TOÁN VD – VDC

ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN

thứcT = z + 1 − i + z − 5 − 4i bằng
Ⓐ. 3 7 .

Ⓑ. 3 5 .

Ⓒ. 3 6 .

Ⓓ. 4 2 .

Cho số phức z thoả mãn điều kiện z − 2 − i = 2 2 . Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của biểu thức H = z + 3 − 2i + z − 3 + 4i . Giá trị M + m bằng
Ⓐ. 16 2 .

Ⓑ. 11 2 .

Ⓒ. 2 26 + 8 2 .

Ⓓ. 2 26 + 6 2 .

a Định hướng

+ Tìm m khá đơn giản và rõ ràng áp dụng: z1 + z2  z1 + z2 .
2

+ Ta đã biết: z + z1 + z + z2

2


z + z2
= 2 z + 1
2


2

NHÓM TOÁN VD – VDC

Sở Vĩnh Phúc-L2/N2018

Câu 6:

2
z1 − z2 
+
 , do đó ta có:
2


2
2
2
2
z + 3 − 2i + z − 3 + 4i = 2  z + i + 3 − 3i  . Mặt khác biết z − 2 − i = 2 2 , tìm



m ax z + i là bài toán quen thuộc. Như vậy áp dụng BĐT : a,b 

, a + b  2 (a2 + b2 ) là

có thể tìm được M .
b Lời giải tham khảo

Lời giải

NHÓM TOÁN VD – VDC

+ H = z + 3 − 2i + −z + 3 − 4i  z + 3 − 2i− z + 3 − 4i = 6 2 (1) .


z + 3 − 2i = k (6 − 6i) ;k  ,0  k  1
Đẳng thức ở (1) xảy ra khi 
 z = −i.
z

2

i
=
2
2


2
2
2
2
2
+ H  2  z + 3 − 2i + z − 3 + 4i  = 4  z + i + 3 − 3i  = 2 z + i + 18 .





z + i = (z − 2 − i) + (2 + 2i)  z − 2 − i + 2 + 2i = 4 2 . Suy ra H  10 2 (2 ) .
 z + 3 − 2i = z − 3 + 4i

l ,l  0
 z = 4 + 3i.
Đẳng thức ở ( 2 ) xảy ra khi 
z

2

i
=
l
2
+
2
i
(
)

z − 2 − i = 2 2

+Vậy m = 6 2;M = 10 2  Chọn A
Đề tham khảo-2018

Câu 7:
Xét các số phức z = x + yi ( x,y 

) thỏa mãn z − 4 − 3i = 5 . Khi biểu thức

P = z + 1 − 3i + z − 1 + i đạt giá trị lớn nhất, giá trị của x + y bằng

Ⓐ. 4 .

Ⓑ. 6 .

Ⓒ. 8 .

Ⓓ. 10 .

a Định hướng
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 6

NHÓM TOÁN VD – VDC

ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN

+ Nhận thấy z + 1 − 3i = (z − 4 − 3i) + 5 , z − 1 + i = (z − 4 − 3i) + (3 + 2i) do đó không
2

2

tính được  z + 1 − 3i +  z − 1 + i theo z − 4 − 3i (  , là các số thực).

NHÓM TOÁN VD – VDC

2
2
2
2
+ Tuy nhiên ta lại có z + 1 − 3i + z − 1 + i = 2  z − i + 1 − 2i  .

b Lời giải tham khảo

Lời giải
2
2
2
2
2
+ P  2  z + 1 − 3i + z − 1 + i  = 4  z − i + 1 − 2i  = 2 5 + z − i





(1) .

+ z − i = (z − 4 − 3i) + (4 + 2i)  z − 4 − 3i + 4 + 2i = 3 5 (2 ) . Đẳng thức ở (2 ) xảy ra

k  ,k  0

khi z − 4 − 3i = k ( 4 + 2i)  z = 6 + 4i.

 z − 4 − 3i = 5
+ Từ (1) và (2 ) suy ra P  10 2 (3 ) . Đẳng thức ở (3 ) xảy ra khi và chỉ khi đẳng thức ở

z = 6 + 4i
 z = 6 + 4i Chọn D
 z + 1 − 3i = z − 1 + i

(1) và (2 ) đồng thời xảy ra  

Sở GD&ĐT Quảng Nam-2018

Câu 8:
Cho

số

phức

z

thỏa

mãn

z  2.

Giá

trị

nhỏ

nhất

của

biểu

Ⓐ. 4 + 2 3 .

Ⓑ. 2 + 3 .

Ⓒ. 4 +

14
.
15

Ⓓ. 2 +

7
.
15

a Định hướng

+Nhận thấy z − z là số thuần ảo. Coi z − z là một biến số và tìm cách giảm biến số trong
biểu thức P bằng BĐT z + 1 + z − 1 = z + 1 + −z + 1 = z + 1 + −z + 1  z − z + 2 .Suy
ra
P  2 z − z + 2 + z − z − 4i = Q .

+Nếu đặt z = x + yi,(x,y 

) thì Q là biểu thức chứa một biến y và ta có bàn toán quen

thuộc.
b Lời giải tham khảo

Lời giải
+Đặt z = x + yi,(x,y 

) , ta có :

P = 2 ( z + 1 + −z + 1 ) + z − z − 4i  2 z − z + 2 + z − z − 4i
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 7

NHÓM TOÁN VD – VDC

thức P = 2 z + 1 + 2 z − 1 + z − z − 4i bằng

NHÓM TOÁN VD – VDC

ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN

(

)

= 2 2 y2 + 1 + y − 2 .
+ 2 y2 + 1 + y − 2 =

( 3 )  y
2

2

+ 1 + y − 2  y + 3 + y − 2

 y+ 3 +2 −y = 2+ 3 .

(

+Từ đó suy ra P  2 2 + 3

(

) (1) .Khi z =

)

(

)

3
i thỏa mãn z  2 thì P = 2 2 + 3 .Vậy
3

m in P = 2 2 + 3  Chọn A

Câu 9:

Face book - 2021

NHÓM TOÁN VD – VDC

12 +


Cho số phức z thỏa mãn z − i = 2. Biết biểu thức T = z + 3i + 2 z − 4 − i đạt giá trị nhỏ
nhất khi z = x + yi ( x,y 
Ⓐ.

3 − 6 13
.
17

Ⓑ.

) . Hiệu x − y bằng
6 13 − 3
.
17

Ⓒ.

3 + 6 13
.
17

Ⓓ. −

3 + 6 13
.
17

a Định hướng

+ Khai thác kết luận: Biểu thức T = z + 3i + 2 z − 4 − i đạt giá trị nhỏ nhất. Ta phải “cân
bằng hệ số” (làm xuất hiện thừa số 2 ở biểu thức z + 3i ) trước khi áp dụng bất đẳng thức
mô đun bằng đẳng thức sau: z1 + z2 =

z2
z
z1 + 1 z2
z1
z2

( z1,z2 

;z1  0,z2  0 ) .

số phức z thỏa mãn z = c .Tìm giá trị nhỏ nhất của z − z1 +

z1
z − z2 .
c

b Lời giải tham khảo

Lời giải
+Ta có z + 3i = ( z − i) + 4i =

4i
z−i
(z − i) +
( 4i) = 2 z ; T = 2 ( z + 4 + i− z )
z−i
4i

 2 z + 4 + i− z = 2 17 (1) .
z = k ( 4 + i) ,(k  ,0  k  1)
+Đẳng thức ở (1) xảy ra khi 
 z − i = 2

z=

4 + 8 13 1 + 2 13
+
i.
17
17

+Vậy x − y =

3 + 6 13
 Chọn C
17

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 8

NHÓM TOÁN VD – VDC

 z1  0
+Tổng quát bài toán:Cho trước hai số phức z1,z2 thỏa mãn 
và số thực dương c .Biết
z1  z2

NHÓM TOÁN VD – VDC

ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN

c Bài tập tương tự

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ O xyz , cho mặt cầu (S ) :(x + 1) + (y − 4) + z2 = 8 và các
2

là điểm thuộc mặt cầu

(S ) .

Giá trị nhỏ nhất của

M A + 2M B bằng
Ⓐ. 2 2 .
Câu 2:

Ⓑ. 6 2 .

Ⓒ. 2 3 .

Ⓓ. 6 3 .

Trong không gian cho tam giác A BC có A B = 2R ,A C = R ,CA B = 120 .Gọi M là điểm
thay đổi thuộc mặt cầu tâm B bán kính R .Giá trị nhỏ nhất của M A + 2M C là
Ⓐ. 4R .

Ⓑ. 6R .

Ⓒ. R 19 .

Ⓓ. 2R 7 .

Câu 10:

Face book - 2021
Cho số phức z thỏa mãn z = 1 và P = z2021 + ( z )

2019

NHÓM TOÁN VD – VDC

điểm A (3;0;0 ) ,B ( 4;2;1) .Gọi M

2

+ 6z − 2 z2020 + 1 . Gọi M ;m lần lượt

là giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . Giá trị của biểu thức T = M − m bằng
1
Ⓐ. .
Ⓑ. 1 .
Ⓒ. 2 .
Ⓓ. 4 .
2
a Định hướng
2

. =1 z =
+ z = 1  z = 1  zz

= z z2020 +

1
2020

+ 6 − 2 z2020 + 1 = z2020 + z2020 + 6 − 2 z2020 + 1 .

+ Đặt z2020 = x + yi(x,y 

) .Ta đưa về bài toán quen thuộc.

b Lời giải tham khảo

Lời giải
2

. =1 z =
+ z = 1  z = 1  zz

= z z2020 +
1
2020

z

= (z )

1
2020

z

2020

1
1
. Từ đó ta có : P = z2021 + 2019 + 6z − 2 z2020 + 1
z
z

+ 6 − 2 z2020 + 1 = z2020 + (z2020 ) + 6 − 2 z2020 + 1 (Chú ý

= ( z2020 ) ).

+Đặt z2020 = x + yi(x,y 
x2 + y2 = z2020 = z

2020

) , khi đó:
= 1  x2 = 1 − y2  −1  x  1.

+Ta có P = 2x + 6 − 2 (x + 1) + yi = 2x + 6 − 2

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

(x + 1)

2

(

)

+ y2 = 2 x − 2 ( x + 1) + 6

Trang 9

NHÓM TOÁN VD – VDC

z

1
1
. Từ đó ta có : P = z2021 + 2019 + 6z − 2 z2020 + 1
z
z

NHÓM TOÁN VD – VDC

ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN

(

)

 1
+Xét hàm số f ( x) = 2 x − 2 ( x + 1) + 6,x   −1;1 . Dễ thấy m in f(x) = f −  = 3 ;
−1;1
 2
m ax f ( x) = f (1) = 4  Chọn B
 −1;1

Cho hai số phức z1,z2 thỏa mãn điều kiện 2 z1 + i = z1 − z1 − 2i và z2 − i− 10 = 1. Giá trị
nhỏ nhất của biểu thức z1 − z2 bằng
Ⓐ. 10 + 1 .

Ⓑ. 3 5 − 1 .

Ⓒ.

101 − 1 .

Ⓓ.

101 + 1 .

a Định hướng

+ Đặt z1 = x + yi; ( x,y 

) , khi đó từ 2 z1 + i =

z1 − z1 − 2i tính được y =

NHÓM TOÁN VD – VDC

Lê Quý Đôn Lai Châu-L1/N2018

Câu 11:

x2
. (Nếu đặt
4

z2 = a + bi thì tính a theo b sẽ rất phức tạp).

+ Tìm cách kết nối kết luận z1 − z2 với giả thiết z2 − i− 10 = 1 bằng:
2

z1 − z2 + z2 − i− 10  z1 − z2 + z2 − i− 10 =

 x2

+  − 1 .
4


(x − 10 )

2

b Lời giải tham khảo

Lời giải

) , khi

đó: 2 z1 + i = z1 − z1 − 2i  2. x2 + (y − 1) =
2

( −2y − 2)

2

y=

x2
x2
 z1 = x + i.
4
4
2

+ z1 − z2 + z2 − i− 10  z1 − z2 + z2 − i− 10 =

(x − 10 )

2

 x2

+  − 1
4


2

 z1 − z2 

(x − 10 )

2

 x2

+  − 1 − 1 .
4

2

+ Xét hàm số f(x) = ( x − 10 )

2

 x2

+
− 1 ,x 
 4


. Dễ thấy m in f (x) = f ( 4) = 45 .

z1 = 4 + 4i
k  ,k  0

+ Suy ra z1 − z2  3 5 − 1 (1) . Đẳng thức ở (1) xảy ra khi 
z − z2 = k ( z2 − i − 10 )
 1
z − z = 3 5 − 1
2
 1
z1 = 4 + 4i


50 − 2 5 5 + 5  Chọn B
z
=
+
i
 2
5
5

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 10

NHÓM TOÁN VD – VDC

+ Đặt z1 = x + yi; ( x,y 

NHÓM TOÁN VD – VDC

ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN

Chuyên Đại Học Vinh-L2/N2021

Câu 12:

Cho các số thực b,c sao cho phương trình z2 + bz + c = 0 có hai nghiệm phức z1,z2 thỏa
Ⓑ. 5b + c = −12 .

Ⓐ. 5b + c = 4 .

Ⓒ. 5b + c = 12 .

Ⓓ. 5b + c = −4 .

a Định hướng

+Nếu z1 là số thực thì 1 = z1 − 4 + 3i =

(z1 − 4)

2

+ 9 . Điều này vô lý.

+Vì z1,2 là các nghiệm phức không thực của phương trình z2 + bz + c = 0 nên

z1 = z2  z1 = z2 = z2 .

NHÓM TOÁN VD – VDC

mãn z1 − 4 + 3i = 1 và z2 − 8 − 6i = 4. Mệnh đề nào sau đây đúng?

b Lời giải tham khảo

Lời giải
+Nếu z1 là số thực thì 1 = z1 − 4 + 3i =

(z1 − 4)

2

+ 9  3 . Điều này vô lý.

+Vì z1,2 là các nghiệm phức không thực của phương trình z2 + bz + c = 0 nên
z1 = z2  z1 = z2 = z2 .

+Mặt khác: 1 = z1 − 4 + 3i  z1 − −4 + 3i  4  z1  6 ;

4 = z2 − 8 − 6i  z2 − −8 − 6i = z1 − 10  6  z1  14 . Suy ra z1 = 6 .
+ z1 − 4 + 3i = z1 − −4 + 3i khi và chỉ khi z1 = k ( −4 + 3i) với k 

24 18
24 18
48
2

+
i; c = zz
i; z2 =
= 36 và −b = z1 + z2 =
1 2 = z1
5
5
5
5
5

 Chọn A.
Nhận xét
Gọi A ,B lần lượt là điểm biểu diễn các số phức không thực z1,z2 trong mặt phẳng tọa độ O xy thì

A đối xứng với B qua trục thực O x . Từ đây ta có các bài toán mới bằng cách thay điều kiện
 z1 − 4 + 3i = 1
bởi điều kiện cho A thuộc đường tròn và B hoặc thuộc đường tròn; hoặc đoạn

 z2 − 8 − 6i = 4
thẳng; hoặc đường thẳng; hoặc parabol; hoặc hình thoi…Chú ý: z1,2 là các nghiệm phức không
thực của phương trình bậc hai hệ số thực.
Chuyên Tuyên Quang-L3/N2021

Câu 13:

z − z + z + z  6 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Cho số phức z thỏa mãn
2

2

P = z − 2 + 3i + z + 4 − 13i bằng
Ⓐ. 156 .

Ⓑ. 155 .

Ⓒ. 146 .

Ⓓ. 147 .

a Định hướng

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 11

NHÓM TOÁN VD – VDC

dàng tính được z1 =

và k  0 . Từ đây dễ

NHÓM TOÁN VD – VDC

ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN

+Gọi M ( x;y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yitrong mặt phẳng tọa độ O xy , khi đó từ
z − z + z + z  6  M nằm trong hình vuông.

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của M A sẽ tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P .
b Lời giải tham khảo

Lời giải
+Trong mặt phẳng tọa độ O xy , gọi M ( x;y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi ( x,y 

).

Khi đó z − z + z + z  6  x + y  3  M không nằm ngoài hình vuông EFG H (hình
vẽ).

2
2
+ P = 2  z + 1 − 5i + −3 + 8i  = 2M A 2 + 146

với

A ( −1;5 ) .



A FE  900 nên

c Bài tập tương tự

Cho số phức z thoả mãn

z + z + z − z = z2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức

P = z − 5 − 2i bằng

Ⓐ. 2 + 5 3 .
Câu 2:

Ⓑ. 2 + 3 5 .

Ⓒ. 5 + 2 3 .

Ⓓ. 5 + 3 2 .

Cho số phức z thỏa mãn z2 = 2 z + z + 5 . Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của z − 2 + 4i . Giá trị của M + m bằng
Ⓐ. 4 + 4 2 .

Câu 3:

Ⓑ. 8 2 .

Ⓒ. 8 .

Ⓓ. 3 + 4 2 .

Cho số phức z thỏa mãn z2 + 3 = 2 z + z . Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của z + 1 + 3i . Giá trị của M + m bằng
Ⓐ. 3 + 13 .

Câu 4:

Ⓑ. 4 + 13 .

Ⓓ. 2 + 13 .

Gọi S là tập tất cả các số thực dương m

Ⓓ. 5 + 13 .

để có bốn số phức z thỏa mãn hệ

 z = m
. Tổng bình phương các phần tử của S bằng

2
 z + z + z − z = z

Ⓐ. 12 .

Ⓑ. 17 .

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Ⓒ. 19 .

Ⓓ. 22 .
Trang 12

NHÓM TOÁN VD – VDC

M A 2  M F 2 = 5  P  156 . Khi z = 3i thỏa mãn điều kiện bài toán thì P = 156 . Vậy
m in P = 156  Chọn A

Câu 1:

NHÓM TOÁN VD – VDC

2
2
+ P = 2  z + 1 − 5i + −3 + 8i  = 2M A 2 + 146 với A ( −1;5 ) . Như thế chỉ cần tìm giá trị

NHÓM TOÁN VD – VDC

ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN

Sở GD Hòa Bình-T5/N2021

Câu 14:

Cho hai số phức z, w thỏa mãn z = 2 , w − 3 + 2i = 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức

Ⓐ. 16 2 .

Ⓑ. 18 2 .

Ⓒ. 18 .

Ⓓ. 24 .

a Định hướng

+Không

thể

biến

đổi

luận : H = z 2 − 2 zw − z.z = 2 z

giả

thiết,

do

đó

biến

đổi

kết

z−z
z−z
−w .
−w = 4
2
2

+Đến đây chúng ta tìm cách giảm biến bằng cách xét

NHÓM TOÁN VD – VDC

H = z 2 − 2 zw − 4 bằng

H
z−z
−1 =
− w − w − 3 + 2i .
4
2

b Lời giải tham khảo

Lời giải
+Đặt

z = x + yi

với

x, y 

z−z
= yi ;
2

thì



z =2

nên

x 2 + y 2 = 4  −2  y  2  0  y + 2  4  ( y + 2 )  16 .
2

+Ta





z−z
H
z−z
z−z
−w = 4
− w − w − 3 + 2i
− w  −1 =
2
4
2
2

2
z−z
z−z
− w + w − 3 + 2i =
− 3 + 2i = −3 + ( y + 2 ) i = 9 + ( y + 2 )  5  H  24 .
2
2

 z = 2i

+Khi 
18 14 (thỏa mãn điều kiện đề bài) thì H = 24 .Vậy max H = 24  Chọn D.
 w = 5 − 5 i

Nhận xét
Ta có thể tìm min H như sau
+

H
z−z
z−z
+1 =
− w + w − 3 + 2i 
− w + w − 3 + 2i = 9 + ( y + 2 )2  3  H  8 .
4
2
2

 z = −2i
+Khi 
(thỏa mãn điều kiện đề bài) thì H = 8 . Vậy min H = 8 .
w = 2 − 2i
Biểu diễn hình học số phức : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M , N lần lượt biểu diễn số
phức

z−z
z−z
− w . Rõ ràng điểm M thuộc đoạn thẳng AB với
, w thì NM =
2
2

A(0; −2), B(0; 2) và N là điểm thuộc đường tròn ( C ) có tâm I (3; −2) , bán kính r = 1 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 13

NHÓM TOÁN VD – VDC

H = z 2 − 2 zw − z.z = 2 z

NHÓM TOÁN VD – VDC

ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN

+Ta có NM + IN  MI  NM  MI −1  IA −1 (Chú ý IA ⊥ AB ).
+ NM  NI + IM = 1 + MI  1 + max IA; IB .

NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 14