55 đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7 cấp huyện có đáp án

55 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN LỚP 7 ĐỀ SỐ 1: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương: a) 1 n .16  2n ; 8 b) 27 < 3n < 243 Bài 2. Thực hiện phép tính: ( 1 1 1 1 1  3  5  7  ...  49    ...  ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bài 3. a) Tìm x biết: 2x  3  x  2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x  2006  2007  x Khi x thay đổi Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng. Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC ĐỀ SỐ 2: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: A 212.35  46.92  2 .3 2 6  8 .3 4 5  510.73  255.492 125.7  3  59.143 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n2  2n2  3n  2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: a. x  1 4 2    3, 2   3 5 5 b.  x  7  Bài 3: (4 điểm) x 1   x  7 x 11 0 a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 2 3 1 : : . Biết rằng tổng các bình phương của ba số 5 4 6 đó bằng 24309. Tìm số A. b) Cho a2  c2 a a c  . Chứng minh rằng: 2 2  b c b c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH  BC  H  BC  . Biết HBE = 50o ; MEB =25o . Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A  200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC ……………………………… Hết ……………………………… ĐỀ SỐ 2: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: A 212.35  46.92  22.3  84.35 6  510.73  255.492 125.7  3  59.143 Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n2  2n2  3n  2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: a. x  1 4 2    3, 2   3 5 5 b.  x  7  Bài 3: (4 điểm) x 1   x  7 x 11 0 c) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 2 3 1 : : . Biết rằng tổng các bình phương của ba số 5 4 6 đó bằng 24309. Tìm số A. d) Cho a2  c2 a a c  . Chứng minh rằng: 2 2  b c b c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH  BC  H  BC  . Biết HBE = 50o ; MEB =25o . Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A  200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: c) Tia AD là phân giác của góc BAC d) AM = BC ……………………………… Hết ……………………………… ĐỀ SỐ 3: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết a  4 Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn  Câu 3. Cho 2 đa thức P x  = x 2 + 2mx + m 2 và Q x  = x 2 + (2m+1)x + m 2 9 9 và nhỏ hơn  11 10 Tìm m biết P (1) = Q (-1) Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết: x y a/  ; xy=84 3 7 1+3y 1+5y 1+7y b/   12 5x 4x Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau : A = x  1 +5 B= x 2  15 x2  3 Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. a. Chứng minh: DC = BE và DC  BE b. Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. Chứng minh: AB = ME và ABC = EMA c. Chứng minh: MA  BC ĐỀ SỐ 4: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1 ( 2 điểm) Thực hiện phép tính :   1 2  1 1 a- 6.    3.    1 : (  1 3  3     3  3 b-  2 2  3 2003   .   . 1 3 4     2 3 2  5    .    5   12  Câu 2 ( 2 điểm) a2  a  3 a- Tìm số nguyên a để là số nguyên a 1 b- Tìm số nguyên x,y sao cho x - 2xy + y = 0 Câu 3 ( 2 điểm) a- Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c (b+d) thì a c với b,d khác 0  b d b- Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+… để được một số có ba chữ số giống nhau . Câu 4 ( 3 điểm) Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADE Câu 5 ( 1điểm) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2 - 2y2 =1 ĐÁP ÁN ĐỀ 1TOÁN 7 Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm mỗi câu 2 điểm) a) 1 n .16  2n ; 8 => 24n-3 = 2n => 4n – 3 = n => n = 1 b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = 4 Bài 2. Thực hiện phép tính: (4 điểm) ( 1 1 1 1 1  3  5  7  ...  49    ...  ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2  (1  3  5  7  ...  49) (       ...   ). 5 4 9 9 14 14 19 44 49 12 = 1 1 1 2  (12.50  25) 5.9.7.89 9 (  ).   5 4 49 89 5.4.7.7.89 28 Bài 3. (4 điểm mỗi câu 2 điểm) a) Tìm x biết: 2x  3  x  2 Ta có: x + 2  0 => x  - 2. + Nếu x  - 3 thì 2x  3  x  2 => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn) 2 + Nếu - 2  x < - 5 3 Thì 2x  3  x  2 => - 2x - 3 = x + 2 => x = - (Thoả mãn) 2 3 + Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x  2006  2007  x Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1 + Nếu 2006  x  2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1 + Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1. Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006  x  2007 Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng. (4 điểm mỗi) Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đường thẳng, ta có: x–y= 1 (ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ) 3 và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) Do đó: x 12 x y xy 1 1      : 11  y 1 12 1 11 3 33  x= 12 4 (giờ) ( vòng )  x  33 11 Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên một đường thẳng là 4 giờ 11 Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi) Đường thẳng AB cắt EI tại F  ABM =  DCM vì: E AM = DM (gt), MB = MC (gt), F AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM I A =>FB // ID => ID  AC Và FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) B H C M Từ (1) và (2) =>  CAI =  FIA (AI chung) => IC = AC = AF D và E FA = 1v (3) (4) Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( cùng phụ ABC) => EAF = ACB Từ (3), (4) và (5) =>  AFE =  CAB =>AE = BC ĐÁP ÁN ĐỀ 2 TOÁN 7 Bài 1:(4 điểm): a) (2 điểm) (5) 212.35  46.92 510.73  255.492 212.35  212.34 510.73  5 .74 A   12 6 12 5  9 3 9 3 3 6 3 9 3 2 4 5 2 .3  2 .3 5 .7  5 .2 .7 125.7  5 .14  2 .3  8 .3   212.34.  3  1 510.73. 1  7   12 5  2 .3 .  3  1 59.73. 1  23  10 3 212.34.2 5 .7 .  6   12 5  9 3 2 .3 .4 5 .7 .9 1 10 7    6 3 2 b) (2 điểm) 3n2  2n2  3n  2n = 3n2  3n  2n2  2n = 3n (32  1)  2n (22  1) = 3n 10  2n  5  3n 10  2n1 10 Vậy 3n2  2n2  3n  2n = 10( 3n -2n) 10 với mọi n là số nguyên dương. Bài 2:(4 điểm) a) (2 điểm) x 1 4 2 1 4 16 2    3, 2    x     3 5 5 3 5 5 5  x 1 4 14   3 5 5  x 1 2 1  x   2   13  x 2 3  3  x  2 1  7 3 3   x21 5 3 3  b) (2 điểm)  x  7 x 1   x  7   x  7 x 1 x 11 0 1   x  7 10   0   10   x  7  x 1 1   x  7 10   0     x 7  x 10      1( x 7)10 0     x 7010 x7  ( x 7) 1 x8 Bài 3: (4 điểm) a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. Theo đề bài ta có: a : b : c = 2 3 1 : : (1) 5 4 6 và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c 2 3 k   = k  a  k; b  k; c  2 3 1 5 4 6 5 4 6 4 9 1 Do đó (2)  k 2 (   )  24309 25 16 36  k = 180 và k = 180 Từ (1)  + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. + Với k = 180 , ta được: a = 72 ; b = 135 ; c = 30 Khi đó ta có só A = 72 +( 135 ) + ( 30 ) = 237 . b) (1,5 điểm) Từ a c  suy ra c2  a.b c b a 2  c 2 a 2  a.b khi đó 2 2  2 b c b  a.b a ( a  b) a  = b( a  b) b Bài 4: (4 điểm) A a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) I AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC = EMB (c.g.c điểm  AC = M B C H ) 0,5 K EB E Vì AMC = EMB  MAC = MEB (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt ) MAI = MEK ( vì AMC  EMB ) AI = EK (gt ) Nên AMI  EMK ( c.g.c ) Suy ra AMI = EMK Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )  EMK + IME = 180o  Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o  HBE = 90o - HBE = 90o - 50o =40o