Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

50 đề HSG toán 9 cấp tỉnh

873df1372b1706953a9e9feb42bff11b
Gửi bởi: Khoa CNTT - HCEM 17 tháng 12 2020 lúc 10:13:52 | Được cập nhật: hôm kia lúc 2:55:17 Kiểu file: PDF | Lượt xem: 1124 | Lượt Download: 47 | File size: 6.1974 Mb

Nội dung tài liệu

Tải xuống
Link tài liệu:
Tải xuống

Các tài liệu liên quan


Có thể bạn quan tâm


Thông tin tài liệu



Sưu tầm và tổng hợp

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
CẤP TỈNH MÔN TOÁN LỚP 9

Thanh Hóa, ngày 8 tháng 3 năm 2020

2

Website:tailieumontoan.com

MỤC LỤC
Phần 1. Đề thi
Phần 2. Đáp án


Đề 1:______________________________________________________Trang ….58



Đề 2:______________________________________________________Trang ….62



Đề 3:______________________________________________________Trang ….65



Đề 4:______________________________________________________Trang ….69



Đề 5:______________________________________________________Trang ….73



Đề 6:______________________________________________________Trang ….77



Đề 7:______________________________________________________Trang ….84



Đề 8:______________________________________________________Trang ….89



Đề 9:______________________________________________________Trang ….93



Đề 10:_____________________________________________________Trang ….99



Đề 11:_____________________________________________________Trang ….104



Đề 12:_____________________________________________________Trang ….110



Đề 13:_____________________________________________________Trang ….113



Đề 14:_____________________________________________________Trang ….116



Đề 15:_____________________________________________________Trang ….121



Đề 16:_____________________________________________________Trang ….127



Đề 17:_____________________________________________________Trang ….131



Đề 18:_____________________________________________________Trang ….134



Đề 19:_____________________________________________________Trang ….141



Đề 20:_____________________________________________________Trang ….144



Đề 21:_____________________________________________________Trang ….152



Đề 22:_____________________________________________________Trang ….156



Đề 23:_____________________________________________________Trang ….160



Đề 24:_____________________________________________________Trang ….163



Đề 25:_____________________________________________________Trang ….168



Đề 26:_____________________________________________________Trang ….173



Đề 27:_____________________________________________________Trang ….176



Đề 28:_____________________________________________________Trang ….180



Đề 29:_____________________________________________________Trang ….183



Đề 30:_____________________________________________________Trang ….187



Đề 31:_____________________________________________________Trang ….190



Đề 32:_____________________________________________________Trang ….195



Đề 33:_____________________________________________________Trang ….199



Đề 34:_____________________________________________________Trang ….202

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

3

Website:tailieumontoan.com



Đề 35:_____________________________________________________Trang ….207



Đề 36:_____________________________________________________Trang ….211



Đề 37:_____________________________________________________Trang ….213



Đề 38:_____________________________________________________Trang ….216



Đề 39:_____________________________________________________Trang ….219



Đề 40:_____________________________________________________Trang ….223



Đề 41:_____________________________________________________Trang ….226



Đề 42:_____________________________________________________Trang ….229



Đề 43:_____________________________________________________Trang ….234



Đề 44:_____________________________________________________Trang ….237



Đề 45:_____________________________________________________Trang ….241



Đề 46:_____________________________________________________Trang ….243



Đề 47:_____________________________________________________Trang ….246



Đề 48:_____________________________________________________Trang ….250



Đề 49:_____________________________________________________Trang ….254



Đề 50:_____________________________________________________Trang ….258

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

4

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH ĐIỆN BIÊN

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Ngày thi: 09/4/2019

Đề số 1

Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi có một trang)
Câu 1. (5,0 điểm)


1. Cho biểu thức P =  1 +




x   1
2

 : 
 − 1.
x +1  x −1 x x + x − x −1

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm các giá trị của x để biểu thức Q = x − P nhận giá trị nguyên.

)(

(

)

2. Cho x + x 2 + 1 2y + 4y 2 + 1 = 1 . Tính giá trị biểu thức x3 + 8y3 + 2019.
Câu 2. (4,0 điểm)
1. Giải phương trình: 2x 2 + x + 3 = 3x x + 3.
 3 6
x − y = 2
2. Giải hệ phương trình: 
 3x − 8 = −2.

y3

Câu 3. (3,0 điểm)
1. Chứng minh:

1
2 2 +1 1

+

1
3 3 +2 2

+ ... +

1

( n + 1) n + 1 + n n

 1−

1
n +1

( n 

*

)

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 5x2 + 9y2 − 12xy + 24x − 48y + 82 .
Câu 4. (6,0 điểm)
1. Cho ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ các đường cao BE, CF
của ABC ( E  AC; F  AB). Các đường cao BE, CF cắt (O) lần lượt tại M và N .
a) Chứng minh rằng MN song song với EF; OA vuông góc với EF .
b) Gọi H là trực tâm của ABC . Chứng minh rằng: CH.CF + BH.BE = BC2 .
2. Cho điểm O thuộc miền trong của ABC . Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh của BC ,
AC, AB lần lượt tại G, E,F . Chứng minh tổng

OA OB OC
không phụ thuộc vào
+
+
AG BE CF

vị trí điểm O.
Câu 5. (2,0 điểm)
1. Chứng minh rằng P = x3 − 3x2 − 3x + 3 là một số chính phương khi x = 1 + 3 2 + 3 4 .
2. Tìm x, y  thỏa mãn: x2 − 2y2 = 5 .
___________________Hết_________________

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

5

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH LẠNG SƠN

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Ngày thi: 23/3/2019

Đề số 2

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi có một trang)
Câu 1. (4 điểm)
x x −3

Cho biểu thức A =



2

(

x −3

x−2 x −3
x +1
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Câu 2. (4 điểm)

)+

x +3
3− x

với x  0; x  9.

Cho phương trình x 2 – 2 ( m + 4 ) x + m 2 + 8m – 9 = 0 .
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Tìm m nguyên dương để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x 2 sao cho

P=

x12 + x22 − 60
đạt giá trị nguyên.
x1 + x 2

Câu 3. (4 điểm)
a) Giải phương trình x − 4 x +

1 4

+5=0.
x
x

b) Tìm tất cả các cặp ( x; y ) nguyên thỏa mãn x2 y 2 + ( x − 2 ) + ( 2y − 2 ) − 2xy ( x + 2y − 4 ) = 5 .
2

2

Câu 4. (6 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC ( AB  AC ) nội tiếp trong đường tròn ( O ) , các đường cao

BE,CF cắt nhau tại H ( E  AC,F  AB ).
a) Gọi K = EF  BC , L = AK  ( O ) với L  A . Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp và
HL ⊥ AK .
b) Chứng minh rằng đường thẳng HL đi qua trung điểm của BC .

c) Gọi T là điểm trên đoạn thẳng FC sao cho ATB = 90 0 . Chứng minh rằng các
đường tròn ngoại tiếp hai tam giác KLT và CET tiếp xúc với nhau.
Câu 5. (2 điểm)
Cho đa giác đều 30 đỉnh. Chứng minh rằng trong các đỉnh đó, bất kì một bộ gồm có
9 đỉnh nào đều chứa 4 đỉnh tạo nên một hình thang cân.
___________________Hết_________________

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

6

Website:tailieumontoan.com
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NGHỆ AN

Môn thi: TOÁN - BẢNG A
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 3
(Đề thi có một trang)
Câu 1. (3,0 điểm)
a. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2y2 − xy + x − 2y + 5 = 0 .
n

b. Chứng minh rằng A = 22 + 4n + 16 chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương n.
Câu 2. (6,5 điểm)
a. Giải phương trình:

8x 3 + 4x
2x + 3 =

2x + 5

2
2

( x − 1) + ( y − 3 ) = 1
b. Giải hệ phương trình: 

( x − 1)( y − 3 ) − x − y = −3.

Câu 3. (2,5 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4

4

4

 a   b   c 
P=
 +
 +
 .
a+ b  b+c   c+a 

Câu 4. (6,0 điểm)
1. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D, E, F lần lượt là chân các
đường cao kẻ từ ba đỉnh A, B, C của tam giác. Đường thẳng EF cắt đường tròn (O)
tại điểm thứ nhất M (M khác phía với O so với đường thẳng AB), đường thẳng BM
cắt đường thẳng DF tại N. Chứng minh rằng:
a. EF ⊥ OA.
b. AM = AN.
2. Cho tam giác nhọn ABC, D là điểm trong tam giác đó sao cho ADB = ACB + 900
và AC.BD = AD.BC. Chứng minh

AB.CD
= 2.
AC.BD

Câu 5. (2,0 điểm)
Trong hình vuông cạnh bằng 1 có 2019 điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại
một hình tròn bán kính bằng

1
nằm trong hình vuông đó mà không chứa điểm
91

nào trong 2019 điểm đã cho.
___________________Hết_________________

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

7

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH QUẢNG BÌNH

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Ngày thi: 14/3/2019

Đề số 4

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi có một trang)
Câu 1. (2.5 điểm)
a. Cho biểu thức A =

1
x +1

-

3
x x +1

+

2
x - x +1

với x  0. Rút gọn và tìm giá

trị lớn nhất của A.
b. Không dùng máy tính cầm tay, hãy rút gọn biểu thức
B = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 .

Câu 2. (2.0 điểm)

( )

4
3
2
a. Xác định các hệ số a và b để đa thức P x = x − 2x + 3x + ax + b là bình phương

của một đa thức.
2
b. Giải phương trình: 3 − 4x + 4x + 1 = −16x − 8x + 1 (1).

Câu 3. (2,5 điểm)
Cho đường tròn ( O ) và dây cung BC = a không đổi ( O Ï BC ). A là một điểm di
động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE,
CK cắt nhau tại H ( D  BC,E  AC,K  AB ).
a. Trong trường hợp BHC = BOC , tính AH theo a.
b. Trong trường hợp bất kì, tìm vị trí của A để tích DH.DA nhận giá trị lớn nhất.
Câu 4. (1.0 điểm)
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho C = 2019n + 2020 là số chính phương.
Câu 5. (1.0 điểm).
Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn

x+y+z+6  2

(

x + y + z + 2 = xyz . Chứng minh rằng:

)

yz + zx + xy .

Câu 6. (1.0 điểm)
Cho tam giác vuông ABC có AB = 3,AC = 4, BC = 5 . Xét các hình chữ nhật MNPQ
sao cho M, N thuộc cạnh BC, P thuộc cạnh AC, Q thuộc cạnh AB. Hãy xác định các
kích thước của hình chữ nhật MNPQ để nó có diện tích lớn nhất.
___________________Hết_________________
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

8

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH ĐỒNG NAI

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Ngày thi: 29/3/2019

Đề số 5

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi có một trang)
Câu 1. (4,5 điểm)

x − y = m + 1
1) Cho (x, y) là nghiệm của hệ phương trình 
(với m là tham số thực).
2x − 3y = m + 3
Tìm m để biểu thức P = x2 + 8y đạt giá trị nhỏ nhất.
 x 2 + y 2 = 1
2) Giải hệ phương trình  3
(với x, y thuộc R).
3
 x − y = −1

Câu 2. (4,5 điểm)
1) Giải phương trình x 4 − 9x 3 + 24x 2 − 27x + 9 = 0 (x  R)
2) Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh:

a b c
 a
b
c 
+ + + 3  4
+
+

b c a
a+ b b+c c+a 
Câu 3. (4,5 điểm)
1) Cho a, b, c là ba số nguyên khác 0 thỏa

1 1 1
= + . Chứng minh rằng: abc chia hết
a b c

cho 4.
2) Tìm số các số nguyên dương không vượt quá 1000 nguyên tố cùng nhau với 999.
Câu 4. (2 điểm)
Cho A =

1
1+ 2

+

2
2+ 3

+

3
3+ 4

+ .... +

99
99 + 100

là tổng của 99 số hạng và

B = 2 + 3 + 4 + ... + 100 là tổng của 99 số hạng.

Tính A + B
Câu 5. (4,5 điểm)
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D, E lần lượt là hai tiếp điểm của AB,
AC với đường tròn (I). Biết ba góc BAC, ABC, BCA , đều là góc nhọn. Gọi M và N lần
lượt là trung điểm của hai đoạn BC và AC.
1) Chứng minh: 2AD = AB + AC – BC
2) Chứng minh rằng ba đường thẳng BI, DE, MN đồng quy.
___________________Hết_________________
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

9

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH THANH HÓA

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Ngày thi: 22/3/2019

Đề số 6

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi có một trang)
Câu 1. (4,0 điểm)


x
x − x −1  x + 2
x−5 

:

1. Rút gọn biểu thức P = 
, với x  0,x  4.

 x − 2 x − 2 x   x + 1 x − x − 2 

 

2. Cho a = 3 7 + 50 , b = 3 7 − 50 . Không dùng máy tính, hãy chứng minh các biểu
thức M = a + b và N = a7 + b7 có giá trị đều là số chẵn.
Câu 2. (4,0 điểm)
1. Giả sử x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x2 + 2kx + 4 = 0 ( k là tham số ). Tìm
2

2

x  x 
tất cả các giá trị của k sao cho :  1  +  2   3
 x 2   x1 
x + x 2 + 1 = 2y + 1
2. Giải hệ phương trình 
.
2
 y + y + 1 = 2x + 1
Câu 3. (4,0 điểm)

2 2
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình x y ( x + y ) + x = 2 + y ( x − 1)

2. Cho n  * . Chứng minh rằng nếu 2n + 1 và 3n + 1 là các số chính phương thì n
chia hết cho 40 .
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho đường tròn ( O, R ) và một điểm A cố định ở bên ngoài đường tròn, OA = 2R .
Từ A kẻ các tiếp tuyến AB,AC đến đường tròn ( O ) ( B,C là các tiếp điểm). Đường thẳng

OA cắt dây BC tại I . Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC . Tiếp tuyến tại M của
đường tròn ( O ) cắt AB,AC lần lượt ở E,F . Dây BC cắt OE,OF lần lượt tại các điểm P, Q
1. Chứng minh ABI = 60 0 và tứ giác OBEQ nội tiếp.
2. Chứng minh EF = 2PQ .
3. Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC sao cho tam giác OPQ có diện tích
nhỏ nhất. Tính diện tích nhỏ nhất đó theo R .
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho x, y , z là các số thực dương thỏa mãn x + y − z + 1 = 0. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:

P=

x3 y3

( x + yz )( y + xz )( z + xy )

2

___________________Hết_________________
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

10

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH BÌNH PHƯỚC

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Ngày thi: 06/3/2019

Đề số 7

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi có một trang)
Câu 1. ( 5.0 điểm )


 
 :  3 x − 1 + 1 − 1  .
+
 3 + x − 1
x − 1 
3 − x − 1 3 + x − 1   x − 1 − 3 x − 1



1. Cho biểu thức P = 

x −1

(

x+8

)(

a) Rút gọn P .
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 3 + 2 2 −

)

(

5 +1

)

3 − 2 2 + 5 1− 2 .

2. Cho x,y là các số thực thỏa mãn: x + y = 1 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 2x 4 + x 3 ( 2y − 1) + y 3 ( 2x − 1) + 2y 4 .
Câu 2. ( 5.0 điểm )
1. Giải phương trình: 3x + 5 − x + 2 = 4x − 2x − 3 .
xy − 2x + y = 6
2. Giải hệ phương trình: 
2
2
( x + 1) + ( y − 2 ) = 8
3. Cho hàm số ( P ) : y = x 2 . Tìm các giá trị của m để đường thẳng ( d ) : y = 2x + m − 1
cắt đồ thị hàm số ( P ) tại hai điểm phân biệt A ( x1 ; y1 ) , B ( x 2 ; y 2 ) thỏa mãn
y1 .y 2 − x1 .x 2 = 12 .

Câu 3. ( 5.0 điểm )
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) , D là một điểm trên cạnh AB , ( D  A, B ) .
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CB, CA . Đường thẳng MN cắt ( O ) tại hai điểm

P, Q ( P, Q lần lượt thuộc cung CB và CA ). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt BC
tại I ( I  B ) . Các đường thẳng DI và AC cắt nhau tại K .
a) Chứng minh tứ giác CIPK nội tiếp.
b) Chứng minh PK .QC = QB.PD .
c) Đường thẳng AP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G ( G  P ) . Đường thẳng

IG cắt BA tại E . Chứng minh rằng khi D di chuyển trên BA thì

AD
không đổi.
AE

Câu 4. ( 2.0 điểm )
Cho hình chữ nhật ABCD với AB = a, AD = b . Trên các cạnh AD, AB, BC , CD lần lượt
lấy các điểm E , F , G, H sao cho luôn tạo thành tứ giác EFGH . Gọi c là chu vi của tứ giác

EFGH . Chứng minh c  2 a2 + b2 .
Câu 5. ( 3.0 điểm )
1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 4y4 + 6y2 − 1 = x .
2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n chẵn thì: n3 + 20n + 96 chia hết cho 48 .
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

11

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH SƠN LA

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Ngày thi: 18/3/2019

Đề số 8

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi có một trang)
Câu 1. (3,0 điểm)
Cho biểu thức: A =

6x + 4



3x

3 3x 3 − 8 3x + 2 3x + 4
Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Câu 2. (4,0 điểm)
Cho phương trình x 2 − 2 ( m − 1) x + 3m − 3 = 0 (1)

a) Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn biểu
thức M = x12 + x2 2 + 5x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
Câu 3. (5,0 điểm)
a) Giải phương trình:

2x
13x
+
=6
2x2 − 5x + 3 2x2 + x + 3

x 3 + 2xy 2 + 12y = 0
b) Giải hệ phương trình:  2
2
8y + x = 12
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ
đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d).
Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của
BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt
MN tại K.
a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.
c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng
MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME.
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD và 2019 đường thẳng phân biệt thỏa mãn: mỗi đường thẳng
đều cắt hai cạnh đối của hình vuông và chia hình vuông thành 2 phần có tỷ số diện tích là

1
. Chứng minh rằng: trong 2019 đường thẳng trên có ít nhất 505 đường thẳng đồng qui.
2
___________________Hết_________________
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

12

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH NINH BÌNH

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 9

Ngày thi: 13/3/2019
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi có một trang)
Câu 1. (4,0 điểm)
1. Gọi x1 , x 2 , x 3 là 3 nghiệm của phương trình x3 − 5x2 + 5x − 1 = 0 . Tính giá trị biểu
thức S =

1
1
1
+ 2+ 2.
2
x1 x 2 x 3

 x−3 x   3− x
x −2
9−x 
2. Rút gọn biểu thức A =  1 −
với x  0 , x  4
:
+



  x − 2 3 + x x + x − 6 
x

9

 

, x  9.
Câu 2. (4,0 điểm)
2

(y − 2x)(1 − y − x) = 2x − x
1. Giải hệ phương trình 
.
3 2
x(y

1)
+
x

y
=
2



2. Giải phương trình x 2 + x + 24 − 2x 2x + 3 = 6 12 − x .
Câu 3. (4,0 điểm)
1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình x2 y2 − x2 + 5y2 − 22x − 121 = 0 .
2. Cho các số thực dương x, y,z thỏa mãn x + y + z = 2019 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P =

1
3
3
3
+
+
+
.
2
2
x + y + z 4xy 4yz 4zx
2

Câu 4. (6,0 điểm)
1. Qua điểm M nằm trong tam giác ABC kẻ DK//AB , EF//AC , PQ//BC ( E, P  AB
; K, F  BC ; D,Q  CA ). Biết diện tích các tam giác MPE, MQD, MKF lần lượt là x 2 , y 2 , z 2
với x, y, z là các số thực dương. Tính diện tích tam giác ABC theo x, y, z .
2. Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn tâm O. M là điểm bất kỳ trên
dây BC (M khác B, M khác C). Vẽ đường tròn tâm D đi qua M và tiếp xúc với AB tại B, vẽ
đường tròn tâm E đi qua M và tiếp xúc với AC tại C. Gọi N là giao điểm thứ hai của hai
đường tròn (D) và (E) .
a) Chứng minh rằng tứ giác ABNC là tứ giác nội tiếp. Từ đó chứng minh điểm N
thuộc đường tròn (O) và ba điểm A, M, N thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng trung điểm I của đoạn thẳng DE luôn nằm trên một đường
thẳng cố định khi điểm M di động trên dây BC.
Câu 5. (2,0 điểm)
1. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố ( p;q;r ) sao cho pqr = p + q + r + 160 .
2. Cho 8 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 210. Chứng minh rằng trong 8
đoạn thẳng đó luôn tìm được 3 đoạn thẳng để ghép thành một tam giác.
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

13

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH NAM ĐỊNH

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 10
(Đề thi có 2 trang)
Câu 1. (3,0 điểm)
4

1. Rút gọn biểu thức P =

2 + 7 − 2 10



1− 9 + 4 2
7 − 89 − 28 10

.

xz

z
2. Xét ba số thực dương x, y , z thoả mãn
+ =
2
z+ z +1 y

1
xy + x yz + 1

+

1
yz + y + 1

+

1
zx + z + 1

z2 + 1
. Chứng minh rằng
y

= 1.

Câu 2. (5,0 điểm)
1. Giải phương trình x3 + x2 + 2x =

(

4 5 2
x +2
15

)

x4 + 4 .

 ( x − y ) 2 − 1 2 ( x + y − 1)


= −4

2. Giải hệ phương trình 
.
xy
x+y
 2

4x + 5y + x + y − 1 + 6 x = 13

Câu 3. (3,0 điểm)
1. Cho các đa thức P ( x ) và Q ( x ) thoả mãn P ( x ) =

(

)

1
Q ( x ) + Q (1 − x ) x 
2

(

. Biết

)

rằng các hệ số của P ( x ) là các số nguyên không âm và P ( 0 ) = 0 . Tính P 3P ( 3 ) − P ( 2 ) .
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn phương trình

( x − y − 1)( x + 1 − y ) + 6xy + y ( 2 − x − y ) = 2 ( x + 1)( y + 1) .
Câu 4. (7,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( O; R ) , vẽ đường tròn ( O '; R ')
( R '  R ) tiếp xúc với cạnh AD tại H , tiếp xúc với cạnh BC tại G và tiếp xúc trong với
đường tròn ( O ) tại M (điểm M thuộc cung CD không chứa điểm A ). Vẽ đường thẳng t t '
là tiếp tuyến chung tại M của hai đường tròn ( O ) và ( O ') (tia Mt nằm trên nửa mặt phẳng
2

bờ là đường thẳng MA chứa điểm D ).
1. Chứng minh DHM = DMt + AMH và MH , MG lần lượt là tia phân giác của các góc

AMD và góc BMC .
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

14

Website:tailieumontoan.com
2. Đường thẳng MH cắt đường tròn ( O ) tại E ( E khác M ). Hai đường thẳng HG và

CE cắt nhau tại I . Chứng minh EHI = EIM.
3. Chứng minh đường thẳng HG đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACD .
Câu 5. (2,0 điểm)
1. Cho ba số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng

1
1
1
1 1 1 1 
+
+
  2 + 2 + 2 .
2
2
2
c ( c + a + 3b ) + c a ( a + b + 3c ) + a b ( b + c + 3a ) + b 6  a b c 
2. Cho một đa giác có 10 đỉnh như hình vẽ ở bên (bốn
đỉnh: A, B, C, D hoặc B, C, D, E hoặc C, D, E, F hoặc …
hoặc J, A, B, C được gọi là bốn đỉnh liên tiếp của đa giác).
Các đỉnh của đa giác được đánh số một cách tuỳ ý bởi các số

nguyên thuộc tập hợp 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 (biết mỗi
đỉnh chỉ được đánh bởi một số, các số được đánh ở các đỉnh
là khác nhau). Chứng minh rằng ta luôn tìm được 4 đỉnh liên
tiếp của đa giác được đánh số mà tổng các số đó lớn hơn 21.

___________________Hết_________________

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

15

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH BẮC NINH

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 11
(Đề thi có 1 trang)
Câu 1. (4,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức:


 2(a + b)
  a 3 + 2 2b3
a
P=

.
− a  với a  0, b  0,a  2b.

 a 3 − 2 2b3 a + 2ab + 2b   2b + 2ab





(

)

2) Cho hàm số y = m 2 − 4m − 4 x + 3m − 2 có đồ thị là d . Tìm tất cả các giá trị của

m để đường thẳng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm A , B sao cho tam
giác OA B có diện tích là 1 cm 2 (O là gốc tọa độ, đơn vị đo trên các trục là cm ).
Câu 2. (4,0 điểm)
1) Cho phương trình x 2 − ( 3m − 2 ) x + 2m 2 − 5m − 3 = 0 , x là ẩn, m là tham số. Tìm
tất cả giá trị của m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương.
 2x − y − 1 + 3y + 1 = x + x + 2y
2) Giải hệ phương trình  3
3
2
x − 3x + 2 = 2y − y
Câu 3. (4,0 điểm)
1) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn các điều kiện (a + c)(b + c) = 4c 2 . Tìm giá
a
b
ab
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
.
+
+
b + 3c a + 3c bc + ca
2) Tìm số nguyên tố p thỏa mãn p3 − 4p + 9 là số chính phương.
Câu 4. (7,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn ( O )( AB  AC ) và đường cao AD .
Vẽ đường kính AE của đường tròn ( O ) .
a) Chứng minh rằng AD.AE = AB.AC .
b) Vẽ dây AF của đường tròn ( O ) song song với BC,EF cắt AC tại Q, BF cắt AD
tại P . Chứng minh rằng PQ song song với B C .
c) Gọi K là giao điểm của AE và BC . Chứng minh rằng:
AB.AC − AD.AK = BD.BK.CD.CK

2) Cho tam giác ABC có BAC = 90 ,ABC = 20 . Các điểm E và F lần lượt nằm

·

·

·

trên các cạnh A C , A B sao cho A BE = 10o và ACF = 30o . Tính CFE .
Câu 5. (1,0 điểm)
Trong kì thi Olympic có 17 học sinh thi môn Toán được mang số báo danh là số tự
nhiên trong khoảng từ 1 đến 1000. Chứng minh rằng có thể chọn ra 9 học sinh thi toán
có tổng các số báo danh được mang chia hết cho 9.
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

16

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH HƯNG YÊN

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017 – 2018
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 12
(Đề thi có một trang)

Câu 1. (4 điểm)
a) Cho hai số thực dương 𝑎, 𝑏 thỏa mãn:

1 1
1
+ =
. Chứng minh rằng:
a b 2018

a + b = a − 2018 + b − 2018
b) Cho 𝑎 là nghiệm dương của phương trình 6x 2 + 3x − 3 = 0
a+2
Tính giá trị biểu thức A =
4
a + a + 2 − a2
Câu 2. (4 điểm)

(

a) Giải phương trình: 1 − 1 − x

)

3

2−x = x

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (𝑥; 𝑦) thỏa mãn:

( x − 2018 )

2

= y 4 − 6y 3 + 11y 2 − 6y

Câu 3. (4 điểm)
2

x − y)
(

a) Giải hệ phương trình:  2x + 1 + 2y + 1 =
2
 ( 3x + 2y )( y + 1) = 4 − x 2


b) Cho ba số thực dương x, y,z thỏa mãn 2 y + z =
rằng:

1
x

2√𝑦 + √𝑧 =

1
√𝑥

. Chứng minh

3yz 4zx 5xy
+
+
4
x
y
z

Câu 4. (6 điểm)

Cho đường tròn ( O; R ) và điểm A cố đỉnh với OA = 2R ; đường kính BC quay quanh O sao
cho tam giác ABC là tam giác nhọn. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng
OA tại điểm thứ hai là I. Các đường thẳng 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 cắt (O;R) lần lượt tại điểm thứ hai là 𝐷
và 𝐸. Gọi 𝐾 là giao điểm của 𝐷𝐸 với 𝑂𝐴.
a) Chứng minh AK.AI=AE.AC
b) Tính độ dài đoạn 𝐴𝐾 theo R
c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐷𝐸 luôn thuộc một đường thẳng
cố định.
Câu 5. (2 điểm)
Từ 625 số tự nhiên liên tiếp 1; 2; 3; …; 625 chọn ra 311 số sao cho không có hai số nào có
tổng bằng 625. Chứng minh rằng trong 311 số được chọn, bao giờ cũng có ít nhất một số
chính phương
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

17

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH KHÁNH HÒA

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017 – 2018
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Ngày thi: 14/3/2018

Đề số 13

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi có một trang)
Câu 1. (4,00 điểm)

)

(

Giải phương trình 2 5x + 3 x 2 + x − 2 = 27 + 3 x − 1 + x + 2 .
Câu 2. (4,00 điểm)
a) Chứng minh rằng

3

70 − 4901 + 3 70 + 4901 là một số nguyên.

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có
1
1
1
1
+ 3 +
+ +
3.
3
2 3 2 4 3
( n + 1) 3 n
Câu 3. (2,00 điểm)
Cho hai số thực x và y thỏa mãn x2 + xy + y2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = x3 y + y 3 x .
Câu 4. (2,00 điểm)
Cho p là một số nguyên tố thỏa mãn p = a3 − b3 với a,b là hai số nguyên dương
phân biệt. Chứng minh rằng nếu lấy 4p chia cho 3 và loại bỏ phần dư thì nhận được
một số là bình phương của một số nguyên lẻ.
Câu 5. (6,00 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) . Gọi E,F lần lượt là các chân
đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC . Đường tròn (I) đi qua E,F và tiếp xúc
với BC tại điểm D . Chứng minh rằng

DB 2 BF.BE
.
=
DC 2 CF.CE

Câu 6. (2,00 điểm)

Trên bàn có n ( n  ,n  1) viên bi. Có hai người lần lượt lấy bi. Mỗi người đến lượt
mình được lấy một số viên bi tùy ý (ít nhất 1 viên bi) trong những viên bi còn lại
trên bàn, nhưng không vượt quá số viên bi mà người lấy trước vừa lấy, biết rằng
người lấy đầu tiên lấy không quá n −1 viên bi. Người nào lấy viên bi cuối cùng
được xem là chiến thắng. Tìm các số n sao cho người lấy trước có chiến lược thắng.

___________________Hết_________________

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

18

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH KIÊN GIANG

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017 – 2018

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 14

MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 13/3/2018
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi có một trang)
Câu 1.
(3 điểm)
1) Cho biểu thức A = n 2 + 4n + 5 ( n  N ) ( n lẻ). Chứng minh A không chia hết cho 8 .
2)
Câu 2.

Cho số x ( x  ; x  0 ) thỏa mãn điều kiện: x2 +
(3 điểm)

Rút gọn biểu thức: X = 1 +
Câu 3.
1)
2)

1
1
= 7 . Tính giá trị của: B = x5 + 5
2
x
x

1 1
1 1
1 1
1
1
+ 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 +
+
.
2
2
1 2
2 3
3 4
2017
20182

(4 điểm)
Giải phương trình: 3x + 2 27x3 + 8 = 9x2 + 6 .
Tìm 2 số m , n cùng dấu thỏa mãn điều kiện: m + 2 n đạt giá trị nhỏ nhất sao

cho hai phương trình sau có nghiệm chung: x2 + mx + 2 = 0 ; x2 + 2nx + 6 = 0 .
Câu 4. (3 điểm)
1)
Cho phương trình: x 2 + 2 ( m − 3 ) x − m − 3 = 0 . Tìm các giá trị của m để phương
trình có một nghiệm nhỏ hơn 2 và một nghiệm lớn hơn 2 .
y
x
z
t
2)
Cho x , y , z , t > 0. Chứng minh rằng:
+
+
+
 2.
y+z z+t t+x x+y
(3,5 điểm) Để có được tờ giấy khổ A4 (kích thước xấp xỉ 21 cm  29, 7 cm) người
ta thực hiện như hình vẽ minh họa bên.
Bước 1: Tạo ra hình vuông ABCD cạnh a = 21 cm.
Bước 2: Vẽ cung tròn tâm A bán kính AC cắt tia AD tại F .
Bước 3: Tạo hình chữ nhật ABEF .
Khi đó hình chữ nhật ABEF chính là tờ giấy A4 thông dụng
hiện nay.
Bạn An ngồi nghịch xếp tờ giấy A4 này theo đường thẳng AE
, rồi xếp theo đường thẳng FM ( M là trung điểm BE ) khi
mở tờ giấy ra. An ngạc nhiên thấy hai đường thẳng FM và
AE vuông góc với nhau. Em hãy chứng minh giúp bạn An vẽ
điều đó.
Câu 6. (4 điểm)
Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O ,
trên dây cung DC lấy điểm E sao cho DC = 3DE , nối AE cắt cung nhỏ CD tại
M . Trên cung nhỏ CB lấy điểm N sao cho cung nhỏ DM bằng cung nhỏ CN ,
nối AN cắt dây cung BC tại F . Chứng minh rằng: F là trung điểm của BC .
Câu 5.

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

19

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH THANH HÓA

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017 – 2018
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Ngày thi: 10/3/2018

Đề số 15

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi có một trang)
Câu 1. (4,0 điểm)

x−2 x

x +1

1 + 2x − 2 x

, với x  0, x  1. Rút gọn
x x −1 x x + x + x
x2 − x
P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên.

1. Cho biểu thức P =

2. Tính giá trị của P =

+

+

4(x + 1)x 2018 − 2x 2017 + 2x + 1
1
3

.
tại x =
2
2x + 3x
2 3 −2 2 3 +2

Câu 2. (4,0 điểm)
1. Biết phương trình (m − 2)x 2 − 2(m − 1)x + m = 0 có hai nghiệm tương ứng là độ
dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Tìm m để độ dài đường cao ứng
2
với cạnh huyền của tam giác vuông đó bằng
.
5
(x + y)2 (8x 2 + 8y 2 + 4xy − 13) + 5 = 0

2. Giải hệ phương trình 
1
2x + x + y = 1

Câu 3. (4,0 điểm)
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình y2 − 5y + 62 = (y − 2)x2 + (y2 − 6y + 8)x.
2. Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn p = a 2 + b2 là số nguyên tố và p − 5
chia hết cho 8. Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn ax2 − by2 chia hết cho p .
Chứng minh rằng cả hai số x, y chia hết cho p .
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC có (O),(I),(I a ) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp, đường
tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A của tam giác với các tâm
tương ứng là O,I,I a . Gọi D là tiếp điểm của (I) với BC , P là điểm chính giữa
cung BAC của (O) , PI a cắt (O) tại điểm K . Gọi M là giao điểm của PO và BC, N
là điểm đối xứng với P qua O.
1. Chứng minh IBI a C là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh NI a là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác I a MP.
3. Chứng minh DAI = KAI a .
Câu 5. (2,0 điểm)

y2
xz
x + 2z 5
Cho x, y,z > 0 thỏa mãn x  z. Chứng minh rằng: 2
+
+
 .
y + yz xz + yz x + z 2
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

20

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH VĨNH PHÚC

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017 – 2018
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Ngày thi: 10/3/2018

Đề số 16

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi có 2 trang)

Câu 1. (2,0 điểm)



a + 2018
a − 2018  a + 1

.

a

1
a
+
2
a
+
1
2
a



1) Rút gọn biểu thức P = 

2) Cho ba số thực dương x, y , z thỏa mãn x + y =

x + y  z ; y  z . Chứng minh rằng

(
y+(
x+

(

)

2

x+ y− z ;

)
z)

x− z

2

y−

2

=

x− z
.
y− z

Câu 2. (2,0 điểm)
1) Tìm số tự nhiên abcd sao cho abcd + abc + ab + a = 4321.

1 1 1
+ +  2. Chứng minh rằng
a b c
1
1
1
2
+
+
 .
2
2
2
2
2
2
3
5a + 2ab + 2b
5b + 2bc + 2c
5c + 2ca + 2a

2) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

Câu 3. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình

1 − x + 4 + x = 3.

( m − 1) x + y = 2
(với m là tham số và x, y là ẩn số).
 x + 2 y = 2

b) Cho hệ phương trình 

Tìm các giá trị m nguyên để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) nguyên.
Câu 4. (3,0 điểm)

1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 12cm, AC = 16cm. Gọi I là giao điểm các
đường phân giác tròn của tam giác ABC , M là trung điểm của cạnh BC. Chứng
minh rằng BI vuông góc với đường thẳng MI .
0
2. Cho hình thoi ABCD có BAD = 50 , O là giao điểm hai đường chéo. Gọi H là

chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng AB. Trên tia đối của tia BC lấy
điểm M ( M khác B ), trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho đường thẳng
HM song song với đường thẳng AN.
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

21

Website:tailieumontoan.com
a) Chứng minh MB.DN = BH . AD;
b) Tính số đo MON .

3. Cho đường tròn ( O ) cố định và hai điểm phân biệt B , C cố định thuộc đường
tròn ( O ) . Gọi A là một điểm thay đổi trên đường tròn ( A không trùng với B và C
), M là trung điểm của đoạn thẳng AC. Từ điểm M kẻ đường thẳng ( d ) vuông
góc với đường thẳng AB tại điểm H . Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi trên
đường tròn ( O ) thì điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định.
Câu 5 (1,0 điểm).
Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông;
2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng

1
.
3

Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy.
__________________Hết_________________

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

22

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH HẢI DƯƠNG

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017 – 2018
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Ngày thi: 13/3/2018

Đề số 17

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi có một trang)
Câu 1. (2,0 điểm)

x2 − x

x2 + x

1
. Rút gọn B = 1 − 2A − 4 x + 1 (với 0  x  )
4
x + x +1 x − x +1
1 1 1
b) Cho x, y,z  0 và đôi một khác nhau thỏa mãn + + = 0. Chứng minh rằng
x y z
a) Cho biểu thức A =

+


 2016
1
1
1
2017
2018
+ 2
+ 2
= xy + yz + zx
 2
 x +y +z
x
+
2yz
y
+
2zx
z
+
2xy


Câu 2. (2,0 điểm)

(

a) Giải phương trình:

(

)

(* )

)

)(

x + 5 − x − 2 1 + x 2 + 3x − 10 = 7.

 x 2 + y 2 − xy = 2
b) Giải hệ phương trình:  3
 x = x + y
Câu 3. (2,0 điểm)

a) Tìm các số thực x sao cho x + 2018 và

7
− 2018 đều là số nguyên.
x
2

2

b) Tìm các số tự nhiên có dạng ab. Biết rằng ab − ba là một số chia hết cho 3267.
Câu 4. (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có BDC = 900 , đường phân giác của góc

BAD cắt cạnh BC và đường thẳng CD tại E và F . Gọi O và O’ lần lượt là tâm đường
tròn ngoại tiếp BCD và CEF.
1) Chứng minh rằng O’ thuộc đường tròn ( O ) ;
2) Khi DE vuông góc với BC

a) Tiếp tuyến của ( O ) tại D cắt BC tại G. Chứng minh rằng BG.CE = BE.CG;

b) Đường tròn ( O ) và ( O’) cắt nhau tại H ( H khác C ). Kẻ tiếp tuyến chung IK ( I thuộc

đường tròn ( O ) , K thuộc đường tròn ( O’) và H , I , K nằm cùng phía bờ OO’. Dựng
hình bình hành CIMK. Chứng minh rằng OB + O’C  HM .
Câu 5. (1,0 điểm) Cho x, y,z  0 thỏa mãn x2 + y2 + z2  3xyz. Tìm giá trị lớn nhất của
P=

y2
x2
z2
+
+
.
x4 + yz y 4 + zx z 4 + xy

__________________Hết_________________

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

23

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH THANH HÓA

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016 – 2017
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 18
(Đề thi có một trang)
Câu 1. (4,0 điểm)
Cho biểu thức: P =

(

x

)(

x + y 1− y



) (

y
x+ y

)(

x +1



) (

xy

)(

x +1 1− y

)

1. Rút gọn biểu thức P.
2. Tìm các giá trị x,y nguyên thỏa mãn P = 2.
Câu 2. (4,0 điểm)
1. Tìm m để phương trình

x1 , x 2 , x 3 , x 4 thỏa mãn

(x

2

)

− 1 ( x + 3 )( x + 5 ) = m

có 4 nghiệm phân biệt

1 1
1
1
+ + +
= −1
x1 x 2 x 3 x 4

2
2

 x = 2 + xy
2. Giải hệ phương trình :  2
2

y = 2 + x y

Bài 3. (4 điểm)
1. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh p2016 – 1 chia hết cho 60.
2. Cho x, y , z là các số dương khác nhau đôi một và

x3 + y3 + z3 chia

hết cho

x2 y2 z2 . Tìm thương của phép chia x3 + y3 + z3 : x2 y2 z2
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) và AB  AC. Các tiếp
tuyến tại B và C của ( O ) cắt nhau tại D. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB,
cắt BC và AC lần lượt tại M , N .
1) Chứng minh tứ giác BONC nội tiếp và tam giác ANB cân.
2) Đường thẳng AD cắt đường tròn ( O ) tại I , BI cắt DM tại K. Chứng minh

K là trung điểm của DM .
3) Trên đoạn thẳng BD lấy điểm P sao cho IP / / DN , AP cắt BC tại Q. Gọi G là
trung điểm của DK . Chứng minh ba điểm Q , I , G thẳng hàng.
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho các số thực x, y , z thỏa mãn : 0  x, y,z  2 và x + y + z = 5. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức : A = x + y + z .
__________________Hết_________________
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

24

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH NGHỆ AN

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016 – 2017
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 19
(Đề thi có một trang)
Câu 1. (4 điểm)

a. Tìm các hệ số b, c của đa thức P ( x ) = x 2 + bx + c biết P ( x ) có giá trị nhỏ nhất
bằng

−1 khi x = 2.


x2 + xy 2 − xy − y 3 = 0

b. Giải hệ phương trình 
2 x2 + 1 − 3 x ( y + 1) − y = 0.


Câu 2.(4 điểm)

(

)

a. Giải phương trình x + 2 = 3 1 − x 2 + 1 + x .
b. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
2a
b
c
+
+
thức P =
.
1 + a2
1 + b2
1 + c2
Câu 3. (3 điểm) Cho tam giác ABC có BAC = 1350 , BC = 5cm và đường cao AH = 1cm.
Tính độ dài các cạnh AB và AC.
Câu 4.(5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, D là điểm trên cung BC
không chứa A. Dựng hình bình hành ADCE. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác
ABC, ACE ; P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của K trên các đường thẳng BC, AB và I
là giao điểm của EK với AC.
a. Chứng minh ba điểm P, I và Q thẳng hàng.
b. Chứng minh đường thẳng PQ đi qua trung điểm của đoạn HK.
Câu 5.(4 điểm)
a. Tìm tất cả các số nguyên tố khác nhau m, n, p, q thỏa mãn

1 1 1 1
1
+ + + +
= 1.
m n p q mnpq
b. Trên một bảng có ghi hai số 1 và 5. Ta ghi các số tiếp theo lên bảng theo quy tắc:
Nếu có hai số x,y phân biệt trên bảng thì ghi thêm số z = x + y + xy . Chứng minh rằng các
số được viết trên bảng (trừ số 1) có dạng 3k + 2 (với k là số tự nhiên)
__________________Hết_________________

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

25

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH QUẢNG NAM

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016 – 2017
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 20

Ngày thi: 10/4/2017
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi có một trang)
Câu 1. (5,0 điểm)

1
x−4
2x − 5 x − 1  
x 1 
a) Cho biểu thức P = 
với x  0 và x  .

x x +2+ +



 2x + 3 x − 2
4x − 1  
2
4
x


Rút gọn biểu thức P và tìm x để P 

3
.
2

b) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa ab + bc + ca = 3abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức A =

a3
b3
c3
+
+
.
c + a 2 a + b2 b + c 2

Câu 2. (4,0 điểm)
a) Giải phương trình x2 + 1 + x + 1 − x − 2 = 0 .
xy 2 + 2x − 4y = −1
b) Giải hệ phương trình  2 3
2
x y + 2xy − 4x + 3y = 2
Câu 3. (4,0 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a, b) thỏa mãn đẳng thức:

a 3 − b3 + 3(a 2 − b 2 ) + 3(a − b) = (a + 1)(b + 1) + 25 .
b) Cho hai số nguyên a và b thỏa 24a2 + 1 = b2 . Chứng minh rằng chỉ có một số a
hoặc b chia hết cho 5.
Câu 4. (2,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC cân tại A và nội tiếp trong đường tròn (O) đường kính AK; lấy
điểm I thuộc cung nhỏ AB của đường tròn (O) (I khác A, B). Gọi M là giao điểm của IK và
BC, đường trung trực của đoạn thẳng IM cắt AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh tứ
giác ADME là hình bình hành.
Câu 5. (4,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB Gọi D, E, F lần lượt là các chân đường cao vẽ từ A, B, C của tam giác ABC.
a) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC, gọi L là giao điểm của đường
thẳng AK và đường tròn (O) (L khác A). Chứng minh HL vuông góc với AK.
b) Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B, C). Gọi N và P lần
lượt là hai điểm đối xứng của điểm M qua hai đường thẳng AB và AC. Chứng minh ba
điểm N, H, P thẳng hàng.
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

26

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH HẢI DƯƠNG

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016 – 2017
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 21
(Đề thi có một trang)
Bài 1. (2,0 điểm)
a) Cho biểu thức: P = 1 − x + (1 − x ) 1 − x2 + 1 − x − (1 − x ) 1 − x2 (với −1  x  1).
Tính giá trị của biểu thức P khi x = −

1
2019

2. Cho a,b,c là ba số thực không âm thỏa mãn a + b + c = a + b + c = 2.
Chứng minh rằng

a
b
c
+
+
=
1+ a 1+ b 1+ c

2

(1 + a )(1 + b )(1 + c )

Bài 2. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2x 2 − 2x + 1 = ( 2x + 1)

(

)

x2 − x + 2 − 1 .

2
2

x + ( y + 1) = xy + x + 1
b) Giải hệ phương trình : 
.
3
2x
=
x
+
y
+
1


Bài 3. (2,0 điểm)
a) Tìm các cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: 2x2 + 2y2 + 3x − 6y = 5xy − 7.

b) Tìm các số tự nhiên n sao cho n2 + 2n + n2 + 2n + 18 + 9 là số chính phương.
Bài 4. (3,0 điểm)
1) Cho tam giác nhọn ABC ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn ( O; R ) . Các đường cao

AD, BE , CF cắt nhau tại H ( D  BC;E  AC;F  AB ). Tia EF cắt tia CB tại P, AP cắt
đường tròn ( O; R ) tại M ( M khác A ).
a) Chứng minh PE.PF = PM .PA và AM vuông góc với HM ;
b) Cho cạnh BC cố định, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Xác định vị trí của A để
diện tích tam giác BHC đạt giá trị lớn nhất.
2) Cho tam giác ABC có góc A nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Một điểm I chuyển
động trên cung BC không chứa điểm A ( I không trùng với B, C). Đường thẳng vuông
góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E , đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt
đường thẳng AB tại F . Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố
định.
Bài 5. (1,0 điểm)
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng
a 2 + 3ab + b 2
6a 2 + 8ab + 11b 2
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

+

b 2 + 3bc + c 2
6b 2 + 8bc + 11c 2

+

c 2 + 3ca + a 2
6c 2 + 8ca + 11a 2

 3.

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

27

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH BẮC NINH

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016 – 2017

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 22
(Đề thi có 2 trang)
Câu 1. (3.0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2
2) Cho các số thực a, b,c thỏa mãn a + b + c = 0;a 2 + b2  c 2 ; b2 + c 2  a 2 ; c 2 + a 2  b2 .
Tính giá trị biểu thức P =

a2
b2
c2
+
+
.
a 2 − b2 − c 2 b2 − c 2 − a 2 c 2 − a 2 − b2

Câu 2. (4.0 điểm)
1) Trong hệ trục tọa độ Oxy hãy tìm trên đường thẳng y = 2x + 1 những điểm
M ( x; y ) thỏa mãn điều kiện y2 − 5y x + 6x = 0 .

2) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện

a b c
+ + = 0 . Chứng minh rằng
6 5 4

phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm.
Câu 3. (4.0 điểm)
1) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
8
8
8
8
8
8
+
+
+ a 2 + b2 + c 2 
+
+
2
2
2
a+3 b+3 c+3
( a + b ) + 4abc ( b + c ) + 4abc ( a + c ) + 4abc
2) Tìm các số nguyên tố a, b, c và số nguyên dương k thỏa mãn phương trình

a2 + b2 + 16c2 = 9k2 + 1
Câu 4. (6.0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB
dựng nửa đường tròn tâm O đường kính AB và nửa đường tròn tâm O ' đường kính AO.
Điểm M thay đổi trên nửa đường tròn ( O ' ) ( M khác A và O ), tia OM cắt đường tròn ( O )
tại C. Gọi D là giao điểm thứ hai của CA với đường tròn ( O ' ) .
1) Chứng minh rằng tam giác ADM cân.

2) Tiếp tuyến tại C của đường tròn ( O ) cắt tia OD tại E, chứng minh rằng EA là tiếp
tuyến chung của hai đường tròn ( O ) và ( O ' ) .
3) Đường thẳng AM cắt OD tại H, đường tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt đường
tròn ( O ) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh rằng ba điểm A, M, N thẳng hàng.
4) Tính độ dài đoạn OM theo a biết ME song song với AB.
Câu 5. (3.0 điểm)
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

28

Website:tailieumontoan.com
1) Cho hình vuông MNPQ và điểm A nằm trong tam giác MNP sao cho
·
.
AM = AP2 + 2AN2 . Tính số đo của góc PAN
2

2) Cho các đa thức P ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c; Q ( x ) = x 2 + 2016x + 2017 thỏa mãn các điều

(

)

kiện P ( x ) = 0 có ba nghiệm thực phân biệt và P Q ( x ) = 0 vô nghiệm.
Chứng minh rằng P ( 2017 )  10086.
__________________Hết_________________

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

29

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH ĐỒNG NAI

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016 – 2017
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 23
(Đề thi có 1 trang)
Câu 1. (3.0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a2 + b2 + c2 + 2abc = 1 .
Tính giá trị biểu thức P = a

(1 − b )(1 − c ) + b (1 − a )(1 − c ) + c (1 − b )(1 − a ) − abc
2

2

2

2

2

2

Câu 2. (4.0 điểm) Giải các phương trình sau:

(

a) x 2 − 9

)

2

= 12x + 1

b) x + 2 = x2 − 2

Câu 3. (5.0 điểm)
a) Cho a, b là hai số thực và x, y là hai số thực dương. Chứng minh rằng:
a 2 b2 ( a + b )
.
+

x y
x+y
2

b) Cho x, y là hai số thực dương sao cho x + y = 1 . Chứng minh rằng:

y
x
4
+
 .
2
2
3
1− x 1− y
Câu 4. (5.0 điểm) Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6,CA = 7 .
a) Gọi G và I lần lượt là trọng tâm và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng
minh rằng IG song song với BC.
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh rằng bốn điểm A, M,
I, N cùng nằm trên một đường tròn.
Câu 5. (3.0 điểm) Cho tam giác vuông có độ dài ba cạnh là số nguyên. Chứng minh rằng
bán kính đường tròn nội tiếp cũng là số nguyên.

__________________Hết_________________
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

30

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH HƯNG YÊN

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016 – 2017
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 24
(Đề thi có 1 trang)

Câu 1. (2.0 điểm) Cho a =

2 −1
2 +1
. Tính a7 + b7 .
;b =
2
2

Câu 2. (4.0 điểm)
a) Cho hàm số y = ax + b ( a  0 ) có đồ thị ( d ) . Lập phương trình đường thẳng ( d ) ,
biết ( d ) đi qua điểm A ( 1; 2 ) và cắt trục hoành tại điểm B có hoành độ dương, cắt trục
tung tại điểm C có tung độ dương và thỏa mãn OB + OC nhỏ nhất (O là gốc tọa độ).
b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình 3x − 16y − 24 = 9x 2 + 16x + 32 .
Câu 3. (3.0 điểm) Giải phương trình 4x 3 + 5x 2 + 1 = 3x + 1 − 3x .

 y 2 2x − 1 + 3 = 5y 2 − 6x − 3
Câu 4. (3.0 điểm) Giải hệ phương trình  4
2
2y 5x − 17x + 6 = 6 − 15x

(

)

Câu 5. (6.0 điểm)
Cho điểm M thuộc nửa đường tròn ( O ) đường kính AB ( M  A,M  B,MA  MB ) .
Tia phân giác của góc AMB cắt AB tại C. Qua C vẽ đường vuông góc với AB cắt đường
thẳng AM, BM thứ tự tại D, H
a) Chứng minh rằng CA = CH .
b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên tiếp tuyến tại A của đường tròn ( O ) , F
là hình chiếu vuông góc của D trên tiếp tuyến tại B của đường tròn ( O ) . Chứng minh rằng
E, M, F thẳng hàng.
c) Gọi S1 ,S 2 thứ tự là diện tích tứ giác ACHE và BCDF. Chứng minh rằng
CM 2  S1 .S 2

Câu 6. (2.0 điểm) Cho ba số a, b,c  1 thỏa mãn 32abc = 18 ( a + b + c ) + 27 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =

a2 − 1
b2 − 1
c2 − 1
+
+
a
b
c

__________________Hết_________________
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

31

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TP. HỒ CHÍ MINH

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016 – 2017

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 25
(Đề thi có 1 trang)
Câu 1. (3.0 điểm) Cho ba số a, b, c thoả các điều kiện sau a − b = 7; b − c = 3 .
Tính giá trị của biểu thức P =

a 2 + b2 + c 2 − ab − bc − ca
a 2 − c 2 − 2ab + 2bc

Câu 2. (3.0 điểm) Giải phương trình ( 2x − 1) x + 3 = x2 + 3 .


x ( y − 1) + y ( x + 1) = 6
Câu 3. (3.0 điểm) Giải hệ phương trình 

( x − 1)( y + 1) = 1
Câu 4. (4.0 điểm)
1. Cho các số thực dương x, y thoả mãn điều kiện

2y
x
+
= 1 . Tìm giá trị lớn
1+ x 1+ y

nhất của biểu thức P = xy2
2. Tìm các số nguyên x, y thoả mãn phương trình ( x + y )( x + 2y ) = x + 5
Câu5. (5.0 điểm)
1. Cho tam giác nhọn ABC có H là trực tâm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm cùa BC
và AH. Đường phân giác trong góc A cắt MN tại K. Chứng minh rằng AK vuông góc với
HK.

2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) . Gọi AH, AD lần lượt là đường cao.

đường phân giác trong của tam giác ABC (H,D thuộc BC). Tia AD cắt ( O ) tại E, tia EH cắt

( O ) tại F và tia FD cắt ( O ) tại K. Chứng minh rằng AK là đường kính của ( O ) .
Câu 6. (2.0 điểm) Trong tuần, mỗi ngày Nam chỉ chơi một môn thể thao. Nam chạy ba ngày
một tuần nhưng không bao giờ chạy trong hai ngày liên tiếp. Vào thứ Hai, anh ta chơi
bóng bàn và hai ngày sau đó anh ta chơi bóng đá. Nam còn đi bơi và chơi cầu lông, nhưng
không bao giờ Nam chơi cầu lông sau ngày anh ta chạy hoặc bơi. Hỏi ngày nào trong tuần
Nam đi bơi?

__________________Hết_________________

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

32

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH HẢI DƯƠNG

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 26
(Đề thi có một trang)
Câu 1. (2,0 điểm)
a) Cho x = 3 − 5 . Tính giá trị của biểu thức A = x5 − 8x4 + 17x3 + 6x2 − 116x + 104 .
b) Cho x, y là hai số thực dương. Chứng minh rằng:

2

(

x2 + y2 − x

)(

)

x2 + y2 − y = x + y − x2 + y 2 .

Câu 2. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: x2 − 20x + 24 + 8. 3(x − 1) = 0 .
x 2 + 4y 2 + 3 = 4x
b) Giải hệ phương trình:  3
.
3
2
x + 12x + 8y = 6x + 9

Câu 3. (2,0 điểm)
a) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: 5x2 + 5y2 + 6xy − 20x − 20y + 24 = 0 .
b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n 4 + n3 + 1 là số chính phương.
Câu 4. (3,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC có AB = c , AC = b , BC = a . Chứng minh rằng: sin

A
a
.

2 2 bc

2) Cho tam giác ABC có AB = c , AC = b , BC = a ( c  a , c  b ). Gọi M, N lần lượt là các
tiếp điểm của cạnh AC và cạnh BC với đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC. Đường
thẳng MN cắt tia AO tại P và cắt tia BO tại Q. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và
AC.
a) Chứng minh rằng:

MP NQ PQ
.
=
=
a
b
c

b) Trên đoạn thẳng NC lấy điểm I sao cho MF = NI. Chứng minh IQ đi qua trung
điểm của NF.
Câu 5. (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P=

y
x
z
+
+
y + z + 2x
z + x + 2y
x + y + 2z

__________________Hết_________________
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

33

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH VĨNH PHÚC

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 27
(Đề thi có một trang)
Câu 1. (2,0 điểm)

 x +4
1   2 x +5
Cho biểu thức A = 
+
 :  1 −
 .
 x−4
x

2
x
+
2

 

a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm các giá trị x nguyên để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Câu 2. (2,0 điểm)

a) Giải phương trình: ( x + 1)( x − 2 )( x + 6 )( x − 3 ) = 45x 2 .

(

)

b) Tìm các cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: x x 2 + x + 1 = 4 y − 1.
Câu 3. (1,0 điểm)
Cho các số nguyên x, y thỏa mãn 3x + 2y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
H = x 2 − y 2 + xy + x + y − 2.

Câu 4. (3,0 điểm)

3
AB; tia
4
Cx vuông góc với AB tại C. Trên tia Cx lấy hai điểm D , E phân biệt sao cho
CE CA
=
= 3. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC và đường tròn ngoại tiếp tam giác
CB CD
BEC cắt nhau tại điểm thứ hai H ( H không trùng với C ).

Cho hai điểm A, B phân biệt, lấy điểm C bất kì thuộc đoạn AB sao cho 0  AC 

a) Chứng minh rằng ADC = EBC và ba điểm A, H , E thẳng hàng;
b) Xác định vị trí của C để HC ⊥ AD;
c) Chứng minh rằng khi điểm C thay đổi thì đường thẳng HC luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5. (1,0 điểm) Cho ba số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 2. Chứng minh rằng
x + 2y + z  ( 2 − x )( 2 − y )( 2 − z ) .

Câu 6. (1,0 điểm)
Trên mặt phẳng cho năm điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng và
không có bốn điểm nào cùng thuộc một đường tròn. Chứng minh rằng tồn tại một đường
tròn đi qua ba điểm trong năm điểm đã cho và hai điểm còn lại có đúng một điểm nằm
bên trong đường tròn.
__________________Hết_________________
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

34

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH NGHỆ AN

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015 – 2016

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 28
(Đề thi có một trang)

Câu 1. (3 điểm)
a. Chia 18 vật có khối lượng 20162 ; 20152 ; 20142 ;...;1999 2 gam thành ba nhóm có
khối lượng bằng nhau. (không được chia nhỏ các vật đó).
b. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x + 171 = y2 .
Câu 2. (6 điểm)
a. Giải phương trình: x2 + 6x + 1 = ( 2x + 1) x2 + 2x + 3
4x 2 + 1 = y 2 − 4x
b. Giải hệ phương trình:  2
2
x + xy + y = 1

Câu 3. (3 điểm)
Cho a, b, c  0 thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng:

a +1 b+1 c +1
+
+
3
b2 + 1 c 2 + 1 a 2 + 1

Câu 4. (6 điểm)
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm (O; R). Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường
tròn (A, B là các tiếp điểm), cát tuyến MPQ không đi qua O (P nằm giữa M, Q). Gọi H là
giao điểm của OM và AB.
a. Chứng minh: HPO = HQO
b. Tìm điểm E thuộc cung lớn AB sao cho tổng

1
1
có giá trị nhỏ nhất.
+
EA EB

Câu 5. (2 điểm)
Tìm hình vuông có kích thước nhỏ nhất để trong hình vuông đó có thể sắp xếp
được 5 hình tròn có bán kính bằng 1 sao cho không có hai hình tròn bất kì nào trong chúng
có điểm trong chung.

__________________Hết_________________

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

35

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH THANH HÓA

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 29
(Đề thi có một trang)
Câu 1. (4,0 điểm)

a−3 a a+3 a  
9 
Cho biểu thức A = 

. a −

 (với a  0;a  9)
 a +3

a

3
a



a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm các giá trị biểu thức M = A + a.
Câu 2. (4,0 điểm)
a) Giải phương trình:

9
2x
+
= 1.
2
x
2x 2 + 9

x 3 − y 3 = 4 ( 4x − y )
.
b) Giải hệ phương trình sau:  2
2
y

5x
=
4

Câu 3. (4,0 điểm)
a) Tìm các nghiệm nguyên ( x; y ) của phương trình: 54x3 + 1 = y3 .
b) Tìm các giá trị nguyên dương của m để phương trình x2 − mxy + y2 + 1 = 0 có
nghiệm nguyên dương với x, y là ẩn số.
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O bán kính R. Tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( O; R )
có B, C cố định. Đường cao AD, BE , CF của tam giác ABC cắt nhau tại H . Đường
thẳng chứa các tia phân giác ngoài của góc BHC cắt AB, AC lần lượt tại điểm M , N .
a) Chứng minh tam giác AMN cân;
b) Xác định vị trí của A để chu vi tam giác DEF lớn nhất;
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác trong của góc BAC tại
K ( K khác A ). Chứng minh rằng đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định
khi A thay đổi.
Câu 5. (2,0 điểm) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: ab2 + bc2 + ca2 = 3. Chứng minh rằng:
2a 5 + 3b5 2b5 + 3c 5 2c 5 + 3a 5
+
+
 15 a 3 + b3 + c 3 − 2 .
ab
bc
ca

(

)

__________________Hết_________________

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

36

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH HƯNG YÊN

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015 – 2016

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 30
(Đề thi có một trang)
Câu 1. (2,0 điểm)
Cho x = 1 + 2 2 + 2 4. . Tính giá trị của biểu thức A = x3 − 3x2 − 3x + 2018. .
Câu 2. (5,0 điểm)
a) Cho đường thẳng ( d ) có phương trình y = mx + 1 − m ( m  0) . Tìm m để khoảnh
cách từ gốc tọa độ O đến ( d ) là lớn nhất.
b) Tìm các số có 2 chữ số ab ( a  b ) sao cho số n = ab − ba là một số chính phương.
Câu 3. (2,0 điểm)
Giải phương trình: x 2 + 3x 3 3x + 2 − 12 +

1
=
x

x +8
x

Câu 4. (3,0 điểm)
2
2

2 x + y − 3xy − 4 x + 3 y + 2 = 0
Giải hệ phương trình: 
2

 x − y + 3 + y − x +1 = 2

Câu 5. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O , bán kính R. Lấy
điểm M bất kỳ trên cung nhỏ BC. Đường thẳng qua A và vuông góc với CM tại
H cắt tia BM tại K .

a) Chứng minh H là trung điểm của AK ;
b) Chứng minh rằng điểm K luôn nằm trên một đường tròn cố định khi M thay
đổi. Tính bán kính đường tròn đó khi R = 3 3;
c) Gọi D là giao điểm của AM với BC. Tìm vị trí của M sao cho tích hai bán kính
của đường tròn ngoại tiếp hai tam giác MBD, MCD đạt giá trị lớn nhất.
Câu 6. (2,0 điểm)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P=

a3
b3
c3
+
+
+ 3abc.
3a − ab − ac + 2bc 3b − ba − bc + 2ac 3c − ca − cb + 2ab
__________________Hết_________________

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

37

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH PHÚ THỌ

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 31
(Đề thi có một trang)
Câu 1. (3,0 điểm)
a) Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + n(n + 1)(n + 2) với n là số tự nhiên khác 0 .
Chứng minh rằng 4 S + 1 là số chính phương.
b) Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn x2 + 2y2 + 2xy = y + 2 .
Câu 2. (4,0 điểm)

x5 − 4x 3 − 17x + 9
x
1
với 2
= .
4
2
x + 3x + 2x + 11
x + x+1 4
b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 5 và a + b + c = 3 . Chứng
a) Tính giá trị biểu thức P =

minh rằng

a
b
c
4
+
+
=
.
a+2 b+2 c+2
(a + 2)(b + 2)(c + 2)

Câu 3. (4,0 điểm)

3
a) Giải phương trình ( 3x + 1) 2x2 − 1 = 5x 2 + x − 3 .
2
2
2
2x − y + xy + y − 5x + 2 = 0
b) Giải hệ phương trình  2
.
2
x + y + x + y − 4 = 0
Câu 4. (7,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2 R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường
tròn (O) (M khác A, khác B). Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và M cắt nhau ở E.
Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB). Vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE).
a) Chứng minh rằng AEMO là tứ giác nội tiếp và APMQ là hình chữ nhật.
b) Chứng minh rằng PQ, OE, MA đồng qui.
c) Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh rằng K là trung điểm MP.
d) Đặt AP = x , tính MP theo R và x . Tìm vị trí của M trên đường tròn (O) để hình chữ
nhật APMQ có diện tích lớn nhất.
Câu 5. (2,0 điểm) Cho các số thực phân biệt a, b,c . Chứng minh rằng
 1
1
1  9
a 2 + b2 + c 2 
+
+
 .
2
2
2 
 (a − b) (b − c) (c − a)  2

(

)

__________________Hết_________________
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

38

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH NAM ĐỊNH

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 32
(Đề thi có một trang)
Câu 1. (3,0 điểm)
1. Tính giá trị biểu thức P =

5+ 3 + 5− 3
5 + 22

+ 11 − 6 2 .

2. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện x + y + z = 2,
x2 + y2 + z2 = 18 và xyz = −1 . Tính giá trị của S =

1
1
1
+
+

xy + z − 1 yz + x − 1 zx + y − 1

Câu 2. (5,0 điểm)
1. Giải phương trình 2 2x − 1 + x + 3 − 5x + 11 = 0 .

(

)

y2 − y x − 1 + 1 + x − 1 = 0

2. Giải hệ phương trình 
x2 + y − 7x 2 − 3 = 0.
Câu 3. (3,0 điểm)
1. Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn x2 + y2 + xy − x − y = 1 .
2. Chứng minh với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1 ta có

2 3 4...

( n − 1)

n 3.

Câu 4. (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB  AC , nội tiếp đường tròn ( O ) và ngoại
tiếp đường tròn ( I ) . Điểm D thuộc cạnh AC sao cho ABD = ACB . Đường thẳng AI cắt
đường tròn ngoại tiếp tam giác DIC tại điểm thứ hai là E và cắt đường tròn ( O ) tại điểm
thứ hai là Q. Đường thẳng đi qua E và song song với AB cắt BD tại P.

1. Chứng minh tam giác QBI cân;
2. Chứng minh BP.BI = BE.BQ ;
3. Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, K là trung điểm của JE. Chứng minh
PK / / JB .
Câu 5. (2,0 điểm) Cho một lớp học có 35 học sinh, các học sinh này tổ chức một số câu lạc
bộ môn học. Mỗi học sinh tham gia đúng một câu lạc bộ. Nếu chọn ra 10 học sinh bất kì thì
luôn có ít nhất 3 học sinh tham gia cùng một câu lạc bộ. Chứng minh có một câu lạc bộ
gồm ít nhất 9 học sinh.
__________________Hết_________________
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

39

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH ĐĂK LĂK

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 33
(Đề thi có một trang)
Câu 1. (4.0 điểm)


x − 5y = −20
a) Giải hệ phương trình 
1 + x )(1 + 2x )(1 + 3x ) = (1 + 3y ) 1 + 3y + 2x 2

(

(

)

b) Tìm tất cả các số thực m để phương trình x 2 − 2 ( 2m + 1) x + 3m + 4 = 0 có hai

nghiệm dương phân biệt.
Câu 2. (4.0 điểm)
a) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn

x + y + z = 2 và x + y + z = 2 . Tính giá trị

của biểu thức:

P=



y



( x + 1)( y + 1)( z + 1).  x +x1 + y + 1 + z +z1 



b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M ( 1; 2 ) và cắt hai tia Ox, Oy
lần lượt tại hai điểm A và B khác góc tọa độ O mà thỏa mãn OA + OB = 6 .
Câu 3. (4.0 điểm)
a) Tìm các số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn ab + 6 = ( a + b ) .
3

b) Cho a = 111...1 và b = 1000...0 5 . Chứng minh rằng số M = ab + 1 là số chính phương.
2017 cs1

2016cs0

Câu 4. (4.0 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2R . Biết BC = CD và hai
đường thẳng AD, BC cắt nhau tại F. Trên đường kính AB lấy điểm E sao cho
AD = BE . Vẽ EH vuông góc với AD tại H. Hai đường thẳng AC, EH cắt nhau tại K.
Gọi I là trung điểm của AE.
a) Chứng minh rằng AD.AF + BC.BF = 4R2 .
b) Chứng minh rằng ba điểm D, I, K thẳng hàng.
Câu 5. (2.0 điểm)
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O và diện tích tam giác AOB
bằng 9cm2 , diện tích tam giác COD bằng 16cm2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích
tứ giác ABCD.
Câu 6. (2.0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực thay đổi thỏa mãn ab + 7bc + ca = 188 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P = 5a2 + 11b2 + 5c2 .
__________________Hết_________________
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

40

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH VĨNH LONG

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 34
(Đề thi có một trang)
Câu 1. (4.0 điểm)
a) Cho x =

(

4+2 3 − 3
5+2

)

3

17 5 − 38 − 2

(

)

. Tính P = x2 + x − 1

2016

b) Cho x = y = −5 và x2 + y2 = 11 . Tính x4 + y4 .
Câu 2. (4.0 điểm)
a) Giải phương trình
b) Giải hệ phương trình

x 2 + 4x = 2 2x + 3 − 5

5x 2 + 2y 2 + 2xy − 2x − 4y = 24

3x + ( 2x + y − 1)( x − y + 1) = 11

Câu 3. (2.0 điểm)
Cho phương trình x 2 + ( m − 1) x − 6 = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương

(

)(

)

trình trên có hai nghiệm x1 , x 2 sao cho biểu thức A = x12 − 9 x 22 − 4 đạt giá trị lớn
nhất.
Câu 4. (2.0 điểm)
Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4
A = ( a + b + 1) a 2 + b2 +
a+b
Câu 5. (3.0 điểm)
a) Cho p và q là các số nguyên tố lớn hơn 3 và thỏa mãn p = q + 2 . Tìm số dư khi

(

)

chia p + q cho 12.
b) Tìm các cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn phương trình x ( x + 1) = y 2 + 1 .
Câu 6. (3.0 điểm)
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn ( O; R ) và H là một điểm di động trên
đoạn OA(H khác A). Đường thẳng qua H và vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB tại
M. Gọi K là hình chiếu của M trên OB.
a) Chứng minh rằng HKM = 2AMH .
b) Các tiếp tuyến của đường tròn ( O; R ) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của đường
tròn ( O; R ) lần lượt tại D và E. Gọi giao điểm của OD, OE với AB lần lượt là F và G.
Chứng minh rằng OD.GF = OG.DE .
Câu 7. (2.0 điểm)
Cho đường tròn tâm O bán kính R = 5cm và một điểm P cố định trong đường tròn sao
cho OP = 3cm . Hai dây cung AC và BD thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau tại P. Khi
diện tích của tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất, hãy tính diện tích đó và số đo góc OPD .
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

41

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

THÀNH PHỐ HÀ NỘI

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 35
(Đề thi có một trang)
Câu 1. (5.0 điểm)

(

)

a) Cho các nguyên a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a 3 + b3 = 2 c 2 − 8d3 .
Chứng minh rằng a + b + c + d chia hết cho 3.
b) Tìm tất cả các số nguyên tố x sao cho 2 x + x 2 là số nguyên tố.
Câu 2. (5.0 điểm)
a) Giải phương trình

2x2 + 11x + 19 + 2x2 + 5x + 7 = 3 ( x + 2 )

x + y + z = 3

1 1 1 1
b) Tìm tất cả các bộ ba số ( x; y; z ) thỏa mãn  + + =
x y z 3
x 2 + y 2 + z 2 = 17

Câu 3. (3.0 điểm)
a) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn 0  x, y,z 

3
3
và xy + yz + zx = . Tìm giá trị
2
4

nhỏ nhất của biểu thức:

P=

4y
4x
4z
+
+
2
2
3 − 4x 3 − 4y 3 − 4z 2

b) Cho a, b, c là đồ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

a 2016
b2016
c 2016
+
+
 a 2015 + b2015 + c 2015
b+c −a c +a − b a + b−c
Câu 4. (6.0 điểm)
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Lấy điểm Q bất kì trên cạnh BC (Q khác B
và C). Trên tia đối của tia BA lấy điểm P sao cho CQ.AP = a 2 . Gọi M là giao điểm của AQ
và CP.
a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, M cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu của M trên AB, BC, CA.
1. Xác định vị trí của Q để IK có độ dài lớn nhất.
2. Chứng minh MI 2 + MJ 2 + MK 2 không đổi khi Q di chuyển trên cạnh BC.
Câu 5. (1.0 điểm)
Cho bảng ô vuông kích thước 10.10 gồm 100 ô vuông có kích thước 1x1. Điền vào
mỗi ô vuông của bảng này một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho hai số
ở hai ô vuông chung cạnh hoặc chung đỉnh nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng
trong bảng ô vuông đã cho có một số xuất hiện ít nhất 17 lần.
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

42

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 36
(Đề thi có một trang)
Câu 1. (1.5 điểm)

3a + 9a − 3

Cho biểu thức M =

a+ a −2



a +1
a +2

+

a −2
1− a

với a  0,a  1

a) Rút gọn biểu thức M.
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để biểu thức M nhận giá trị nguyên.
Câu 2. (2.0 điểm)
a) Giải phương trình

x + 3 + 4 x −1 + x + 8 + 6 x −1 = 9 .

x2 + xy + zx = 48

b) Giải hệ phương trình  y 2 + xy + yz = 12 .
z2 + zx + yz = 84

Câu 3. (2.0 điểm)
a) Cho a = 2. 2. 2... 2 và b = 2. 2. 2... 2 . Chứng minh rằng hai số a và b có
2016 ts 2

3016 ts 2

cùng chữ số hàng đơn vị.
b) Cho hàm số y = ax + a + 1 với a là tham số, a  0 và a  −1 . Tìm tất cả các giá trị
của a để khoảng cách từ góc tọa độ O đến đồ thị của hàm số đạt giá trị lớn nhất.
Câu 4. (3.5 điểm)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn ( O ) . Trên cung nhỏ BC lấy điểm M tùy
ý. Đường tròn ( M; MB ) cắt đoạn thẳng AM tại D.
a) Chứng minh rằng tam giác BDM là tam giác đều.
b) Chứng minh rằng MA = MB + MC .
c) Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi trên cung nhỏ BC thì điểm D luôn nằm
trên một đường tròn cố định có tâm thuộc đường tròn ( O ) .
Câu 5. (1.0 điểm)
Cho các số thực x, y, z khác 0 thỏa mãn x + y + z = 0 . Tính giá trị của biểu thức:

P=

1
1
1
+ 2
+ 2
2
2
2
2
x + y − z y + z − x z + x2 − y2
2

__________________Hết_________________
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

43

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

THÀNH PHỐ AN GIANG

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 37
(Đề thi có một trang)
Câu 1. (4.0 điểm)
Cho x =

2+ 3 − 2− 3
2

(

. Tính giá trị của biểu thức P = 1 + 3x3 − x5

)

2016

.

Câu 2. (4.0 điểm)
Cho Parabol y =

1 2
x ( P ) và điểm A ( 0;1) .
4

a) Vẽ Parabol P trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Chứng minh rằng nếu điểm M nằm trên Parabol P thì độ dài đoạn thẳng AM
bằng khoảng cách từ M đến đường thẳng y = −1 . Biết rằng khoảng cách giữa hai
điểm C ( x C ; y C ) , D ( x D ; y D ) bất kỳ trên mặt phẳng tọa độ Oxy được tính theo công
thức CD =

(x

− x D ) + ( yC − y D ) .
2

C

2

Câu 3. (4.0 điểm)
Cho phương trình x3 + bx2 + cx + 1 = 0 trong đó c, d là các số nguyên. Biết rằng
phương trình có một nghiệm x0 = 2 + 5 . Tìm c, d và các nghiệm còn lại của phương
trình.
Câu 4. (3.0 điểm)
Tìm x, y biết

2

(

)

x +y−2 =

x.y .

Câu 5. (5.0 điểm)
Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn ( O ) vẽ hai tiếp tuyến MB, MD với đường
tròn(B, D là tiếp điểm) và một cát tuyến qua M cắt đường tròn tại hai điểm phân
biệt A, C.
a) Chứng minh rằng hai tam giác MAB và MBC đồng dạng với nhau.
b) Chứng minh rằng AB.CD = BC.AD .
c) Gọi d là đường thẳng qua D và song song với MB. Đường thẳng d cắt BA, BC
lần lượt tại I và J. Chứng minh rằng DI = DJ .
__________________Hết_________________
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

44

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 38
(Đề thi có một trang)
Câu 1. (2.0 điểm)
Cho hai số thực a, b phân biệt thỏa mãn ab = a − b . Tính giá trị của biểu thức

A=

a b
+ − ab .
b a

Câu 2. (3.0 điểm)
Giải phương trình

5x − 1 − x + 2 =

4x − 3
.
5

Câu 3. (3.0 điểm)
Cho x1 ; x 2 là các nghiệm của phương trình x2 + ax + b = 0 , đồng thời x12 −

x22 −

1

2


1
1
1
là các nghiệm của phương trình x 2 +  a 2 −  x + b2 − = 0 . Tìm các số a và b.
2
2
2


Câu 4. (4.0 điểm)
a) Cho hai số thực x và y thỏa mãn x + y  0 . Chứng minh rằng
2

 1 + xy 
x + y +
 2
 x+y 
2

2

b) Trong một hình vuông có cạnh bằng 1 lấy năm điểm tùy ý. Chứng minh rằng
luôn tồn tại hai điểm có khoảng cách không vượt quá

2
.
2

Câu 5. (5.0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) . Một đường tròn ( K )
đi qua A và tiếp xúc với BC tại D, cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại P, Q và cắt
đường tròn ( O ) tại điểm E khác A. Tia ED cắt đường tròn ( O ) tại F khác E.
a) Chứng minh rằng CAD = FAB .
b) Chứng minh rằng

PQ DP.DQ
.
=
BC DB.DC

Câu 6. (3.0 điểm)

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

45

Website:tailieumontoan.com
Chiều ngày 13 tháng 3, Công ty khai thác thủy lợi hồ Dầu Tiếng – Phước Hòa cho
biết đã kết thúc đợt xả nước đẩy mặn xuống sông Sài Gòn. Đây là lần xả nước thứ 5
từ đầu năm, giúp người dân Sài Gòn đảm bảo nước sinh hoạt, phục vụ nông nghiệp.

(

)

Đợt xả nước công suất 30 m 3 / s kéo dài trong 3 ngày, mặn đã được đẩy ra các cửa
sông. Theo đơn vị này, sau đợt xả, mực nước trong hồ cao khoảng 20m, trữ lượng
nước gần 850 triệu m3 .
Tuy giúp các nhà máy nước hạ lưu hoạt động được nhưng nhiều chuyên gia bày tỏ
lo lắng bởi trữ lượng tại các hồ đầu nguồn thấp trong khi dự báo đợt hạn mặn có thể
kéo dài đến tháng 5. Hiện các hồ phải căn kéo trong việc xả nước đẩy mặn để phục
vụ cho nông nghiệp và hoạt động sản xuất nước.
Về nguyên nhân xâm nhập mặn, ông Phạm Thế Vinh – Viện Khoa học Thủy lợi
miền Nam – cho rằng, hạn mặn diễn ra mạnh vì El Nino kéo dài khiến khu vực Nam
bộ rất ít mưa. Ngoài ra, việc triều cường kéo dài đến tháng 2; 3 khiến nước mặn đi
sâu vào các cửa sông. Ông Bùi Thanh Giang – Phó tổng giám đốc Công ty cấp nước
Sài Gòn (Sawaco) – cho biết, năm nay trữ lượng nước về các hồ đầu nguồn giảm
mạnh. Trong đó, lượng nước tích trữ của hệ thống hồ Dầu Tiếng – Phước Hòa trên
thượng nguồn sông Sài Gòn còn hiện tại chỉ đạt 70%. Lưu lượng của hồ Trị An trên
sông Đồng Nai chỉ đạt khoảng 80% so với trung bình hàng năm. Về giải pháp lâu
dài, Sawaco kiến nghị UBND TP.HCM cho phép xây dựng hồ trữ nước thô cho
nguồn nước sông Sài Gòn với vốn thực hiện từ ngân sách. Ngoài ra, đơn vị cũng đề
xuất nâng cao công nghệ xử lý nước nhưng việc này đòi hỏi chi phí đầu tư, vận hành
cao.(Nguồn vnexpress.net)
a) Hãy cho biết lượng nước mà hồ Dầu Tiếng đã xả trong 3 ngày qua?
b) Nếu tiếp tục xả 20% lượng nước hiện có đề ngăn mặn (với tốc độ xả như
trên) thì công việc này sẽ mất bao nhiêu ngày.
c) Giả sử việc xả nước chống mặn diễn ra liên tục từ hôm nay (22/3) đến hết ngày
15/5, tính lượng nước mà hồ đã xả trong khoảng thời gian này.

__________________Hết_________________

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

46

Website:tailieumontoan.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH HƯNG YÊN

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 39
(Đề thi có một trang)
3

Câu 1. (3,0 điểm) Cho x = 2 + 3 −

6 3 − 10
3 +1

. Tính giá trị của biểu thức

(

A = x4 + x3 − x2 − 2x − 1
Câu 2. (4,0 điểm)

( )

)

2019

.

( )

1. Cho Parabol P : y = x và đường thẳng d : y = mx + 1 (m là tham số thực). Tìm m
2

để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = 10 .
2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình

5x2 + 6xy + 2y2 + 2x + 2y − 40 = 0 .
Câu 3. (5,0 điểm)

x3

1. Giải phương trình

+ 8x 2 = 40 .

5 − x2
3
3
2

x − y −15y − 14 = 3  2y − x
2. Giải hệ phương trình 
.
3
4x
+
6xy
+
15x
+
3
=
0



(

)

Câu 4. (6,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 5a và AD = 2a (a > 0). M là điểm
bất kì trên cạnh AB (M khác A và khác B). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của
M trên AC và DC.

1. Chứng minh rằng 5 điểm B, C, K, H, M cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm
O của đường tròn đó.

2. Tính

AH  MK
theo a.
MH

3. Khi AK là tiếp tuyến của đường tròn (O). Tính AM theo a.
Câu 5. (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + ac + bc = 3 . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức T =

19a + 3 19b + 3 19c + 3
+
+
.
1 + b2
1 + c2
1 + a2

__________________Hết_________________
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

47

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH NGHỆ AN

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 40
(Đề thi có một trang)

Câu 1. (4 điểm)
a. Cho hai số tự nhiên a, b thoả mãn điểu kiện: a2 + a = 2b2 + b.
Chứng monh rằng a – b và a + b + 1 đều là các số chính phương.
b. Tìm số tự nhiên n sao cho số 2015 có thể viết được thành tổng của n hợp số nhưng
không thể viết được thành tổng của n + 1 hợp số.
Câu 2. (5 điểm)
a. Giải phương trình:

6x − 1 + 9x2 − 1 = 6x − 9x2

x 2 + y 2 + xy = 2
b. Giải hệ phương trình:  3
3
x + y = 2x + 4y

Câu 3. (3 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn: abc = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

1
1
1
.
+
+
a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a + 3

Câu 4. (6 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ BC của
đường tròn (O) lấy điểm M (M không trùng với B, C). Gọi D, E, F lần lượt là các điểm
đối xứng với M qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
a. Ba điểm D, E, F thẳng hàng .
b.

AB AC BC
+
=
MF ME MD

Câu 5. (2 điểm)
Cho 121 điểm phân biệt nằm trong hoặc trên các cạnh của một tam giác đều có cạnh
bằng 6 cm. Chứng minh rằng có thể vẽ được một hình tròn đường kính bằng

3 cm

chứa ít nhất 11 điểm trong số các điểm đã cho.
__________________Hết_________________

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

48

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

TỈNH PHÚ THỌ

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 41
(Đề thi có một trang)
Câu 1. (3,0 điểm)
a)Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x 2 + y 2 − xy = x + y + 2 .
b) Chứng minh rằng với ba số tự nhiên a,b,c trong đó có đúng một số lẻ và hai số
chẵn ta luôn có (a + b + c ) − (a + b − c ) − (b + c − a ) − (a − b + c ) Chia hết cho 96
3

3

3

3

Câu 2. (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có
1 
1
1+  +

n n+ 2

2

= 1+

1
1

n n+2

b) Tính tổng
 1
S = 1 + 1 + 
 3

2

2

2

1 
1 1
1 1
 1
+ 1 +  +  + 1 +  +  + ..... + 1 + 
+

2 4
3 5
 2014 2016 

2

Câu 3. (4,0 điểm)
a) Giải phương trình
2x 2 − x = 2x − x 2

b) Giải hệ phương trình

(

) (

)

 x 2 − 1 y + y 2 − 1 x = 2( xy − 1)
 2
4 x + y 2 + 2 x − y − 6 = 0

Câu 4. (7,0 điểm)
Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O; R) ,( BC<2R),A là điểm di động
trên cung lớn BC,( A không trùng B,C). Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam
giác ABC;EF cắt BC tại P ,qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AC tại Q và
cắt AB tại R .
a) Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp
b) Gọi M là trung điểm cạnh BC .Chứng minh hai tam giác EPM,và DEM là hai
tam giác đồng dạng.
c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = 3
Chứng minh rằng
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

x
3

yz

+3

y
xz

+

z
3

xy

 xy + yz + xz

TÀI LIỆU TOÁN HỌC