50 bài tập về bất đẳng thức - có đáp án
Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương 9 tháng 11 2020 lúc 9:25:39 | Được cập nhật: 18 tháng 3 lúc 23:27:55 Kiểu file: PDF | Lượt xem: 401 | Lượt Download: 7 | File size: 0.546043 Mb
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
- Đề cương ôn thi học kì 2 Toán 9 năm 2021-2022
- Chuyên đề ôn thi HSG Toán 9: Phương trình nghiệm nguyên
- Các bài toán hay tự luyện cho kì thi tuyển sinh vào 10
- Đề tham khảo ôn tập vào 10
- Đề tham khảo ôn tập tuyển sinh vào 10
- Các bài toán hay tự ôn vào 10
- 280 bài toán nâng cao ôn thi HSG Toán 9
- Chuyên đề ôn thi HSG hình học Toán 9: ĐƯỜNG TRÒN – DÂY CUNG – TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
- Các bài toán tiêu biểu ôn thi HSG Toán 9
- Các bài tập hình học hay lớp 9
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
50 Bài tập về bất đẳng thức
Bài 1: Cho a 3 , tìm giá trị nhỏ nhất của S a
1 8a a 1
24
a 1 10
( )
2 .
a 9
9 a
9
9 a 3
Giải: S a
Bài 2: Cho a 2 , tìm giá trị nhỏ nhất của S a
Giải: S a
1
a
1
a2
1 6a a a 1
12
a a 1 12 3 9
( 2 ) 33 . . 2
2
a
8
8 8 a
8
8 8 a
8 4 4
Bài 3: Cho a, b > 0 và a b 1 , tìm giá trị nhỏ nhất của S ab
Giải: S ab
1
1
15
1
(ab
)
2 ab
ab
16ab 16ab
16ab
15
ab
16
2
Bài 4: Cho a, b, c> 0 và a b c
3
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của S a 2
1
1
1
b2 2 c 2 2
2
b
c
a
Giải:
Cách 1:
Cách 2:
S a2
1
1
1
b2 2 c 2 2
2
b
c
a
(12 42 )(a 2
1
1
1
1
1
4
) (1.a 4. ) 2 a 2 2
(a )
2
b
b
b
b
17
2
1
ab
17
4
Tương tự
b2
1
1
4
1
1
4
(b ); c 2 2
(c )
2
c
c
a
a
17
17
Do đó:
1
4 4 4
1
36
(a b c )
(a b c
)
a b c
a bc
17
17
S
1
17
3 17
9
135
(a b c 4(a b c) ) 4(a b c) 2
Bài 5: Cho x, y, z là ba số thực dương và x y z 1 . Chứng minh rằng:
x2
1
1
1
y 2 2 z 2 2 82
2
y
z
x
Giải:
1
1
1
1
9
(1.x 9. ) 2 (12 92 )( x 2 2 ) x 2 2
(x )
y
y
y
y
82
1
1
9
1
1
9
( y ); z 2 2
(z )
2
z
z
x
x
82
82
1
9 9 9
1
81
S
(x y z )
(x y z
)
x y z
x yz
82
82
TT : y 2
1
1
80
( x y z x y z ) x y z 82
82
Bài 6: Cho a, b, c > 0 và a 2b 3c 20
Tìm giá trị nhỏ nhất của S a b c
3 9 4
a 2b c
Giải: Dự đoán a =2, b = 3, c = 4
12 18 16
12
18 16
a 2b 3c 3a 2b c
a b c
a
b
c
20 3.2.2 2.2.3 2.4 52 S 13
4S 4a 4b 4c
Bài 7: Cho x, y, z > 0 và
1 1 1
4
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của P
2
1
1
1
2x y z x 2 y z x y 2z
Giải:
Ta có
1 1
4 1 1
4
1 1 1 1
4
4
16
1
1 1 2 1
;
x y x y y z yz
x y y z x y y z x 2y z
x 2 y z 16 x y z
TT :
1
1 2 1 1
1
1 1 1 2
;
2 x y z 16 x y z x y 2 z 16 x y z
S
1 4 4 4
1
16 x y z
Bài 8:
x
x
x
12 15 20
Chứng minh rằng với mọi x R , ta có 3x 4 x 5x
5 4 3
Giải:
x
x
12 15
12
2
5 4
5
x
x
x
x
x
x
15
20 15
20 12
. 2.3x ; 2.5x ; 2.4 x
4
3 4
3 5
Cộng các vế tương ứng => đpcm.
Bài 9:
Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 6 . Chứng minh rằng 8x 8 y 8z 4 x 1 4 y 1 4 z 1
Giải:
Dự đoán x=y=z = 2 và
3
8x.8x 3 64 x 4 x nên:
8 x 8 x 82 3 3 8 x.8 x.82 12.4 x ;
8 y 8 y 82 3 3 8 y.8 y.82 12.4 y ;
8 z 8 z 82 3 3 8 z.8 z.82 12.4 z
8 x 8 y 8 z 3 3 8 x.8 y.8 z 3 3 82.82.82 192
Cộng các kết quả trên => đpcm.
Bài 10:
Cho x, y, z> 0 và xyz = 1. Hãy chứng minh rằng
1 x3 y 3
1 y3 z3
1 z 3 x3
3 3
xy
yz
zx
3
Giải:
x3 y 3 xy x y 1 x 3 y 3 xyz xy x y xy x y z 3xy 3 xyz 3xy
1 x3 y 3
3xy
xy
xy
3 yz
3 1 y3 z3
;
xy
yz
yz
1
1
1
S 3
3 3
xy
yz
zx
1
x2 y 2 z 2
3 1 z 3 x3
3zx
;
yz
zx
zx
3
zx
3 3
Bài 11:
Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
x y 1 xy
biểu thức P
2
2
1 x 1 y
Giải:
x y 1 xy
x y 1 xy x y 1 xy
2
1 1 P 1
P
2
2
2
2
2
4
1 x 1 y 1 x 1 y x y 1 xy 4 4
2
Khi cho x=0 và y= 1 thì P = -1/4
Khi cho x=1 và y = 0 thì P = 1/4
KL: Khi dấu = xảy ra.
Bài 12:
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
a 3 b3 c 3
ab bc ca
b c a
Giải:
a 3 b3 c3 a 4 b 4 c 4 (a 2 b 2 c 2 )2 ab bc ac
ab bc ac
Cách 1:
b c a ab bc ca
ab bc ac
ab bc ac
2
3
3
a3
2 b
2 c
ab 2a ; bc 2b ; ca 2a 2
Cách 2:
b
c
a
a 3 b3 c 3
2(a 2 b 2 c 2 ) ab bc ac ab bc ac
b c a
Bài 13:
Cho x,y > 0 và x y 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A
3x 2 4 2 y 3
4x
y2
Giải: Dự đoán x = y = 2
A
4
3x 2 4 2 y 3 3x 1 2
1 x 2 y y x y 9
2 y 2
2
4x
y
4 x y
4 4 2 2
x 4 y
Bài 14: Cho x, y > 0 và x+y = 1. Chứng minh rằng P
1
1
42 3
3
x y
xy
3
Giải: Ta có
x y
P=
3
x3 y 3 3xy(x+y) x 3 y 3 3xy=1
x3 y 3 3xy x3 y 3 3xy
3xy
x3 y 3
4
42 3
x3 y 3
xy
x3 y 3
xy
Bài 15: Cho x, y, z > 0 và
1
1
1
1
2 . Chứng minh rằng xyz
8
1 x 1 y 1 z
Giải:
1
1
1
1
1
y
z
2
1
1
2
1 x
1 y 1 z
1 y
1 z 1 y 1 z
TT :
1
2
1 y
xz
1
;
2
1 x 1 z 1 z
yz
1 y 1 z
xy
1 x 1 y
Nhân các vế của 3 BĐT => đpcm
Bài 16: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của S
x
y
z
x 1 y 1 z 1
Giải:
S
1
x
y
z
1
1
9
9 3
3
3
3
x 1 y 1 z 1
x y z 3
4 4
x 1 y 1 z 1
Bài 17:
Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng:
4a 2 5b 2 3c 2
48
a 1 b 1 c 1
Giải:
2
4a 2 4 a 1 4
4
4
4 a 1
4 a 1
8 8 8 16
a 1
a 1
a 1
a 1
5b 2
5
3c 2
3
5 b 1
10 20;
3 c 1
6 12 dpcm
b 1
b 1
c 1
c 1
Bài 18:
Cho a, b, c > 0, chứng ming rằng:
1 1 1
1
1
1
3
a b c
a 2b b 2c c 2a
Giải:
1 1 1
9
1 1 1
9
1 1 1
9
;
;
cộng ba bất đẳng thức =>đpcm
a b b a 2b b c c b 2c c a a c 2a
5
Bài 19:
Với a, b, c > 0 chứng minh rằng:
1 4 9
36
a b c abc
Giải:
1 4 9 1 2 3
36
a b c
abc
a bc
2
Bài 20:
Cho a, b, c, d > 0 chứng minh rằng:
1 1 4 16
64
a b c d abcd
Giải:
1 1 4
16
16
16
64
;
a b c a bc a bc d a bc d
Cần nhớ:
a 2 b2 c2 a b c
x
y z
x yz
2
Bài 21:
Với a, b, c > 0 chứng minh rằng:
4 5 3
2
1
3
4
a b c
ab bc ca
Giải:
1 1
4
3 3
3 1 1
4
2 2
8 1 1
4
;
;
a b ab
a b ab b c bc
b c bc c a ca
Bài 22:
Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác , p là nửa chu vi tam giác đó.
Chứng minh rằng
1
1
1
1 1 1
2
p a p b p c
a b c
Giải:
1
1
1
2
2
2
p a p b p c a b c a b c a b c
6
1
1
1
1
1
1
1 1 1
2
a b c a b c a b c a b c a b c a b c
a b c
Bài 23:
x2
y2
z2
Cho x, y, z> 0 và x y x 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P
yz zx x y
Giải:
x y z x y z 4 2.
x2
y2
z2
Cách1: P
y z z x x y 2 x y z
2
2
2
Cách 2:
x2
yz
y2
zx
z2
x y
x;
y;
z
yz
4
zx
4
x y
4
x yz x yz 4
P x yx
2.
2
2
2
Bài 24:
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x+2y+3z =18. Chứng minh rằng
2 y 3z 5 3z x 5 x 2 y 5 51
1 x
1 2 y
1 3z
7
Giải:
2 y 3z 5 3 z x 5 x 2 y 5
1 x
1 2 y
1 3z
2 y 3z 5
3z x 5
x 2y 5
1
1
1 3
1 x
1 2 y
1 3z
1
1
1
9
x 2 y 3z 6
3
3 24.
x 2 y 3z 3
1 x 1 2 y 1 3z
9
51
24. 3
21
7
Bài 25:
Chứng minh bất đẳng thức:
a 2 b 2 1 ab a b
Giải:
Nhân hai vế với 2, đưa về tổng cuuả ba bình phương.
Bài 26:
Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì
p a p b p c 3p
Giải:
Bu-
nhi
-a
ta
p a p b p c (1 1 1 )( p a p b p c) 3(3 p 2 p) 3 p
2
7
2
2
có:
Bài 27:
Cho hai số a, b thỏa mãn: a 1; b 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng A a
Giải: a
1
1
b
a
b
1
1 15b b 1 15.4
1 17
21
2; b
2.
A
a
b 16 16 b 16
4 4
4
Bài 28:
Chứng minh rằng a 4 b 4 a 3b ab3
Giải:
a 2 2 b2 2 (12 12 ) a 2 b 2 2 a 2 b 2 a 2 b 2 2ab a 2 b 2 a 4 b 4 a 3b ab3
Bài 29:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
( x y 1)2 xy y x
A
(Với x; y là các số thực dương).
xy y x ( x y 1)2
Giải:
( x y 1) 2
1
a; a 0 A a
xy y x
a
Đặt
Aa
1 8a a 1 8
a 1 8 2 10
10
( ) .3 2. . A
a 9
9 a 9
9 a 3 3 3
3
Bài 30:
Cho ba số thực a, b, c đôi một phân biệt.
a2
b2
c2
Chứng minh
2
(b c)2 (c a)2 (a b)2
Giải:
a
b
b
c
c
a
.
.
.
1
(b c) (c a) (c a) (a b) (a b) (b c)
2
a
b
c
VT
0
(b c) (c a) (a b)
(Không cần chỉ ra dấu = xảy ra hoặ nếu cần cho a= 1,b=0 => c=-1 thì xảy ra dấu =)
Bài 31:
Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c 3 . Chứng ming rằng
1
2009
670
2
2
a b c
ab bc ca
2
8
Có
Giải:
1
2009
2
2
a b c
ab bc ca
1
1
1
2007
9
2007
2
670
2
2
2
2
a b c
ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c
a b c
3
Bài 32:
2
Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P a 2 b2 c2
ab bc ca
a 2b b 2 c c 2 a
Giải:
3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2
Mà a3 + ab2 2a2b ;b3 + bc2 2b2c;c3 + ca2 2c2a Suy ra 3(a2 + b2 + c2) 3(a2b + b2c + c2a) > 0
ab bc ca
9 (a 2 b 2 c 2 )
2
2
2
Suy ra P a b c 2
Pa b c
a b2 c2
2(a 2 b2 c 2 )
2
2
2
t = a2 + b2 + c2, với t 3.
Suy ra P t
9t t 9 t 1
3 1
3 4 P 4
2t
2 2t 2 2
2 2
a=b=c=1
Bài 33:
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
P=
1
1 1
16 x 4 y z
Giải:
P=
1
1
1 1
1 1 y
x z
x z
y 21
x y z
16x 4 y z
16x 4 y z 16 x 4 y 16 x z 4 y z 16
z
x 1
y
x 1
z
y
khi z=4x;
có =khi y=2x;
1 khi z=2y
16 x z 2
16 x 4 y 4
4y z
Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7
9
=>P 49/16
Bài 34:
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn:
4 5
23
x y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B 8x
6
7
18y
x
y
Giải:
B 8x
6
7
2
2 4 5
18y 8x 18y 8 12 23 43
x
y
x
y x y
1 1
2 3
1 1
2 3
Dấu bằng xảy ra khi x; y ; .Vậy Min B là 43 khi x; y ;
Bài 35
Cho x, y. z là ba số thực thuộc đoạn [1;2] và có tổng không vượt quá 5. Chứng minh rằng
x2 + y2 + z2 9
Giải:
1 x 2 x 1 0 và x 2 0 ( x 1)(x 2) 0
x 2 3x 2
Tương tự y 2 3y 2 và z 2 3z 2
x2 + y2 + z2 3( x + y +z) – 6 3. 5 – 6 = 9
Bài 36:
Cho a, b, c là các số thuộc 1; 2 thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 6. Chứng minh rằng
a bc 0.
Giải:
a 1 a 2 0 a 2 a 2 0; b 2 b 2 0; c 2 c 2 0
a b c a 2 b2 c2 6 0
Bài 37:
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a b c 2 . Chứng minh rằng:
a2
Giải:
10
1
1
1
97
b2 2 c 2 2
2
b
c
a
2
2
9 1 2 81 2 1
1
4
9
2
1.a . 1 a 2 a 2
a ;
4 b
16
b
b
4b
97
1
4
9
1
4
9
2
b2 2
b ; c 2
c
c
4c
a
4a
97
97
cộng các vế lại
Bài 38:
Cho tam giác có ba cạnh lần lượt là a,b,c và chu vi là 2p. Chứng minh rằng
p
p
p
9
p a p b p c
Giải:
p
p
p
1
1
1
9
9
9 hay
p a p b p c
p a p b p c p a p b p c p
Bài 39:
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6. Chứng minh rằng:
3(a 2 b 2 c 2 ) 2abc 52
Giải:
abc (a b c)(a b c)(a b c) (6 2a) 6 2b 6 2c abc 24
8
ab bc ac
3
16 36 (a 2 b 2 c 2 )
8
2abc 48
(a 2 b 2 c 2 ) 2abc 48 (1)
3
2
3
a 2 b 2 c 2
2
2
2
0
a 2 b2 c2
4 (2)
3
(1) and(2) dpcm
Có chứng minh được 3(a 2 b2 c 2 ) 2abc 18 hay không?
Bài 40:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của
333
4
(
a
b
c
)
1
5
a
b
c
biểu thức P
.
Giải:
2 2
2
2 2
2
a
(
b
c
)(
a
b
c
)
(
a
b
c
)
b
(
c
ab
)(
c
a
)
(
b
c
a
)
Có a
(1) , b
(2)
2 2
2
a
b
c
c
c
(
a
bc
)(
a
b
)
(
c
a
b
)
(3) . Dấu ‘=’ xảy ra
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương. Nhân vế với vế của (1),
b
c
(
a
b
c
)
(
b
c
a
)
(
c
a
b
)
(2), (3) ta có: a
(*)
8
8
(
a
b
c
)
8
(
a
b
b
c
c
a
)
9
a
b
c
0
a
b
c
(
2
2
a
)
(
2
2
b
)
(
2
2
c
)
b
c
2
Từ a
nên (*)
8
9
a
b
c
8
(
a
b
b
c
c
a
)
0
9
a
b
c
8
(
a
b
b
c
c
a
)
8
(*)
3
3
3
3
b
c
(
a
b
c
)
3
(
a
b
c
)
()
a
b
b
c
c
a
3
a
b
c
8
6
()
a
b
b
c
c
a
3
a
b
c
Ta có a
11
3
3
3
(
a
b
c
)
1
5
a
b
c
2
7
a
b
c
2
4
()
a
b
b
c
c
a
3
2
3
9
a
b
c
8
()
a
b
b
c
c
a
3
2
Từ đó 4
(**)
3 33
(
a
b
c
)
1
5
a
b
c
3
.
(
8
)
3
2
8
Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4
2
b
c
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a
.
3
2
b
c
Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi a
3
Bài 41:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng
2
1
a 3 b3 c3 3abc .
9
4
Giải:
*P a 3 b3 c3 3abc
Ta có a 3 b3 c 3 3abc (a b c )(a 2 b 2 c 2 ab bc ac )
a 3 b3 c3 3abc (a 2 b 2 c 2 ab bc ac ) (1)
có abc (a b c)(a b c)(a b c) (1 2a)(1 2b)(1 2c)
2 8
ab bc ca (2)
3 3
2 5
(1)and(2) a 3 b3 c3 3abc a 2 b 2 c 2 ab bc ca
3 3
1 4( ab bc ca ) 8abc 6abc
mà ab bc ca
2
1 a 2 b2 c2
2
2
P1
a
6
2
b2 c2
1
6
2
1
1
1
1
1 1 1 2
2
2
2
a b c 0 a b c P .
3
3
3
3
6 3 6 9
*P a 3 b3 c3 3abc
abc (a b c)(a b c)(a b c ) (1 2a)(1 2b)(1 2c) 1 4(ab bc ca ) 8abc 0
ab bc ca ) 2abc
1
4
(3)
P a3 b3 c3 3abc (a b c)(a 2 b 2 c 2 ab bc ac ) 6abc
a 2 b 2 c 2 ab bc ac 6abc a b c 3 ab bc ca 6abc
2
1 1
1 3 ab bc ca 2abc 1 3.
4 4
12
Bài 42:
Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 . Chứng minh rằng:
x 2 y 2 z 2 xy yz zx xyz 8
Giải:
Chứng minh được
xyz x y z x y z x y z
(6 2 x)(6 2 y )(6 2 z ) 216 72( x y z ) 24( xy yz zx) 8xyz
8
xyz 24 ( xy yz zx) (1)
3
mà x y z 9 x 2 y 2 z 2 2xy 2 yz 2xz 9
2
x 2 y 2 z 2 xy yz xz 36 3xy 3 yz 3xz
(2)
8
Nên xyz x 2 y 2 z 2 xy yz xz 24 ( xy yz zx)+ 36 3xy 3 yz 3xz
3
1
2
xyz x 2 y 2 z 2 xy yz xz 12 ( xy yz zx) mà x y z 3( xy yz zx)
3
1 x y z
36
xyz x y z xy yz xz 12 .
12
8
3
3
9
Bài 43:
2
2
2
2
Cho a 1342; b 1342 . Chứng minh rằng a 2 b2 ab 2013 a b . Dấu đẳng thức xảy
ra khi nào?
Giải:
Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau:
a 1342 b 1342
2
2
0; a 1342 b 1342 0; a 1342 b 1342 0
Thật vậy:
(1)
a 1342 b 1342 0 a 2 b 2 2.1342. a b 2.13422 0
(2)
a 1342 b 1342 0 ab 1342a 1342b 13422 0
a 2 b 2 2.1342. a b 2.13422 ab 1342a 1342b 13422 0
a 2 b 2 ab 3.1342. a b 3.13422 2.2013. a b 3.13422
2013. a b 2013. a b 2.2013.1342 2013. a b 2013. a b 1342 1342 2013. a b
2
2
Bài 44:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A x 1 x 3 6 x 1 x 3
4
13
4
2
2
Giải:
Cách 1:
Cách 2:
A x 1 x 3 6 x 1 x 3
4
4
2
2
2
2
2
2
2
A x 1 x 3 4 x 1 x 3
A 2x 2 8x 10 4 x 2 4x 3
2
A 2( x 2) 2 2 4 ( x 2) 2 1
2
2
2
A 4( x 2) 4 8( x 2) 2 4 4( x 2) 4 8( x 2) 2 4
A 8( x 2) 4 8 8
Bài 45:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
ab
bc
ca
1
c 1 a 1 b 1 4
Giải:
Bài 46
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh rằng:
1
1
1
1
3
3
3
3
1 x y 1 y z 1 z 3 x3
14
Giải:
x 2 y 2 2xy x y x 2 y 2 2xy x y x 3 y 3 xy x y
1 x 3 y 3 xy x y z
1
1
1 x y
3
3
1
xy x y z
z
1
x
1
y
;
;
dpcm
3
3
3
3
x y z 1 y z
x y z 1 z x
x yz
1 x y
Bài 47
Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng:
ab
2
2a b 2b a
a b
2
Giải:
ab
1
1
1
2
a b a b a b a b 2 ab a b 2a b 2b a
a b
2
2
4
4
Bài 48
Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện:
1
1
1
1
3
3
1 8a
1 8b
1 8c3
Giải:
1
1
1
2
1
2
2
2
1 8a 3
2a 1 4a 2 2a 1 2a 1 4a 2a 1 4a 2 2a 1
2
1
1
1
1
;
2 ;
2
1 8b3 2b 1 1 8c3 2c 1
3
VT
3
1
1
1
2a 1 2b 1 2c 1
2
2
2
9
2a 1 2b 2 1 2c 2 1
2
1
Bài 49
Với a,b,c là ba số thực dương . Chứng minh rằng:
Giải:
Cách 1:
a 3 b3 c 3
a 2 b2 c2
b c a
2
2
2
a 2 b2 c 2 a 2 b2 c 2 a 2 b2 c 2
a 3 b3 c 3 a 4 b 4 c 4 a b c
b c a ab bc ca
ab bc ca
ab bc ca
Cách 2
a3
b3
c3
ab 2a 2 ; bc 2b 2 ; ca 2c 2 VT 2 a 2 b 2 c 2 (ab bc ca ) a 2 b 2 c 2
b
c
a
Bài 50
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
x2
y2
z2
3
y 1 z 1 x 1 2
Giải:
x2
y 1
y2
z 1
z2
x 1
3
3 3
3 3
x;
y;
z VT x y z .3
y 1
4
z 1
4
x 1
4
4
4 4
4 2
2
15
Bài 1: Cho a 3 , tìm giá trị nhỏ nhất của S a
1 8a a 1
24
a 1 10
( )
2 .
a 9
9 a
9
9 a 3
Giải: S a
Bài 2: Cho a 2 , tìm giá trị nhỏ nhất của S a
Giải: S a
1
a
1
a2
1 6a a a 1
12
a a 1 12 3 9
( 2 ) 33 . . 2
2
a
8
8 8 a
8
8 8 a
8 4 4
Bài 3: Cho a, b > 0 và a b 1 , tìm giá trị nhỏ nhất của S ab
Giải: S ab
1
1
15
1
(ab
)
2 ab
ab
16ab 16ab
16ab
15
ab
16
2
Bài 4: Cho a, b, c> 0 và a b c
3
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của S a 2
1
1
1
b2 2 c 2 2
2
b
c
a
Giải:
Cách 1:
Cách 2:
S a2
1
1
1
b2 2 c 2 2
2
b
c
a
(12 42 )(a 2
1
1
1
1
1
4
) (1.a 4. ) 2 a 2 2
(a )
2
b
b
b
b
17
2
1
ab
17
4
Tương tự
b2
1
1
4
1
1
4
(b ); c 2 2
(c )
2
c
c
a
a
17
17
Do đó:
1
4 4 4
1
36
(a b c )
(a b c
)
a b c
a bc
17
17
S
1
17
3 17
9
135
(a b c 4(a b c) ) 4(a b c) 2
Bài 5: Cho x, y, z là ba số thực dương và x y z 1 . Chứng minh rằng:
x2
1
1
1
y 2 2 z 2 2 82
2
y
z
x
Giải:
1
1
1
1
9
(1.x 9. ) 2 (12 92 )( x 2 2 ) x 2 2
(x )
y
y
y
y
82
1
1
9
1
1
9
( y ); z 2 2
(z )
2
z
z
x
x
82
82
1
9 9 9
1
81
S
(x y z )
(x y z
)
x y z
x yz
82
82
TT : y 2
1
1
80
( x y z x y z ) x y z 82
82
Bài 6: Cho a, b, c > 0 và a 2b 3c 20
Tìm giá trị nhỏ nhất của S a b c
3 9 4
a 2b c
Giải: Dự đoán a =2, b = 3, c = 4
12 18 16
12
18 16
a 2b 3c 3a 2b c
a b c
a
b
c
20 3.2.2 2.2.3 2.4 52 S 13
4S 4a 4b 4c
Bài 7: Cho x, y, z > 0 và
1 1 1
4
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của P
2
1
1
1
2x y z x 2 y z x y 2z
Giải:
Ta có
1 1
4 1 1
4
1 1 1 1
4
4
16
1
1 1 2 1
;
x y x y y z yz
x y y z x y y z x 2y z
x 2 y z 16 x y z
TT :
1
1 2 1 1
1
1 1 1 2
;
2 x y z 16 x y z x y 2 z 16 x y z
S
1 4 4 4
1
16 x y z
Bài 8:
x
x
x
12 15 20
Chứng minh rằng với mọi x R , ta có 3x 4 x 5x
5 4 3
Giải:
x
x
12 15
12
2
5 4
5
x
x
x
x
x
x
15
20 15
20 12
. 2.3x ; 2.5x ; 2.4 x
4
3 4
3 5
Cộng các vế tương ứng => đpcm.
Bài 9:
Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 6 . Chứng minh rằng 8x 8 y 8z 4 x 1 4 y 1 4 z 1
Giải:
Dự đoán x=y=z = 2 và
3
8x.8x 3 64 x 4 x nên:
8 x 8 x 82 3 3 8 x.8 x.82 12.4 x ;
8 y 8 y 82 3 3 8 y.8 y.82 12.4 y ;
8 z 8 z 82 3 3 8 z.8 z.82 12.4 z
8 x 8 y 8 z 3 3 8 x.8 y.8 z 3 3 82.82.82 192
Cộng các kết quả trên => đpcm.
Bài 10:
Cho x, y, z> 0 và xyz = 1. Hãy chứng minh rằng
1 x3 y 3
1 y3 z3
1 z 3 x3
3 3
xy
yz
zx
3
Giải:
x3 y 3 xy x y 1 x 3 y 3 xyz xy x y xy x y z 3xy 3 xyz 3xy
1 x3 y 3
3xy
xy
xy
3 yz
3 1 y3 z3
;
xy
yz
yz
1
1
1
S 3
3 3
xy
yz
zx
1
x2 y 2 z 2
3 1 z 3 x3
3zx
;
yz
zx
zx
3
zx
3 3
Bài 11:
Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
x y 1 xy
biểu thức P
2
2
1 x 1 y
Giải:
x y 1 xy
x y 1 xy x y 1 xy
2
1 1 P 1
P
2
2
2
2
2
4
1 x 1 y 1 x 1 y x y 1 xy 4 4
2
Khi cho x=0 và y= 1 thì P = -1/4
Khi cho x=1 và y = 0 thì P = 1/4
KL: Khi dấu = xảy ra.
Bài 12:
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
a 3 b3 c 3
ab bc ca
b c a
Giải:
a 3 b3 c3 a 4 b 4 c 4 (a 2 b 2 c 2 )2 ab bc ac
ab bc ac
Cách 1:
b c a ab bc ca
ab bc ac
ab bc ac
2
3
3
a3
2 b
2 c
ab 2a ; bc 2b ; ca 2a 2
Cách 2:
b
c
a
a 3 b3 c 3
2(a 2 b 2 c 2 ) ab bc ac ab bc ac
b c a
Bài 13:
Cho x,y > 0 và x y 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A
3x 2 4 2 y 3
4x
y2
Giải: Dự đoán x = y = 2
A
4
3x 2 4 2 y 3 3x 1 2
1 x 2 y y x y 9
2 y 2
2
4x
y
4 x y
4 4 2 2
x 4 y
Bài 14: Cho x, y > 0 và x+y = 1. Chứng minh rằng P
1
1
42 3
3
x y
xy
3
Giải: Ta có
x y
P=
3
x3 y 3 3xy(x+y) x 3 y 3 3xy=1
x3 y 3 3xy x3 y 3 3xy
3xy
x3 y 3
4
42 3
x3 y 3
xy
x3 y 3
xy
Bài 15: Cho x, y, z > 0 và
1
1
1
1
2 . Chứng minh rằng xyz
8
1 x 1 y 1 z
Giải:
1
1
1
1
1
y
z
2
1
1
2
1 x
1 y 1 z
1 y
1 z 1 y 1 z
TT :
1
2
1 y
xz
1
;
2
1 x 1 z 1 z
yz
1 y 1 z
xy
1 x 1 y
Nhân các vế của 3 BĐT => đpcm
Bài 16: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của S
x
y
z
x 1 y 1 z 1
Giải:
S
1
x
y
z
1
1
9
9 3
3
3
3
x 1 y 1 z 1
x y z 3
4 4
x 1 y 1 z 1
Bài 17:
Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng:
4a 2 5b 2 3c 2
48
a 1 b 1 c 1
Giải:
2
4a 2 4 a 1 4
4
4
4 a 1
4 a 1
8 8 8 16
a 1
a 1
a 1
a 1
5b 2
5
3c 2
3
5 b 1
10 20;
3 c 1
6 12 dpcm
b 1
b 1
c 1
c 1
Bài 18:
Cho a, b, c > 0, chứng ming rằng:
1 1 1
1
1
1
3
a b c
a 2b b 2c c 2a
Giải:
1 1 1
9
1 1 1
9
1 1 1
9
;
;
cộng ba bất đẳng thức =>đpcm
a b b a 2b b c c b 2c c a a c 2a
5
Bài 19:
Với a, b, c > 0 chứng minh rằng:
1 4 9
36
a b c abc
Giải:
1 4 9 1 2 3
36
a b c
abc
a bc
2
Bài 20:
Cho a, b, c, d > 0 chứng minh rằng:
1 1 4 16
64
a b c d abcd
Giải:
1 1 4
16
16
16
64
;
a b c a bc a bc d a bc d
Cần nhớ:
a 2 b2 c2 a b c
x
y z
x yz
2
Bài 21:
Với a, b, c > 0 chứng minh rằng:
4 5 3
2
1
3
4
a b c
ab bc ca
Giải:
1 1
4
3 3
3 1 1
4
2 2
8 1 1
4
;
;
a b ab
a b ab b c bc
b c bc c a ca
Bài 22:
Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác , p là nửa chu vi tam giác đó.
Chứng minh rằng
1
1
1
1 1 1
2
p a p b p c
a b c
Giải:
1
1
1
2
2
2
p a p b p c a b c a b c a b c
6
1
1
1
1
1
1
1 1 1
2
a b c a b c a b c a b c a b c a b c
a b c
Bài 23:
x2
y2
z2
Cho x, y, z> 0 và x y x 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P
yz zx x y
Giải:
x y z x y z 4 2.
x2
y2
z2
Cách1: P
y z z x x y 2 x y z
2
2
2
Cách 2:
x2
yz
y2
zx
z2
x y
x;
y;
z
yz
4
zx
4
x y
4
x yz x yz 4
P x yx
2.
2
2
2
Bài 24:
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x+2y+3z =18. Chứng minh rằng
2 y 3z 5 3z x 5 x 2 y 5 51
1 x
1 2 y
1 3z
7
Giải:
2 y 3z 5 3 z x 5 x 2 y 5
1 x
1 2 y
1 3z
2 y 3z 5
3z x 5
x 2y 5
1
1
1 3
1 x
1 2 y
1 3z
1
1
1
9
x 2 y 3z 6
3
3 24.
x 2 y 3z 3
1 x 1 2 y 1 3z
9
51
24. 3
21
7
Bài 25:
Chứng minh bất đẳng thức:
a 2 b 2 1 ab a b
Giải:
Nhân hai vế với 2, đưa về tổng cuuả ba bình phương.
Bài 26:
Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì
p a p b p c 3p
Giải:
Bu-
nhi
-a
ta
p a p b p c (1 1 1 )( p a p b p c) 3(3 p 2 p) 3 p
2
7
2
2
có:
Bài 27:
Cho hai số a, b thỏa mãn: a 1; b 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng A a
Giải: a
1
1
b
a
b
1
1 15b b 1 15.4
1 17
21
2; b
2.
A
a
b 16 16 b 16
4 4
4
Bài 28:
Chứng minh rằng a 4 b 4 a 3b ab3
Giải:
a 2 2 b2 2 (12 12 ) a 2 b 2 2 a 2 b 2 a 2 b 2 2ab a 2 b 2 a 4 b 4 a 3b ab3
Bài 29:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
( x y 1)2 xy y x
A
(Với x; y là các số thực dương).
xy y x ( x y 1)2
Giải:
( x y 1) 2
1
a; a 0 A a
xy y x
a
Đặt
Aa
1 8a a 1 8
a 1 8 2 10
10
( ) .3 2. . A
a 9
9 a 9
9 a 3 3 3
3
Bài 30:
Cho ba số thực a, b, c đôi một phân biệt.
a2
b2
c2
Chứng minh
2
(b c)2 (c a)2 (a b)2
Giải:
a
b
b
c
c
a
.
.
.
1
(b c) (c a) (c a) (a b) (a b) (b c)
2
a
b
c
VT
0
(b c) (c a) (a b)
(Không cần chỉ ra dấu = xảy ra hoặ nếu cần cho a= 1,b=0 => c=-1 thì xảy ra dấu =)
Bài 31:
Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c 3 . Chứng ming rằng
1
2009
670
2
2
a b c
ab bc ca
2
8
Có
Giải:
1
2009
2
2
a b c
ab bc ca
1
1
1
2007
9
2007
2
670
2
2
2
2
a b c
ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c
a b c
3
Bài 32:
2
Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P a 2 b2 c2
ab bc ca
a 2b b 2 c c 2 a
Giải:
3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2
Mà a3 + ab2 2a2b ;b3 + bc2 2b2c;c3 + ca2 2c2a Suy ra 3(a2 + b2 + c2) 3(a2b + b2c + c2a) > 0
ab bc ca
9 (a 2 b 2 c 2 )
2
2
2
Suy ra P a b c 2
Pa b c
a b2 c2
2(a 2 b2 c 2 )
2
2
2
t = a2 + b2 + c2, với t 3.
Suy ra P t
9t t 9 t 1
3 1
3 4 P 4
2t
2 2t 2 2
2 2
a=b=c=1
Bài 33:
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
P=
1
1 1
16 x 4 y z
Giải:
P=
1
1
1 1
1 1 y
x z
x z
y 21
x y z
16x 4 y z
16x 4 y z 16 x 4 y 16 x z 4 y z 16
z
x 1
y
x 1
z
y
khi z=4x;
có =khi y=2x;
1 khi z=2y
16 x z 2
16 x 4 y 4
4y z
Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7
9
=>P 49/16
Bài 34:
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn:
4 5
23
x y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B 8x
6
7
18y
x
y
Giải:
B 8x
6
7
2
2 4 5
18y 8x 18y 8 12 23 43
x
y
x
y x y
1 1
2 3
1 1
2 3
Dấu bằng xảy ra khi x; y ; .Vậy Min B là 43 khi x; y ;
Bài 35
Cho x, y. z là ba số thực thuộc đoạn [1;2] và có tổng không vượt quá 5. Chứng minh rằng
x2 + y2 + z2 9
Giải:
1 x 2 x 1 0 và x 2 0 ( x 1)(x 2) 0
x 2 3x 2
Tương tự y 2 3y 2 và z 2 3z 2
x2 + y2 + z2 3( x + y +z) – 6 3. 5 – 6 = 9
Bài 36:
Cho a, b, c là các số thuộc 1; 2 thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 6. Chứng minh rằng
a bc 0.
Giải:
a 1 a 2 0 a 2 a 2 0; b 2 b 2 0; c 2 c 2 0
a b c a 2 b2 c2 6 0
Bài 37:
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a b c 2 . Chứng minh rằng:
a2
Giải:
10
1
1
1
97
b2 2 c 2 2
2
b
c
a
2
2
9 1 2 81 2 1
1
4
9
2
1.a . 1 a 2 a 2
a ;
4 b
16
b
b
4b
97
1
4
9
1
4
9
2
b2 2
b ; c 2
c
c
4c
a
4a
97
97
cộng các vế lại
Bài 38:
Cho tam giác có ba cạnh lần lượt là a,b,c và chu vi là 2p. Chứng minh rằng
p
p
p
9
p a p b p c
Giải:
p
p
p
1
1
1
9
9
9 hay
p a p b p c
p a p b p c p a p b p c p
Bài 39:
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6. Chứng minh rằng:
3(a 2 b 2 c 2 ) 2abc 52
Giải:
abc (a b c)(a b c)(a b c) (6 2a) 6 2b 6 2c abc 24
8
ab bc ac
3
16 36 (a 2 b 2 c 2 )
8
2abc 48
(a 2 b 2 c 2 ) 2abc 48 (1)
3
2
3
a 2 b 2 c 2
2
2
2
0
a 2 b2 c2
4 (2)
3
(1) and(2) dpcm
Có chứng minh được 3(a 2 b2 c 2 ) 2abc 18 hay không?
Bài 40:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của
333
4
(
a
b
c
)
1
5
a
b
c
biểu thức P
.
Giải:
2 2
2
2 2
2
a
(
b
c
)(
a
b
c
)
(
a
b
c
)
b
(
c
ab
)(
c
a
)
(
b
c
a
)
Có a
(1) , b
(2)
2 2
2
a
b
c
c
c
(
a
bc
)(
a
b
)
(
c
a
b
)
(3) . Dấu ‘=’ xảy ra
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương. Nhân vế với vế của (1),
b
c
(
a
b
c
)
(
b
c
a
)
(
c
a
b
)
(2), (3) ta có: a
(*)
8
8
(
a
b
c
)
8
(
a
b
b
c
c
a
)
9
a
b
c
0
a
b
c
(
2
2
a
)
(
2
2
b
)
(
2
2
c
)
b
c
2
Từ a
nên (*)
8
9
a
b
c
8
(
a
b
b
c
c
a
)
0
9
a
b
c
8
(
a
b
b
c
c
a
)
8
(*)
3
3
3
3
b
c
(
a
b
c
)
3
(
a
b
c
)
()
a
b
b
c
c
a
3
a
b
c
8
6
()
a
b
b
c
c
a
3
a
b
c
Ta có a
11
3
3
3
(
a
b
c
)
1
5
a
b
c
2
7
a
b
c
2
4
()
a
b
b
c
c
a
3
2
3
9
a
b
c
8
()
a
b
b
c
c
a
3
2
Từ đó 4
(**)
3 33
(
a
b
c
)
1
5
a
b
c
3
.
(
8
)
3
2
8
Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4
2
b
c
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a
.
3
2
b
c
Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi a
3
Bài 41:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng
2
1
a 3 b3 c3 3abc .
9
4
Giải:
*P a 3 b3 c3 3abc
Ta có a 3 b3 c 3 3abc (a b c )(a 2 b 2 c 2 ab bc ac )
a 3 b3 c3 3abc (a 2 b 2 c 2 ab bc ac ) (1)
có abc (a b c)(a b c)(a b c) (1 2a)(1 2b)(1 2c)
2 8
ab bc ca (2)
3 3
2 5
(1)and(2) a 3 b3 c3 3abc a 2 b 2 c 2 ab bc ca
3 3
1 4( ab bc ca ) 8abc 6abc
mà ab bc ca
2
1 a 2 b2 c2
2
2
P1
a
6
2
b2 c2
1
6
2
1
1
1
1
1 1 1 2
2
2
2
a b c 0 a b c P .
3
3
3
3
6 3 6 9
*P a 3 b3 c3 3abc
abc (a b c)(a b c)(a b c ) (1 2a)(1 2b)(1 2c) 1 4(ab bc ca ) 8abc 0
ab bc ca ) 2abc
1
4
(3)
P a3 b3 c3 3abc (a b c)(a 2 b 2 c 2 ab bc ac ) 6abc
a 2 b 2 c 2 ab bc ac 6abc a b c 3 ab bc ca 6abc
2
1 1
1 3 ab bc ca 2abc 1 3.
4 4
12
Bài 42:
Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 . Chứng minh rằng:
x 2 y 2 z 2 xy yz zx xyz 8
Giải:
Chứng minh được
xyz x y z x y z x y z
(6 2 x)(6 2 y )(6 2 z ) 216 72( x y z ) 24( xy yz zx) 8xyz
8
xyz 24 ( xy yz zx) (1)
3
mà x y z 9 x 2 y 2 z 2 2xy 2 yz 2xz 9
2
x 2 y 2 z 2 xy yz xz 36 3xy 3 yz 3xz
(2)
8
Nên xyz x 2 y 2 z 2 xy yz xz 24 ( xy yz zx)+ 36 3xy 3 yz 3xz
3
1
2
xyz x 2 y 2 z 2 xy yz xz 12 ( xy yz zx) mà x y z 3( xy yz zx)
3
1 x y z
36
xyz x y z xy yz xz 12 .
12
8
3
3
9
Bài 43:
2
2
2
2
Cho a 1342; b 1342 . Chứng minh rằng a 2 b2 ab 2013 a b . Dấu đẳng thức xảy
ra khi nào?
Giải:
Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau:
a 1342 b 1342
2
2
0; a 1342 b 1342 0; a 1342 b 1342 0
Thật vậy:
(1)
a 1342 b 1342 0 a 2 b 2 2.1342. a b 2.13422 0
(2)
a 1342 b 1342 0 ab 1342a 1342b 13422 0
a 2 b 2 2.1342. a b 2.13422 ab 1342a 1342b 13422 0
a 2 b 2 ab 3.1342. a b 3.13422 2.2013. a b 3.13422
2013. a b 2013. a b 2.2013.1342 2013. a b 2013. a b 1342 1342 2013. a b
2
2
Bài 44:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A x 1 x 3 6 x 1 x 3
4
13
4
2
2
Giải:
Cách 1:
Cách 2:
A x 1 x 3 6 x 1 x 3
4
4
2
2
2
2
2
2
2
A x 1 x 3 4 x 1 x 3
A 2x 2 8x 10 4 x 2 4x 3
2
A 2( x 2) 2 2 4 ( x 2) 2 1
2
2
2
A 4( x 2) 4 8( x 2) 2 4 4( x 2) 4 8( x 2) 2 4
A 8( x 2) 4 8 8
Bài 45:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
ab
bc
ca
1
c 1 a 1 b 1 4
Giải:
Bài 46
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh rằng:
1
1
1
1
3
3
3
3
1 x y 1 y z 1 z 3 x3
14
Giải:
x 2 y 2 2xy x y x 2 y 2 2xy x y x 3 y 3 xy x y
1 x 3 y 3 xy x y z
1
1
1 x y
3
3
1
xy x y z
z
1
x
1
y
;
;
dpcm
3
3
3
3
x y z 1 y z
x y z 1 z x
x yz
1 x y
Bài 47
Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng:
ab
2
2a b 2b a
a b
2
Giải:
ab
1
1
1
2
a b a b a b a b 2 ab a b 2a b 2b a
a b
2
2
4
4
Bài 48
Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện:
1
1
1
1
3
3
1 8a
1 8b
1 8c3
Giải:
1
1
1
2
1
2
2
2
1 8a 3
2a 1 4a 2 2a 1 2a 1 4a 2a 1 4a 2 2a 1
2
1
1
1
1
;
2 ;
2
1 8b3 2b 1 1 8c3 2c 1
3
VT
3
1
1
1
2a 1 2b 1 2c 1
2
2
2
9
2a 1 2b 2 1 2c 2 1
2
1
Bài 49
Với a,b,c là ba số thực dương . Chứng minh rằng:
Giải:
Cách 1:
a 3 b3 c 3
a 2 b2 c2
b c a
2
2
2
a 2 b2 c 2 a 2 b2 c 2 a 2 b2 c 2
a 3 b3 c 3 a 4 b 4 c 4 a b c
b c a ab bc ca
ab bc ca
ab bc ca
Cách 2
a3
b3
c3
ab 2a 2 ; bc 2b 2 ; ca 2c 2 VT 2 a 2 b 2 c 2 (ab bc ca ) a 2 b 2 c 2
b
c
a
Bài 50
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
x2
y2
z2
3
y 1 z 1 x 1 2
Giải:
x2
y 1
y2
z 1
z2
x 1
3
3 3
3 3
x;
y;
z VT x y z .3
y 1
4
z 1
4
x 1
4
4
4 4
4 2
2
15