Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

300 bài tập tích phân

138c8573931c85a55f0a1a5fd197e618
Gửi bởi: Lời Giải Hay 21 tháng 9 2016 lúc 18:36:29 | Được cập nhật: 17 tháng 5 lúc 11:33:14 Kiểu file: PDF | Lượt xem: 473 | Lượt Download: 0 | File size: 0 Mb

Nội dung tài liệu

Tải xuống
Link tài liệu:
Tải xuống

Các tài liệu liên quan


Có thể bạn quan tâm


Thông tin tài liệu

Traàn Só Tuøng Tích phaân Trang Nhaéc laïi Giôùi haïn Ñaïo haøm Vi phaân 1. Caùc giôùi haïn ñaëc bieät: a) ®=x0sinxlim1x Heä quaû: ®=x0xlim1sinx ®=u(x)0sinu(x)lim1u(x) ®=u(x)0u(x)lim1sinu(x) b) xx1lim1e,xRx ®¥æö+=Îç÷èø Heä quaû: 1xx0lim(1x)e.®+= x0ln(1x)lim1x ®+= xx0e1lim1x ®-= 2. Baûng ñaïo haøm caùc haøm soá sô caáp cô baûn vaø caùc heä quaû: (c)’ (c laø haèng soá) 1(x)\'xaa-=a 1(u)\'uu\'aa-=a 211\'xxæö=-ç÷èø 21u\'\'uuæö=-ç÷èø ()1x\'2x= ()u\'u\'2u= xx(e)\'e= uu(e)\'u\'.e= xx(a)\'a.lna= uu(a)\'a.lna.u\'= 1(lnx)\'x= u\'(lnu)\'u= a1(logx\')x.lna= au\'(logu)\'u.lna= (sinx)’ cosx (sinu)’ u’.cosu 221(tgx)\'1tgxcosx ==+ 22u\'(tgu)\'(1tgu).u\'cosu ==+ 221(cotgx)\'(1cotgx)sinx-==-+ 22u\'(cotgu)\'(1cotgu).u\'sinu-==-+ 3. Vi phaân: Cho haøm soá f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a b) vaø coù ñaïo haøm taïi x(a;b)Î. Cho soá gia Dx taïi sao cho xx(a;b)+DÎ. Ta goïi tích y’.Dx (hoaëc f’(x).Dx) laø vi phaân cuûa haøm soá f(x) taïi x, kyù hieäu laø dy (hoaëc df(x)). dy y’.Dx (hoaëc df(x) f’(x).Dx AÙp duïng ñònh nghóa treân vaøo haøm soá x, thì dx (x)’Dx 1.Dx Dx Vì vaäy ta coù: dy y’dx (hoaëc df(x) f’(x)dx)Tích phaân Traàn Só Tuøng Trang NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN 1. Ñònh nghóa: Haøm soá F(x) ñöôïc goïi laø nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a b) neáu moïi thuoäc (a b), ta coù: F’(x) f(x). Neáu thay cho khoaûng (a b) laø ñoaïn [a b] thì phaûi coù theâm: F\'(a)f(x)vaøF\'(b)f(b)+-== 2. Ñònh lyù: Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a b) thì a/ Vôùi moïi haèng soá C, F(x) cuõng laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng ñoù. b/ Ngöôïc laïi, moïi nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a b) ñeàu coù theå vieát döôùi daïng: F(x) vôùi laø moät haèng soá. Ngöôøi ta kyù hieäu hoï taát caû caùc nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) laø f(x)dx.ò Do ñoù vieát: f(x)dxF(x)C=+ò Boå ñeà: Neáu F¢(x) treân khoaûng (a b) thì F(x) khoâng ñoåi treân khoaûng ñoù. 3. Caùc tính chaát cuûa nguyeân haøm: ()f(x)dx\'f(x)=ò af(x)dxaf(x)dx(a0)=¹òò []f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx+=+òòò [][]f(t)dtF(t)Cfu(x)u\'(x)dxFu(x)CF(u)C(uu(x))=+Þ=+=+=òò 4. Söï toàn taïi nguyeân haøm: Ñònh lyù: Moïi haøm soá f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a b] ñeàu coù nguyeân haøm treân ñoaïn ñoù. §Baøi 1: NGUYEÂN HAØMTraàn Só Tuøng Tích phaân Trang BAÛNG CAÙC NGUYEÂN HAØM Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp thöôøng gaëp Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá hôïp (döôùi ñaây u(x)) dxxC=+ò duuC=+ò 1xxdxC(1)1 a+a=+a¹-a+ 1uuduC(1)1 a+a=+a¹-a+ dxlnxC(x0)x=+¹ò dulnuC(uu(x)0)u=+=¹ò xxedxeC=+ò uuedueC=+ò xxaadxC(0a1)lna=+<¹ò uuaaduC(0a1)lna=+<¹ò cosxdxsinxC=+ò cosudusinuC=+ò sinxdxcosxC=-+ò sinuducosuC=-+ò 22dx(1tgx)dxtgxCcosx=+=+òò 22du(1tgu)dutguCcosu=+=+òò 22dx(1cotgx)dxcotgxCsinx=+=-+òò 22du(1cotgu)ducotguCsinu=+=-+òò dxxC(x0)2x=+>ò duuC(u0)2u=+>ò 1cos(axb)dxsin(axb)C(a0)a+=++¹ò 1sin(axb)dxcos(axb)C(a0)a+=-++¹ò dx1lnaxbCaxba=+++ axbaxb1edxeC(a0)a ++=+¹ò dx2axbC(a0)aaxb=++¹+ òTích phaân Traàn Só Tuøng Trang Vaán ñeà 1: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG ÑÒNH NGHÓA Baøi toaùn 1: CMR F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a b) PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a b) Böôùc 2: Chöùng toû raèng F\'(x)f(x)vôùix(a;b)=\"Î Chuù yù: Neáu thay (a b) baèng [a b] thì phaûi thöïc hieän chi tieát hôn, nhö sau: Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a b) Xaùc ñònh F’(a+) Xaùc ñònh F’(b–) Böôùc 2: Chöùng toû raèng F\'(x)f(x),x(a;b)F\'(a)f(a)F\'(b)f(b)+-=\"Îìï=íï=î Ví duï 1: CMR haøm soá: 2F(x)ln(xxa)=++ vôùi laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá 21f(x)xa=+ treân R. Giaûi: Ta coù: 222222x1(xxa)\'2xaF\'(x)[ln(xxa)]\'xxaxxa++++=++==++++ 2222xax1f(x)xa(xxa)xa++===++++ Vaäy F(x) vôùi laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R. Ví duï 2: CMR haøm soá: x2ekhix0F(x)xx1khix0ì³ï=í++<ïî Laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá xekhix0f(x)2x1khix0ì³=í+<î treân R. Giaûi: Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) ta ñi xeùt hai tröôøng hôïp: a/ Vôùi x0¹, ta coù: xekhix0F\'(x)2x1khix0ì>=í+<î b/ Vôùi 0, ta coù:Traàn Só Tuøng Tích phaân Trang Ñaïo haøm beân traùi cuûa haøm soá taïi ñieåm x0 0. 20x0x0F(x)F(0)xx1eF\'(0)limlim1.x0x -- -®®-++-===- Ñaïo haøm beân phaûi cuûa haøm soá taïi ñieåm x0 0. x0x0x0F(x)F(0)eeF\'(0)limlim1.x0x ++ +®®--===- Nhaän xeùt raèng F\'(0)F\'(0)1F\'(0)1.-+==Þ= Toùm laïi: xekhix0F\'(x)f(x)2x1khix0 ì³==í+<î Vaäy F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R. Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa tham soá ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a b). PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a b) Böôùc 2: Ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a b), ñieàu kieän laø: F\'(x)f(x)vôùix(a;b)=\"Î Duøng ñoàng nhaát cuûa haøm ña thöùc giaù trò tham soá. Chuù yù: Neáu thay (a b) baèng [a b] thì phaûi thöïc hieän chi tieát hôn, nhö sau: Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a b) Xaùc ñònh F’(a+) Xaùc ñònh F’(b–) Böôùc 2: Ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a b), ñieàu kieän laø: F\'(x)f(x),x(a;b)F\'(a)f(a)F\'(b)f(b)+-=\"Îìï=íï=î giaù trò cuûa tham soá. Baøi toaùn 3: Tìm haèng soá tích phaân PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Duøng coâng thöùc ñaõ hoïc, tìm nguyeân haøm: F(x) G(x) Döïa vaøo ñeà baøi ñaõ cho ñeå tìm haèng soá C. Thay giaù trò vaøo (*), ta coù nguyeân haøm caàn tìm.Tích phaân Traàn Só Tuøng Trang Ví duï 3: Xaùc ñònh ñeå haøm soá: 2xkhix1F(x)axbkhix1ì£=í+>î laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá: 2xkhix1f(x)2khix1£ì=í>î treân R. Giaûi: Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) ta ñi xeùt hai tröôøng hôïp: a/ Vôùi x1¹, ta coù: 2xkhix1F\'(x)2khix1<ì=í>î b/ Vôùi 1, ta coù: Ñeå haøm soá F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm 1, tröôùc heát F(x) phaûi lieân tuïc taïi 1, do ñoù x1x1limF(x)limF(x)f(1)ab1b1a(1)-+®®==Û+=Û=- Ñaïo haøm beân traùi cuûa haøm soá F(x) taïi ñieåm 1. 2x1x1 f(x)F(1)x1F\'(1)=limlim2.x1x1-®® --==-- Ñaïo haøm beân phaûi cuûa haøm soá f(x) taïi ñieåm x0 0. x1x1x1F(x)F(1)axb1ax1a1F\'(1)limlimlima.x1x1x1 +++ +®®®-+-+--====--- Haøm soá F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm F\'(1)F\'(1)a2.-+Û=Û= (2) Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc –1. Vaäy haøm soá F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm 1, neáu vaø chæ neáu 2, –1. Khi ñoù: F’(1) f(1) Toùm laïi vôùi 2, thì F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x). Ví duï 4: Xaùc ñònh ñeå haøm soá: -=++22xF(x)(axbxc)e laø moät nguyeân haøm cuûa 22xF(x)(2x8x7)e-=--+ treân R. Giaûi: Ta coù: 2x22xF\'(x)(2axb)e2(axbxc)e--=+-++22x2ax2(ab)xb2ce-éù=-+-+-ëû Do ñoù F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân F\'(x)f(x),xRÛ=\"Î Û-+-+-=-+-\"Î222ax2(ab)xb2c2x8x7,xR a1a1ab4b3b2c7c2==ììïïÛ-=Û=-ííïï-=-=îî Vaäy -=-+22xF(x)(x3x2)e.Traàn Só Tuøng Tích phaân Trang BAØI TAÄP Baøi 1. Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá xF(x)lntg24pæö=+ç÷èø Töø ñoù suy ra nguyeân haøm cuûa haøm soá 1f(x)cosx=. Baøi 2. Chöùng toû raèng haøm soá 2ln(x1),x0F(x)x0,x0ì+¹ï=íï=î laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá 2222ln(x1),x0f(x)x1x1,x0ì+-¹ï=+íï=î Baøi 3. Xaùc ñònh a, b, sao cho haøm soá 2xF(x)(axbxc).e-=++ laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá 2xf(x)(2x5x2)e-=-+ treân R. ÑS: –2 –1. Baøi 4. a/ Tính nguyeân haøm 322 x3x3x7F(x)cuûaf(x)vaøF(0)8.(x1) ++-==+ b/ Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa 2xf(x)sinvaøF.224ppæö==ç÷èø ÑS: a/ 2x8F(x)x;2x1=+++ b/ 1F(x)(xsinx1)2=-+ Baøi 5. a/ Xaùc ñònh caùc haèng soá a, b, sao cho haøm soá: 2F(x)(axbxc)2x3=++- laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá: 220x30x73f(x)treânkhoaûng;22x3-+æö=+¥ç÷èø- b/ Tìm nguyeân haøm G(x) cuûa f(x) vôùi G(2) 0. ÑS: a/ a4;b2;c1;==-= b/ 2G(x)(4x2x10)2x322.=-+--Tích phaân Traàn Só Tuøng Trang Vaán ñeà 2: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG VIEÄC SÖÛ DUÏNG BAÛNG CAÙC NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN Ví duï 1: CMR neáu f(x)dxF(x)C=+ò thì 1f(axb)dxF(axb)Cvôùia0.a+=++¹ò Giaûi: Ta luoân coù: 1f(axb)dxf(axb)d(axb)vôùia0.a+=++¹ AÙp duïng tính chaát 4, ta ñöôïc: 11f(axb)dx(axb)d(axb)F(axb)C(ñpcm)aa +=++++òò. Ghi chuù: Coâng thöùc treân ñöôïc aùp duïng cho caùc haøm soá hôïp: f(t)dtF(t)Cf(u)duF(u)C,vôùiuu(x)=+Þ=+=òò Ví duï 2: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: a/ 3(2x3)dx+ò b/4cosx.sinxdxò c/xx 2edxe1+ d/2(2lnx1)dxx+ò Giaûi: a/ Ta coù: 443311(2x3)(2x3)(2x3)dx(2x3)d(2x3).CC.2248+++=++=+=+òò b/ Ta coù: 544cosxcosx.sinxdxcosxd(cosx)C5=-=-+òò c/ Ta coù: xxxxx 2ed(e1)dx22ln(e1)Ce1e1+==++++ òò d/ Ta coù: 223 (2lnx1)11dx(2lnx1)d(2lnx1)(2lnx1)C.x22+=++=++òò Ví duï 3: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: a/ 2x2sindx2ò b/2cotgxdxò c/tgxdxò d/3tgxdxcosxò Giaûi: a/ Ta coù: 2x2sindx(1cosx)dxxsinxC2=-=-+òò b/ Ta coù: 22 1cotgxdx1dxcotgxxCsinx æö=-=--+ç÷èø òò c/ Ta coù: sinxd(cosx)tgxdxdxlncosxCcosxcosx==-=-+òòòTraàn Só Tuøng Tích phaân Trang d/ Ta coù: 33443tgxsinxd(cosx)11dxdxcosxCC.cosxcosxcosx33cosx-==-=-+=-+òòò Ví duï 4: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: a/ 2xdx1x+ b/ 21dxx3x2-+ Giaûi: a/ Ta coù: 2222 x1d(1x)1dxln(1x)C1x21x2+==++++ òò b/ Ta coù: 21111dxdxdxx3x2(x1)(x2)x2x1æö==-ç÷-+----èøòòò x2lnx2lnx1ClnC.x1-=---+=+- BAØI TAÄP Baøi 6. Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: a/ 2xf(x)cos;2= b/ 3f(x)sinx. ÑS: a/ 1(xsinx)C;2++ b/ 31cosxcosxC.3-++ Baøi 7. Tính caùc tích phaân baát ñònh a/ xxe(2e)dx;--ò b/ xx edx;2 c/ 2xxxx 2.3.5dx10 ò. d/ 25xx e1dx;e -+ò e/ xxedxe2+ ÑS: a/ x2exC;-+ b/ xx eC;(1ln2)2+- c/ x6Cln6+ d/ 26xx1eeC;6----+ e/ xln(e2)C++. Baøi 8. Tính caùc tích phaân baát ñònh a/ 44xx2dx-++ò; b/ 35xxdxò c/ 2xx1dx+ò; d/ 2001(12x)dx;-ò e/ 34lnxdxx -ò ÑS: a/ 3x1C;3x-+ b/ 575xC;7+ c/ 221(x1)x1C3+++ d/ 20021(12x).C;22002--+ e/ 1(34lnx)34lnxC.6+++Tích phaân Traàn Só Tuøng Trang 10 Vaán ñeà 3: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH Phöông phaùp phaân tích thöïc chaát laø vieäc söû duïng caùc ñoàng nhaát thöùc ñeå bieán ñoåi bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân thaønh toång caùc bieåu thöùc maø nguyeân haøm cuûa moãi bieåu thöùc ñoù coù theå nhaän ñöôïc töø baûng nguyeân haøm hoaëc chæ baèng caùc pheùp bieán ñoåi ñôn giaûn ñaõ bieát. Chuù yù quan troïng: Ñieåm maáu choát laø pheùp phaân tích laø coù theå ruùt ra yù töôûng cho rieâng mình töø moät vaøi minh hoaï sau: Vôùi 3263f(x)(x2)thìvieátlaïif(x)x4x4.=-=-+ Vôùi 2x4x52f(x)thìvieátlaïif(x)x3x1x1-+==-+--. Vôùi 2111f(x)thìvieátlaïif(x)x5x6x3x2==--+-- Vôùi 11f(x)thìvieátlaïif(x)(32x2x1)22x132x==--+++- Vôùi xx2xxxf(x)(23)thìvieátlaïif(x)42.69.=-=-+ Vôùi 3f(x)8cosx.sinxthìvieátlaïif(x)2(cos3x3cosx).sinx==+ 2cos3x.sinx6cosx.sinxsin4xsin2x3sin2xsin4x2sin2x.=+=-+=+ 22tgx(1tgx)1=+- 22cotgx(1cotgx)1=+- n2n22x(1x)11x1x1x++=+++. Ñoù chæ laø moät vaøi minh hoaï mang tính ñieån hình. Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: 2002Ix(1x)dx.=-ò Giaûi: Söû duïng ñoàng nhaát thöùc (1 x) ta ñöôïc: 2002200220022003x(1x)[1(1x)](1x)(1x)(1x).-=---=--- Khi ñoù: 200220032002200320032004I(1x)dx(1x)dx(1x)d(1x)(1x)d(1x)(1x)(1x)C.20032004=---=---+----=-++òòòò Toång quaùt: Tính tích phaân baát ñònh: Ix(axb)dx,vôùia0a=+¹ò Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 11x.ax[(axb)b]aa==+-Trên đây chỉ là phần trích dẫn 10 trang đầu của tài liệu và có thế hiển thị lỗi font, bạn muốn xem đầyđủ tài liệu gốc thì ấn vào nút Tải về phía dưới.