30 ĐỀ HSG TOÁN 9

1ềBài (4,0 đi m).ể Cho bi th c:ể ứ6xxx9x32xx23x:9xx3x1Pa) Rút bi th Pọ ứb) Tìm giá tr 1ị ểBài (5,0 đi m).ểa) Gi ph ng trình: ươ4)11(22xxxb) Tìm nghi nguyên ệ85zxyzx yzyxBài (2,0 đi m).ểCho ng x,y,z tho mãn đi ki n:ố ươ xy yz zx 1Tính: 222111xzyx222111yxzy222111zyxzBài (3,0 đi m).ể Cho hai dãy cùng chi aố ề1 a2 a3 b1 b2 b3Ch ng minh ng (aứ ằ1 a2 +a3 )(b1 b2 b3 3(a1 b1 +a2 b2 +a3 b3 )Áp ng ch ng minh ng ớcba0 thì cbacbacba3 200620062006 200520052005 Bài (6,0 đi m).ể1. Cho hai ng tròn (oườ1 và (o2 nhau và B. Ti tuy chung haiắ ủđ ng tròn ti xúc (oườ ượ ớ1 và (o2 và D. Qua ng th ng song song iạ ườ ớCD (oầ ượ ắ1 và (o2 và N. Các ng th ng BC và BD ngạ ườ ượ ườth ng MN và Các ng th ng CM và DN nhau Ch ng minh ng:ẳ ườ ằa) ng th ng AE vuông góc ng th ng CD ườ ườ ẳb) Tam giác EPQ là tam giác cân.2. Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB>CD). Hãy xác nh đi thu nh bên BC ạsao cho đo th ng AE chia hình thang thành hai hình có di tích ng nhauạ ằH NG GI IƯỚ Ả1. đk 4x9x0x0x209x0xTa có: )x3)(x2(x9)x2)(2x()x3)(3x(:3x)(3x()3x(x1P= x3)(x2(4xx4:3x3 =2)x2()x3)(x2(.3x3 2x3 ậ2x31Ta th 12x 325x5x32x. 25 thì 1ậ ớ2. a. ĐK: -1 và PT <=> 41141122xxxxxxx<=> 314112xxx Gi Pt (t/m ả -1). KL: 8b. 85zyxx yzyxĐ ặvx yuyx x, là nghi ph ng trình: ươ ut (a)Ph ng trình có nghi ươ 4v (*)Ta có ệ85zuvzu21 Th (1) vào (2) z(5 z) –5z có nghi (a) có nghi (*) raả (5-z) 4(z 5z 8) 3z 10z 0 (z-1)(-3z+7) 00370103701zzzz371371zzz)()3(VNT (3) và do nguyên 1; +)2244441yxx yyxvuz +)122123232yxyxx yyxvuzV có nghi nguyên là: (2; 2; 1); (1; 2; 2);ậ (2; 1; 2)3. Ta có 1+x xy yz zx y(x+z)+x(x+z) =(x+z)(z+y)T ng ta có:ươ 1+y =(y+x)(y+z)1+z =(z+x)(z+y)T=yxzxyzxzzyxyxzyyxzxyxyzxzyyzxzzyxyzxyxz ==x(y+z)+y(x+z)+z(x+y) =2(xy+yz+zx)=2. T= 2ậ4. Do a1 a2 a3 a1 a2 0; a1 a3 0; a2 a3 0và b1 b2 b3 b1 b2 0; b1 b3 0; b2 b3 0⇒ (a1 a2 )(b1 b2 (a1 a3 )(b1 b3 (a2 a3 )(b2 b3 )¿ 0⇔ 2(a1 b1 a2 b2 a3 b3 )- a1 b2 a2 b1 a1 b3 a3 b1 a2 b3 a3 b2 0⇔a1 b1 +a2 b2 +a3 b3 +a1 b2 +a2 b1 +a1 b3 +a3 b1 a2 b3 +a3 b2¿ 3(a1 b1 +a2 b2 a3 b3 )⇔ a1 (b1 b2 +b3 )+ a2 (b1 b2 +b3 )+ a3 (b1 b2 +b3 )¿ 3(a1 b1 +a2 b2 a3 b3 )2A FCEB⇔( a1 a2 a3 )( b1 b2 +b3 )¿ 3(a1 b1 +a2 b2 a3 b3 )Đ aặ1 2005 a2 2005 a3 2005 b1 cbaa b2 =cbab b3 =cbacDo Nên ta có a1 a2 a3 và b1 b2 b3 áp ng câu ta có;ụ(a 2005+b 2005+c 2005)cbaccbabcbaa  cba cba200620062006 cbacbacba32006200620062005200520055.1) Do MN // CD nên EDC ENA khác ặÐ CDA= DNA Cùng ch cung DA)ắ-> EDC= CDA hay DC là phân giác góc ADE. Lâp lu ng -> CD cũng là phân giác góc ACEậ ươ ự-> và ng nhau qua CD-> AE CDDo PQ song song CD nên AE PQ *)G là giao đi AB và CD Ta có ủ AID ng ng iồ DIB Do chung BID và IAD IDB (cùng ch cung BD)).ắ-> IAID =IDIB -> ID IA.IB. (1)L luân ng -> ICậ ươ IA.IB (2)T (1) và (2) -> IC IDừMà APIC AQID cùng ng ằBABI => AP AQK (*) -> ớ EPQ cân Eạ2) Bi hình thang thành hình tam giác ổcùng có di tích ABF.ệT DF//AC DF đt BC F.ừ ạCh ng minh SứABCD SABF .L là trung đi FB. Đo th ng ẳAE chia tam giác ABF thành hai hình có di tích ng nhau và AE cũng là đo th ng ẳchia hình thang thành hai hình có di tích ng nhauệ ằĐ 2ềBài (4,0 đi m).ể Cho bi th :ể ứxxxxxxxxxxxxP123:22882a) Tìm có nghĩa và ch ng minh ng Pể ằ1 .b) Tìm tho mãn ả1.1PxBài (5,0 đi m).ể3a) Gi ph ng trình :ả ươ1122xxxb) Gi ph ng trình :ả ươx 2y 2x 3y 2+ 2x 2y Bài (3,0 đi m).ể Cho Rzyx,, th mãn ỏzyxzyx1111Hãy tính giá tr bi th ứ43 (x 8)(y 9)(z 10 10) .Bài (6,0 đi m).ể1. Cho ABC BC=a, CA=b, AB=c (c0 và a+b+c 1. Ch ng minh b+c 16abc.ứH NG GI IƯỚ Ả1. a) Đi ki x>0 Ta có ệ)2.()2()3(:)2.()2()88()(22xxxxxxxxxxP P= 52 44 xx P-1=04)1()1(1524422xxxxx ậ1Pb) 1).1(Px 45212xxx 3x 6x -1 0 33233323xx 3347x (thoã mãn đi ki x>0) .ề ệ2. a. ĐK 1x112)1(122222xxxxxxx 11.2)1(22xxxxx 2)11(22xx 0)21()21(0)21()21(22xxxx 212212x (th mãn)ỏ b. Gi ph ng trình :ả ươ y=0 ế x=0 x=0, y=0 là nghi ph ng trình ươV yớ 0 đã cho tr thành xệ 2y 2x 3y 2y+ 3x 2y (th mãn) (lo i) ạ(1)4 02022223yxyxyxxy Nh th ấ32y không tho mãn ph ng trình .ả ươXét 32y (1) ừ232yyx thay vào (2) ta có :022.)2(322232yyyyyy 022)2(33233yyyyy0811336yy 323238111333xyyxyy có nghi (0;0) (1;-1) (-2ậ 3;332 .3. ừzyxzyx1111 =>01111zyxzyx => 0zyxzzzyxx yyx ()()()()()21 10 0( )zx zy xyx xxy xyz zæ öæ ö+ +Þ =ç ÷ç ÷ç ÷+ +è øè øTa có (x y)(x-y)(x 2+y 2)(x 4).= (y z)(y 7z 6z .......... 8) 10- 10 (z x)(z 3x 2x zx 4)(z 5)V ậ43 (x y) (y z) (z x).A 434.a) Ta có BOP là góc ngoài AOB BOP= OAB OBA 21 (Ð BAC ÐABC)L có ạÐ PNB=180 MNC =180 00180 1180 )2 2ACBBAC ABC- Ð= +Ð BOP+Ð PNP=180 giác BOPN ti ế OPM OBC (cùng bù OPN khác ặÐ OMP OCN OPM OBC (g.g)OBOPOCOMaPM (1)T ng ta có :ơ ự ONQ OCA (g.g) aPMOCOMOCONbNQ (2)O MFCNB AP Q5AOB QOP (g.g) aPMOBOPcPQ (1) (2) ừ cPQbNQaMPb. giác AMQO ti (CM trên)ứ ế AQO=Ð AMO 90  ABQ vuông có QE là trung tuy ế EQB= EBQ=Ð CBQ EQ//BC mà EF//BC E, Q, th ng hàng .ẳ5. Cho ba th ự, ,a không âm sao cho 1a c+ Ch ng minh: ứ16b abc+ ng th ra khi nào ?ấ ảTheo qu câu 3.1, ta có:ế ả()()()2 24a cé ù+ +ë ûmà 1a c+ (gi thi t)ả ếnên: ()()21 4a c³ (vì a, b, không âm nên không âm) Nh ng: ư()24b bc+ (không âm)Suy ra: 16b abc+ .D ng th ra khi: ả1 1,4 2a cb ab c= +ìÛ =í=îĐ 3ềBài (4,0 đi m).ể Cho bi th c:ể ứx 9P 1x 92 6æ ö- -= -ç ÷-- -è øa) Rút bi th P.ọ ứb) Tìm các giá tr nguyên nguyên.ị ểBài (3,0 đi m). Cho 0, và 1. Ch ng minh:ứ4 418(x 5xy+ ³Bài 4: (3 đi m)ể a) Gi ph ng trìnhả ươ b) Gi ph ng trình ươ2 225 10 3Bài (6,0 đi m).ể1) Cho ABC vuông A, ng cao AH. (P), (Q) theo th là ng tròn iạ ườ ườ ộti hai tam giác AHB và AHC. ti tuy chung ngoài (khác BC) (P) và (Q) AB,ế ắAH, AC theo M, K, N. Ch ng minh ng.ự ằa. HPQ ABCb. KP // AB, KQ // AC.c. giác BMNC ti cứ ượ2) Cho a, b, clà dài nh ABC. m, n, là dài các ng phân giác ườtrong ba góc ABC. Ch ng minh ng: \\f(1,m \\f(1,n \\f(1,k \\f(1,a \\f(1,b \\f(1,c Bài (2,0 đi m).ể 3122yxyx31yxyx6Tìm các tam giác vuông có dài nh là nguyên và đo di tích ng sấ ốđo chu vi. NG GI IƯỚ Ả1. Đi ki có nghĩa: ểx 0x 0x 4x 9³ì³ìïï¹ ¹í íï ï¹ ¹îî Ta có:(x 9) (4 x) x(2 x)( 3) 2)( 3)Px( 3)( 3)( 3)- --- +=-- +- +Û =- -(x 9) (4 x) (9 x) xP .(2 x)( 3) (2 x) xTheo câu ta có: 2P 1x x+= Do đó thì ta ầ2x 1x (lo¹ i)é=ê=êë 1.V thì có giá tr nguyên.ậ ị2. Ta có: (x 2) 2x 2y [(x y) 2xy] 2x 2y (1 2xy) 2x 2y 2= 2x 2y 4xy 1.Þ +4 21 18(x 16x 32xy (4xy 7)(4xy 1) 1xy xy xy Vì và nên theo BĐT Côsi ta có:(4xy 7)(4xy 1) 012 xy xy144xy- ³ìï£ Þí³ïî4 41 1(4xy 7)(4xy 1) 8(x 5xy xyÞ ³. ng ra khi ảx y1x y2x 1=ìÛ =í+ =î .3. 1) ĐKXĐ: 10 £10 ặ225x- 210x- a, ). Ta pt ượ ệ2 2315a ba b- =ìí- =î Gi pt ta 1. Suy ra xả ượ1 x2 -3 2) Đk (1): (2)C ng (1) và (2) ta c:ộ ượ0yyxyxyxyx3131222 yxyxyxyx  31310611 2yxyx 02131yxyx7211MDAB (3) và (2) ta có: (*) vô nghi mệ vô nghi m. (4) và (2) ta có có nghi mệ ệ4. 1) a. AHB CHA khác và là tâm ng tròn ti pặ ượ ườ ếD AHB và DAHC => (1) cóạÐ BAC PHQ 90 (2)T (1) và (2) suy ra ừD HPQ ABCb. Theo câu a. ta có PQH ACB (3)ÐPKQ PHQ 90 => giác PKQH ti => ượÐ PKH PQH (4)T (3) và (4) => ừÐ PKH ACBl có ạÐ BAH ACB=> PKH BAH => PK // AB ch ng minh ng ta cũng có ươ ựKQ //AC.c. Ta cóÐ ACB PKH MKP AMK => BMN NCB BMN AMK 180 => giác BMNC ti cứ ượ 2) Qua đi ng th ng song song AD AB ườ ạÐA1 M1 A2 C2 Mà A1 A2 (AD là tia phân giác góc )ủNên M1 C1 AM AC. Xét AMC MC AM AC 2AM Xét BMC ta có AD // MC \\f(AD,MC \\f(AB,BM \\f(AB, Nên AD \\f(, \\f(, \\f(1,AD \\f(1,2 \\f(1,AC \\f(1,AD \\f(1,m \\f(1,2 \\f(1,b \\f(1,c )T ng ươ \\f(1,n \\f(1,2 \\f(1,a \\f(1,c \\f(1,k \\f(1,2 \\f(1,a \\f(1,b ). \\f(1,m \\f(1,n \\f(1,k \\f(1,a \\f(1,b \\f(1,c 5. a, b, là đo nh tam giác vuông tìm. Gi 1ọ ửa c£ .P QHB MCNAK 021 031yx yx 421 331yx yx 6 31yx yx yx yy6 (*)0136 2 1 31yx yx yx yy 0122;1 yx;1 yxAC ABHQ HP8Ta có ph ng trìnhệ ươ 2a cab 2(a c)ì+ =í= +î (1)(2)T (1) ừÞ (a b) 2ab (a b) 4(a c) (theo (2))Û(a b) 4(a b) 4cÛ (a b) 4(a b) 4c 4.Û(a 2) (c 2) (do 2)Û 4.Thay vào (2) ta c: ab 2(a 4)ượÛab −4a−4b b(a −4) −4(a−4) (a −4)(b−4) 8Phân tích 1.8 2.4 nên ta có:a 1ho hob 8ì =ì ìÛí í- =î îîa- =2 =5 =6Æc Æc =4 =12 b=8T đó ta có tam giác vuông có các nh (5ừ 12 13) và (6 10) th mãn yêu bài ủtoán.Đ 4ềBài (4,0 đi m).ể Cho bi th c: ứ336 333 33 8x xA xx xxæ öæ ö+ += -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷+ +-è øè øa) Rút bi th ứA .b) Tìm các giá tr nguyên ủx bi th ứA nh giá tr nguyên.ậ ịBài (3,0 đi m).ểa) Gi ph ng trình:ả ươ2 2197x xyx xyì+ =í+ =-îb) Cho 3(x +y 2) +4(x y) và xy .Tìm giá tr nh bi th ứ1 1Mx y= .Bài (5,0 đi m).ể Gi các ph ng trình.ả ươa) 3412xx +5163161351211581222xxxxxxb) 12611246xxxxBài (6,0 đi m).ểCho ABC ti ng tròn tâm O. Tia phân giác trong góc (O) D. ngộ ườ ườtròn (L) thay nh ng luôn đi qua A, AB, AC đi th hai M, N.ổ ượ ạa) CMR: BM CNb) Tìm qu tích trung đi MNỹ ủc) Tìm trí (L) sao cho MN ng nh t.ị ấBài (2,0 đi m).ể Cho giác ABCD, là giao đi hai ng chéo. Kí hi uứ ườ ệ1 2; ;AIB CID ABCDS SD D= =a. Ch ng Minh: ứ1 2S S+ £b. Khi giác ABCD là hình thang thì th trên ra nh th nào?ứ ếH NG GI IƯỚ Ả91. Ta có: ()23 0;1 0, 0x x+ " nên đi ki có nghĩa làề ể()()()343 0, 03x x- ¹()()3331 36 333 33 2xx xA xx xxæ öæ ö++ç ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷+ +ç ÷ç ÷-è øè ø. ()()()()6 33 33 4x xA xx xæ ö+ -ç ÷= -ç ÷- +è ø()()()3 33 13 4x xA xx xæ ö+ +ç ÷= +ç ÷- +è ø. ()23 13 2xAx-=- (403x£ )()()()2 23 1133 2x xA xx x- += +- -V ớx là nguyên không âm, là nguyên thì ố3 93 33 13 1x xx xxxé= =é- =± =êê==ëêë (vìxÎZ và 0x³ ). Khi đó: 4A=2.a) ()22 219 193 197 77S yx xy Px xyP xyx xy Px xyì= +ì ì+ =æ ö+ =ïÛ Ûí íç ÷=+ =- =-+ =-ïè øî îî (1)Gi (1) ta c: ượ( 1; 6), 2; 5)S P=- =- =- =-Gi các ph ng trình tích, ng: ươ 16x yxy =-ìí=-î và 25x yxy+ =-ìí=-î ta có các nghi ph ngệ ươtrình đã cho là: 6; ;2 31 6x xy yy yì ì=- =- =- +ì ìï ïí í= =-=- =- -î îï ïî îb) Ta có 3(x +y 2) +4(x y) Ûx 3x 3x +1 3y 3y 0Û (x 1) (y 1) (x 2) 0Û(x 2)[(x 1) (x 1)(y 1) (y 1) 1] (*)()()()()()()()22 21 3V 1= 4ì yé ù+ >ê úë ûNên (*)Û 2Ta yó Mx xy xy+ -= vì ()21 24 2x xy xyxy xy-+ .V MaxM -2 ậÛ -1 .3. a) 4x 1)( x+ 3)x 8x 15 +3)(x+5)x 12x 35 +5)( 7)x 16x 63 7)( 9) ĐKXĐ -1; -3; -5; -7; -9 pt 51)9)(7(1)7)(5(1)5)(3(1)3)(1(1xxxxxxxx 51)9171715151313111(21xxxxxxxx 51)9111(21xx 10