225 bài toán hình học không gian trong các đề thi thử

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ NĂM 2016 BÀI 1 (THPT SỐ 3 BẢO THẮNG – LÀO CAI). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh bằng 4a , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đ{y. Góc giữa cạnh SC v| mặt phẳng (ABCD) bằng 600 , M l| trung điểm của BC , N l| điểm thuộc cạnh AD sao cho DN = a . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SB và MN. Lời giải. S K A F B H M E N D C ▪ Ta có SA  (ABCD)  AC l| hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD). Suy ra góc giữa cạnh SC v| mặt phẳng (ABCD) là góc SCA . Tam gi{c ABC vuông tại B, theo định lý Pytago ta có: AC 2  AB 2  BC 2  32a 2  AC  4a 2  SA  AC.tan 600  4a 6 1 64a3 6 2 (đvtt) S ABCD  4a.4a  16a  VS . ABCD  .16a .4a 6  3 3 ▪ Gọi E l| trung điểm của đoạn AD , F l| trung điểm của AE  BF // MN nên MN / /(SBF )  d ( MN , SB)  d  MN ,  SBF    d  N ,  SBF   2 Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ AH  BF , H  BF , trong mặt phẳng (SAH) kẻ AK  SH , K  SH  BF  AH  AK  SH . Ta có   BF  ( SAH )  BF  AK . Do   AK  ( SBF )  BF  SA  AK  BF  d  A,  SBF    AK Lại có : 1 1 1 103 4a 618 1 1 1 17 và     AK     2 2 2 2 2 2 2 2 103 AH AB AF 16a AK AS AH 96a d  N ,  SBF   d  A,  SBF    NF 8a 618  2  d  N ,  SBF    . AF 103 1 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Vậy VS . ABCD  CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 64a3 6 8a 618 và d (MN , SB)  . 103 3 BÀI 2 (THPT BÌNH MINH – NINH BÌNH). Cho hình chóp S. ABCD có đ{y ABCD là hình thoi tâm I v| có cạnh bằng a, góc BAD bằng 600 .Gọi H l| trung điểm của IB và SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 . Tính thể tích của khối chóp S.AHCD v| tính khoảng c{ch từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) . Lời giải. S K B C H I E A ▪ Ta có SH (ABCD) HC l| hình chiếu vuông góc của SC trên (SC ,(ABCD)) (ABCD) Theo giả thiết BAD D 450 SCH 600 BD BAD đều 3 a; AI 4 a ; HD a 3 2 và AC 2AI a 3 Xét SHC vuông c}n tại H , theo định lý Pitago ta có: SH HC IC 2 HI a 4 2 2 a 3 2 2 13 a. 4 1 1 1 39 3 SH .SAHCD SH . AC .HD a 3 3 2 32 ▪ Trong (ABCD) kẻ HE CD và trong (SHE ) kẻ HK Vậy VS .AHCD CD HE CD SH (SH (ABCD )) Từ (1) v| (2) suy ra HK Xét CD (SCD) HED vuông tại E , ta có HE Xét SHE vuông tại H , ta có HK (SHE ) CD d(H,(SCD)) 3 3 a 8 SH .HE SH HE HK (2) HK HD.sin 600 2 SE (1). Ta có: 3 39 2 4 79 a 2 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Mà d (B,(SCD )) d (H ,(SCD )) Do AB / /(SCD) Kết luận: VS .AHCD BD HD 4 3 d (B,(SCD )) d(A,(SCD)) CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 4 d (H ,(SCD )) 3 39 d(B,(SCD)) 39 3 a ; d(A,(SCD)) 32 39 79 79 4 HK 3 39 79 a a. a. BÀI 3 (THPT BỐ HẠ). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật với AB  2a, AD  a 3 . Mặt bên SAB l| tam gi{c c}n tại S v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đ{y. Biết đường thẳng SD tạo với mặt đ{y một góc 450. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SA v| BD. Lời giải. S K C B x H I A D Gọi hình chiếu của S trên AB l| H. Ta có SH  AB,(SAB)  ( ABCD)  AB,(SAB)  ( ABCD)  SH  ( ABCD) SH  ( ABCD) , suy ra góc giữa SD v| (ABCD) l| SDH  450 . Khi đó tam gi{c SHD vuông c}n tại H, suy ra SH  HD  2a , 1 4a 3 3 Khi đó thể tích lăng trụ l| VS . ABCD  SH .S ABCD  (đvtt) 3 3 Kẻ Ax//BD nên BD//(SAx) m| SA  (SAx)  d (BD,SA)  d (BD,(SAx))  d (B,(SAx))  2d (H,(SAx)) Gọi I, K lần lượt l| hình chiếu của H trên Ax và SI Chứng minh được HK  (SAx) Tính được HK  2a 93 4a 93 .  d (BD,SA)  2d (H, (SAx))  2 HK  31 31 Đặt AD  x( x  0)  AB  3x, AN  2 x, NB  x, DN  x 5, BD  x 10 Xét tam giác BDN có cos BDN  BD 2  DN 2  NB 2 7 2  . 2 BD.DN 10 3 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN BÀI 4 (TRUNG TÂM GDTX-HN CAM RANH (LẦN 1) – KHÁNH HÒA). Cho hình chóp S.ABC có đ{y ABC l| tam gi{c đều cạnh a, tam gi{c SAC c}n tại S v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với đ{y, SB tạo với đ{y một góc 300. M l| trung điểm cạnh BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SB v| AM. Lời giải. S K A C H J x M I B  ( SAC )   ABC   SH  (BAC) Gọi H l| trung điểm cạnh AC, ta có:  ( SAC )  ABC  AC     Theo đề b|i:  SB;  ABC   = SBH  300 ; BH = a 3 1 a a 3  SH  BH .tan 300 = . = 2 2 3 2 a2 3 (đvdt). 4 1 1 a a 2 3 a3 3 (đvtt).  VS . ABC = SH .SABC  . .  3 3 2 4 24 Kẻ tia Bx song song với AM SABC  (SBx) // AM  d(SB;(ABM))  d(AM;(SBx)) Kẻ HI  Bx; HI  AM   J  ; (SHI)  (SBx), (SHI)  (HBx)  SI. Kẻ HK  SI, suy ra d(H;(SBx))  HK. 1 1 1 1 1 52 3a      2    Tam giác vuông SHI: . 2 2 2 2 2 HK HI HS 9a 52  3a   a       4  2 a a 13 2 3  Vì HK= IJ  d(SB;AM)  d(J;(SBx))  IJ  HK  . 3 13 2 13 BÀI 5 (TRUNG TÂM GDTX-HN CAM RANH (LẦN 2) – KHÁNH HÒA). Cho hình chóp tứ gi{c đều S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam gi{c c}n tại S nằm trong mặt phẳng vuông góc với đ{y (ABCD), cạnh bên SC hợp với mặt phẳng đ{y một góc 600 . 1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 4 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 2. Tính góc hợp bởi giữa mặt bên (SCD) với đ{y. Lời giải. S H A D φ K B 600 C Gọi H l| trung điểm AB. Kẻ SH  AB. Do (SAB)  (ABCD) Nên SH l| đường cao của khối chóp S.ABCD  HC l| hình chiếu vuông góc của SC trên mp(ABCD)   (SC;(ABCD)) = SCH a a 5 HBC vuông tại B: HC= BC 2  HB 2  a 2  ( ) 2  2 2 a 5 a 15 ) tan 600  SHC vuông tại H : SH  HC tan(SHC )  ( 2 2 3 1 1 a 15 a 15 (đvtt)  VSABCD  S ABCD .SH  (a 2 )( ) 3 3 2 6 Ta có SC=SD ( SBC  SAD ).Gọi K l| trung điểm CD a a 5 SK  CD iữa   SKH là góc g HBC vuông tại B: HC= BC 2  HB 2  a 2  ( ) 2  2 2  HK  CD hai mặt phẳng (SCD) v| mặt đ{y(ABCD) Gọi  l| góc giữa hai mặt phẳng (SCD) v| (ABCD) SH  SHK vuông tại H: tan  = HK a 15 2  15 . Từ đó suy ra  ? a 2 BÀI 6 (THPT CHUYÊN BẮC GIANG – BẮC GIANG). Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB = a, BC = 2a, ABC = 1200. Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm cạnh A’B’, góc giữa đường thẳng AC’ v| mặt phẳng (A’B’C’) bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ v| góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) v| (ABC). Lời giải. 5 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN A C M K B A' C' H B' Gọi H l| trung điểm của A’B’, vì AH  (A’B’C’) nên góc giữa AC’ v| (A’B’C’) l|  AC ', HC '  AC ' H  600 . A' B ' a  . 2 2 Áp dụng định lí cosin v|o tam gi{c HB’C’ ta có: Ta có: A ' B '  AB  a, B ' C '  BC  2a, B ' H  a 21 21a 2 HC '  HB '  B ' C '  2 HB '.B'C'.cos120   HC '  4 2 3a 7 AHC ' vuông tại H: AH  HC '.tan 600  2 1 a2 3 0 Diện tích ABC : SABC  AB.BC.sin120  . 2 2 3a3 21 Thể tích lăng trụ: VABC . A ' B 'C '  AH .SABC  . 4 Gọi M l| trung điểm AB. Vẽ MK  BC tại K. Ta có: AHB’M l| hình chữ nhật. suy ra B’M  (ABC)  BC  B’M  BC  (B’MK). Suy ra BC  B’K. 2 2 2 0 Vậy góc giữa (BCC’B’) v| (ABC) l|   (MK; KB’)  MKB 3a 7 Ta có: B ' M  AH  . 2 a 3 MKB vuông tại K: MK  MB.sin 600  4 B'M MKB ' vuông tại M: tan    2 21 MK Vậy góc giữa (BCC’B’) v| (ABC) l|   arctan 2 21 . BÀI 7 (THPT CHUYÊN BẮC NINH). Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đ{y ABC l| tam gi{c đều cạnh a, B’A = B’C = B’C, góc giữa cạnh bên BB’ v| (ABC) bằng 600 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AC, BB’. Lời giải. 6 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN A' C' B' A K M C H B Gọi H l| hình chiếu vuông góc của B’ trên mặt phẳng (ABC). Góc giữa B’B vằ mặt phẳng (ABC) l| B ' BH  600 Vì BA  BB  B ' C nên H l| t}m đường tròn ngoại tiếp tam gi{c đều ABC. Gọi M l| trung điểm AC. Vì ABC l| tam gi{c đều nên BM  AC v| H l| trọng t}m ABC . Xét tam giác vuông AMB ta có: a 3 2 a 3  BH  BM  BM  AB.sin 600  3 3 2 Tam gi{c BB’H vuông tại H: BH  BH .tan 600  a a3 3 Vậy VABC . A ' B 'C '  BH .SABC  4 Kẻ MK vuông góc với BB’ tại K. Vì AC  B ' H , AC  BM nên AC   B ' BM   AC  MK .  MK  AC   MK  d  AC , BB ' .  MK  BB ' Tam giác MKB vuông tại K: MK  BM .sin600  3a  d  AC , BB ' . 4 BÀI 8 (THPT CHUYÊN HÙNG VƢƠNG). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông 2 . Gọi M l| trung 5 điểm BC, N l| giao điểm của DM với AC, H l| hình chiếu của A trên SB. Tính thể tích hình chóp S.ABMN v| khoảng c{ch từ điểm H tới mặt phẳng (SDM). Lời giải. góc với đ{y ABCD. Cạnh bên SC tạo với đ{y ABCD một góc α v| tan   7 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S H K D A N B M C E Vì A l| hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) nên góc giữa SC v| mặt phẳng (ABCD) là  SC ; CA  SCA   . Tam gi{c ADC vuông tại D: AC  AD 2  CD 2  a 5 Tam gi{c SAC vuông tại A: SA  AC.tan   a 2 ABM và MCD vuông cân nên MA  MD  a 2 Theo định lý Pitago đảo, ta có AMD vuông tại M. MN MC 1 1 a 2    MN  MD  ND AD 2 3 3 1 1 5a 2 Ta có: SBMN  SABM  SAMN  AB.BM  AM .MN  2 2 6 1 1 5a 2 5a3 2 Tính thể tích khối chóp: VS . ABMN  SA.S ABMN  a 2.  3 3 6 18 Vẽ AK  SM tại K. Vì DM  AM , DM  SA nên DM   SAM   DM  AK Vì MC // AD nên Suy ra AK   SDM  Hai tam gi{c vuông AHS v| AHB đồng dạng (g.g) nên 2 SH HA SA HS HA  SA  HS 2    .   2  S  SB   HA HB AB HA HB  AB  HB 3 2 Mà S   SDM  nên d  d  H ;  SDM    d  B;  SDM   3 EB BM 1 Gọi giao AD v| DM l| E. Vì BM // AD nên   EA AD 2 1 1 1 Mà E   SDM  nên d  B;  SDM    d  A;  SDM    d  d  A;  SDM    AK 2 3 3 1 1 1 Tam gi{c SAM vuông tại A nên    AK  a AK 2 SA2 AM 2 a Vậy khoảng c{ch từ H đến (SDM) l| . 3 8 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN BÀI 9 (THPT CHUYÊN KHTN – HÀ NỘI (LẦN 2)). Cho lăng trụ tam gi{c đều ABC.A’B’C’ có AB = 2a, góc giữa AB’ v| BC’ bằng 60 0 . Tính thể tích của lăng trụ. Lời giải. A C B C' A' B' 1 1 3 AB. AC.sin A  .2a.2a .  3a 2 . Đặt BB’  x . 2 2 2 Mặt kh{c ta lại có: AB  BB  BA , BC  BB  BC Ta có: SABC  AB.BC x 2  2a 2  AB.BC 4a 2  x 2 1 x 2  2a 2 Với AB, BC  600   2  x  2a 2 2 4a  x 2  V  2 2a. 3a 2  2 6a 3 .    cos AB, BC      Với AB, BC  1200  x  0 (loại). Vậy V  2 6a 3 (đvtt). BÀI 10 (THPT CHUYÊN KHTN – HÀ NỘI (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABC có đ{y ABC l| tam gi{c c}n tại A trong đó AB  AC  a, BAC  120o ; mặt bên SAB l| tam gi{c đều v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với đ{y. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC v| b{n kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC. Lời giải. 9 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S O D I C B H A Gọi H l| trung điểm của AB thì H l| ch}n đường cao hạ từ đỉnh S của hình chóp. Ta có: 1 1 a 3 1 a3 VS . ABC  SH .SABC  . . .a.a.sin1200  3 3 2 2 8 Gọi D l| điểm đối xứng của A qua BC thì D l| t}m đường tròn ngoại tiếp tam gi{c ABC. Ta có tam gi{c DAB đều v| do đó. DH  AB . Suy ra DH   SAB  . Từ D, dựng đường thẳng  song song với đường thẳng SH thì  l| trục của đường tròn ngoại tiếp đ{y. Gọi I l| t}m tam gi{c đều SAB v| trong mặt phẳng (SHD), dựng đường thẳng d đi qua I v| song song với DH thì d l| trục của đường tròn ngoại tiếp mặt cầu (SAB). Gọi O    d thì O l| t}m mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Ta có: 2 1 a 3  a 39 2 . R  OC  OD  DC   .   a  6 3 2  2 2 BÀI 11 (THPT CHUYÊN LÀO CAI (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh bằng 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) l| trung điểm H của cạnh AB. Góc giữa mặt phẳng (SCD) v| mặt phẳng (ABCD) bằng 60o . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD. Tính theo a khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SA v| BD. Lời giải. 10 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S I A D M H B N C Gọi N l| trung điểm CD Ta có SH  (ABCD) nên (SHN)  (ABCD) HN // BC  HN  CD. Mà SH  CD nên CD  (SHN) Mà CD  (SCD) nên (SCD)  (SHN) Vậy mặt phẳng (SHN) cùng vuông góc với (ABCD) v| (SCD) (SHN)  (ABCD)  HN; (SHN)  (SCD)  SN  Góc giữa (SCD) v| (ABCD) l| SNH  600 Vì HNCB l| hình chữ nhật nên MN  BC  2a . Tam giác SMN vuông tại M: SM  MN .tan 600  2a 3 1 1 8a3 3 2 (đvtt) VS . ABCD  SM .S ABCD  .2a 3.  2a   3 3 3 ▪ Tính khoảng c{ch: Qua A kẻ đường thẳng d song song với BD. H l| hình chiếu vuông góc của M trên d. Vẽ MI  SH tại I. Vì AH  (SAH) nên BD // (SAH) Do đó d(BD; SA)  d(BD; (SAH))  d(B; (SAH))  2.d  M ;  SAH   . Vì SM  AH, MH  AH nên (SMH)  AH. Suy ra MI  AH. Mà MI  SH nên MI  (SAH). Suy ra d(M; (SAH))  MI. MA a  Tam gi{c AHM vuông c}n tại H nên MH  2 2 Tam gi{c SMH vuông tại M: 1 1 1 2a 3    MI  2 2 2 MI MH MS 5 4a 3  d  SA; BD   2MI  . 5 BÀI 12 (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN (LẦN 1) – ĐÀ NẴNG). 11 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2 .Gọi H l| trung điểm cạnh AB; tam gi{c SAB c}n tại S v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với đ{y; góc giữa hai mặt phẳng (SAC) v| (ABCD) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng CH v| SD. Lời giải. Vì H l| trung điểm cạnh đ{y AB của tam gi{c c}n SAB nên SH  AB. Mà (SAB)  (ABCD) nên SH  (ABCD). Vẽ HK  AC tại K. Vì AC  HK, AC  SH nên AC  (SHK). Suy AC  SK. Vì AC   SAC    ABCD  và AC  SK, AC  HK nên góc giữa hai mặt phẳng (SAC) v| (ABCD) là  SK ; HK   SKH  600 AB a  2 2 ABCD l| hình chữ nhật nên AC  BD  AB 2  AD 2  a 3 KH AH  Có AHK ∽ ACB (g.g)  BC AC Tam gi{c SHK vuông tại H: a SH  HK .tan 600  2 1 1 a3 (đvtt) Thể tích khối chóp: VS . ABCD  SH .S ABCD  SH . AB. AD  3 3 3 Gọi E l| điểm đối xứng với H qua A. Vẽ HF  DE tại F, HI  SF tại I. Vì DE  HF, DE  SH nên DE  (SHF)  DE  HI. Mà HI  SF nên HI  (SED) Vì HE  CD  a , HE // CD nên HEDC là hình bình hành. Suy ra DE // CH  CH // (SDE). Mà SD  (SDE) nên khoảng c{ch giữa CH v| SD bằng d  CH ; SD   d  CH ;  SDE    d  H ;  SDE    HI . H l| trung điểm AB nên AH  3a 2 HF HE HE.DA a 2   HF   Ta có: HFE ∽ DAE (g.g)  DA DE DE 3 1 1 1 a 26    HI  Tam gi{c SHF vuông tại H nên: 2 2 2 HI HS HF 13 a 26 Vậy d  CH ; SD   . 13 Tam gi{c DEA vuông tại A nên DE  AE 2  AD2  12 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN BÀI 13 (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN – KHÁNH HÒA) Cho hình chóp S.ABCD đ{y l| hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, ∆SAB c}n tại S v| nằm trong mặt vuông góc đ{y. Khoảng c{ch từ D đến (SBC) bằng 2a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa 2 đường thẳng SB v| AC theo a. Lời giải. S J A E D H I K B C Vì SAB cân tại S và nằm trong mặt vuông góc mặt đ{y nên khi gọi SI l| đường cao của SAB  SI  (ABCD). Vì AD || BC  AD || (SAB) nên khoảng cách từ D đến (SBC) cũng l| khoảng cách từ A đến (ABCD) .Hạ AJ  SB thì AJ  (ABCD). 2a Đặt SI = h. Ta có : AJ.SB = SI.AB trong đó : AJ = 3 ; SB = V= 2 5 15 h 2  a4  h = 2 a 5 5 a3. Qua B kẻ đường thẳng || AC cắt DA tại E. Khi đó BCAE là hình bình hành: Suy ra d( SB, AC) = d( AC,(SBE)) = d (A,(SBE)). Vì I l| trung điểm AB nên :d(A,(SBE)) = 2d(I,(SBE)). Hạ IK  BE thì theo định lý 3 đường vuông góc  SK  BE. Hạ IH  SK  IH (SBE). Mà d(A,BE) = 2S(ABC)/AC = Vậy IK = 2a 5 5 a 5 5 BÀI 14 (THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật. Biết SA vuông góc với mặt phẳng 4 (ABCD), SC hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc α với tan   , AB = 3a và BC = 4a. Tính 5 thể tích của khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ điểm D đến mặt phẳng (SBC). Lời giải. 13 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN ▪ Vì SA l| đường cao của hình chóp S.ABCD nên AC l| hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD). Suy ra góc giữa SC v| (ABCD) l| góc giữa hai đường thẳng SC v| AC v| bằng góc SCA   . Xét  ABD vuông tại B, ta có: AC  AB2  BC 2   3a    4a  2 2  5a . 4 Xét  SAC vuông tại A, ta có: SA  AC.tan   5a.  4a . 5 1 1 Vậy VS . ABCD  .SA.S ABCD  .4a.3a.4a  16a3 (đvtt). 3 3 ▪ Ta có AD // BC nên AD // (SBC). Suy ra d  D;  SBC    d  A;  SBC   .  BC  AB Ta có:   BC   SAB  . Lại có BC   SBC    SBC    SAB  .  BC  SA  SBC    SAB   SB . Từ A kẻ AH  SB. Khi đó d  D;  SBC    d  A;  SBC    AH . Xét SAB vuông tại A, ta có: 1 1 1 1 1 25 12a .   2       2 2 2 2 2 5 AH AB SA  3a   4a  144a Vậy d  D;  SBC    d  A;  SBC    AH  12a . 5 BÀI 15 (THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh a , hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) l| trung điểm của AD, góc giữa đường thẳng SB v| mặt đ{y bằng 600 . Gọi M là trung điểm của DC. Tính thể tích khối chóp S.ABM v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SA và BM. Lời giải. 14 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S K A B I H E D M C Gọi H l| trung điểm của cạnh AD. Vì HB l| hình chiếu của SB lên đ{y ABCD nên  SB;(ABCD)   SBH  600 . Trong tam giác SBH có SH  BH.tan 600  Vậy VSABM a 15 2 a3 15 1  VS . ABCD  (đvtt) 2 12 ▪ Dựng hình bình h|nh ABME Vì BM // (SAE)  d(SA,BM)  d(M,(SAE))  2d(D,(SAE))  4d(H,(SAE)). Kẻ HI  AE; HK  SI, (I  AE, K SI). Chứng minh HK  (SAE)  d(H,(SAE))  HK. DE. AH a  AE 2 5 1 1 1 304 a 15     HK  Trong tam giác SHI có . 2 2 2 2 HK HI SH 15a 4 19 a 15 Vậy d(SA,BM)  . 19 ▪ Vì  AHI ∽  ADE  HI  BÀI 16 (THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ (LẦN 2)). Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA  AB  a , AC  2a và ASC  ABC  900 . Tính thể tích khối chóp S.ABC v| cosin của góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  SBC  . Lời giải. 15 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S M A C H B ▪ Kẻ SH vuông góc với AC (H  AC)  SH  (ABC) a 3 a2 3  SC  BC  a 3, SH  , SABC  2 2 3 a 1  VS . ABC  SABC .SH  3 4 ▪ Gọi M l| trung điểm của SB v|  l| góc giữa hai mặt phẳng (SAB) v| (SBC). Ta có: SA  AB  a , SC  BC  a 3 .  AM  SB và CM  SB  cos  cos AMC a 3 a 6  SB  2 2 2 2 AS  2 AB 2  SB 2 10a 2 a 10 AM l| trung tuyến SAB nên: AM 2    AM  4 16 4 2 2 2 a 42 AM  CM  AC 105 Tương tự: CM   cos AMC   4 2. AM .CM 35 105 Vậy: cos  35 ▪ SAC  BAC  SH  BH  BÀI 17 (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU – NGHỆ AN). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình thoi, AB = 2a, BD = AC 3 v| I l| giao điểm của AC v| BD; tam gi{c SAB c}n tại A; hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đ{y trùng với trung điểm H của AI. Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SB với CD. Lời giải. 16 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Vì ABCD l| hình thoi nên I l| trung điểm AC v| BD. Suy ra BD  AC 3     3 . AB 2a   a. Xét ABI vuông tại I, ta có: AB 2  AI 2  BI 2  AI 2  3 AI 2  4 AI 2  AI  2 2 AI a  . Suy ra AH  2 2 Tam gi{c SAB c}n tại A nên SA  AB  2a . Tam gi{c SHA vuông tại H nên: SH  SA2  AH 2  a 15 . 2 1 1 AC.BD  AC 2 . 3  2a 2 3 2 2 1 1 a 15 Thể tích hình chóp: VS . ABCD  SH .S ABCD  . .2a 2 3  a 3 5 (đvtt) 3 3 2 Vì ABCD là hình thoi nên CD // AB, mà AB  (SAB) nên CD // (SAB) Suy ra d  SB; CD   d  CD;  SAB    d  C;  SAB    4d  H ;  SAB   Vì ABCD là hình thoi nên S ABCD  (Vì A  (SAB) và CA  4HA ) Vẽ HJ  AB tại J, HK  SJ tại K. AB  HJ, AB  SH  AB  (SHJ)  AB  HK. Mà HK  HJ nên HK  (SAB). Suy ra d  SB; CD   4 HK . HJ AH BI . AH a 3 .   HJ   BI AB AB 4 1 1 1 a 35 Tam gi{c SHJ vuông tại H nên:    HK  2 2 2 HK HJ SH 14 2a 35 Vậy d  SB; CD   7 Ta có: AHJ ∽ ABI (g.g)  BÀI 18 (THPT CHUYÊN PHÚ YÊN (LẦN 1) – PHÚ YÊN). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2 . Cạnh bên SA vuông góc với đ{y, cạnh SC tạo với đ{y góc 30 0. Gọi K l| hình chiếu vuông góc của A trên SD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AK, SC. Lời giải. 17 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S K I D A B C ▪ Tính thể tích: Vì SA vuông góc với đ{y nên góc giữa SC v| (ABCD) l| SCA  300 ABCD l| hình chữ nhật, tam gi{c ABD vuông tại A nên: AC  BD  AB 2  AD 2  a 3 Tam gi{c SAC vuông tại A: SA  AC.tan 300  a . 1 1 a3 2 (đvtt) VS . ABCD  .SA.S ABCD  a.a.a 2  3 3 3 ▪ Tính khoảng c{ch: Vẽ AI  SC tại I. Vì SA  CD, AD  CD nên (SAD)  CD Suy ra AK  CD. Mà AK  SD nên AK  (SCD) Suy ra AK  IK và AK  SC. AK  SC, AI  SC nên (AKI)  SC  SC  IK. IK l| đoạn vuông góc chung của AK v| SC  d  AK , SC   IK . 1 1 1 2a  2  AK 2  2 2 AK SA AD 3 1 1 1 3a 2 2 Tam gi{c SAC vuông tại A:    AI  AI 2 SA2 AC 2 4 a 3 Tam gi{c AIK vuông tại K: IK  AI 2  AK 2  6 a 3 Vậy d  AK , SC   . 6 Tam gi{c SAD vuông tại A: BÀI 19 (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC – HUẾ (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABC có đ{y ABC l| tam gi{c vuông c}n đỉnh A, AB = a 2 . Gọi I l| trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) l| H thỏa mãn: IA  2IH , góc giữa đường thẳng SC v| mặt phẳng (ABC) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH). Lời giải. 18 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Vì H l| hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) nên góc giữa SC v| (ABC) l|:     SC , HC   SCH  600 . Tam gi{c ABC vuông c}n ở A có I l| trung điểm cạnh huyền BC nên AI  BC và: BC BC  AB 2  2a ; IB  IC  IA  a. 2 IA a Vì IA  2 IH  IH   . 2 2 a 5 Tam gi{c HIC vuông tại I: HC  IH 2  IC 2  2 a 15 Tam gi{c SHC vuông tại H: SH  SC.tan 600  2 3 2 1 1 a 15 1 a 15 VS . ABC  .SH .S ABC  . . . a 2  3 3 2 2 6 Vì BI  AH, BI  SH nên BI  (SAH). BS 1 BI a Mặt kh{c: S   SAH  ; KS   d  K ,  SAH    d  B,  SAH     . 2 2 2 2 BÀI 20 (THPT CHUYÊN SƠN LA – SƠN LA (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD, đ{y ABCD l| hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a. H l| trung điểm cạnh AB, SH vuông góc với mặt phẳng đ{y, cạnh bên SA  a 5 . Tính thể tích hình chóp 2 S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng HC v| SD. Lời giải.   19 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN SH  (ABCD). Tam gi{c SHA vuông tại H. SH  SA2  HA2  a 1 2a3 (đvTT). VS . ABCD  S ABCD .SH  3 3 Kẻ đường thẳng Dx HC, kẻ HI  ID (I thuộc Dx), kẻ HK  SI ( K thuộc SI). Khi đó HK  (SID), HC (SID). d(HC,SD) = d(HC,(SID)) = d(H,(SID)) = HK. 4a . (BE  HC tại E) 17 4a 33 Trong tam giác vuông SHI có HK  . 33 HI = d(D,HC) = 2d(B,HC) = 2BE = BÀI 21 (THPT CHUYÊN ĐH SƢ PHẠM HÀ NỘI (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Điểm M thuộc cạnh BC và điểm N thuộc cạnh a CD sao cho CM  DN  . Gọi H là giao điểm của AN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng 3 (ABCD) và SH  a 3 , hãy tính thể tích khối chóp S.AMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SA. Lời giải. 20 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S K D N H C Ta có S AMN S ABCD  S A B M ABM S ADN 7a 2  S CMN   18 1 7 3a3 Khi đó VS . AMN  .SH .S AMN  3 54 Ta có: AND  DCM (c.g.c) DAN  CDM . Mặt kh{c: DAN  DNA  900 . CDM  DNA  900  AN  DM . Suy ra DM  (SAH). Kẻ HK vuông góc với SA thì HK l| khoảng c{ch giữa SA v| DM. a 10 AD 2 3a 10 Trong tam giác vuông AND, ta có: AN  DA  DN  .  AH   3 AN 10 1 1 1 3a 13 Trong tam giác vuông SHA, ta có:    HK  2 2 2 HK HA HS 13 3a 13 Vậy d  SA, DM   . 13 2 2 BÀI 22 (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH (LẦN 3)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình thang vuông ở A và B, AB  BC  a , AD  2a , SA vuông góc với đ{y, SA  2a . Gọi M, N lần lượt l| trung điểm SA, SD. Chứng minh tứ giác BCNM l| hình chữ nhật. Tính thể tích hình chóp S.BCNM v| khoảng c{ch giữa 2 đường thẳng chéo nhau BM v| CD. Lời giải. 21 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 22 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN BÀI 23 (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng đ{y, SC tạo với mặt phẳng đ{y một góc 450 v| tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 300. Biết độ d|i cạnh AB = 3 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. Lời giải. S D A 450 B C 23 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN BÀI 24 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC (LẦN 1)). 3a . Hình chiếu vuông góc H của 2 đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) l| trung điểm của đoạn AB . Gọi K l| trung điểm của đoạn AD . Tính theo a thể tích khối chóp S. ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng HK và SD . Lời giải. Cho hình chóp S. ABCD có đ{y l| hình vuông cạnh a, SD  Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  , ABC  900 , AB  a, BC  a 3, SA  2a . Chứng minh trung điểm I của cạnh SC l| t}m của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC v| tính diện tích mặt cầu đó theo a. S I A C B Vì SA   ABC   SA  BC Mặt kh{c theo giả thiết AB  BC , nên BC   SAB  v| do đó BC  SB Ta có tam giác SBC vuông đỉnh B; tam giác SAB vuông đỉnh A nên SC IA  IB   IS  IC (*) 2 Vậy điểm I c{ch đều bốn đỉnh của hình chóp, do đó I l| t}m mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp S.ABC 24 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Từ (*) ta có b{n kính của mặt cầu l| R  CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN SC 2 Ta có AC  AB 2  BC 2  2a SC  SA2  AC 2  2 2a  R  a 2 Diện tích mặt cầu l| 4 R2  8 a2 BÀI 25 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC (LẦN 1)). 3a . Hình chiếu vuông góc H của 2 đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) l| trung điểm của đoạn AB . Gọi K l| trung điểm của đoạn AD . Tính theo a thể tích khối chóp S. ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng HK và SD . Lời giải. 3a Cho hình chóp S. ABCD có đ{y l| hình vuông cạnh a, SD  . Hình chiếu vuông góc H của 2 đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) l| trung điểm của đoạn AB . Gọi K l| trung điểm của đoạn AD . Tính theo a thể tích khối chóp S. ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng HK và SD . Cho hình chóp S. ABCD có đ{y l| hình vuông cạnh a, SD  S F C B E H O Từ D K A giả thiết ta có S.ABCD và Gọi E l| hình chiếu vuông góc của H lên BD, F l| hình chiếu vuông góc của H lên SE Ta có mà suy HF  SE nên BD  SH , BD  HE  BD  (SHE)  BD  HF HF  (SBD)  HF  d (H ,(SBD)) (2) ra SH l| đường cao của hình chóp 3a 2 a 2 )  ( )  a2  a 2 2 1 1 a3 Diện tích của hình vuông ABCD là a 2 , VS . ABCD  SH .S ABCD  a.a 2  3 3 3 Từ giả thiết ta có HK / / BD  HK / /(SBD) SH  SD 2  HD 2  SD 2  ( AH 2  AD 2 )  ( Do vậy: d ( HK , SD)  d ( H ,(SBD)) (1) 25 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN a a 2 +) HE  HB.sin HBE  .sin 450  2 4 +) Xét tam giác vuông SHE có: a 2 SH .HE a 4 HF .SE  SH .HE  HF    (3) SE 3 a 2 2 ( )  a2 4 a +) Từ (1), (2), (3) ta có d ( HK , SD)  . 3 a. BÀI 26 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC (LẦN 2)). Cho hình chóp S. ABCD có đ{y l| hình vuông cạnh bằng 4 . Mặt bên  SAB  nằm trong mặt phẳng vuông góc với đ{y, hình chiếu vuông góc của S trên mặt đ{y l| điểm H thuộc đoạn AB sao cho BH  2 AH . Góc giữa SC v| mặt phẳng đ{y l| 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ điểm H đến mặt phẳng  SCD  . Lời giải. 8 3 Ta có: HB   HC  42  64 4 13 4 13 4 13   SH  .tan 600  9 3 3 3 S I A B H D K C 1 1 4 13 64 13  VS . ABCD  .S ABCD .SH  42.  3 3 3 3 3 Kẻ HK song song AD ( K  CD )  DC  (SHK )  mp(SCD)  mp(SHK ) Kẻ HI vuông góc với SK  HI  mp(SCD)  d ( H ,(SCD))  HI Trong SHK ta có: 1 1 1 3 1 16    2  2   HI  13 2 2 2 HI SH HK 4 .13 4 13.42  d ( H ,(SCD))  13 . BÀI 27 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC (LẦN 3)). Cho hình chóp S.ABC có đ{y ABC l| tam gi{c đều cạnh a Gọi I l| trung điểm cạnh AB .Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đ{y l| trung điểm H của CI , góc giữa đường thẳng SA v| mặt đ{y bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch từ điểm H đến mặt phẳng  SBC  . Lời giải. 26 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S A I H B I' A' H' K C E A C H K H' I B a 3 2 a 7 a 21 Do đó AH  AI 2  IH 2  , suy ra SH  AH .tan 600  . 4 4 1 a3 7 Vậy VS . ABC  SH .S ABC  3 16 Gọi A ', H ', I ' lần lượt l| hình chiếu của A, H , I trên BC; E l| hình chiếu của H trên Ta có CI  AC 2  AI 2  SH' 1 2 1 4 thì HE  ( SBC )  d  H ;( SBC )   HE . Ta có HH '  II '  AA '  Từ a 3 8 a 21 a 21 1 1 1 , suy ra HE  . Vậy d  H ;(SBC )   .   2 2 2 HE HS HH ' 4 29 4 29 BÀI 28 (THPT CHUYÊN HẠ LONG (LẦN 2)). Cho hình chóp S.ABC có đ{y ABC l| tam gi{c đều cạnh a, mặt bên SAC l| tam gi{c c}n tại S v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC ), đường thẳng SB 0 tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60 . M l| trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SM, AC. Lời giải. 27 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S C B M I A ▪ Gọi I l| trung điểm của AC. Vì tam gi{c SAC c}n tại S nên SI  AC, (SAC) nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên SI l| đường cao của hình chóp. Ta có BI l| hình chiếu của SB nên (ABC), do đó góc giữa SB v| (ABC) bằng góc giữa SB v| BI v| bằng SBI  600 . Xét tam gi{c vuông SIB vuông tại I, ta có: SI  BI .tan 600  a 3 3a . 3 . 2 2 1 1 3a a 2 3 a 3 3 (đvtt). VS . ABC  .SI .SABC  . .  3 3 2 4 8 ▪ V a3 3 3a 13 , d  AM , SC   8 26 BÀI 29 (THPT CHUYÊN HÙNG VƢƠNG – GIA LAI (LẦN 1)). Cho hình chop S.ABC, có đ{y l| tam gi{c vuông c}n tại A. AB=AC=a, trên cạnh BC lấy điểm H sao cho BH  1 BC . SH vuông góc với mặt phẳng (ABC). Góc giữa SA v| mặt 4 phẳng (ABC) bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chop S.ABC v| khoảng c{ch giữa AB v| SC. Lời giải. a3 30 a 130 V ; d  AB; SC   24 13 BÀI 30 (THPT CHUYÊN LÀO CAI (LẦN 2)). Cho khối chóp S. ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật có c{c cạnh AB  2a; AD  a . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM  a , cạnh AC cắt MD tại H . Biết SH vuông góc với mặt 2 phẳng (ABCD) v| SH  a . Tính thể tích khối chóp S.HCD v| tính khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SD v| AC theo a. 28 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Lời giải. VSHCD 4a 3 2a  ; d  SD; AC   15 3 BÀI 31 (THPT CHUYÊN LONG AN – LONG AN). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đ{y l| trung điểm của cạnh AB; Góc giữa đường thẳng SC v| mặt phẳng đ{y bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| góc giữa hai đường thẳng SB v| AC. Lời giải. . Tính được: Lí luận góc giữa SC v| (ABCD) l| góc S A D H B C Tính được: , BÀI 32 (THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH – YÊN BÁI). Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a, ABC  30 , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc 0 giữa hai mặt phẳng (SBC) v| (ABC) l| 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch từ trọng t}m G của tam gi{c ABC đến mặt phẳng (SBC) theo a. Lời giải. a3 a 3 V  , d  G,  SBC    8 12 BÀI 32 (THPT ĐA PHÚC – HÀ NỘI (LẦN 1)). Cho hình chóp tam gi{c đều S.ABC có cạnh đ{y bằng a v| cạnh bên bằng a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABC v| diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a. Lời giải. 29 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S M I A C H B +) Từ giả thiết suy ra tam gi{c ABC đều cạnh a v| SH(ABC) với H l| t}m của tam gi{c đều a 3 v| SH l| đường cao của hình chóp S.ABC 3 Từ giả thiết => SA = a 3 => trong tam gi{c vuông SAH vuông tại H có ABC => AH = SH  SA2  AH 2  2 6a . 3 a2 3 1 a3 2  VS . ABC  S ABC .SH  4 3 6 +) SH l| trục của đường tròn ngoại tiếp tam gi{c ABC, trong mặt phẳng (SAH) kẻ đường trung trực của cạnh SA cắt SH tại I => I l| t}m của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có b{n SM .SA 3 6 kính R = IS. Hai tam gi{c vuông SMI v| SHA đồng dạng => SI   a SH 8 27 +) Diện tích mặt cầu l|: S  4 R2   a 2 . 8 BÀI 33 (THPT ĐA PHÚC – HÀ NỘI (LẦN 2)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y l| hình vuông cạnh a, mặt bên SAB l| tam gi{c đều, +) Diện tích tam gi{c ABC bằng: S ABC  SC  SD  a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Lời giải. 30 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Gọi I l| trung điểm của AB; J l| trung điểm của CD từ giả thiết ta có IJ  a ; SI  a 3 2 a 2 a 11 và SJ  SC  JC  3a   4 2 Áp dụng định lý cosin cho tam gi{c SIJ ta có 3a 2 11a 2 2 a   2 2 2 2 IJ  IS  SJ 4 4  a  3 0 cos SIJ   2. IJ . IS 3 a 3 a2 3 2.a. 2 Suy ra, tam giác SIJ là tam giác có SIJ tù. Từ giả thiết tam gi{c SAB đều v| tam gi{c SCD l| c}n đỉnh S. Gọi H l| hình chiếu của S trên 2 2 2   (ABCD), ta có H thuộc IJ v| I nằm giữa HJ tức l| tam gi{c vuông SHI có H  900 ; góc I nhọn v| 3 6 ( SIJ và SIH kề bù)  sin SIH  . 3 3 a 3 6 a 2 Xét tam giác SHI ta có SH  SI sin SIH  .  2 3 2 3 1 1 a 2 a 2 Vậy VS . ABCD  S ABCD .SH  a 2 .  . 3 3 2 6 Từ giả thiết giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) v| (SAD) l| đường thẳng d qua S v| song song với AD. Qua H kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng n|y cắt DA v| CB kéo d|i tại M, N. Theo định lý ba đường vuông góc ta có cos I  cos SIH   cos SIJ  SN  BC , SM  AD  SM  d ; SN  d  MSN là góc giữa hai mặt phẳng. (SBC) và (SAD), MN  AB  a . Xét tam gi{c HSM vuông tại H có a 2 a 2a 2 a 2 a 3 , HM   SM  SH 2  HM 2     SN 2 2 4 4 2 Theo định lý cosin cho tam gi{c SMN c}n tại S có 3a 2 3a 2 a2 2  a SM 2  SN 2  MN 2 1 4 cos MSN   4  22  . 2 3a 3a 2 SM .SN 3 2 4 2 SH  BÀI 34 (THPT BÌNH PHƢỚC – BÌNH PHƢỚC (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh a. Gọi I l| trung điểm AB, H là giao điểm của BD với IC. C{c mặt phẳng (SBD) và (SIC) cùng vuông góc với đ{y. Góc giữa (SAB) và (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SA và IC. Lời giải. 31 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 1 Ta có VS.ABCD  SH.SABCD , trong đó SABCD  a 2 3 Do (SIC),(SBD) cùng vuông với đ{y suy ra SH  (ABCD) Dựng HE  AB   SHE   AB , suy ra SEH l| góc giữa (SAB) v| (ABCD)  SEH  600 Ta có SH  HE.tan 600  3HE HE HI 1 a    HE  CB IC 3 3 a 3  SH  3 1 1 a 3 2 3a 3 Suy ra VS.ABCD  SH.SABCD  . .a  3 3 3 9 Gọi P l| trung điểm của CD, suy ra AP song song vớiCI  d  SA, CI   d  CI, SAP    d  H, SAP   Dựng HK  AP , suy ra  SHK    SAP  Dựng HF  SK  HF   SPA   d  H, SPA    HF 1 1 1 (1)   2 2 HF HK HS2 1 1 1 1 Dựng DM  AP , ta thấy DM  HK     2 2 2 HK DM DP DA2 a 1 1 1 1 4 1 3 8 . Thay vào (1) ta có      2  2  2  2  HF  2 2 2 2 HF DP DA HS a a a a 2 2 a Vậy d SA, CI   . 2 2 Do SHK vuông tại H  BÀI 35 (THPT BÌNH PHƢỚC – BÌNH PHƢỚC (LẦN 1)). Cho hình lăng trụ tam gi{c đều ABC.A’B’C’ có tất c| c{c cạnh đều bằng a .Tính thể tích của hình lăng trụ v| diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a. Lời giải. 32 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Thể tích lăng trụ l|: V  AA '.SABC  a. a 2 3 a3 3  4 4 Gọi O , O’ lần lượt l| t}m của đường tròn ngoại tiếp ABC , A'B'C' khi đó t}m của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ l| trung điểm I của OO’. Mặt cầu n|y có bán kính là: R  IA  AO2  OI2  ( a 3 2 a 2 a 21 ) ( )  3 2 6 suy ra diện tích mặt cầu (S) l|: S  4R 2 2  4( a 21 )2  7a 6 3 BÀI 36 (THPT BÌNH PHƢỚC – BÌNH PHƢỚC (LẦN 2)). Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đ{y (ABCD), đ{y ABCD l| hình chữ nhật có AD = 3a, AC = 5a, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) v| (ABCD) bằng 45 0. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| tính góc giữa đường thẳng SD v| mặt phẳng (SBC). Lời giải. S K H D A B C 33 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN - Tính thể tích +) Ta có: AB  AC 2  BC 2  4a +) Mà   SCD  ,  ABCD    SDA  45 0 nên SA = AD = 3a 1 Do đó: VS . ABCD  SA.S ABCD  12a3 (đvtt) 3 - Tính góc< +) Dựng điểm K sao cho SK  AD Gọi H l| hình chiếu vuông góc của D lên CK, khi đó: DK   SBC  . Do đó:  SD,  SBC    DSH DC.DK 12a , SD  SA2  AD 2  3a 2  KC 5 3a 34 SH  SD 2  DH 2  5 SH 17 Do đó:  SD,  SBC    DSH  arccos  arccos  340 27 ' SD 5 +) Mặt kh{c DH  BÀI 37 (THPT BÌNH PHƢỚC – BÌNH PHƢỚC (LẦN 3)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình thoi cạnh a, ABC  600 . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đ{y v| cạnh bên SC tạo với mặt đ{y một góc 600 . Gọi I l| trung điểm BC, H l| hình chiếu vuông góc của A lên SI. Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ điểm H đế mặt phẳng (SCD) theo a. Lời giải. S K H A D E B I C Do ABC  600 nên tam gi{c ABC đều, suy ra SABCD  a 2 3 và AC  a 2 Mặt kh{c SA  (ABCD)  SCA  600 1 a3  SA  AC.tan 600  a 3  VS.ABCD  SA.SABCD  . 3 2 HS HS.IS AS2 AS2 4 Ta có   2  2  2 2 IS IS IS IA  AS 5 34 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 4 2 2  d  H, SCD    d  I, SCD    d  B,  SCD    d  A, SCD   ( vì I l| trung điểm BC v| 5 5 5 AB//(SBC)) Gọi E l| trung điểm CD, K l| hình chiếu của A lên SE, ta có AE  DC  DC  (SAE)  DC  (SAE)  AH  (SCD) 2 2 2 SA.AE 2a 15 Suy ra d  H, SCD    d  A, SCD    AK  .  5 5 5 SA 2  AE 2 25 BÀI 38 (THPT BÌNH PHƢỚC – BÌNH PHƢỚC (LẦN 4)). Cho hình chóp S. ABCD có đ{y ABCD l| hình thoi cạnh a, mặt bên SAD l| tam gi{c đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đ{y, SC  a 6 . Tính thể tích khối chóp S. ABCD v| khoảng 2 c{ch giữa hai đường thẳng AD, SB theo a. Lời giải. S D C H A B Gọi H l| ch}n đường cao hạ từ S của tam gi{c đều SAD Suy ra: a 3 và SH   ABCD  SH  2 a 3 Trong tam giác vuông HSC có HC  2 2 a 3a 2  a2  2 2 2 DH  DC  CH 4 1 cos HDC   4 a 2 DH .DC 2 2. .a 2  HDC  600 a2 3 Suy ra S ABCD  DA.DC.sin ADC  2 2 1 1a 3 a 3 1 3 VS . ABCD  SH .S ABCD  .  a 3 3 2 2 4 35 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Ta có ADC đều cạnh a  CH  AD  CH  BC hay BC   SHC   BC  SC  CSB vuông tại C 1 1 a3 a3 Lại có VD.SBC  VS .BCD  VS . ABCD  .  2 2 4 8 3 a a3  d  D;  SBC   .SSBC   d  D;  SBC    3 8 8.SSBC 3a 3 a 6 .  1 4 6 a 8. CS .CB 4. .a 2 2 a 6 Vậy d  AD; SB   d  D;  SBC    . 4  d  D;  SBC    3a 3  BÀI 39 (THPT BÌNH PHƢỚC – BÌNH PHƢỚC (LẦN 5)). Cho hình chóp S.ABC có tam gi{c SAB đều cạnh a, tam gi{c ABC c}n tại C. Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) l| trung điểm của cạnh AB; góc hợp bởi cạnh SC v| mặt đ{y l| 30 0. 1. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 2. Tính khoảng c{ch của hai đường thẳng SA v| BC. Lời giải. Gọi H l| trung điểm cạnh AB ta có SH l| đường cao của hình chóp S.ABC v| CH l| đường cao tam gi{c ABC. Từ giả thiết ta được SCH  300 . Tam gi{c SHC vuông tại H nên SH 3a  tan 300  CH  SH 3  CH 2 V}y, thể tích khối chóp S.ABC l|: 1 1 a3 3 V  SH . AB.CH  (đvtt) 3 2 8 Dựng hình bình h|nh ABCD, khi đó d  BC , SA  d  BC ,( SAD)   d  B,( SAD)   2d  H ,( SAD)  36 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Gọi G, K lần lượt l| hình chiếu của H trên c{c đường thẳng AD v| SG ta có: AD  HG    AD  ( SHG )  HK  AD AD  SH  mà HK  SG nên HK  ( SAD) hay d  H ,  SAD    HK Tam gi{c SHG vuông tại H nên 1 1 1 1 1 1 52 3a       2  HK  2 2 2 2 2 2 HK HG HS HB HC HS 9a 2 13 3a Vậy, d  BC , SA  13 BÀI 40 (THPT HÙNG VƢƠNG – BÌNH PHƢỚC (LẦN 1)). Cho hình chóp S .ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông, cạnh AB a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , SD hợp với mặt phẳng ABCD góc bằng 450 . Gọi M l| trung điểm của cạnh CD . Tính theο a thể tích khối chóp S .ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SB và AM . Lời giải. S H D A M I B C S ABCD  a 2 ; SA  a 1 VS . ABCD  a3 3 Qua B dựng đường thẳng d song song với AM; Dựng I, H, Chứng minh được AH   SBI  2 d  AM , SB   a 3 BÀI 41 (THPT HÙNG VƢƠNG – BÌNH PHƢỚC (LẦN 2)). Cho hình chóp S .ABC có đ{y ABC l| tam gi{c vuông c}n tại C, BC a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABC l| trung điểm H của cạnh AB , biết rằng SH  2a . Tính 37 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN theο a thể tích khối chóp S .ABC v| khoảng c{ch từ điểm B đến mặt phẳng MAC , trong đó M l| trung điểm của cạnh SB . Lời giải. S M P A H B I K C 1 1 S ABC  CACB .  a2 2 2 1 1 1 a3 VS .ABC  S ABC .SH  . a 2 .2a  3 3 2 3  Dựng được IP, chứng minh được IP  MAC   Tính đúng d B, MAC    45 a BÀI 42 (THPT ĐỒNG XOÀI (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABC có đ{y l| tam gi{c vuông c}n tại B, BA = a. Tam giác SAC đều v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với mp(ABC). Gọi M, N lần lượt l| trung điểm của SA, BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng chéo nhau AC, MN theo a. Lời giải. Gọi I l| trung điểm AC, do SAC đều nên SI  ( ABC) . SI  a 6 2 Ta có S ABC  2 a . 2 1 6 Vậy VS . ABC  SI .S ABC  a 3 3 12 Gọi H l| trung điểm AI suy ra MH//SI  MH  ( ABC) , J l| trung điểm AB, K l| hình chiếu vuông góc của H lên MJ tức l| HK  MJ (1). Ta có JN  BI , mà BI / / HJ  JN  HJ  2  SI / / MH , mà SI  JN  JN  MH (3) 38 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Từ CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN  2  ,  3  JN   MHJ   HK  HK  JN  4  1 ,  4   HK   MNJ  Do đó d ( AC, MN )  d ( H  AC, MN )  d ( H ,(MJN ))  HK = MH .HJ MH 2  HJ 2 = a 96 32 BÀI 43 (THPT ĐỒNG XOÀI (LẦN 2)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y l| hình vuông cạnh 2a, mặt bên (SAB) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đ{y (ABCD), tam gi{c SAB vuông tại S, SA = a Hãy tính thể tích của khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AB, SC theo a. Lời giải. + Trong mp(SAB), dựng SH  AB, do (SAB)  (ABCD)  SH  ( ABCD)  SH l| chiều cao khối chóp 1  VS . ABCD  B.h 3 + B= dt ABCD= 4a2 + h = SH SB  AB 2  SA2 = a 3 SB.SA a 3 = 2 AB 3  2a 3 h  SH   VS . ABCD Tính d(AB,SC) Vì AB// DC nên d (AB, SC) = d( AB, (SDC) = d ( A, (SDC) 1 3VA.SDC 3. 2 .VS . ABCD   dtSDC dtSDC Tính dt SDC=? Tam giác SAD vuông tại A nên SD  a 5 Tam giác SBC vuông tại B nên SC  a 7 , DC= 2a  SSDC  19 2 6a 57 a nên d ( A, ( SDC ))  19 2 BÀI 44 (THPT ĐỒNG XOÀI (LẦN 3)). Cho hình chóp S.ABC có đ{y l| tam gi{c đều cạnh a, SA vuông góc với đ{y v| SB tạo với đ{y một góc 600. M l| trung điểm BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SM, AC theo a. Lời giải. 39 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S H C A K N M B a2 3 4 Do SA  ( ABC) nên góc giữa SB với đ{y l| SBA  600 + Do ABC l| tam gi{c đều cạnh a nên S ABC  SA  AB tan SBA  a tan 600  a 3 1 a2 3 a3 a 3 3 4 4 + Gọi N l| trung điểm AB, ta được AC // (SMN) Gọi K, H lần lượt l| hình chiếu của A lên MN v| SK, ta có: AH  SK; MK  (SAK )  MK  AH nên AH  ( SMN )  AH  d  A;  SMN    d  AC , SM  VS . ABC  KNA  NAC  600 a a 3 sin 600  2 4 1 1 1 16 1 17 a 51 a 51   2  2  2  2  AH  . Vậy d  AC , SM   2 2 AH AK SA 3a 3a 3a 17 17 AK  AN sin KNA  BÀI 45 (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG – BÌNH PHƢỚC (LẦN 1)). Cho hình chóp tứ gi{c đều S.ABCD có cạnh đ{y bằng a. góc giữa mặt bên v| mặt đ{y bằng 600. M, N lần lượt l| trung điểm cạnh SD v| DC. Tính theo a thể tích khối chóp M.ABC v| khoảng c{ch từ điểm N đến mặt phẳng (MAB). Lời giải. VM . ABC  a3 3  dvtt  24 d  N ,  MAB    2d  O,  MAB    a 2 BÀI 46 (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG – BÌNH PHƢỚC (LẦN 2)). Cho hình chóp S.ABCD, SA ^ (ABCD), đ{y ABCD l| hình thang vuông tại C và D, AD = CD = 2BC = a, góc giữa SA và (SCD) bằng 45 0. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng c{ch giữa hai đường thẳng CD v| SB theo a. 40 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Lời giải. Kiểm tra cách xác định góc giữa đường thẳng và mp, giữa 2 mặt phẳng. ( (SBC),(SCD)) = 60 0 , cos ( (SBC),(SCD)) = 1 2 BÀI 46 (THPT NGUYỄN HỮU CẢNH – BÌNH PHƢỚC (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh 2a. Tam gi{c SAB c}n tại S v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với đ{y, góc giữa cạnh bên SC v| đ{y bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng BD v| SA. Lời giải. Gọi H l| trung điểm AB-Lập luận SH  ( ABC) -Tính được SH  a 15 4a 3 15 3 Qua A vẽ đường thẳng  / /BD , gọi E l| hình chiếu của H lên  , K l| hình chiếu H lên SE Chứng minh được:d(BD,SA)=d(BD,(S,  ))=2d(H, (S,  ))=2HK Tính được VS . ABC  a 2 2 1 1 1 31 15     HK  a 2 2 2 2 HK SH HE 15a 31 Tam gi{c EAH vuông c}n tại E, HE   d ( BD, SA)  2 15 a 31 BÀI 47 (THPT NGUYỄN HỮU CẢNH – BÌNH PHƢỚC (LẦN 2)). Cho hình chóp S. ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh bằng 2a . E, F lần lượt l| trung điểm của AB và BC , H l| giao điểm của AF và DE . Biết SH vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) v| góc giữa đường thẳng SA v| mặt phẳng ( ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S. ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SH , DF . Lời giải. Do ABCD l| hình vuông cạnh 2a nên S ABCD  4a 2 . SH  ( ABCD)  HA l| hình chiếu vuông góc của SA trên mp  ABCD   SAH  600  SH  AH 3 ABF  DAE  c.g.c   BAF  ADE 41 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Mà: AED  ADE  900 Nên BAF  AED  900  AHE  900  DE  AF 2a Trong ADE có: AH .DE  AD. AE  AH  5 1 2a 3 2 8a3 15 Thể tích của khối chóp S. ABCD là: V  . (đvtt) .4a  3 15 5 Trong mp  ABCD  kẻ HK  DF tại K .  d  SH , DF   HK . Trong ADE có: DH .DE  DA2  DH  4a 5 Trong DHF có: HF 2  DF 2  DH 2  5a 2   HK  Có : DF  a 5 16a 2 9a 2 3a   HF  5 5 5 HF .HD 12a 5 12a 5 Vậy d  SH , DF    DF 25 25 BÀI 48 (THPT NGUYỄN HỮU CẢNH – BÌNH PHƢỚC (LẦN 3)). Cho hình chóp S. ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh a; ASC  900 v| hình chiếu của AC . Tính theo a thể tích cũa khối 4 chóp v| khoảng c{ch giữa đường thẳng CD với mặt phẳng (SAB). S lên (ABCD) l| điểm H thuộc đoạn AC sao cho AH  Lời giải. AH  a 2 3a 2 , CH  4 4 a3 6 3a 2 ,V 12 8 CD //  SAB   d  CD;( SAB)   d  C;(SAB)   4d  H ;( SAB)  SAC vuông tại S: SH 2  AH .CH  Trong (ABCD), kẻ HK  AB  AB   SHK    SAB    SHK  Trong (SHK), kẻ HI  SK  HI   SAB  56 3a 2 a 1 1 1 16 8 2  ,      HI  4 HI 2 HK 2 SH 2 a 2 3a 2 3a 2 56 2a 3 d  CD;( SAB )   14 HK  BÀI 49 (THPT HÀ HUY TẬP – KHÁNH HÒA (LẦN 1)). Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD ; c{c đường thẳng SA , AC và CD đôi một vuông góc với nhau ; biết SA  AC  CD  a 2 v| AD  2BC . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoãng cách giư̂a hai đường thẵng SB và CD. Lời giải. 42 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Gọi I l| trung điểm AD. ACD vuông c}n tại C  CI  AD; CI  AI  Tứ giác ABCI là hình bình hành  AI / / BC; AI  BC    1 AD  2   tứ giác ABCI là hình vuông .  AB  a; AD  2BC  2a v| tứ gi{c ABCD l| hình thang vuông tại A v| B. SABCD  ( AD  BC ). AB 3a2 . Chứng minh: SA  ( ABCD)  2 2  VS . ABCD 1 a3 2  .SABCD .SA  3 2 Chứng tõ: d(SB, CD)  d(CD,( SBI ))  d(C,( SBI ))  d( A,( SBI )) Gọi H l| giao điểm của BI v| AC ; kẻ AK  SH (K  SH ) Chứng tõ d ( A,(SBI ))  AK Tính AK  a 10 5 V}̣y d (SB, CD)  a 10 5 BÀI 50 (THPT HÀ HUY TẬP – KHÁNH HÒA (LẦN 2)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh a. Gọi I l| trung điểm AB, H l| giao điểm của BD với IC. C{c mặt phẳng (SBD) v| (SIC) cùng vuông góc với đ{y. Góc giữa (SAB) v| (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SA v| IC. Lời giải. 43 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 1 Ta có VS.ABCD  SH.SABCD , SABCD  a 2 3 Do (SIC),(SBD) cùng vuông với đ{y suy ra SH  (ABCD) Dựng HE  AB   SHE   AB , suy ra SEH l| góc giữa (SAB) v| (ABCD)  SEH  600 Ta có SH  HE.tan 600  3HE HE HI 1 a a 3    HE   SH  CB IC 3 3 3 1 1 a 3 2 3a 3 Suy ra VS.ABCD  SH.SABCD  . .a  3 3 3 9 Gọi P l| trung điểm của CD, suy ra AP song song vớiCI  d  SA, CI   d  CI, SAP    d  H, SAP   Dựng HK  AP , suy ra  SHK    SAP  Dựng HF  SK  HF   SPA   d  H, SPA    HF 1 1 1 (1)   2 2 HF HK HS2 1 1 1 1 Dựng DM  AP , ta thấy DM  HK     2 2 2 HK DM DP DA2 a 1 1 1 1 4 1 3 8 Thay vào (1) ta có  .     2  2  2  2  HF  2 2 2 2 HF DP DA HS a a a a 2 2 a Vậy d SA, CI   . 2 2 Do SHK vuông tại H  BÀI 51 (THPT ANH SƠN II – NGHỆ AN (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật, AB  a, AD  2 2a . Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mp(ABCD) trùng với trọng t}m tam gi{c BCD. Đường thẳng SA tạo với mp(ABCD) một góc 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AC và SD theo a. Lời giải. 44 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S M C D H O A B *Gọi H l| trọng t}m tam gi{c BCD. Theo giả thiết ta có SH  ( ABCD) . Gọi O l| giao điểm của 2 1 AC và BD. Ta có CH  CO  AC  a  AH  AC  HC  2a . Cạnh SA tạo với đ{y góc 450, 3 3 suy ra SAH  450 , SH = AH =2a. Diện tích đ{y S ABCD  AB. AD  a.2 2a  2 2a 2 . 1 1 4 2a 3 2 Vậy thể tích khối chóp S.ABCD l| V  S ABCD .SH  .2 2a .2a  . 3 3 3 *Gọi M l| trung điểm SB thì mp(ACM) chứa AC v| song song với SD. Do đó d(SD ;AC)= d(SD ; (ACM))= d(D ; (ACM)). Chọn hệ tọa độ Oxyz, với A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; 2 2a ; 0), C (a; 2 2a;0), S ( 2a 4 2 a 5a 2 2a ; ; 2a), M ( ; ; a) . Từ đó viết phương trình mp(ACM) l| 3 3 6 3 2 2 x  y  2 z  0 . Vậy d ( SD, AC )  d ( D, ( ACM ))  | 2 2a | 2 22a .  11 8 1 2 Chú ý: Cách 2. Dùng phƣơng pháp hình học thuần túy, quy về KC từ một điểm đến một mặt phẳng BÀI 52 (THPT ĐOÀN THỊ ĐIỂM – KHÁNH HÒA). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh a. Mặt bên (SAB) l| tam gi{c đều v| vuông góc với đ{y. Gọi H l| trung điểm của AB. Tính thể tích hình chóp S.ABCD. Lời giải. Ta có: (SAB)  (ABCD) 45 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN (SAB)  (ABCD) = AB SH  (SAB) SH  AB ( l| đường cao của  SAB đều) Suy ra: SH  (ABCD) a 3 (vì  SAB đều cạnh a) ;SABCD = a2 2 a3 3 1 1 Tính VS.ABCD = Bh = SABCD.SH= 6 3 3 Tính SH = BÀI 53 (THPT ĐOÀN THƢỢNG – HẢI DƢƠNG (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình thang với đ{y lớn l| AD và AD  2BC , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tam giác ACD vuông tại C và SA  AC  a 3, CD  a . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SB v| CD. Lời giải. Tam gi{c ACD vuông tại C suy ra AD 2  AC 2  CD 2  4a 2  AD  2a, BC  a 1 1 1 Kẻ CE  AD    2 2 CE AC CD 2 a 3  CE  2 Do đó SABCD = (AD  BC).CE 3 3a2 .  2 4 1 1 3 3a2 3 .SABCD .SA  . .a 3  a3 . 3 3 4 4 Gọi I l| trung điểm của AD thi BCDI l| hình bình h|nh  CD // BI  CD // (SBI)  d(SB, CD) = d(CD, (SBI)) = d(D, (SBI)) = d(A; (SBI)) (Do I là trung điễm AD) Gọi H = AC  BI. CD / / BI , AC  CD  AC  BI  BI  (SAC) . Kẻ AK  SH tại K. Kết hợp với AK  BI  AK  (SBI)  d(A, (SBI)) = AK. V}̣y VSABCD = I l| trung điểm của AD suy ra H l| trung điểm của AC  AH  1 a 3 AC  2 2 Tam gi{c SAH vuông tại A  1  1  1  1  4  5  AK = a 15 . 2 2 2 2 2 2 AK SA AH 3a 3a 3a 5 46 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016  d(CD; SB) = AK = CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN a 15 . 5 BÀI 54 (THCS, THPT ĐÔNG DU – ĐẮK LẮC (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật, mặt bên SAD l| tam gi{c vuông tại S, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) l| điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA=3HD. 0 Gọi M l| trung điểm của AB. Biết rằng SA  2a 3 v| đường thẳng SC tạo với đ{y một góc 30 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ M đến mặt phẳng (SBC). Lời giải. Vì SH  ( ABCD) nên SCH   SC , ( ABCD)   300. Trong tam giác vuông SAD ta có SA2  AH .AD 3  12a 2  AD 2  AD  4a; HA  3a; HD  a  SH  HA.HD  a 3  HC  SH .cot 300  3a 4  CD  HC 2  HD2  2 2a. 1 8 6a 3 Suy ra S ABCD  AD.CD  8 2a 2 . Suy ra VS . ABCD  SH .S ABCD  . 3 3 Vì M l| trung điểm AB và AH // (SBC) nên 1 1 d  M , ( SBC )   d  A,( SBC )   d  H , ( SBC )  . (1) 2 2 Kẻ HK  BC tại K, HH '  SK tại H '. Vì BC  (SHK ) nên BC  HH '  HH '  (SBC). (2) Trong tam giác vuông SHK ta có 1 1 1 11 2 6a 2 66     HH '   a. (3) 2 2 2 2 11 HH ' HK HS 24a 11 66 a. Từ (1), (2) và (3) suy ra d  M , ( SBC )   11 BÀI 55 (THCS, THPT ĐÔNG DU – ĐẮK LẮC (LẦN 2)). Cho hình chóp S. ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật với AB  a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đ{y, SC tạo với mặt phẳng đ{y một góc 450 và SC  2a 2 . Tính thể tích khối chóp S. ABCD v| khoảng c{ch từ điểm B đến mặt phẳng  SCD  theo a . 47 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Lời giải. 1 + Vẽ hình đúng, nêu được công thức thể tích V  S ABCD .SA 3 v| tính đúng SA  AC  2a . + Tính đúng BC  AC 2  AB 2  a 3 , S ABCD  AB.BC  a 2 3 a3 2 3 . 3 + Gọi H l| hình chiếu của A lên SD. CM được AH   SCD  . v| ĐS đúng V Từ đ}y khẳng định được d  B,  SCD    d  A,  SCD   =AH + Tính được AH theo công thức 1 1 1   2 2 AH AS AD 2 BÀI 56 (THPT ĐỒNG GIA – HẢI DƢƠNG (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABC có đ{y l| tam gi{c vuông tại B, AB = a v| BC = a 3 . Gọi BH l| đường cao của tam gi{c ABC. Tính thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng BH v| SC, biết SH  (ABC) v| góc giữa SB với mặt phẳng (ABC) bằng 60 0. Lời giải. 1 1 1 a 3    HB  . Góc giữa SB v| (ABC) l| SBH  600 . 2 2 2 HB BA BC 2 3a Suy ra SH = HB.tan600 = . 2 Ta có a2 3 1 a3 3  VS . ABC  SH .SABC  . 2 3 4 Ta có HB  (SAC) (Vì (SAC)  ( ABC), HB  AC ). Trong mp(SAC), dựng HK  SC . Khi đó HK l| đường vuông góc chung của HB v| SC, hay d(HB; SC) = HK. 3a Ta có HC = BC 2  HB 2  . 2 1 1 1 3a 2 Khi đó    HK  . 2 2 2 HK HS HC 4 3a 2 Vậy d(HB; SC) = 4 Diện tích đ{y: SABC  BÀI 57 (THPT ĐỒNG XOÀI – BÌNH PHƢỚC (LẦN 2)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật với AB=a, AD=2a, SA ^ ( ABCD) và SA=a. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ A đến mặt phẳng (SBM) với M l| trung điểm của CD. Lời giải. 48