18 chuyện đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6
Gửi bởi: Khoa CNTT - HCEM 17 tháng 12 2020 lúc 10:15:24 | Được cập nhật: 26 tháng 3 lúc 9:23:54 Kiểu file: PDF | Lượt xem: 541 | Lượt Download: 6 | File size: 2.844937 Mb
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
- Đề thi học kì 2 Toán 6 huyện Hòa Bình
- Đề thi học kì 2 Toán 6 trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm năm 2018-2019
- Đề thi học kì 2 Toán 6 năm 2021-2022
- Đề thi học kì 2 Toán 6 trường THCS Xuân La năm 2021-2022
- Đề thi học kì 2 Toán 6 quận Hà Đông năm 2021-2022
- Đề thi học kì 2 Toán 6 trường THCS Việt Anh năm 2021-2022
- Đề thi học kì 2 Toán 6 huyện Ba Tơ năm 2021-2022
- Đề thi học kì 2 Toán 6 trường THCS Tân Đức năm 2021-2022
- Đề thi học kì 2 Toán 6 năm 2021-2022
- Đề thi học kì 2 Toán 7 thành phố Thanh Hóa năm 2018-2019
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
Sưu tầm và tổng hợp
TUYỂN TẬP
18 CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 6
Thanh Hóa, tháng 10 năm 2019
1
Website:tailieumontoan.com
TUYỂN TẬP 18 CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 6
LỜI NÓI ĐẦU
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán
học sinh giỏi lớp 6. Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều tài liệu để làm 18 chuyên đề về này nhằm
đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 .
Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng tuyển tập chuyên đề này để giúp con
em mình học tập. Hy vọng 18 chuyên đề số học lớp 6 này có thể giúp ích nhiều cho học sinh lớp 6
phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung.
Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian để sưu tầm và tổng hợp song không thể tránh khỏi
những hạn chế, sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!
Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này!
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
2
Website:tailieumontoan.com
Mục Lục
Trang
Lời nói đầu
1
Chủ đề 1. Tập hợp và ôn tập về số tự nhiên
3
Chủ đề 2. Các bài toán về số tự nhiên
10
Chủ đề 3. Các bài toán về lũy thừa số tự nhiên
21
Chủ đề 4. Các dạng toán và phương pháp chứng minh chia hết
40
Chủ đề 5. Chuyên đề về ước chung và bội chung
52
Chủ đề 6. Tìm số tận cùng
66
Chủ đề 7. Số nguyên tố - hợp số
74
Chủ đề 8. Số chính phương
95
Chủ đề 9. Điền chữ số
105
Chủ đề 10. Tính tổng theo quy luật
102
Chủ đề 11. So sánh phân số
135
Chủ đề 12. Bất đẳng thức và tìm GTLN -GTNN
146
Chủ đề 13. Thực hiện phép tính
155
Chủ đề 14. Tìm ẩn chưa biết
160
Chủ đề 15. Nguyên lý Drichlet trong giải toán
169
Chủ đề 16. Một số bài toán về đồng dư thức
176
Chủ đề 17. Chuyên đề các bài toán về chuyển động
188
Chủ đề 18. Một số phương pháp giải toán số học “toán có lời văn”
198
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
3
Website:tailieumontoan.com
CHỦ ĐỀ 1:
TẬP HỢP VÀ ÔN TẬP VỀ SỐ TỰ NHIÊN
A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Một tập hợp có thể có một ,có nhiều phần tử, có vô số phần tử,cũng có thể không có phần
tử nào.
2.Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng.tập rỗng kí hiệu là : Ø.
3.Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A gọi là tập hợp con của
tập hợp B, kí hiệu là A ⊂ B hay B ⊃ A.
Nếu A ⊂ B và B ⊃ A thì ta nói hai tập hợp bằng nhau,kí hiệu A=B.
B/ CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ TẬP HỢP
Dạng 1: Rèn kĩ năng viết tập hợp, viết tập hợp con, sử dụng kí hiệu
Bài 1: Cho tập hợp A là các chữ cái trong cụm từ “Thành phố Hồ Chí Minh”
a. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A.
b. Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông
a) b
A
;
b) c A A;. c) h
A
Hướng dẫn
a/ A = {a, c, h, i, m, n, ô, p, t}
b/
b∉A
h∈A
c∈A
Lưu ý HS: Bài toán trên không phân biệt chữ in hoa và chữ in thường trong cụm từ đã
cho.
Bài 2: Cho tập hợp các chữ cái X = {A, C, O}
a/ Tìm cụm chữ tạo thành từ các chữ của tập hợp X.
b/ Viết tập hợp X bằng cách chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử của X.
Hướng dẫn
a/ Chẳng hạn cụm từ “CA CAO” hoặc “CÓ CÁ”
b/ X = {x: x-chữ cái trong cụm chữ “CA CAO”}
Bài 3: Cho các tập hợp
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6;8;10} ; B = {1; 3; 5; 7; 9;11}
a/ Viết tập hợp C các phần tử thuộc A và không thuộc B.
b/ Viết tập hợp D các phần tử thuộc B và không thuộc A.
c/ Viết tập hợp E các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B.
d/ Viết tập hợp F các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B.
Hướng dẫn:
a/ C = {2; 4; 6} ;b/ D = {5; 9} ; c/ E = {1; 3; 5}
d/ F = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;10;11}
Bài 4: Cho tập hợp A = {1; 2;3;x; a; b}
a/ Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 1 phần tử.
b/ Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 2 phần tử.
c/ Tập hợp B = {a, b, c} có phải là tập hợp con của A không?
Hướng dẫn
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
4
Website:tailieumontoan.com
a/ {1} { 2} { a } { b} ….
b/ {1; 2} {1; a} {1; b} {2; a} {2; b} { a; b} ……
c/ Tập hợp B không phải là tập hợp con của tập hợp A bởi vì c ∈ B nhưng c ∉ A
Bài 5: Cho tập hợp B = {a, b, c}. Hỏi tập hợp B có tất cả bao nhiêu tập hợp con?
Hướng dẫn
- Tập hợp con của B không có phần từ nào là ∅ .
- Các tập hợp con của B có hai phần tử là …….
- Tập hợp con của B có 3 phần tử chính là B = {a, b, c}
Vậy tập hợp A có tất cả 8 tập hợp con.
Ghi chú. Một tập hợp A bất kỳ luôn có hai tập hợp con đặc biệt. Đó là tập hợp rỗng ∅
và chính tập hợp A. Ta quy ước ∅ là tập hợp con của mỗi tập hợp.
Bài 6: Cho A = {1; 3; a; b} ; B = {3; b}
Điền các kí hiệu ∈,∉, ⊂ thích hợp vào dấu (….)
1 ......A ;
3 ... A
;
3....... B
;
B ...... A
Bài 7: Cho các tập hợp
{
}
x N * / x < 100
A = { x ∈ N / 9 < x < 99} ; B =∈
Hãy điền dấu ⊂ hay ⊃ vào các ô dưới đây
N .... N* ;
A ......... B
Dạng 2: Các bài tập về xác định số phần tử của một tập hợp
Bài 1: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số. Hỏi tập hợp A có bao nhiêu phần
tử?
Hướng dẫn:
Tập hợp A có (999 – 100) + 1 = 900 phần tử.
Bài 2: Hãy tính số phần tử của các tập hợp sau:
a/ Tập hợp A các số tự nhiên lẻ có 3 chữ số.
b/ Tập hợp B các số 2, 5, 8, 11, …, 296, 299, 302
c/ Tập hợp C các số 7, 11, 15, 19, …, 275 , 279
Hướng dẫn
a/ Tập hợp A có (999 – 101):2 +1 = 450 phần tử.
b/ Tập hợp B có (302 – 2 ): 3 + 1 = 101 phần tử.
c/ Tập hợp C có (279 – 7 ):4 + 1 = 69 phần tử.
Cho HS phát biểu tổng quát:
- Tập hợp các số chẵn từ số chẵn a đến số chẵn b có (b – a) : 2 + 1 phần tử.
- Tập hợp các số lẻ từ số lẻ m đến số lẻ n có (n – m) : 2 + 1 phần tử.
- Tập hợp các số từ số c đến số d là dãy số các đều, khoảng cách giữa hai số liên tiếp
của dãy là 3 có (d – c ): 3 + 1 phần tử.
Bài 3: Cha mua cho em một quyển số tay dày 145 trang. Để tiện theo dõi em đánh số
trang từ 1 đến 256. Hỏi em đã phải viết bao nhiêu chữ số để đánh hết cuốn sổ tay?
Hướng dẫn:
- Từ trang 1 đến trang 9, viết 9 chữsố.
- Từ trang 10 đến trang 99 có 90 trang, viết 90 . 2 = 180 chữ số.
- Từ trang 100 đến trang 145 có (145 – 100) + 1 = 46 trang, cần viết 46 . 3 = 138 chữ số.
Vậy em cần viết 9 + 180 + 138 = 327số.
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
5
Website:tailieumontoan.com
Bài 4: Các số tự nhiên từ 1000 đến 10000 có bao nhiêu số có đúng 3 chữ số giống nhau.
Hướng dẫn:
- Số 10000 là số duy nhất có 5 chữ số, số này có hơn 3 chữ số giống nhau nên không
thoả mãn yêu cầu của bài toán.
Vậy số cần tìm chỉ có thể có dạng: abbb , babb , bbab , bbba với a ≠ b là các chữ số.
- Xét số dạng abbb , chữ số a có 9 cách chọn ( a ≠ 0) ⇒ có 9 cách chọn để b khác a.
Vậy có 9 . 8 = 71 số có dạng abbb .
Lập luận tương tự ta thấy các dạng còn lại đều có 81 số. Suy ta tất cả các số từ 1000 đến
10000 có đúng 3 chữ số giống nhau gồm 81.4 = 324 số.
Bài 5: Có bao nhiêu số có 4 chữ số mà tổng các chữ số bằng 3?
Hướng dẫn
3=0+0+3=0+1+1+1=1+2+0+0
3000
1011
2001
1110
2100
1200
1101
2010
1020
1002
1 + 3 + 6 = 10 số
Bài 6: Tính nhanh các tổng sau
a, 29 + 132 + 237 + 868 + 763
b, 652 + 327 + 148 + 15 + 73
Hướng dẫn
a, 29 + 132 + 237 + 868 + 763
= 29 + (132 + 868) + (237 + 763)
= 29 + 1000 + 1000 = 2029
b, 652 + 327 + 148 + 15 + 73 = (652 + 148) + (327 + 73) + 15
= 700 + 400 + 15 = 1115
C/ BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. Viết các tập hợp sau rồi tìm số phần tử của mỗi tập hợp đó:
a) Tập hợp A các số tự nhiên x mà 8 : x = 2
b) Tập hợp B các số tự nhiên x mà x + 3 < 5
c) Tập hợp C các số tự nhiên x mà x − 2 = x + 2
d) Tập hợp D các số tự nhiên x mà x : 2 = x : 4 .
e) Tập hợp E các số tự nhiên x mà x + 0 =
x.
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
6
Website:tailieumontoan.com
Bài 2. Viết các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó:
a) Tập hợp A các số tự nhiên có hai chữ số, trong đó chữ số hàng chũ lớn hơn
chữ số hàng đơn vị là 2.
b) Tập hợp B các số tự nhiên có ba chữ số mà tổng các chữ số bằng 3.
Bài 3. Tìm số tự nhiên có năm chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 2 vào đằng
sau số đó thì được số lớn gấp ba lần số có được bằng cách viết thêm chữ số 2 vào
đằng trước số đó.
Bài 4. Các tập hợp A, B, C , D được cho bởi sơ đồ sau ( h.1)
D
B
C
A
2
a b
c
m
1
3
4
n
Hình 1
Viết các tập hợp A; B; C; D bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp
Bài 5. Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đắc trưng các phần
tử thuộc tập hợp đó:
a) A = {1;3;5;7;...;49}
b) B = {11;22;33;44;...;99}
c) C = {tháng1; tháng 3; tháng 5; tháng 7; tháng 8; tháng 10; tháng 12}
Bài 6. Tìm tập hợp các số tự nhiên x, sao cho:
a)
x+3=
4
b )8 – x= 5
c)
x:2 = 0
d)
0: x = 0
e) 5.x = 12
Bài 7. Tìm các số tự nhiên a và b, sao cho:
12 < a < b < 16
Bài 8. Viết các số tự nhiên có bốn chữ số trong đó có hai chữ số 3, một số 2 và một
chữ số 1.
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
7
Website:tailieumontoan.com
Bài 9. Với cả hai chữ số I và X, viết được bao nhiêu số La Mã ? (mỗi chữ số có thể
viết nhiều lần, nhưng không viết liên tiếp quá ba lần).
Bài 10. a) Dùng ba que diên, xếp dược các số La Mã nào?
b) Để viết các số La Mã từ 4000 trở lên, chẳng hạn số 19520, người ta đã viết
XIXmDXX
(chữ m biểu thị một nghìn, m là chữ đầu của từ mille, tiếng Latinh là một
nghìn). Hãy viết các số sau bằng chữ số La Mã :
7203;121512
Bài 11. Tìm số tự nhiên có tận cùng băng 3, biết rằng nếu xóa chữ số hàng đơn vị
thì số đó giảm đi 1992 đơn vị.
Bài 12. Tìm số tự nhiên có sáu chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị là 4 và nếu
chuyển chữ số đó lên hàng đầu tiên thì số đó tăng lên gấp 4 lần.
Bài 13 Cho bốn chữ số a,b,c,d khác nhau và khác 0. Lập số tự nhiên lớn nhất và số tự
nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số gồm cả bốn chữ số ấy. Tổng các chữ số này bằng
11330. Tìm tổng các chữ số
a+b+c+d
Bài 14. Cho ba chữ số a, b, c sao cho
.
0 < a < b < c.
a) Viết tập hợp A các số tự nhiên có ba chữ số gồm cả ba chữ số a, b, c.
b) Biết tổng hai số nhỏ nhất trong tập hợp A bằng 488. Tìm ba chữ số a, b, c nói
trên.
Bài 15. Tìm ba chữ số khác nhau và khác 0, biết rằng nếu dùng cả ba chữ số này lập
thành các số tự nhiên có ba chữ số thì hai số lớn nhất có tổng bằng 1444.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1.
a) A = {4} , có một phần tử.
b) B = {0;1} , có hai phần tử.
c) C = ∅, không có phần tử nào.
d) D = {0} có một phần tử.
e) E = {0; 1; 2; 3; ....} , có vô số phần tử ( E chính là
Bài 2.
)
a) A = {97; 86; 75; 64; 53; 42; 31; 20}.
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
8
Website:tailieumontoan.com
b) B = {300; 201; 210; 102; 111; 120}
Bài 3.
Cách 1: Gọi số phải tìm lad abcde , ta có phép nhân:
2abcde
× 3
abcde2
Lần lượt tìm từng chữ số ở số bị nhân từ phải sang trái:
e = 4,
ta có
3.4 = 12 ,
tận cùng 2 nên
nhớ 1 sang hàng chục;
3d + 1tận cùng là 4 nên d
3c
3e
=1 ;
tận cùng là 1 nên c = 7, ta có 3.7 = 21, nhớ 2 sang hàng nghìn ;
3a + 1
tận cùng là 5 nên a = 8, ta có 3.8 = 24, nhớ 2 sang hàng trăm nghìn ;
3.2 + 2 =
8.
Ta được :
285714
× 3
857142
Cách 2. Đặt abcde = x, ta có abcde2 = 3.2abcde
Hay 10
=
x + 2 3. ( 200000 + x )
10 x=
+2
600000 + 3 x
7 x = 599998
x = 85714
Số phải tìm là 85714.
Bài 4. A = {a , b , c} ; B = {a , b , m , n} ; C = {1;3} ; D = {1;2;3;4} .
Bài 5. a) A là tập hợp các số lẻ nhỏ hơn 50 .
b) B là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số, các chữ số giống nhau.
c) C là tập hợp các tháng có 31 ngày của năm dương lịch.
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
9
Website:tailieumontoan.com
Bài 6. a) {1} ; b) {3} ; c) {0} ; d) * ; e) ∅ .
Bài 7. Có ba đáp số : a = 13 ; b = 14 và a = 13 ; b = 15 và a = 14 ; b = 15 .
Bài 8. Có 12 số:
- Chữ số 3 đứng đầu : 3312; 3321; 3213; 3231; 3123; 3132.
- Chữ số 2 đứng đầu : 2133; 2313; 2331.
- Chữ số 1 đứng đầu : 1233, 1323, 1332.
Bài 9. Các số chứa một chữ số X là : IX , XI , XII , XIII .
Các số chứa hai chữ số X là: XIX , XXI , XXII , XXIII .
Các số chứa ba chữ số X là: XXIX , XXXI , XXXII , XXXIII .
Số chứa bốn chữ số X là: XXXIX .
Tổng cộng có 13 số.
Bài 10. a) Ghi được bảy số:
3
4
9
6
11
51
100
b) VIImCCIII , CXXImDXII .
Bài 11. Biểu thị số còn lại sau khi xoá chữ số 3 là một phần thì số phải tìm gồm 10
phần và 3 đơn vị, hiệu của chúng bằng 1992 .
Đáp số: Số phải tìm là 2213 .
Bài 12. Đáp số: 102564 .
Bài 13. Giả sử a > b > c > d > 0 . Số lớn nhất : abcd , số nhỏ nhất : dcba .
Xét tổng:
abcd
+
d cba
11 3 3 0
Lần lượt chứng tỏ: d + a =
10 , c + b =
12 . Suy ra: a + b + c + d =
22 .
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
10
Website:tailieumontoan.com
{
}
Bài 14. a) A = abc , acb , bac , bca , cab , cba .
b)
abc
+
acb
488
Xét phép cộng ở cột hàng đơn vị và cột hàng chục, ta thấy c + b không có nhớ.
4 . Suy ra: a = 2 .
Do đó : c + b =
8; a + a =
Từ 2 < b < c và b + c =
8 , ta được: b = 3 ; c = 5 .
Vậy a = 2 ; b = 3 ; c = 5 .
Bài 15. Gọi các chữ số phải tìm là a , b , c trong đó a > b > c > 0 . Hai số lớn nhất lập
1444 .
bởi cả ba chữ số trên là abc và acb , ta có abc + acb =
So sánh các cột đơn vị và cột hàng chục, ta thấy phép cộng c + b không có nhớ.
Vậy c + b =
4 , mà b > c > 0 nên b = 3 , c = 1 .
14 nên a = 7 . Ba chữ số phải tìm là 7 , 3 , 1 .
Xét cột hàng trăm: a + a =
CHỦ ĐỀ 2:
CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ TỰ NHIÊN
1/ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ VÀ CHỮ SỐ
Nội dung và phương pháp:
+) Tập hợp số tự nhiên: N
+) Tập hợp số tự nhiên khác O : ( nguyên dương ) : N*
+) Chữ số: 0, 1, 2, 3, …..
+) Phân tích một số tự nhiên theo các chữ số: abcd= 1000a + 100b + 10c + d
Ví dụ minh họa:
Bài 1. Cho ba chữ số a, b, c đôi một khác nhau và khác 0. Tổng của tất cả các số có hai chữ
số được lập từ ba chữ số a, b, c bằng 627. Tính tổng a + b + c?
Lời giải
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
11
Website:tailieumontoan.com
ab + ac + ba + bc + cb + ca + aa + bb + cc= 627 ⇔ 33(a + b + c=
) 627 ⇔ a + b + c= 19.
Bài 2. Cho ba chữ số a, b, c khác nhau và khác 0. Tổng của tất cả các số có hai chữ số khác
nhau được lập từ ba chữ số đã cho là 418. Tính tổng a + b + c ?
Lời giải
Các số có hai chữ số là: ab, ac, ba, bc, cb, ca
Có : ab + ac + ba + bc + cb + ca= 418 ⇔ 22( a + b + c)= 418 ⇔ a + b + c= 19.
Bài 3. Tìm số tự nhiên có ba chữ số abc , thỏa mãn: abc = ( a + b + c)
3
Lời giải
abc = (a + b + c)3
( 0 < a ≤ 9 ; 0 ≤ b,c ≤ 9 )
Nhận thấy:
100 ≤ abc ≤ 999 ⇒ 100 ≤ (a + b + c)3 ≤ 999 ⇔ 53 ≤ (a + b + c)3 ≤ 93 (hoac < 103 )
⇔ 5 ≤ a +b+c ≤ 9 ⇒ a=
+ b + c 5, 6, 7,8,9 ⇒ (a + =
b + c)3 125, 216,343,512, 729
Thử lại ta thấy abc = 512.
Bài 4. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng khi viết thêm số 12 vào bên trái số đó ta
được số mới lớn gấp 26 lần số phải tìm.
Lời giải
Gọi số cần tìm là : ab ( a ≠ 0 ; a , b < 10 )
Viết thêm số 12 vào bên trái số đó ta được : 12ab
Theo bài ra ta có :
12ab= ab.26 ⇔ 1200 + ab= ab.26(12ab= 1200 + ab) ⇔ ab.26 − ab= 1200
⇔ ab.(26 − 1)
= 1200 ⇔ ab.25
= 1200 ⇔ ab
= 48
Thử lại : 1248 : 48 = 26.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. Tìm một STN có ba chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó
Bài 2. Tìm số có hai chữ số, biết rằng số mới viết theo thứ tự ngược lại nhân với số phải
tìm được 3154, số nhỏ trong hai số đó thì lớn hơn tổng các chữ số của nó là 27.
Bài 3. Tìm số có ba chữ số, biết rằng số đó vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 9, hiệu giữa
số đó với số viết theo thứ tự ngược lại = 297.
Bài 4. Cho số có hai chữ số. Nếu lấy số đó chia cho hiệu của chữ số hàng chục và hàng đơn
vị của nó thì được thương là 18 và dư 4. Tìm số đã cho?
1977
Bài 5. Tìm abcd , biết : (ab.c + d ).d =
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
12
Website:tailieumontoan.com
Bài 6. Tìm các chữ số a, b , c thỏa mãn:
abc
a. ab + bc + ca =
4321
b. abcd + abc + ab + a =
Bài 7. Tìm số tự nhiên có năm chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 2 vào đằng sau số
đó thì được số lớn gấp ba lần số có được bằng cách viết thêm chữ số 2 vào đằng trước số
đó.
Bài 8. Tìm số tự nhiên có tận cùng bằng 3 , biết rằng nếu xóa chữ số hàng đơn vị thì số đó
giảm đi 1992 đơn vị.
Bài 9. Tìm ba chữ số khác nhau và khác 0 , biết rằng nếu dùng cả ba chữ số này lập thành
các số tự nhiên có ba chữ số thì hai số lớn nhất có tổng bằng 1444 .
Bài 10. Hiệu của hai số là 4 . Nếu tăng một số gấp ba lần, giữ nguyên số kia thì hiệu của
chúng bằng 60 . Tìm hai số đó.
Bài 11. Tìm hai số, biết rằng tổng của chúng gấp 5 lần hiệu của chúng, tích của chúng gấp
24 lần hiệu của chúng.
Bài 12. Tích của hai số là 6210 . Nếu giảm một thừa số đi 7 đơn vị thì tích mới là 5265 .
Tìm các thừa số của tích.
Bài 13. Một học sinh nhân một số với 463 . Vì bạn đó viết các chữ số tận cùng của các tích
riêng ở cùng một cột nên tích bằng 30524 . Tìm số bị nhân?
Bài 14. Tìm thương của một phép chia, biết rằng nếu thêm 15 vào số bị chia và thêm 5
vào số chia thì thương và số dư không đổi?
Bài 15. Khi chia một số tự nhiên gồm ba chữ số như nhau cho một số tự nhiên gồm ba chữ
số khác nhau, ta được thương là 2 và còn dư. Nếu xóa một chữ số ở số bị chia và xóa một
chữ số ở số chia thì thương của phép chia vẫn bằng 2 nhưng số dư giảm hơn trước là 100 .
Tìm số bị chia và số chia lúc đầu.
Bài 16. Một số có 3 chữ số, tận cùng bằng chữ số 7. Nếu chuyển chữ số 7 đó lên đầu thì ta
được một số mới mà khi chia cho số cũ thì được thương là 2 dư 21. Tìm số đó
Bài 17. Tìm số tự nhiên có 5 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 7 vào đằng trước số đó
thì được một số lớn gấp 4 lần so với số có được bằng cách viết thêm chữ số 7 vào sau số đó
Bài 18. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 2 vào bên phải
và một chữ số 2 vào bên trái của nó thì số ấy tăng gấp 36 lần
Bài 19. Cho hai số có 4 chữ số và 2 chữ số mà tổng của hai số đó bằng 2750. Nếu cả hai số
được viết theo thứ tự ngược lại thì tổng của hai số này bằng 8888 . Tìm hai số đã cho
Bài 20. Một số tự nhiên có hai chữ số tăng gấp 9 lần nếu viết thêm một chữ số 0 vào giữa
các chữ số hàng chục và hàng đơn vị của nó . Tìm số ấy
Bài 21. Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó vừa chia hết cho 5 và chia hết cho 9 ,
hiệu giữa số đó với số viết theo thứ tự ngược lại bằng 297.
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
13
Website:tailieumontoan.com
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1.
Gọi số phải tìm là : abc(0 < a ≤ 9;0 ≤ b, c ≤ 9)
c = 0(loai )
abc
= 5.a.b.c ⇒ a, b, c ≠ 0 ⇒
5 ab5 =
25ab(1)
c =⇒
b = 2
b = 7
Số có ba chữ số chia hết cho 25 khi b5 25 ⇔
Ta có: VT (1) là lẻ nên VP lẻ suy ra b = 2 ( loại ) ⇒ b = 7 ⇒ a 75 = 25.a.7 = 175a ⇒ a = 1
Bài 2.
Gọi số phải tìm là : ab(a ≠ 0; a, b ≤ 9; a, b ∈ N ) ⇒ số sau là : ba , giả sử ab > ba , ta có :
ba − (b + a ) = 27 ⇔ 10b + a − b = 27 ⇔ b = 3 , mà : a3.3a =3154
Suy ra 3,a có tận cùng là 4 suy ra a = 8.
Thử lại : 83 . 38 = 3154 và 38 – ( 3 + 8 ) = 27.
Bài 3.
Gọi số cần tìm là : abc , số viết theo thứ tự ngược laị là :
cba (a ≠ 0; a, b, c < 10; a, b, c ∈ N )
Theo đầu bài ta có : abc − cba= 297 ⇒ a > c
Mà : abc − cba = 297 ⇒ a − c = 3 ⇒ a = c + 3
Vì : abc 5 ⇒ c= 0; c= 5
6 , thử lại : 360 – 63 = 297.
+) c = 0 nên a = 3, mà abc 9 ⇒ 3b0 9 ⇒ b =
5 , thử lại: 855 – 558 = 297
+) c = 5 nên a = 8, 8b5 9 ⇒ b =
Vậy có hai số cần tìm: 360 và 855.
Bài 4.
Gọi số phải tìm là: ab(a ≠ 0; a, b ∈ N ; a, b < 10)
Theo bài ra ta có : ab = (a − b).18 + 4 ⇔ 10a + b = 18a − 18b + 4 ⇒ 19b = 8a + 4
Vì 8a + 4 là số chẵn nên b chẵn suy ra b = 0, 2, 4, 6, 8
+) b = 0 nên 8a + 4 = 0 ( vô lý )
Tương tự : b = 4 , a = 9 thỏa mãn. Vậy số cần tìm là: 94
Bài 5.
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
14
Website:tailieumontoan.com
1977 : d . Vì ab.c + d là STN nên 1977 STN chia hết cho d suy ra d là
Có : (ab.c + d ) =
STN lẻ
Do đó d = 1,3,5,7,9 , vì thế d = 1 hoặc d = 3
=
.c 1976 ⇒ ab là số có 3 chữ số ( Loại )
+) d = 1 suy ra ab
+) d = 3suy ra ab.c + 3= 1977 ⇒ ab.c= 656 ⇒ ab= 656 : c
Vì ab có hai chữ số nên c > 6 suy ra c = 7,8,9
Nhưng do 656 không chia hết cho 7 ; 656 không chia hết cho 9 suy ra c = 8
=
ab 656
=
: 8 82 và ( 82.8 + 3 ). 3 = 1977 Suy ra abcd = 8283
Thử lại:
Bài 6.
a. abc= 11(a + b + c) ⇔ 100a + 10b + c= 11a + 11b + 11c ⇔ b + 10c= 89a ≤ 99
⇒ a =1 ⇒ b =9; c =8(do : b + 10c ≤ 99)
= 4321 ⇒ 4321 > 1111a ⇒ a < 4
b. 111a + 111b + 111c + d
1111a ≥ 3214(b, c, d = 9) ⇒ a = 3
Ta có: 111b + 11c + d = 988 nên b = 8
11c + d = 100 nên c = 9 ; d = 1.
Bài 7.
Gọi số cần tìm là: abcde ( a khác 0 )
Theo bài ra ta có: abcde2 3.2abcde 10.abcde 2 3.200000 3.abcde
7.abcde 599998
abcde 85714
Thử lại: 857142 3.285714
Vậy số cần tìm là 857142 .
Bài 8.
Vì rằng nếu xóa chữ số hàng đơn vị thì số đó giảm đi 1992 đơn vị nên số tự nhiên cần tìm
có 4 chữ số.
Gọi số tự nhiên cần tìm là abc3, (a 0)
Theo bài ra ta có: abc3 1992 abc 10.abc 3 1992 abc 9.abc 1989 abc 221
Vậy số cần tìm là 2213 .
Bài 9.
Gọi ba chữ số cần tìm là a, b, c (a b c 0) .
Theo bài ra ta có:
abc acb 1444
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
15
Website:tailieumontoan.com
100a 10b c 100a 10c b 1444
200a 11b 11c 1444
200a 11(b c) 1400 11.4
a 7; b 3; c 1 .
Vậy 3 số cần tìm là: 1;3;7 .
Bài 10.
Gọi 2 số đó là a, b (a b)
Theo bài ra ta có: a b 4 b a 4
(1)
Nếu tăng một số gấp ba lần, giữ nguyên số kia thì hiệu của chúng bằng 60
3a b 60
(2)
Thay (1) vào (2) ta có:
3a (a 4) 60 3a a 4 60 2a 56 a 28 b 24 Vậy số cần tìm là
28, 24 .
Bài 11.
Theo đầu bài. Nếu biểu thị hiệu là 1 phần thì tổng là 5 phần và tích là 24 phần.
Số lớn là: (5 1) : 2 3 (phần).
Số bé là: 5 3 2 (phần)
Vậy tích sẽ bằng 12 lần số bé.
Ta có: Tích = Số lớn x Số bé
Tích = 12 x Số bé
Số lớn là 12 .
Số bé là: 12 : 3 x 2 8
Bài 12.
Gọi thừa số được giảm là a , thừa số còn lại là b .
Theo đề bài ta có:
a.b 6210 ;(a 7).b 5265 a.b 7.b 5265 6210 7.b 5265 7.b 6210 5265
7.b 945
b 945 : 7 135 a 6210 :135 46
Vậy hai thừa số cần tìm là 46,135 .
Bài 13.
Do đặt sai vị trí các tích riêng nên bạn học sinh đó chỉ nhân số bị nhân với 4 6 3 .
Vậy số bị nhân bằng: 30524 :13 2348 .
Bài 14.
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
16
Website:tailieumontoan.com
Gọi số bị chia, số chia, thương và số dư lần lượt là a, b, c, d . Ta có:
a : b c (dư d ) a c.b d ; (a 15) : (b 5) c (dư d ) a 15 c.(b 5) d
a 15 c.b c.5 d
Mà a c.b d nên: a 15 c.b c.5 d c.b d 15 c.b c.5 d 15 c.5
c 3.
Bài 15.
Gọi số bị chia lúc đầu là aaa , số chia lúc đầu là bbb số dư lúc đầu là r .
Ta có: aaa 2.bbb r
aa 2.bb r 100
(1)
(2)
Từ (1) và (2) aaa aa 2.(bbb bb) 100
a 00 2.b00 100
a 2b 1
Ta có:
b
1
2
3
4
a
3
5
7
9
Thử từng trường hợp ta được 3 đáp số:
555 và 222 ; 777 và 333 ; 999 và 444 .
Bài 16.
Gọi ab7 số tự nhiên có chữ số 7 là hàng đơn vị.
7ab số tự nhiên có chữ số 7 là số hàng trăm.
Theo đề bài ta có: 7 ab : ab7 2 dư 21
Hay: 7 ab 2.ab7 21
Ta có: ab 10a b; abc 100a 10b c => 700 ab 2(10ab 7) 21 =>
700 ab 20ab 14 21
=> 700 14 21 20ab ab => 665 19ab => ab 35 .
Vậy số tự nhiên có ba chữ số đó là: 357 .
Cách 2:
Gọi số phải tìm là ab7 , theo đề bài ta có: 7 ab 2.ab7 21 => 2.ab7 21 7 ab
=> 2(100a 10b 7) 700 10a b => 200a 20b 28 700 10ab => 190a 19b 665
=> 10a b 35
Bài 17.
Gọi số tiền có năm chữ số là: abcde
Theo đề bài: 7 abcde 4.abcde7
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
17
Website:tailieumontoan.com
Ta có: 7 abcde 700000 abcde; 4.abcde7 4.(10.abcde 7)
7 abcde 4.abcde7 700000 abcde 4.(10.abcde 7) 700000 abcde 40.abcde 28
700000 28 40.abcde abcde 6999972 39.abcde
Bài 18.
Gọi số phải tìm là ab . Viết thêm một chữ số 2 vào bên trái và bên phải ta được: 2ab 2 , số
đo tăng lên gấp 36 lần.
=> 2ab 2 36.ab => 2000 + 10 ab + 2 = 36 ab => 26 ab = 2002 => ab = 77
Bài 19.
Gọi số cần tìm là abcd và xy
Ta có: abcd xy 2750
(1)
dcba yx 888
(2)
Cả 2 phép cộng đều không nhớ sang hàng nghìn nên từ (1) ta có a 2 , (2) d 8 .
Cùng từ (1) ta có d y có tận cùng 0 , mà d 8 nên y 2
Từ (2) ta có a x có tận cùng 8 mà a 2 nên x 6
Từ (1) ta có x c 1 có tận cùng là 5 mà x 6 nên c 8
Từ (2) ta có b y có tận cùng 8 mà y 2 nên b 6 .
Vậy số đó là 2688 và 62 .
Bài 20.
Số cần tìm là ab , viết thêm một chữ số 0 vào giữa các chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta
có số a 0b
Ta có: a 0b = 9 ab => 100a + b = 9(10a + b)
=> 10a = 8b ⋮ 8 => a = 4 hoặc a = 8
Vì 0 < b ≤ 9 => a = 4 và b = 5
=> Số cần tìm là 45
Bài 21.
Số cần tìm là abc . Số viết theo thứ tự ngược lại là cba
Ta có: abc ⋮ {5, 9} => c = {0, 5}
Vì viết theo thứ tự ngược lại để được số cba => c = 5
Ta có: ab5 và 5ba
Ta có ab5 - 5ba = 297 => 100a + 10b + 5 - (500 + 10b + a) = 297
=> 99a = 792 => a = 8
=> Có số 8b5 mà số này ⋮ 9 => 800 + 10b + 5 = 805 + 10b ⋮ 9 => b = 5
Vậy số cần tìm là 855
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
18
Website:tailieumontoan.com
2/ CÁC BÀI TOÁN ĐẾM SỐ
Nội dung và phương pháp:
- Liệt kê: Các phần tử thỏa mãn điều kiện cho trước ta dùng phương pháp đếm đối với các
bài toán ít phần tử.
- Dựa vào quy luật hình thành các phần tử để đếm ( Chia hết cho 2 , 3 , … hoặc thỏa mãn
điều kiện nào đó )
Ví dụ minh họa:
Bài 1. a. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số có chứa đúng một số 4?
b. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số có chứa đúng 2 chữ số 4? ( các chữ số không
nhất thiết phải khác nhau )
Lời giải
a. Số có 3 chữ số và chứa đúng một số 4 có dạng: ab 4, a 4b, 4ab(0 ≤ a ≤ 9; a, b ≠ 4)
Số có 3 chữ số thỏa mãn là:
Dạng : ab 4 : có 8.9 = 72 số . Dạng a 4b có : 8.9.= 72 số . Dạng 4ab có 9.9 = 81 số
b. Gợi ý: a 44(0 < a ≤ 9); 4a 4; 44a (0 ≤ a ≤ 9), a ≠ 4 có 8 + 9 + 9 = 26 số thỏa mãn.
Bài 2. Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 4 gồm bốn chữ số, chữ số tận cùng bằng 2 ?
Lời giải
Các số phải đếm có dạng abc 2
Chữ số a có 9 cách chọn
Với mỗi cách chọn a , chữ số b có 10 cách chọn.
Với mỗi cách chọn a, b chữ số c có 5 cách chọn (1,3,5, 7,9) để tạo với chữ số 2 tận cùng
làm thành số chia hết cho 4 .
Tất cả có: 9.10.5 450 số.
Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số trong đó có đúng một chữ số 5 ?
Lời giải
Chia ra 3 loại số:
- Số đếm có dạng: 5ab : chữ số a có 9 cách chọn, chữ số b có 9 cách chọn các số thuộc
loại này có: 9.9 81 số.
- Số điểm có dạng a5b : chữ số a có 8 cách chọn, chữ số b có 9 cách chọn, các số thuộc
loại này có: 8.9 72 số.
- Số đếm có dạng ab5 : các số thuộc loại này có: 8.9 72 số.
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
19
Website:tailieumontoan.com
Vậy số tự nhiên có ba chữ số trong đó có đúng một chữ số 5 là 81 72 72 225 số.
Bài 4. Để đánh số trang của một cuốn sách, người ta viết dãy số tự nhiên bắt đầu từ 1 và
phải dùng tất cả 1998 chữ số.
b) Chữ số thứ 1010 là chữ số nào?
a) Hỏi cuốn sách có bao nhiêu trang?
Lời giải
a) Hỏi cuốn sách có bao nhiêu trang?
Ta có: Từ trang 1 đến trang 9 phải dùng 9 chữ số (viết tắt c/s).
Từ trang 10 đến trang 99 phải dùng (99 10) 1 90 số có 2c/s 180c/s .
Vì còn các trang gồm các số có 3 c/s.
Còn lại: 1998 (180 9) 1809 c/s là đánh dấu các trang có 3 c/s.
Có: 1809 : 3 603 số có 3 c/s.
Cuốn sách đó có: 603 99 702 (vì trang 1 99 có 99 trang).
Cuốn sách có 702 trang.
b) Chữ số thứ 1010 là chữ số nào?
Chữ số thứ 1010 là chữ số 7 của 374 .
Bài 5. Trong các số tự nhiên có ba chữ số, có bao nhiêu số:
a) Chứa đúng một chữ số 4 ?
b) Chứa đúng hai chữ số 4 ?
c) Chia hết cho 5 , có chứa chữ số 5 ?
d) Chia hết cho 3 , không chứa chữ số 3 ?
Lời giải
a) Chứa đúng một chữ số 4 ?
Các số phải đếm có 3 dạng:
4bc có 9.9 81 số
a 4c có 8.9 72 số
ab 4 có 8.9 72 số
Tất cả có: 81 72 72 225 số.
b) Chứa đúng hai chữ số 4 ?
Các số phải đếm gồm 3 dạng: 44c, a 44, 4b 4 , có 26 số.
c) Chia hết cho 5 , có chứa chữ số 5 ?
Số có ba chữ số, chia hết cho 5 gồm 180 số, trong đó số không chứa chữ số 5 có dạng abc ,
a có 8 cách chọn, b có 9 cách chọn, c có 1 cách chọn (là 0 ) gồm 8.9 72 số.
Vậy có 180 72 108 số phải đếm.
d) Chia hết cho 3 , không chứa chữ số 3 ?
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
20
Website:tailieumontoan.com
Số phải tìm có dạng abc , a có 8 cách chọn, b có 9 cách chọn, c có 3 cách chọn (nếu
a b 3k thì c 0;3;6;9 , nếu a b 3k 1 thì c 2;5;8 .
Nếu a b 3k 2 thì c 1; 4;7 , có 8.9.3 216 số.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 3 và có tận cùng bằng 5?
Bài 2. Viết dãy số tự nhiên từ 1 đến 999 ta được một số tự nhiên A .
a) Số A có bao nhiêu chữ số?
b) Tính tổng các chữ số của số A ?
c) Chữ số 1 được viết bao nhiêu lần?
d) Chữ số 0 được viết bao nhiêu lần?
Bài 3. Từ các chữ số 1, 2,3, 4 , lập tất cả các số tự nhiên mà mỗi chữ số trên đều có mặt đúng
một lần. tính tổng các số ấy.
Bài 4. Có bao nhiêu số abcd mà ab < cd ?
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1.
Số lớn nhất có 4 chữ số chia hết cho 3 và có tận cùng bằng 5 là 9975
Số nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 3 và có tận cùng bằng 5 là 1005
Ta có dãy số: 1005 ; 1035; 1065; ....; 9975
Khoảng cách của dãy là 30
=> Số số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 3 và có tận cùng bằng 5 là:
(9975 – 1005) : 30 + 1 = 300 số
Bài 2.
a) Số A có bao nhiêu chữ số?
Từ 1 đến 9 có 9 số gồm: 1.9 9 chữ số
Từ 10 đến 99 số có 90 số gồm: 90.2 180 chữ số
Từ 100 đến 999 có
900
số gồm: 900.3 2700 chữ số
Số A có: 9 180 2700 2889 chữ số.
b) Tính tổng các chữ số của số A ?
Giả sử ta viết số B là các số tự nhiên từ 000 đến 999 (mỗi số đều viết bởi 3 chữ số), thế
thì tổng các chữ số của B cũng bằng tổng các chữ số của A.B có: 3.1000 3000 chữ số,
mỗi chữ số từ 0 đến 9 đều có mặt:
3000 :100 300 (lần)
Tổng các chữ số của B (cũng là của A ):
(0 1 2 ... 9).300 45.300 13500
c) Chữ số 1 được viết bao nhiêu lần?
Cần đếm số chữ số 1 trong 1 dãy: 1, 2,3,...,999 (1)
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
21
Website:tailieumontoan.com
Ta xét dãy: 000, 001, 002,...,999
(2)
Số chữ số 1 trong hai dãy như nhau. Ở đây dãy (2) có 1000 số, mỗi số gồm 3 chữ số, số
lượng mỗi chữ số từ 0 đến 9 đều như nhau. Mỗi chữ số (từ 0 đến 9 ) đều có mặt
3.1000 :10 300 (lần).
Vậy ở đây (1) chữ số 1 cũng được viết 300 lần.
d) Chữ số 0 được viết bao nhiêu lần?
Ở dãy (2) chữ số 0 có mặt 300 lần.
So với dãy (1) thì ở dãy (2) ta viết thêm các chữ số 0 :
- Vào hàng trăm 100 lần (chữ số hàng trăm của các số từ 000 đến 099 );
- Vào hàng chục 10 lần (chữ số hàng chục của các số từ 000 đến 009 );
- Vào hàng đơn vị 1 lần (chữ số hàng đơn vị của 000 ).
Vậy chữ số 0 ở dãy (1) được viết là: 300 111 189 (lần).
Bài 3.
Ta lập được 4.3.2.1 24 số tự nhiên bao gồm cả bốn chữ số 1, 2,3, 4 . Mỗi chữ số có mặt 6
lần ở mỗi hàng. Tổng của 24 số nói trên bằng: 60 600 6000 60000 66660 .
Bài 4.
Xét các trường hợp:
Nếu ab = 10 thì cd có thể bằng: 11,12,...,99 có 89 số.
Nếu ab = 11 thì cd có thể bằng: 12,13,...,99 có 88 số.
…………………….
Nếu ab = 97 thì cd có thể bằng: 98,99 có 2 số.
Nếu ab = 98 thì cd bằng: 99 có 1 số.
4005 (số).
Vậy có tất cả: 1 + 2 + 3 + ... + 89 =
CHỦ ĐỀ 3:
CÁC BÀI TOÁN VỀ LŨY THỪA SỐ TỰ NHIÊN
A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ
* Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: a n = a..a.a.a.a....a ( n thừa số a với a ∈ ).
Qui ước:=
a 0 1 (a ≠ 0) và a1 = a .
* Các phép tính luỹ thừa:
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
22
Website:tailieumontoan.com
- Nhân hai luỹ thưa cùng cơ số: a m .a n = a m + n .
- Chia hai luỹ thừa cùng cơ số : a m : a n = a m − n (a ≠ 0; m ≥ n) .
- Luỹ thừa của một tích: (a.b)n = a n .b n .
- Luỹ thừa của một thương:=
(a : b)n a n : b n (b ≠ 0) .
- Luỹ thừa của luỹ thừa: (a m )n = a m.n .
n
- Luỹ thừa tầng: a m = a(m
n)
3
Ví dụ: 32 = 38 .
a−n
- Luỹ thừa với số mũ âm:=
Ví dụ: 10 −3 =
1
(a ≠ 0)
an
1
.
10 3
B/ CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH 2 LŨY THỪA
I/ Phương pháp 1:
Cơ sở phương pháp: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng
cơ số hoặc cùng số mũ .
- Nếu 2 luỹ thừa cùng cơ số ( lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.
a m > a n (a >1) m > n
- Nếu 2 luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn .
a n > b n (n > 0) a > b
Ví dụ minh họa:
Thí dụ 1. So sánh các lũy thừa sau:
a) 1287 và 424
b) 818 và 2711
Phân tích: Nhận thấy, ở câu a) thì 128 và 4 là các cơ số liên quan tới lũy thừa cơ số 2 , ở
câu b) thì 81 và 27 liên quan tới lũy thừa cơ số 3. Do đó để so sánh, ta biến đổi các
lũy thừa về các lũy thừa có cùng cơ số, rồi dựa vào so sánh số mũ để so sánh chúng
với nhau.
Hướng dẫn giải
7
7 7
128
=
(2
=
) 249
⇒ 1287 > 424
a) Có : 24
2 24
48
=
4
(2
=
)
2
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
23
Website:tailieumontoan.com
818 = 332
8
11
b) Có 11 33 ⇒ 81 < 27
27 = 3
Thí dụ 2. So sánh các lũy thừa sau:
a) 536 và 1124
b) 3260 và 8150
c) 3500 và 7300
Phân tích: Nhận thấy, ở câu a) thì các lũy thừa có thể đưa về cùng số mũ 12 , ở câu b) và
c) các lũy thừa có thể đưa về cùng số mũ 100. Do đó để so sánh, ta biến đổi các lũy
thừa về các lũy thừa có cùng số mũ, rồi dựa vào so sánh cơ số để so sánh chúng với
nhau.
Hướng dẫn giải
536 = 12512
36
24
a) Có 1124 = 12112 ⇒ 5 > 11
60
300
32=
2=
8100
⇒ 3260 < 8150
b) Có 50
200
100
81
= 3= 9
3500 = 243100
⇒ 3500 < 7300
c) Có 300
100
7 = 343
Thí dụ 3. So sánh các lũy thừa:
a) 32n và 2 3n ( n ∈ N* ).
b) 2100 và 3200 .
c) 5100 và 3500 .
Hướng dẫn giải
a)=
32n
3 )
(=
2
n
9 n=
; 2 3n
2 )
(=
3
n
8n
Vì 9 > 8 ⇒ 32 > 2 3 =
> (32 )n > (2 3 )n
3 100
2 100
b)=
2100 (2
=
)
8100 và=
3200 (3
=
)
9100
Vì 8100 < 9100 ⇒ 2 300 < 3200 .
c)=
5300
5 )
(=
3
100
125100 và=
3500
3 )
(=
3
100
243100
Vì 125100 < 243100 ⇒ 5300 < 3500 .
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
24
Website:tailieumontoan.com
Lời bình: Qua ba ví dụ trên ta thấy rằng, trước khi so sánh hai lũy thừa với nhau trước
hết ta cần làm hai việc sau:
+ Kiểm tra cơ số xem các cơ số có biến đổi được về cùng cơ số không.
+ Kiểm tra số mũ của các lũy thừa xem có ước chung lớn nhất không.
Việc làm này sẽ giúp chúng ta lựa chọn đúng phương pháp so sánh.
II/ Phương pháp 2:
Cơ sở phương pháp: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân
A > B và B > C thì A > C
A.C < B.C (với C > 0) A < B
C/ Các dạng toán thường gặp.
Dạng 1: So sánh hai số lũy thừa.
Thí dụ 1. Hãy so sánh:
a) 107 50 và 7375 .
b) 2 91 và 535 .
Phân tích: Trong câu a) mặc dù số mũ của hai lũy thừa có ước chung là 25, tuy nhiên khi
đó cơ số sẽ là 733 và 1072 , các cơ số này khi tính ra sẽ rất lớn, do đó việc đưa về so
sánh hai lũy thừa cùng số mũ sẽ không khả quan. Còn trong câu b) cả số mũ và cơ số
đều không có ước chung nên cũng không thể áp dụng các phương pháp trong các ví
dụ trên. Như vậy chúng ta chỉ còn cách lựa chọn dùng tính chất bắc cầu (so sánh qua
lũy thừa trung gian).
Hướng dẫn giải
=
a) Ta có: 107 50 < 108 50
( 4. 27 ) =
50
2100. 3150
( 8. 9 ) =
75
7375 > 7275=
2 225. 3150
Vì 2100 < 2 225 ⇒ 2100.3150 < 2 225.3150 ⇒ 107 50 < 7375 .
b) Ta có: 291 > 290=
(2 ) =
5
535 < 536=
18
3218
(5 ) =
2
18
2518
Vì 3218 > 2518 ⇒ 291 > 535 .
Thí dụ 2. Hãy so sánh:
a) 10750 và 7375
c) 544 và 2112
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
b) 291 và 535
d) 98 và 89
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
25
Website:tailieumontoan.com
Hướng dẫn giải
a) Ta có :
10750 < 10850 =
2100.3150 và 7375 > 7275 =
2225.3150 nên 10750 < 7375
b) Ta có :
=
291
c) Ta có :
=
544
2 )
(=
13 7
81927 và=
535
2.27 )
(=
4
5)
(=
5 7
31257 nên 291 > 535
24.312 và 2112 = 312.712 nên 544 < 2112
d) Ta có :
98 < 108 = 1004 = 100.1003
Và 89 = 5123 > 5003 = 53.1003 = 125.1003 nên 98 < 89
Lời bình: Việc phân tích lũy thừa thành tích các lũy thừa sẽ giúp ta nhìn ra thừa số
chung của các lũy thừa, từ đó việc so sánh hai lũy thừa chỉ còn dựa vào việc so sánh
các thừa số riêng.
Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với một số (so sánh hai biểu thức lũy thừa)
* Thu gọn biểu thức lũy thừa bằng cách vận dụng các phép tính lũy thừa, cộng trừ
các số theo quy luật ......
* Vận dụng phương pháp so sánh hai lũy thữa ở phần B.
* Nếu biểu thức lũy thừa là dạng phân thức: Đối với từng trường hợp bậc của luỹ thừa ở tử
lớn hơn hay bé hơn bậc của luỹ thừa ở mẫu mà ta nhân với hệ số thích hợp nhằm tách phần nguyên
rồi so sánh từng phần tương ứng.
Với a, n, m, K∈ N* . Ta có:
a
a
a
a
- Nếu m > n thì K >Kvà K +
< K+
m
m
n
n
a
a
a
a
- Nếu m < n thì K < Kvà K +
> K+
m
m
n
n
(còn gọi là phương pháp so sánh phần bù)
1
* Với biểu thức là tổng các số 2 (với a ∈ N*) ta có vận dụng so sánh sau:
a
1
1
1
1
1
< 2 <
−
−
a
a a +1
a −1 a
Thí dụ 1. Cho S = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 29 . So sánh S với 5.28 .
Phân tích: Trước khi so sánh biểu thức S với 5.28 ta cần dùng phương pháp tính tổng theo
quy luật để tính S. Để làm việc này ta cần nhân 2 vào hai vế của biểu thức S, sau đó
tính hiệu 2S − S thì sẽ triệt tiêu được các số hạng giống nhau và tính được S.
Hướng dẫn giải
Ta có: S = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 29
2.S =2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ........ + 29 + 210
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
26
Website:tailieumontoan.com
⇒ 2.S − S = S = 210 − 1
10
2
28.2=
4.28
Mà 210 − 1 < 2=
⇒ S < 5.28 .
Lời bình: Để tính tổng S ta cần dùng phương pháp tính tổng của biểu thức tổng
quát sau: S = 1 + a + a 2 + a 3 + ... + a n (a ∈ N* ).
Thí dụ 2. So sánh 2 biểu thức A và B trong từng trường hợp:
1015 + 1
1016 + 1
a) A = 16
và B = 17
.
10 + 1
10 + 1
b) C =
2 2008 − 3
2 2007 − 3
D
=
và
.
2 2007 − 1
2 2006 − 1
Phân tích:
- Ở câu a, biểu thức A và B có chứa luỹ thừa cơ số 10 , nên ta so sánh 10A và 10B .
- Ở câu b, biểu thức C và D có chứa luỹ thừa cơ số 2 nên ta so sánh
1
1
C và D .
2
2
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
A=
1015 + 1
1016 + 1
1015 + 1 1016 + 10 1016 + 1 + 9
9
= 1 + 16
=
.
10.
⇒ 10A =
=
16
16
16
10 + 1
10 + 1
10 + 1
10 + 1
1016 + 1
B = 17
10 + 1
1016 + 1 1017 + 10 1017 + 1 + 9
9
= 1 + 17
=
.
⇒ 10B =
10. 17
=
17
17
10
+
1
10
+
1
10
+
1
+
10
1
Vì 1016 + 1 < 1017 + 1 nên
⇒ 1+
9
16
10 + 1
> 1+
9
16
10 + 1
>
9
17
10 + 1
9
17
10 + 1
⇒ 10A > 10B hay A > B.
b) Ta có:
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
27
Website:tailieumontoan.com
C=
2 2008 − 3
2 2007 − 1
1
1
1 2 2008 − 3 2 2008 − 3 2 2008 − 2 − 1
= 1 − 2008
.
C
⇒ =
=
2007 =
2008
2008
2
2 2
2 −2
2
−1 2
−2
−2
D=
2 2007 − 3
2 2006 − 1
1
1
1 2 2007 − 3 2 2007 − 3 2 2007 − 2 − 1
= 1 − 2007
.
D
⇒ =
=
2006 =
2007
2007
2
2 2 −1 2
2
−2
2
−2
−2
> 2007 – 2 nên
Vì 2 2008 – 2 2
⇒ 1−
⇒
1
2
2008
−2
> 1−
1
2
2008
−2
<
1
2
2007
−2
1
2
2007
−2
1
1
C > D hay C > D.
2
2
Lời bình: Đôi khi để so sánh hai biểu thức với nhau, ta cần biến đổi hai biểu thức về
dạng tổng hai số hạng, trong đó có một số hạng chung và khi đó ta chỉ cần so sánh số
hạng riêng.
Dạng 3: Từ việc so sánh lũy thừa, tìm cơ số (số mũ) chưa biết.
* Với các số tự nhiên m, x, p và số dương a .
+ Nếu a > 1 thì:
am < ax < ap ⇒ m < x < p .
+ Nếu a < 1 thì:
am < ax < ap ⇒ m > x > p .
* Với các số dương a, b và số tự nhiên m , ta có:
a m < bm ⇒ a < b .
Thí dụ 1. Tìm các số nguyên n thoã mãn: 364 < n 48 < 572 .
Hướng dẫn giải
Ta giải từng bất đẳng thức 364 < n 48 và n 48 < 572 .
>(3 )
( )
Ta có: n 48 > 364 ⇒ n 3
⇒ n > 4 (với n ∈ )
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
16
4
16
( )
⇒ n3
16
81
> 16 ⇒ n 3 > 81
(1).
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
28
Website:tailieumontoan.com
( )
Mặt khác n 48 < 572
⇒ n2
24
<
(5 )
3
24
⇒ −11 ≤ n ≤ 11 (với n ∈ )
( )
⇒ n2
24
< 12524 ⇒ n 2 < 125
(2).
Từ (1) và (2) ⇒ 4 < n ≤ 11 .
Vậy n nhận các giá trị nguyên là: 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11.
Lời bình: Từ bài toán trên có thể thay đổi câu hỏi để được các bài toán sau:
Bài số 1: Tìm tổng các số nguyên n thoã mãn: 364 < n 48 < 572 .
Giải tương tự trên ta có các số nguyên n thoã mãn là:
5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 =
56 .
Bài số 2: Tìm tất cả các số nguyên có một chữ số sao cho: 364 < n 48 < 572 .
Giải tương tự trên ta có các số nguyên n thoã mãn là: 5; 6; 7; 8; 9.
Bài số 3: Tìm tất cả các số nguyên có 2 chữ số sao cho 364 < n 48 < 572
Giải tương tự trên ta có các số nguyên n thoã mãn là: 10; 11.
Thí dụ 2. Tìm x thuộc N. Biết:
a) 16 x < 128 4 .
18
b) 5x.5x +1.5x + 2 ≤ 100.............0
:2 .
18 chu so 0
Hướng dẫn giải
( ) < (2 )
a) 16 x < 128 4 ⇒ 2 4
x
7
4
⇒ 2 4x < 2 28 ⇒ 4x < 28 ⇒ x < 7
⇒ x ∈ {0,1, 2, 3, 4, 5,6} .
18
b) 5x.5x +1.5x + 2 ≤ 100.............0
:2
18 chu so 0
⇒5
3x + 3
≤ 1018 : 218 ⇒ 53x + 3 ≤ 518 ⇒ 3x + 3 ≤ 18 ⇒ x ≤ 5
⇒ x ∈ {0,1, 2, 3, 4, 5} .
Dạng 4: Một số bài toán khác.
Thí dụ 1. Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng ba chữ số 1 ; 2 ; 3 với điều kiện mỗi
chữ số dùng một lần và chỉ một lần ?
Hướng dẫn giải
Bài toán xảy ra các trường hợp sau:
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
29
Website:tailieumontoan.com
Trường hợp 1: Không dùng luỹ thừa thì số lớn nhất viết được là 321.
Trường hợp 2: Dùng luỹ thừa để viết: (Bỏ qua trường hợp cơ số hoặc số mũ bằng 1
và các luỹ thừa tầng vì các giá trị này quá nhỏ so với 321)
* Xét các luỹ thưa có số mũ là một chữ số cho ta số tự nhiên có 4 chữ số là:
132 , 312 ,12 3 , 213 , trong các số này số lớn nhất là 213 .
* Xét các luỹ thưa mà số mũ có hai chữ số cho ta số tự nhiên có 4 chữ số là:
213 , 2 31 , 312 , 321 , nhận xét các số này như sau:
20
2 10
=
321 3.3
=
3.(3=
)
3.910 ,
30
3 10
=
2 31 2.2
=
2(2=
)
2.810 ,
do đó trong các số này thì số lớn nhất là 321 .
So sánh 321 và 213 :
321 > 39 = (33 )3 = 27 3 > 213
Vậy số lớn nhất viết được là số 3 21 .
Thí dụ 2.
a) Số 58 có bao nhiêu chữ số ?
b) Hai số 2 2003 và 52003 viết liền nhau được số có bao nhiêu chữ số?
Phân tích: So sánh lũy thừa với một số luỹ thừa của 10, từ đó lập luận tìm số chữ số của số
đó.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
58 = (5 4 )2 = 6252 > 600 2 = 360000
108 100000000 100000000
=
<
=
58 =
400000
256
250
28
⇒ 360000 < 58 < 400000.
Do đó 58 có 6 chữ số.
b) Giả sử 2 2003 có a chữ số và 52003 có b chữ số thì khi viết 2 số này liền nhau ta được
(a + b) chữ số.
Vì 10a −1 < 2 2003 < 10a và 10 b −1 < 52003 < 10 b
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
30
Website:tailieumontoan.com
⇒ 10a −1.10 b−1 < 2 2003.52003 < 10a.10 b
⇒ 10a + b− 2 < 10 2003 < 10a + b .
Do đó: 2003 = a + b − 1 ⇒ a + b = 2004 .
Vậy số đó có 2004 chữ số.
Thí dụ 2. Tìm số 5các chữ số của các số n và m trong các trường hợp sau:
a) n = 8 3. 155 .
b) m = 416. 525 .
Phân tích: Nhóm các luỹ thừa thích hợp nhằm làm xuất hiện luỹ thừa của 10, từ đó
lập luận tìm số chữ số của số đó.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
3
=
n 8=
. 155
3.5 )
( 2 ) . (=
3
3
5
2 9 . 3 5. 5 5
= 2 4=
. 35. ( 2.5 ) 16.243
=
.10 5 3888. 10 5.
5
Số 3888.10 5 gồm 3888 theo sau là 5 chữ số 0 nên số này có 9 chữ số.
Vậy số n có 9 chữ số.
b) Ta có:
16
m 4=
. 525
=
32 25
.5
= 2=
(2 ) . 5
2 .( 2 =
.5 )
2
7
16
25
25
25
128.10 25.
Số 128.10 25 gồm 128 theo sau là 25 chữ số 0 nên số này có tất cả 28 chữ số.
Vậy số m có 28 chữ số.
C/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1. So sánh:
a) 2435 và 3.275 .
c) 6255 và 1257 .
Bài 2: So sánh:
e) 99 20 và 999910.
b) 3500 và 7 300.
d) 202 303 và 303202.
e) 111979 và 37 1320.
Bài 3: So sánh:
c) 8 5 và 3.47 .
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
f) 1010 và 48.50 5.
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
31
Website:tailieumontoan.com
i) 2 30 + 330 + 4 30 và 3.2410 .
g) 199010 + 19909 và 199110.
Bài 4: So sánh các số sau: 199 20 và 200315 .
Bài 5: So sánh:
a) 7812 − 7811 và 7811 − 7810 .
b)=
A 72 45 − 72 44 và=
B 72 44 − 72 43 .
Bài 6: So sánh các số sau: 339 và 1121 .
Bài 7. Chứng tỏ rằng: 527 < 263 < 528 .
Bài 8: Chứng minh rằng: 21995 < 5863 .
Bài 9: Chứng minh rằng: 21999 < 7 714 .
Bài 10. So sánh: 3200 và 2 300 .
Bài 11: So sánh: 7150 và 37 75 .
Bài 12: So sánh các số:
a) 50 20 và 255010 .
b) 99910 và 999999 5 .
Bài 13: Viết theo từ nhỏ đến lớn: 2100 ; 375 và 550 .
Bài 14: So sánh 2 số: 123456789 và 567891234 .
Bài 15: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0 . Hãy so
sánh m với 10.98 .
1 + 2012 + 2012 2 + 2012 3 + 2012 4 +… + 201271 + 201272 =
Bài 16: Cho A =
và B 201273 − 1 . So
sánh A và B.
Bài 17: So sánh hai biểu thức: B =
Bài 18: So sánh: M
=
3 7
7
3
+ 4 và N
= 3+ 4.
3
8
8
8 8
Bài 19: So sánh M và N biết: M =
Bài 20: So sánh
210.13 + 210.65
310.11 + 310.5
C
=
và
.
28.104
39.2 4
19 30 + 5
19 31 + 5
N
=
và
.
19 31 + 5
19 32 + 5
1
1
1
1
1
1
và 2
.
+
+
+
+
2
2
2
2
2
2 .3.52.7
101 102 103 104 105
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
32
Website:tailieumontoan.com
1
1
1
1
1
− 1 và − .
Bài 21: So sánh A =
2 − 1 . 2 − 1 . 2 − 1 .......
2
2
2
3
4
100
Bài 22: Tìm các số tự nhiên n sao cho:
a) 3 < 3n ≤ 234 .
b) 8.16 ≥ 2 n ≥ 4 .
Bài 23: Tìm số tự nhiên n biết rằng: 415. 915 < 2 n. 3n < 1816. 216 .
3n .
Bài 24: Cho A = 3 + 32 + 33 + …. + 3100 . Tìm số tự nhiên n , biết 2A + 3 =
256 .
Bài 25: Tìm các số nguyên dương m và n sao cho: 2 m − 2 n =
Bài 26: Tìm số nguyên dương n biết:
a) 64 < 2 n < 256 .
b) 243 > 3n ≥ 9 .
Bài 27: Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho: n 200 < 6 300 .
Bài 28: Tìm n ∈ N biết:
a) 32 < 2 n < 512 .
b*) 318 < n12 ≤ 208 .
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1.
Định hướng tư duy: Nhận thấy, ở câu a) thì 243 và 27 là các cơ số liên quan tới lũy
thừ cơ số 3 , ở câu b) thì 625 và 125 liên quan tới lũy thừa cơ số 5 . Do đó để so sánh, ta
biến đổi các lũy thừa về các lũy thừa có cùng cơ số, rồi dựa vào so sánh số mũ để so sánh
chúng với nhau.
Lời giải:
5
=
a) Ta có: 243
3 )
(=
5
5
( )
5
5
3
15
325 ; 3.27
=
3. 3=
3.3
=
316
Vì 316 < 325 ⇒ 3.275 < 2435 .
5
4 5
3 7
b) 625
=
=
= (5
=
(5
) 520 ;125
) 521
Vì 521 > 520 ⇒ 1257 > 6255 .
Bài 2:
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
33
Website:tailieumontoan.com
Phân tích: Nhận thấy, ở câu a) thì các lũy thừa có chung số mũ 10 , ở câu b) thì các
lũy thừa có chung số mũ 100 , ở câu c) thì các lũy thừa có chung số mũ 101 , ở câu d) các
lũy thừa có chung số mũ 660. Do đó để so sánh, ta biến đổi các lũy thừa về các lũy thừa có
cùng số mũ, rồi dựa vào so sánh cơ số để so sánh chúng với nhau.
Lời giải:
( )
a) Ta thấy: 99 20 = 99 2
10
= ( 99.99 ) ; 999910 = ( 99.101)
10
10
Vì ( 99.99 ) < ( 99.101) ⇒ 99 20 < 999910.
10
b) Ta có=
: 3500
10
3 )
(=
5
100
, 7 300
243100=
7 )
(=
3
100
343100 .
Vì 243100 < 343100 nên 3500 < 7 300.
c) Ta có:
=
202 303
=
2.101)
.101 )
(=
( 2=
( 8.101.101
) ( 808.101)
=
303202
3.101)
.101 )
(=
( 3=
( 9.101 )
3.101
3
2.101
2
3
2
101
2
101
2
101
101
101
Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202 303 > 303202.
d) Ta có:
(11 )
111979 < 111980=
=
37 1320
( )
3
660
(1)
= 1331660
660
(2)
=
37 2
1369660
Từ (1) và (2) suy ra: 111979 < 37 1320.
Bài 3:
5
15
7
a) Ta có: 8=
2=
2.214 , 3.4=
3.214
Vì 2 < 3 ⇒ 2.214 < 3.214 ⇒ 8 5 < 3.47 .
b) Ta có :
10
1010 2=
. 510 2. =
29. 510 , 48. 50 5
=
3. 2 ) . ( 2 . 5 )
(=
4
5
10
3. 2 9. 510
Vì 2 < 3 ⇒ 2. 29. 510 < 3. 29. 510 ⇒ 1010 < 48. 50 5.
2 30
30
2 15
c) Ta có:=
4 30 (2
=
)
(2.2)
=
2 30
=
.2 30 (2 3 )10 .(2
=
)
810.415 ,
10
10 10
=
2410.3 (8.3)
=
.3 8=
.3 .3 810.311
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
34
Website:tailieumontoan.com
Vì 311 < 415 ⇒ 810.311 < 810.415 ⇒ 4 30 > 3.2410
⇒ 2 30 + 330 + 4 30 > 3.2410 .
d) Ta có :
199010=
+ 19909 19909. ( 1990
=
+ 1) 1991. 19909
199110 = 1991. 19919
Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 19909 < 199110.
Bài 4:
Biến đổi a n về dạng: c.d k , biến đổi b m về dạng: e.d k rồi so sánh hai số c và e . Từ đó so sánh
được hai số a n và b m .
199 20 < 200 20= (8.25)20= (2 3.52 )20= (2 3.52 )20= 260.540
200315 > 200015 = (16.125)15 = (2 4.53 )15 = (2 4.53 )15 = 260.545
Vì 545 > 540 ⇒ 260.545 > 260.540 ⇒ 200315 > 199 20 .
Bài 5:
Biến đổi a n về dạng: c.d k , biến đổi b m về dạng: e.d k rồi so sánh hai số c và e . Từ đó so sánh
được hai số a n và b m .
12
7811 7811. ( 78=
− 1) 7811.77
a) Ta có: 78 − =
7811 − =
7810 7810. ( 78=
− 1) 7810.77
Vì 7811 > 7810 ⇒ 7811.77 > 7810.77 ⇒ 7812 − 7811 > 7811 − 7810 .
b) Ta có
=
A 72 44 (72 =
− 1) 72 44.71 và
=
B 72 43 (72 =
− 1) 72 43.71
72 44 > 72 43 ⇒ 72 44.71 > 72 43.71 ⇒ A > B.
Bài 6:
Dùng tính chất bắc cầu: So sánh hai số với số lũy thừa 10.
Ta có: 339 < 340= (34 )10= 8110
2 10
=
1120 (11=
)
12110 < 1121
Vì 8110 < 12110 ⇒ 339 < 1121 .
Bài 7.
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
35
Website:tailieumontoan.com
Với bài này , học sinh lớp 6 sẽ không định hướng được cách làm , giáo viên có thể gợi ý học
sinh so sánh: 263 > 527 và 263 < 528 .
Ta có :=
263
2 )
(=
1289 ,=
527
5 )
(=
1259 ⇒ 263 > 527
(1)
Lại có:=
263
2 )
(=
5127 ,=
528
5 )
(=
6257 ⇒ 263 < 528
(2)
7
9
9
7
3
4
9
7
Từ (1) và (2) ⇒ 527 < 263 < 52 .
Bài 8:
Xét: a n biến đổi được về dạng: c q .d k
b m biến đổi được về dạng: e p .g h
Nếu c q < e p và d k < g h thì c q .d k < e p .g h .
Ta có: 21995 = 21990.2 5 ; 5863 = 5860.53
Nhận xét: 25 = 32 < 53 = 125 nên cần so sánh 21990 và 5860 .
=
=
55 3025 ⇒ 210. 3 < 55 ⇒ 21720. 3172 < 5860 .
Có: 210 1024,
Có: 21990 = 21720.2 270 , cần so sánh 21720.2 270 với số 21720.3172 như sau:
37= 2187; 211= 2048 ⇒ 37 > 211 .
3172=
(3 )
7
24
( )
( )
. 34 > 211 2 4 > 211 . 26= 2 270 .
Do đó: 21720.2 270 < 21720. 3172 < 5860 ⇒ 21990 < 5860
Mà 2 5 < 53 ⇒ 21995 < 5863 .
Bài 9:
10
=
; 7 3 343
Ta=
có: 2 1025
( )
⇒ 210 < 3.7 3 ⇒ 210
238
( )
< 3238 . 7 3
⇒ 2 2380 < 3238 .7 714
(1)
( )
Xét: 3238 = 33 .3235 = 33 . 35
47
( )
< 33 28
⇒ 3238 < 2 381
Từ (1) và (2), ta có: 2
238
47
< 2 5.2 376 = 2 381 (vì 35 < 28 )
(2)
2380
< 2 381 .7 714
⇒ 21999 < 7 714
Bài 10.
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
36
Website:tailieumontoan.com
Đưa về so sánh hai lũy thừa cùng số mũ.
Ta có:=
3200
3 )
(=
2
100
9100=
; 2 300
2 )
(=
3
100
8100 mà 8100 < 9100
⇒ 2 300 < 3200 .
Bài 11:
Biến đổi a n về dạng: c.d k , biến đổi b m về dạng: e.d k rồi so sánh hai số c và e . Từ đó so sánh
được hai số a n và b m .
Ta có: 7150 < 72 50=
( 8.9 )
37 75 > 3675=
( 4.9 )
50
(1)
= 2150.3100
75
(2)
= 2150. 3150
Mà 2150. 3150 > 2150.3100
(3)
Từ (1), (2), và (3) suy ra: 37 75 > 7150 .
Bài 12:
10
2
20
10
10
20
10
a) Ta có: 50= ( 50 ) = 2500 < 2550 ⇒ 5 < 2550 .
5
2
10
5
5
10
5
b) Ta có: 999= ( 999 ) < 998001 < 999999 ⇒ 999 < 999999 .
Bài 13:
50
= (2 2 )=
2100
4 50 < 550
(1).
75
3
25
3=
(3=
) 27=
375 > 550
(2).
(3).
5 25
=
550 (5
=
)
2525
Từ(1),(2) và (3) ⇒ 2100 < 550 < 375 .
Bài 14:
Ta có: A = 123456 789 > 100050000 = (103 )
50000
( )
B=
567891234 < 1000002000 =105
= 10150000
2000
=
1010000
Vì 1010000 < 10150000 ⇒ 567891234 < 123456789 .
Bài 15:
1; 9) và có thể giống nhau.
Số có 9 chữ số là a1a2 ....a8 a9 trong đó các chữ số ai ≠ 0 (i =
Từ tập hợp số {1;2;3;4;5;6;7;8;9} mỗi chữ số ai có 9 cách chọn . Do đó ta có số các số có 9
chữ số thỏa mãn bài toán là m = 99 số.
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
37
Website:tailieumontoan.com
9
Từ đó: m
= 9=
9.98 < 10.98 .
Bài 16:
Ta có: A =
1 + 2012 + 2012 2 + 2012 3 + 2012 4 +… + 201271 + 201272
2012.A =2012 + 2012 2 + 2012 3 + 2012 4 +… + 201271 + 201273
⇒ 2012.A – A =
2011A =
201273 – 1
=
⇒A
( 2012
73
)
– 1 : 2011 < 201273 − 1 .
Vậy A < B .
Bài 17:
310.11 + 310.5 310 (11 + 5)
=
=
3.
39.2 4
39.16
=
B
210.13 + 210.65 210 (13 + 65) 2 2.78
=
C
=
= = 3.
104
28.104
28.104
Vậy B = C.
Bài 18:
3 3 4
3 7
3 3 4
+ 4 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 + 4 .
3
8 8
8 8 8
8 8 8
Ta có:
3 3
7
3
3 4 3
+ 4= 3+ 3+ 4 = 3+ 4
3
8 8
8 8 8
8 8
4
+ 3 .
8
3 3 4 3 3 4
4
4
⇒
<
3 + 4 + 4 < 3 + 4 + 3
84 83
8 8 8
8 8 8
Vì
⇒ M 32
19 + 5 19 + 5
1+
31
90
90
> 1 + 32
hay 19M > 19N ⇒ M > N .
19 + 5
19 + 5
31
Bài 20:
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
38
Website:tailieumontoan.com
Nếu n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì ta có:
1
1 n − (n − 1) n − n + 1
1
1
=
−
=
=
> 2
n − 1 n (n − 1).n (n − 1).n (n − 1)n n
⇒
1
1
1
<
− .
2
n −1 n
n
Áp dụng vào bài toán ta được:
1
1
1
<
−
2
101 100 101
1
1
1
<
−
2
101 102
102
............................
1
1
1
<
−
2
104 103
105
⇒
1
1
1
1
1
+
+ ... +
<
−
2
2
2
100 105
101 102
105
=
Vậy
105 − 100
5
1
= 2=
.
100.105 2 .52.5.3.7 2 2.52.3.7
1
1
1
+ ...... +
< 2 2
.
2
2
102
105
2 .5 .3.7
Bài 21:
A là tích của 99 số âm. Do đó:
1 1
1
1
−A = 1 − 1 − 1 − ........ 1 −
2
4 9 16
100
=
3 8 15
9999
. 2 . 2 .......
2
2 3 4
100 2
=
1.3 2.4 3.5
99.101
. 2 . 2 ........
.
2
2 3 4
100 2
Để dễ rút gọn ta viết tử dưới dạng tích các số tự nhiên liên tiếp như sau:
−A=
1.2.3.4.5.6..........98.99 3.4.5..........100.101
1 101 101 1
.
=
. =
>
2.3.4.5.........99.100 2.3.4..........99.100 100 2
200 2
1
Vậy A < − .
2
Bài 22:
Đưa các số về các lũy thừa có cùng cơ số .
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
39
Website:tailieumontoan.com
a) 3 < 3n ≤ 234 ⇒ 31 < 3n ≤ 35 ⇒ 1 < n ≤ 5
⇒ n nhận các giá trị là: 2, 3, 4, 5 .
b) 8.16 ≥ 2 n ≥ 4 ⇒ 2 3.2 4 ≥ 2 n ≥ 2 2 ⇒ 27 ≥ 2 n ≥ 2 2 ⇒ 7 ≥ n ≥ 2
⇒ n nhận các giá trị là: 2, 3, 4, 5, 6,7 .
Bài 23:
415. 915 < 2 n. 3n < 1816. 216 ⇒ ( 4.9 ) < ( 2.3 ) < ( 18.2 )
15
n
16
⇒ 3615 < 6 n < 3616
( )
⇒ 62
15
( )
< 6n < 62
16
⇒ 6 30 < 6 n < 6 32
⇒ 30 < n < 32
⇒n=
31.
Bài 24:
Có A = 3 + 32 + 33 + …. + 3100
⇒ 3A
= 32 + 33 + 34 +…+ 3101
2A =
3101 – 3
⇒ 3A – A =
⇒ 2A + 3 =
3101
Mà theo đề bài ta có 2A + 3 =
3n
⇒ 3101 = 3n ⇒ n = 101 .
Bài 25:
Ta có: 2 m − 2 n =
256 =
28 =
> 2 n (2 m − n − 1) =
28
(1).
Dễ thấy m ≠ n , ta xét 2 trường hợp:
1 thì từ (1) ta có:
Trường hợp 1: Nếu m − n =
2 n.(2 − 1) = 28 ⇒ 2 n = 28 ⇒ n = 8 và m = 9 .
Trường hợp 2: Nếu m − n ≥ 2
⇒ 2 m − n − 1 là một số lẻ lớn hơn
1 nên vế trái của (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ
khi phân tách ra thừa số nguyên tố, còn vế phải của (1) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2, do
đó hai vế của (1) mâu thuẫn nhau.
Vậy n = 8 và m = 9 là đáp số duy nhất.
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
40
Website:tailieumontoan.com
Bài 26:
a) Ta có: 64 < 2 n < 256 ⇒ 26 < 2 n < 28
⇒ 6 < n < 8 , mà n nguyên dương, nên n = 7.
b) Ta có: 243 > 3n ≥ 9 3
⇒ 5 > 3n ≥ 32 ⇒ 5 > n ≥ 2 , mà n nguyên dương nên n nhận các
giá trị là: 4; 3; 2.
Bài 27:
Ta có:=
n 200
(n )
2
100
6 )
(=
; 6 300
=
( )
n 200 < 6 300 ⇒ n 2
100
3
100
216100
< 216100 ⇒ n 2 < 216 (*)
⇒ Số nguyên lớn nhất thoã mãn (*) là n = 14 .
Bài 28:
a) Với n ∈ N, ta xét:
32 < 2 n ⇔ 2 5 < 2 n ⇒ 5 < n
2 n < 512 ⇔ 2 n < 2 9 ⇒ n < 9
Do đó: 5 < n < 9 ⇒ n ∈ {6;7;8} .
b) Với n ∈ N, ta xét:
( ) < (n )
318 < n12 ⇔ 33
6
2
6
⇔ 33 < n 2 ⇔ 27 < n 2
Nhận thấy: 52 < 27 < 62 , nên 62 ≤ n2 ⇒ 6 ≤ n .
( ) < ( 20 )
n12 ≤ 208 ⇔ n 3
4
2
4
⇔ n 3 < 20 2 ⇔ n 3 < 400
Nhận thấy: 7 3 < 400 < 8 3 , nên n 3 ≤ 7 3 ⇒ n ≤ 7
Do đó: 6 ≤ n ≤ 7 ⇒ n ∈ {6;7} .
CHỦ ĐỀ 4:
CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP
CHỨNG MINH CHIA HẾT
A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Định nghĩa
Cho 2 số tự nhiên a và b, trong đó b khác 0, nếu có số tự nhiên x sao cho b.x = a, thì ta
nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a: b = x
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
41
Website:tailieumontoan.com
2.Các dấu hiệu chia hết
a) Dấu hiệu chia hết cho 2
Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn.
b) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9)
Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3 (hoặc
9).
Chú ý: Một số chia cho 3 (hoặc 9) d bao nhiêu thì tổng các chữ số của số đó chia cho 3
(hoặc 9) cũng d bấy nhiêu và ngợc lại
c) Dấu hiệu chia hết cho 5
Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5
d) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25)
Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi 2 chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4
(hoặc 25)
e) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125)
Một số chia hết cho 8 hoặc 125 khi và chỉ khi 3 chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 8
hoặc 125.
f) Dấu hiệu chi hết cho 11
Một số chi hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số
hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11.
3. Tính chất của 2 quan hệ chia hết
+ 0 chia hết cho b với b là số tự nhiên khác 0
+ a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c
+ Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b, c) = 1 thì a chia hết cho b.c
+ Nếu a chia hết cho m và a chia hết cho n thì a chia hết cho
BCNN(m,n)
+ Nếu a.b chia hết cho c và (b,c) =1 thì a chia hết cho c
+ Nếu a chia hết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên.
+ Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (a±b) chia hết cho m
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
42
Website:tailieumontoan.com
+ Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m thì (a±b) không chia hết cho m
+ Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n
+ Nếu (a.b) chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b chia hết cho
m.
+ Nếu a chia hết cho m thì an chia hết cho m với n là số tự nhiên
+ Nếu a chia hết cho b thì an chia hết cho bn với n là số tự nhiên
II/ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
1. phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết
Để chứng minh a chia hết cho b ( b khác 0), ta biểu diễn số a dới dạng một tích các
thừa số, trong đó có 1 thừa số bằng b (hoặc chia hết cho b). a = b.k ( k ∈ N) hoặc a =m.k (
m chia hết cho b)
Thí dụ 1. Chứng tỏ rằng số có dạng aaaaaa bao giờ cũng chia hết cho 7
Hướng dẫn giải
aaaaaa
= a.111111 = a. 7.15873 chia hết cho 7
Thí dụ 2. Chứng tỏ rằng số có dạng abcabc bao giờ cũng chia hết cho 11, chia hết cho
7 và chia hết cho 13.
Hướng dẫn giải
Ta có : abcabc
= abc000 + abc = abc .(1000+1) = abc .1001 = abc .11.7.13 nên abcabc
chia hết cho 11, chia hết cho 7 và chia hết cho 13.
Thí dụ 3.
Chứng minh rằng, nếu lấy một số có 2 chữ số cộng với số gồm 2 chữ số ấy
viết theo thứ tự ngợc lại, ta luôn đợc một số chia hết cho 11
Hướng dẫn giải
Gọi 2 số đó là ab và ba . Ta có :
ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11( a + b) chia hết cho 11
2. Phơng pháp 2 : Dùng các tính chất của phép chia hết.
2.1. Dùng tính chất chia hết của một tổng, một hiệu
* Để chứng minh a chia hết cho b ( b ≠ 0) ta có thể làm nh sau:
-
Viết a = m + n mà m b và n b
-
Viết a = m - n mà m b và n b
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
43
Website:tailieumontoan.com
* Để chứng minh a không chia hết cho b ta viết a dới dạng tổng của các số mà chỉ có một
số hạng của tổng không chia hết cho b, còn các số hạng khác đều chia hết cho b.
Thí dụ 1. Chứng tỏ rằng :
a) Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3
b) Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4.
Hướng dẫn giải
a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n +1 , n + 2.
Tổng của 3 số đó là : n + ( n +1) + (n+ 2) = 3n +3 = 3( n + 1) 3
b) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là : n , n+1, n+2, n+3. Tổng của 4 số đó là : n + ( n+1) + (n+2)
+ (n+3) = 4n + 6 = 4n + 4 + 2 = 4(n+1) + 2 không chia hết cho 4
Vậy tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.
Chú ý: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp chưa chắc đã chia hết cho n.
2.2 Dùng tính chất chia hết của 1 tích.
Để chứng minh a chia hết cho b (b ≠ 0) ta có thể chứng minh bằng một trong các
cách sau:
+ Ta chứng minh (a.m) chia hết cho b; (m, b) = 1 ⇒ a chia hết cho b
+ Biểu diễn b = m.n với (m,n)= 1, sau đó chứng minh a chia hết cho m, a chia hết cho n
+ Biểu diễn a= a1 . a2,, b = b1.b2, rồi chứng minh a1 chia hết cho b1; a2 chia hết cho b2
Thí dụ 1. chứng minh (1980a + 1995b) chia hết cho 15 với ∀ a, b là số tự nhiên.
Hướng dẫn giải
Vì 1980 chia hết cho 3 nên 1980.a chia hết cho 3 với ∀ a.
Vì 1995 chia hết cho 3 nên 1995.b chia hết cho 3 với ∀ b
Nên (1980a + 1995b) chia hết cho 3.
Chứng minh tơng tự ta có: (1980a + 1995b) chia hết cho 5 với ∀ a, b mà (3,5) = 1.
⇒ (1980 a + 1995b) chia hết cho 15
Thí dụ 2. Chứng minh rằng tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.
Hướng dẫn giải
Gọi 2 số chẵn liên tiếp là 2n, 2n +2 ( n ∈ N)
Tích của 2 số chẵn liên tiếp là 2n.(2n +2) = 4.n.(n+1)
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
44
Website:tailieumontoan.com
Vì n và n + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên n.(n+ 1) chia hết cho 2
Mà 4 chia hết cho 4 nên 4.n.(n+1) chia hết cho (4.2)
⇒ 4.n.(n+1) chia hết cho 8
⇒ 2n.(2n + 2) chia hết cho 8
Nhận xét : Nh vậy khi gặp những bài toán chứng minh một tổng, một hiệu hoặc một tích chia hết
cho một số mà các tổng, hiệu, tích đó có thể phân tích đợc thành tích các thừa số, ta thờng sử dụng
các tính chất của phép chia hết.
3. Phơng pháp 3: Dùng định lí về chia có d
Để chứng minh n chia hết cho p ta xét mọi trờng hợp về số d khi chia n cho p:
Ta viết n = p.k + r, trong đó r = 0, 1, ..., p-1; k ∈ N. Rồi xét tất cả các trờng hợp của r.
Thí dụ 1. Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n + 3).(n +6) chia hết cho 2.
Hướng dẫn giải
Với mọi n ta có thể viết hoặc n = 2k + 1 hoặc n= 2k
- Với n= 2k +1 ta có:
(n+3).(n+6) = (2k+1 +3).(2k+1+6) = (2k+4).(2k+7) = 2.(k+2).(2k+7) chia hết cho 2.
- Với n= 2k ta có :
( n+3)(n+6) = (2k+3)(2k+6) = (2k+3)(k+3).2 chia hết cho 2.
Vậy với mọi n ∈ N thì (n+3)(n+6) chia hết cho 2.
Thí dụ 2. Chứng minh rằng:
a) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 4.
Hướng dẫn giải
a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2
Tích của số tự nhiên liên tiếp là : n.(n+1).(n+2)
Mọi số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số d 0;1;2
- Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3 ⇒ n.(n + 1).(n+ 2) chia hết cho 3
- Nết r = 1 thì n = 3 k + 1 (k là số tự nhiên)
⇒ n+2 = 3k +1 + 2 = (3 k +3) chia hết cho 3
⇒n. (n+1).(n+2) chia hết cho 3
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
45
Website:tailieumontoan.com
- Nếu r = 2 thì n = 3k+ 2 (k là số tự nhiên)
⇒ n+1 = 3k +2 +1 = 3k +3 chia hết cho 3
⇒n.(n+1) . (n+2) chia hết cho 3
Tóm lại, n.(n+1).(n+2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên.
b) Chứng minh tơng tự ta có: n.(n+1).( n+2).( n+3) chia hết cho 4 với mọi n là số tự nhiên.
Sau khi giải bài tập tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạng tổng quát.
Nhận xét: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n.
Giáo viên nhận xét: Phương pháp này thường được sử dụng khi chứng minh một biểu thức có
chứa biến chia hết cho các số tự nhiên có một chữ số. Khi chứng minh một biểu thức chia hết cho
các số tự nhiên lớn hơn 10 ta không sử dụng phương pháp này vì phải xét nhiều trường hợp.
4. Phương pháp 4: Dùng các dấu hiệu chia hết có liên quan đến chữ số tận cùng.
Thí dụ 1. Chứng minh rằng (9999931999 – 5555571997) chia hết cho 10.
Hướng dẫn giải
Ta có : 9999931999 = [ (9999934)499. 9999933] = ...1 . ...7 = ...7
5555571997= (5555574)499.555557 =
...1 . ...7
= ...7
9999931999 – 5555571997 = ...0 chia hết cho 10 ( đpcm)
Thí dụ 2. Chứng minh rằng : 1028 + 8 chia hết cho 72
Hướng dẫn giải
Ta có 1028 + 8 = ( 100...0
+ 8) = 100. . .08 có tổng các chữ số bằng 9 nên chia hết cho 9.
28 chữ số 0
27 chữ số 0
1028 + 8 = = 100. . .08 có tận cùng bằng 008 nên chia hết cho 8.
27 chữ số 0
Vì ( 8,9) =1 nên 1028+ 8 (8.9) hay 1028+ 8 72.
* Nhận xét: Phơng pháp này thờng sử dụng để chứng minh các bài toán mà số chia là các số tròn
chục ( 10, 100, ...) hay các số chia mà dấu hiệu chia hết có liên quan đến chữ số tận cùng ( ví dụ : 5,
4, 8, 25, 125), hoặc số chia có thể phân tích thành tích các số có dạng nh trên.
5. Phơng pháp 5: Sử dụng nguyên tắc Đirichlet.
Nội dung của nguyên tắc Đirichlet: “Nếu có n+1 con thỏ, xếp vào n chuồng, thì ít nhất 1
chuồng chứa từ 2 con thỏ trở lên”.
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
46
Website:tailieumontoan.com
Thí dụ 1.
Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiên bất kì luôn tìm đợc 2 số có hiệu chia
hết cho 5.
Hướng dẫn giải
Một số khi chia cho 5 có thể nhận một trong các số d là : 0; 1; 2; 3; 4.
Trong 6 số tự nhiên bất kì khi chia cho 5 luôn tồn tại ít nhất 2 số có cùng số d ( nguyên tắc
Đirichlet).
Hiệu của 2 số chia hết cho 5.
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. a) Tìm tất cả các số x,y để số 34 x5 y chia hết cho 36.
b) Tìm các chữ số x, y để 21xy chia hết cho 3, 4 ,5 .
Bài 2. Cho các chữ số 0, a, b. Hãy viết tất cả các số có 3 chữ số tạo bởi 3 số trên. Chứng
minh rằng tổng tất cả các số đó chia hết 211
Bài 3. a) Cho A = 2 +22 +23 + ... +260.
Chứng minh rằng : A3; A7; A 15
b) Cho B = 3 + 33 + 35 + ...+ 31991. Chứng minh rằng : B chia hết cho 13 và B chia hết cho 41.
Bài 4. Cho a - b chia hết cho 6. Chứng minh các biểu thức sau chia hết cho 6.
a) a +5b ;
b) a + 17b ;
c) a - 13b.
Bài 5. Chứng minh rằng: (92n + 199493) chia hết cho 5
Bài 6. Tìm số tự nhiên n để (3n+10) chia hết cho (n+2)
Bài 7. Tìm số tự nhiên n để
n + 15
là số tự nhiên.
n+3
Bài 8. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ( 3n +1, 4n + 1) = 1
Bài 9. Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị điểm dới 2, chỉ có 2 học sinh được
điểm 10. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm đợc 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau.
Bài 10. Chứng minh rằng nếu abc 37 thì cab 37 và bca 37
Bài 11. Chứng minh rằng nếu ( 6x + 11y ) chia hết cho 31 thì ( x + 7y) chia hết cho 31 với
mọi số tự nhiên x, y.
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
47
Website:tailieumontoan.com
Bài 12: Một số khi chia cho 6 d 4, khi chia cho 7 d 6, chia cho 11 d 3. Tìm d cho phép chia
số đó cho 642.
Bài 13:
a) Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để đợc số chia hết cho các số 5, 7 ,9 ?
b) Phải viết thêm vào bên phải số 523 ba chữ số nào để đợc số chia hết cho các số 6, 7, 8, 9?
Bài 14: Một bạn viết các số từ 1 đến abc . Bạn đó phải viết tất cả m chữ số. Biết rằng m
chia hết cho abc , tìm abc .
Bài 15: Chứng minh rằng: 2n + 11 ... 1 chia hết cho 3.
n chữ số
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1.
Vì (4;9) = 1 nên 34 x5 y chia hết cho 36 ⇔ 34 x5 y chia hết cho 9 và 34 x5 y chia hết cho 4.
Ta có: 34 x5 y chia hết cho 4 ⇔ 5y chia hết cho 4 ⇔ y∈{ 2;6}.
34 x5 y
chia hết cho 9 ⇔ ( 3+4+x+5+y) chia hết cho 9
⇔ (12+x+y) chia hết cho 9
Vì x,y là các chữ số nên x+y ∈ { 6;15}.
Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 >9 (loại)
Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9
Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056;34956
b) Ta có : 21xy 5 y ∈ {0;5}.
Nếu y = 5 thì 21xy không chia hết cho 4
Nếu y = 0 thì 21xy chia hết cho 4 x0 4 ⇒ x ∈ {0; 2; 4 ; 6 ; 8}. (1)
21x0 3 (2 + 1 + x + 0) 3 (3+ x) 3 ⇒ x ∈ {0; 3; 6; 9}.
( 2)
Kết hợp (1) và ( 2) ⇒ x ∈ {0; 6}.
Vậy các số cần tìm là: 2100 ; 2160
Bài 2.
Tất cả các số có 3 chữ số tạo bởi 3 chữ số 0, a, b là: a 0b; ab0; ba 0; b0a
Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038
TÀI LIỆU TOÁN HỌC