15 đề học sinh giỏi toán 7

Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 1 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 MỤC LỤC ĐỀ SỐ 1. HUYỆN ĐỨC PHỔ - NĂM 15 – 16 ................................................................... 2 ĐỀ SỐ 2. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ........................................................................................ 8 ĐỀ SỐ 3. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ...................................................................................... 13 ĐỀ SỐ 4. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ...................................................................................... 17 ĐỀ SỐ 5. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ...................................................................................... 21 ĐỀ SỐ 6. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ...................................................................................... 25 ĐỀ SỐ 7. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ...................................................................................... 30 ĐỀ SỐ 8. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ...................................................................................... 33 ĐỀ SỐ 9. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ...................................................................................... 37 ĐỀ SỐ 10. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN .................................................................................... 44 ĐỀ SỐ 11. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN .................................................................................... 50 ĐỀ SỐ 12. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN .................................................................................... 55 ĐỀ SỐ 13. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN .................................................................................... 59 ĐỀ SỐ 14. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN .................................................................................... 64 ĐỀ SỐ 15. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN .................................................................................... 69 1 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 2 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 ĐỀ SỐ 1. HUYỆN ĐỨC PHỔ - NĂM 15 – 16 Câu 1: (5 điểm) a) Tính giá trị biểu thức P  a  1 1 1 a , với a  . 2014 2016 2015 b) Tìm số nguyên x để tích hai phân số 6 x 1 và là một số nguyên. x 1 3 Câu 2: (5 điểm) a) Cho a  2; b  2 . Chứng minh ab  a  b b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích của hình thứ nhất và diện tích của hình thứ hai tỉ lệ với 4 và 5, diện tích hình thứ hai và diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 7 và 8, hình thứ nhất và hình thứ hai có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là 27 cm, hình thứ hai và hình thứ ba có cùng chiều rộng, chiều dài của hình thứ ba là 24 cm. Tính diện tích của mỗi hình chữ nhật đó. Câu 3: (3 điểm) Cho ∆DEF vuông tại D và DF  DE , kẻ DH vuông góc với EF (H thuộc cạnh EF). Gọi M là trung điểm của EF.  E  F  a) Chứng minh MDH b) Chứng minh EF  DE  DF  DH Câu 4: (2 điểm) Cho các số 0  a1  a2  a 3  ....  a15 . Chứng minh rằng a1  a2  a 3  ...  a15 a5  a10  a15 5 Câu 5: (5 điểm)  và ACB  cắt nhau tại I (E, F lần   120 . Các tia phân giác BE, CF của ABC Cho ∆ABC có A   CIN   300 . lượt thuộc các cạnh AC, AB). Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho BIM . a) Tính số đo của MIN b) Chứng minh CE + BF < BC ------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 2 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 3 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1 NỘI DUNG ĐÁP ÁN a) Tính giá trị biểu thức P  a  Thay a  1 1 1 a , với a  . 2014 2016 2015 1 1 1 1 1    vào biểu thức P  2015 2014 2015 2016 2015 Ta có P  2.5 đ 1 1  2014 2016 P 2016  2014 2  2014.2016 2014.2016 Đặt A  0.5 0.5 0.5 1 1  1007.2016 2030112 b) Tìm số nguyên x để tích hai phân số 2.5 đ 0.25 1 1 1 1    2014 2015 2015 2016 P P  Điểm 0.75 x 1 6 và là một số nguyên. x 1 3 6 x 1  x 1 3  2 x 1  x 1 1  2(x  1) x 1  2x  2 x 1  2(x  1)  4 4  2 x 1 x 1 0.25 0.25 0.25 0.25 Để A nhận giá trị nguyên thì x  1 là Ư(4) = 1; 2; 4 Suy ra x  0; 2;1; 3; 3; 5 3 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 0.5 Toán Họa tổng hợp Trang 4 [Document title] 2 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 2. a) Cho a  2; b  2 . Chứng minh ab  a  b 0.5 1 1 Từ a  2   a 2 b2 2đ Suy ra 1 1  b 2 0.5 1 1 a b  1 1 a b ab 0.5 0.5 Vậy ab  a  b b) Gọi diện tích ba hình chữ nhật lần lượt là S1, S 2 , S 3 , chiều dài, chiều rộng 3đ 0.5 tương ứng là d1, r1; d2 , r2 ; d3 , r3 theo đề bài ta có: S1 S2  4 S2 7 ;  và d1  d2 ; r1  r2  27; r2  r3 , d3  24 5 S3 8 0.5 0.25 Vì hình thứ nhất và hình thứ hai cùng chiều dài S1 S2  r r r  r2 4 r1 27   1  2  1  3 5 r2 4 5 9 9 0.25 0.25 Suy ra chiều rộng r1  12cm, r2  15cm Vì hình thứ hai và hình thứ ba cùng chiều rộng S2 S3  7d 7 d2 7.24   d2  3   21cm 8 d3 8 8 Vậy diện tích hình thứ hai S 2  d2r2  21.15  315 cm 2 Diện tích hình thứ nhất S1  Diện tích hình thứ ba S 3  4 4 4 S 2  .315  252 cm 2 5 5 8 8 S 2  .315  360 cm 2 7 7 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 5 [Document title] 3đ ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 F K I M H D E 0.5  E  F  a) Chứng minh MDH Vì M là trung điểm của EF suy ra MD  ME  MF   MDE   MDE cân tại M  E  F  cùng phụ với E  Mà HDE 0.25 0.25   MDE   HDE  Ta có MDH 0.25  E  F  Vậy MDH 0.25 b) Chứng minh EF  DE  DF  DH Trên cạnh EF lấy K sao cho EK  ED , trên cạnh DF lấy I sao cho DI  DH Ta có EF  DE  EF  EK  KF 0.25 DF  DH  DF  DI  IF Ta cần chứng minh KF  IF 0.25   EKD  - EK  ED  DEK cân  EDK   KDI   EKD   HDK   900 - EDK   HDK   KDI 5 0.25 0.25 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 6 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 - DHK  DIK (c-g-c) 4   DHK   900  KID 0.25 Trong ∆KIF vuông tại I  KF  FI điều phải chứng minh 0.25 Ta có a1  a2  a 3  a 4  a 5  5a5 (2đ) a6  a 7  a 8  a 9  a10  5a10 0.5 a11  a12  a13  a14  a15  5a15 0.5 0.5 Suy ra a1  a2  ........  a15  5(a5  a10  a15 ) Vậy a1  a2  a 3  ...  a15 a5  a10  a15 5 5 0.5 A (5đ) 120° F E I B M N C 0.5 - Vẽ hình đúng, đủ, chính xác. 0.5 . a) Tính số đo của MIN 0.5    Ta có ABC  ACB  180  A  60   0.5 1 1 B  C  300 2 2   1500 BIC   CIN   300  MIN   900 Mà BIM 0.5 0.25 0.25 b) Chứng minh CE  BF  BC   1500  FIB   EIC   300 - BIC 6 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 7 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Suy ra BFI  BMI (g-c-g)  BF  BM 0.5 - CNI  CEI ( g-c-g)  CN  CE 0.5 Do đó CE  BF  BM  CN  BM  MN  NC  BC 0.5 Vậy CE  BF  BC 0.25 0.25 - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. 7 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 8 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 ĐỀ SỐ 2. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Câu 1. 3 3  11 12  1, 5  1  0, 75 a. Thực hiện phép tính: 5 5 5 0,265  0, 5   2, 5   1,25 11 12 3 0, 375  0, 3  b. So sánh: 50  26  1 và 168 . Câu 2. a. Tìm x biết: x  2  3  2x  2x  1 b. Tìm x ; y  Z biết: xy  2x  y  5 c. Tìm x; y; z biết: 2x  3y ; 4y  5z và 4x  3y  5z  7 Câu 3. a. Tìm đa thức bậc hai biết f x   f x  1  x . Từ đó áp dụng tính tổng S  1  2  3  ....  n . b. Cho 2bz  3cy 3cx  az ay  2bx x y z   Chứng minh:   . a 2b 3c a 2b 3c Câu 4.  Cho tam giác ABC ( BAC  90o ), đường cao AH. Gọi E; F lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB; AC, đường thẳng EF cắt AB; AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: a. AE  AF ; ; b. HA là phân giác của MHN c. CM //EH ; BN //FH . ------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 8 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 9 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Ý a. 0,5 điểm Nội dung 3 3 3 3 3 3 3      A = 8 10 11 12  2 3 4 53 5 5 5 5 5 5       100 10 11 12 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 3      3      8 10 11 12   2 3 4  A   1 1 1 1 53 1 1  5     5      10 11 12   2 3 4  100 0.25 165  132  120  110   3   3  1320    66  60  55  5 53    5   100 660 Câu 1 1,5 điểm 3.  263 1320 53 49  5. 100 660  3 5 263 3. 3 3945 3 1881 1320      1749  1225 5 5948 5 29740 3300 b. 1 điểm Ta có: Vậy: a. 1 điểm 50  49  7 ; 50  26  1  7  5  1  13  169  168 3  x  2 ta có: 2  x  2x  3  2x  1  x  2 (loại) 2 Câu 2 Nếu x  4 điểm 3 4 ta có: 2  x  3  2x  2x  1  x  2 5 Vậy: x  6 ; x  b. 1.5 26  25  5 Nếu x  2 ta có: x  2  2x  3  2x  1  x  6 Nếu 9 Điểm 4 5 Ta có: xy  2x  y  5  x (y  2)  (y  2)  3 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 0.25 0.5 0,5 0.25 0.25 0.25 0.25 0. 5 Toán Họa tổng hợp Trang 10 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7  (y  2)(x  1)  3.1  1.3  (1).(3)  (3).(1) điểm c. 1.5 điểm y 2 3 1 1 3 x 1 1 3 3 1 x 2 4 2 0 y 1 1 3 5 0.5 Từ: 2x  3y; 4y  5z  8x  12y  15z  0. 5 x y z 4x 3y 5z 4x  3y  5z 7         12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7   8 12 15 2 4 3 2 4 3 12 0.5  x  12  a. 0.5 điểm 0. 5 1 3 1 1 4  ; y  12.  1 ; z  12   8 2 12 15 5 0. 5 Đa thức bậc hai cần tìm có dạng: f x   ax 2  bx  c (a  0) Ta có : f x  1  a x  1  b x  1  c . 2   1  a    2 a  1   2 f x   f x  1  2ax  a  b  x      b  a  0 1    b   2   Vậy đa thức cần tìm là: f x   Câu 3 1.5 điểm 0.25 1 2 1 x  x  c ( c là hằng số tùy ý). 2 2 Áp dụng: + Với x  1 ta có : 1  f 1  f 0. + Với x  2 ta có : 1  f 2  f 1. 0.25 …………………………………. + Với x  n ta có : n  f n   f n  1.  S  1  2  3    n  f n   f 0  b. 1 điểm 10 n n  1 n2 n  c c  2 2 2 2bz  3cy 3cx  az ay  2bx    a 2b 3c Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 11 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 2abz  3acy 6bcx  2abz 3acy  6bcx   2 2 a 4b 9c 2 2abz  3acy  6bcx  2abz  3acy  6bcx  0 a 2  4b 2  9c 2  2bz  3cy  0   3cx  az  0  Câu 4 3 điểm z y  (1) 3c 2b 0.25 0.25 x z x y z  (2); Từ (1) và (2) suy ra:   a 3c a 2b 3c 0.25 Hình vẽ 0. 5 đ a. 1 điểm b. 1 điểm c. 1 điểm Vì AB là trung trực của EH nên ta có: AE  AH (1) 0.25 Vì AC là trung trực của HF nên ta có: AH  AF (2) 0.25 Từ (1) và (2) suy ra: AE  AF 0. 5   MB là phân giác ngoài Vì M  AB nên MB là phân giác EMH góc M của tam giác MNH 0.25   NC là phân giác ngoài góc Vì N  AC nên NC là phân giác FNH N của tam giác MNH 0.25 Do MB; NC cắt nhau tại A nên HA là phân giác trong góc H của tam . giác MNH hay HA là phân giác của MHN 0.5   HB là phân giác Ta có AH  BC (gt) mà HM là phân giác MHN ngoài góc H của tam giác HMN MB là phân giác ngoài góc M của tam giác HMN (cmt)  NB là 11 0.5 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 0.25 Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 12 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 phân giác trong góc N của tam giác HMN  BN  AC ( Hai đường phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau).  BN // HF ( cùng vuông góc với AC) 0.25 0.25 Chứng minh tương tự ta có: EH //CM - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. 12 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 13 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 ĐỀ SỐ 3. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Bài 1 ( 2,0 điểm). Tính hợp lý các biểu thức sau: 1 5 1 5 a) 27   13  4 8 4 8 b) 2 c) 1 3 4   2 4 9 22.10  23.6 22.15  24 Bài 2 ( 2,5 điểm). Tìm x biết: a) 3(x  2)  b) x  2 4 5 1 5  7 3 c) (2x  1)7  (2x  1)5 Bài 3 (1,5 điểm): Ba đội cùng chuyển một khối lượng gạch như nhau. Thời gian để đội thứ nhất, đội thứ hai và đội thứ ba làm xong công việc lần lượt là 2 giờ, 3 giờ, 4 giờ. Tính số người tham gia làm việc của mỗi đội, biết rằng số người của đội thứ ba ít hơn số người của đội thứ hai là 5 người. Bài 4 (3,5điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A với AB 3  và BC  15 cm . Tia phân giác góc C cắt AC 4 AB tại D. Kẻ DE  BC (E  BC) a) Chứng minh AC  CE . b) Tính độ dài AB; AC. . c) Trên tia AB lấy điểm F sao cho AF  AC . Kẻ tia Fx  FA cắt tia DE tại M. Tính DCM Bài 5 (0,5điểm): Tìm giá trị lớn nhất của biêu thức: A = x  x  2 ------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 13 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 14 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1 2,0đ Nội dung 1 5 1 5 5 1 1 5 35 a ) 27   13   (27  13 )  14.  4 8 4 8 8 4 4 8 4 b )2 c) 1 1 3 4 1 2 1 2 7   2     2 4 9 4 3 2 3 6 22.10  23.6 23.5  23.6 23 (5  6) 2.11    2 2 4 2 4 2 2 11 2 .15  2 2 .15  2 2 (15  2 ) a) 3(x  2)  2,5đ x 2  0,75 0,75 0,5 2 4 5 3(x  2)  4  3(x  2)  Điểm 2 5 0,25 18 5 0,25 6 5 0,25 x 16 5 x 1 5  7 3 x 1  12 3 0,25 x 1 1  12 hoặc x   12 3 3 0,25 x  0,25 35 37 hoặc x   3 3 0,5 (2x  1)7  (2x  1)5   (2x  1)5 (2x  1)2  1  0 14 0,25 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] 2x  1  0   2x  1  1    2x  1  1   3 1,5đ Trang 15 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7  x  1  2   x  1   x  0  Gọi số người tham gia làm việc của đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba lần lượt là x; y; z (giờ). 0,25 0,25 ĐK: x ; y; z  0 Cùng một khối lượng công việc, số người tham gia và thời gian làm việc tỷ lệ lệ nghịch. Theo bài ra ta có: 2x  3y  4z và y – z  5 y z y z 5     60 1 1 1 1 1  3 4 3 4 12 y  20, z  15, x  30 (thoả mãn điều kiện bài toán) 4 0,5 0,25 0,25 Vậy số người tham gia làm việc của đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba lần lượt là 30 người, 20người, 15 người 0,25 Vẽ hình, ghi GT, KL đúng : 0,5đ 3,5đ a) Chứng minh được ACD  ECD ( cạnh huyền- góc nhọn)  AC  CE (hai cạnh tương ứng) 15 1 0,5 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 16 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 b) AB 3 AB AC  (gt )   AC 4 3 4  AB 2 AC 2 AB 2  AC 2 BC 2 152     9 9 16 9  16 25 25 0,25 0,5 AB 2  9.9  81  AB  9cm AC 2  9.16  144  AC  12cm 0,25 c) Kẻ Cy  Fx cắt nhau tại K   900 Ta thấy AC  AF  FK  CK  CE và ACK 0,25 Chứng minh được CEM  CKM ( cạnh huyền- cạnh góc vuông)   KCM  (hai góc tương ứng)  ECM 0,25   DCE   ECM   1 ACK   1  90  45 Mà DCM 2 2 5 Xét các trường hợp: 0,5đ + TH1 : x  2  A  x  (x  2)  2 +TH2 : 0  x  2  A  x  x  2  2x  2  2 0,25 + TH3 : x  0  A  x  x  2  2  2  Với mọi giá trị của x thì A  2 Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 2 khi x  2 0,25 - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. 16 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 17 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 ĐỀ SỐ 4. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Câu 1(5 điểm): a) Cho biểu thức: P  x  4xy  y . Tính giá trị của P với x  1, 5; y  0, 75 b) Rút gọn biểu thức: A 212.35  46.81 2 .3 2 6  8 4.35 Câu 2 (4điểm): a) Tìm x, y, z, biết: 2x  3y; 4y  5z và x  y  z  11 b) Tìm x, biết: x  1  x  2  x  3  4x Câu 3(3 điểm). Cho hàm số: y  f x   4x 3  x a) Tính f 0, f 0, 5 b) Chứng minh: f a   f a . Câu 4: (1,0 điểm): Tìm cặp số nguyên x ; y  biết: x  y  x .y Câu 5: (6 điểm):Cho ABC có góc A  90 . Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là ABM và ACN a) Chứng minh rằng: AMC  ABN b) Chứng minh: BN  CM; c) Kẻ AH  BC (H  BC) . Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN. Câu 6 : (1 điểm):Cho ba số a, b, c thõa mãn: 0  a  b  1  c  2 và a  b  c  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của c . ------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 17 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 18 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm a) Ta có: x  1, 5  x  1, 5 hoặc x  1, 5 +) Với x  1, 5 và y  0, 75 thì Câu 1 P  1, 5  4.1, 5 0, 75  0, 75  1, 5 1  3  6  0, 75  5,25 (5điểm) +) Với x  1, 5 và y  0, 75 thì 1,5 1,5 P  1, 5  4 1, 5. 0, 75  0, 75  1, 5 1  3  0, 75  6, 75 212.35  212.34 212.34 (3  1) 1  12 5  b) A  = 12 6 6 2 .3  212.35 2 .3 (3  1) 3 22.3  8 4.35 212.35  46.81   a) 2x  3y; 4y  5z   x y y z x y y z  ;    ;  3 2 5 4 15 10 10 8 2 1 x y z x y z 11 1      15 10 8 15  10  8 33 3  x  5; y  Câu 2 10 8 ;z  3 3 1 (4 điểm) b) x  1  x  2  x  3  4x (1) Vì VT  0  4x  0 hay x  0 , do đó: 1 x  1  x  1; x  2  x  2; x  3  x  3 (1)  x  1  x  2  x  3  4x  x  6 a) f 0  0 Câu 3 (3điểm) 1  1 1 1 1 f (0, 5)  4        0  2  2 2 2 1 b) f a   4 a   a  4a 3  a 0,5 3 3 18 1 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 19 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 f (a )   4a 3  a   4a 3  a   0,5  f a   f a  Câu 4 x  y  x .y  xy  x  y  x (y  1)  y  x  (1 điểm) y y 1 vì x  z  y  y  1  y  1  1 y  1  1 y  1 , 0,5 do đó y  1  1  y  2 hoặc y  0 Nếu y  2 thì x  2 Nếu y  0 thì x  0 0,5 Vậy các cặp số nguyên (x;y) là: (0,0) và (2;2) Câu 5 (6 điểm) a) Xét AMC và ABN , có: AM  AB ( AMB vuông cân) 1,0 AC  AN ( ACN vuông cân) 0,5   NAC  MAC ) (  90  BAC 0,5 Suy ra AMC ABN (c - g - c) Hình vẽ 0,5 đ b) Gọi I là giao điểm của BN với AC, K là giao điểm của BN với MC. Xét KIC và AIN , có:   KCI  (AMC  ABN) ANI   KIC  (đối đỉnh) AIN   NAI   90 , do đó: MC  BN  IKC 19 1 1 0,5 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 20 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 c) Kẻ ME  AH tại E, NF  AH tại F. Gọi D là giao điểm của MN và AH.     90 ) - Ta có: BAH  MAE  90 (vì MAB     BAH  Lại có MAE  AME  90 , nên AME Xét MAE và ABH , vuông tại E và H, có:   BAH  (chứng minh trên) AME MA  AB Suy ra MAE  ABH (cạnh huyền-góc nhọn) 0,25  ME  AH - Chứng minh tương tự ta có AFN  CHA 0,25  FN  AH Xét MED và NFD , vuông tại E và F, có: ME  NF( AH)   FND  (phụ với MDE  và FDN  , mà MDE   FDN  ) EMD 0,25  MED  NFD  BD  ND Vậy AH đi qua trung điểm của MN. Câu 6 (1 điểm) 0,25 Vì: 0  a  b  1  c  2 nên 0  a b 1 c  2  c  2 c  2 c  2  0  4  3c  6 (vì a  b  c  1 ) Hay 3c  2  c   0,5 2 . 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của c là:  2 5 khi đó a  b  3 3 0,5 - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. 20 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 21 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 ĐỀ SỐ 5. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Bài 1: (4 điểm) Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương thì: 3n 2  2n 2  3n  2n chia hết cho 10. Bài 2: (3điểm) Cho 2 đa thức : P x   1  x  x 2  x 3  x 4  ...  x 2009  x 2010 và 1 1 Q x   1  x  x 2  x 3  x 4  ...  x 2009  x 2010 . Giá trị của biểu thức P    Q   có dạng  2   2  biểu diễn hữu tỉ là a ; a,b   ; a,b là 2 số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh a  5 b Bài 3: (3 điểm) Cho dãy tỉ số bằng nhau: 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d Hãy tìm giá trị của biểu thức: M  a b b c c d d a    c d d a a b b c Bài 4: (4điểm) Cho M  a b c   với a, b, c > 0. a b b c c a a) Chứng minh M  1. b) Chứng tỏ rằng M không phải là số nguyên. Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE  BD . Gọi I là trung điểm của DE. chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng. Bài 6: (2,5 điểm)   100 , tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Chứng minh: Cho ABC cân tại A, có A AD  BD  BC . ------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 21 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 22 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Đáp án  Điểm   1(4điểm) 3n 2  2n 2  3n  2n  3n 2  3n  2n 2  2n  1,0đ  10.3n  5.2n 1,5đ Vì n nguyên dương nên 2n  2  5.2n 10 và 10.3n 10 1,0đ Vậy: 3n 2  2n 2  3n  2n 10 0,5đ 3 5 2009 1 1 1 1 1 1 Đặt A  P    Q    2           ...     2   2   2   2   2   2  3 2007 1 1 1 suy ra 4A  10        ...     2   2   2  (2) 8 2009 2 (3điểm) ( 1) 1 Từ ( 1) và ( 2) suy ra 3A  8     2  A 1 2009 2 3  22012  1 a  b 3.22009 ( 2 điểm) 3,0đ Ta thấy: 22012  1  41006  1 3 ; 22012 – 1 và 22009 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên 22012 – 1  3a. 3a  22012  1  16503  1 . Vì 16503 có chữ số tận cùng là 6 nên 3a có chữ số tận cùng là 5 suy ra số này chia hết cho 5. 3,5 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên a  5 . Từ 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d 2a  b  c  d a  2b  c  d 1   1= a b a  b  2c  d a  b  c  2d 1  1 c d 3 (3điểm) => => a b c d a b c d a b c d a b c d    a b c d Nếu a  b  c  d  0 thì a  b  c  d , khi đó: M  1  1  1  1  4 22 1,0đ 0,5đ 0,5đ Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 23 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Nếu a  b  c  d  0 thì a  b   c  d ; b  c   d  a ; c  d   a  b ; d  a   b  c . 1,0đ Khi đó: M  1  1 1  1  4. a) Vì a, b, c  0 nên: => M  a a b b c c  ;  ;  a b a b c b c a b c c a a b c a b c a b c    1 a b b c c a a b c 1,0đ 1,0đ 4 (4điểm) Vậy: M  1 (1)  a b c   b c a   +       b) Mà:  a  b b  c c  a  a  b b  c a  c   a b   b c   c a         = 3    =  a  b a  b  b  c b  c  c  a c  a  1,0đ  b c a   > 1 (tương tự câu a)   Vì  a  b b  c a  c   a b c    2 .   Suy ra: M =  a  b b  c c  a  0,5đ (2) Từ (1) và (2) suy ra: 1  M  2 nên M không phải là số nguyên. 0,5đ Học sinh vẽ hình đúng 5 (3,5 điểm) A D 0,5đ B F I C E 23 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 24 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Kẻ DF //AC (F thuộc BC)   ACB  (2 góc đồng vị) DFB   ACB  (tam giác ABC cân) Mà ABC 1,5đ   ABC   DBF cân tại D DFB DB  DF , mà DF  CE (gt)  DF  CE  IDF  IEC (c-g-c)   EIC  DIF 0,5đ 0,5đ Vậy: 3 điểm B, I, C thẳng hàng (vì 3 điểm D, I, E thẳng hàng) 0,5đ HS vẽ hình đúng A D 6 (2,5 điểm) B E F 0,5đ C Trên cạnh BC lấy 2 điểm E,F sao cho: BE  BA và BF  BD . 0,5đ HS chứng minh được: AD  DE HS chứng minh được: DFE cân tại D Suy ra: DE  DF 0,5đ HS chứng minh được: DFC cân tại F Suy ra: DF  FC . Suy ra: DE  FC 1,0đ Suy ra: AD  BD  BC . - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. 24 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 25 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 ĐỀ SỐ 6. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Bài 1 (4 điểm): a) So sánh hai số: – 5 39 và  – 2 91 b) Chứng minh rằng: Số A  11n 2  122n 1 chia hết cho 133 , với mọi n N Bài 2 (4 điểm): a) Tìm tất cả các cặp số x ; y  thỏa mãn: 2x  y  7  2012  x 3 2013 0 b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1  2  3  . . .  n  aaa Bài 3 (4 điểm): Ba lớp 7 ở trường K có tất cả 147 học sinh. Nếu đưa 1 số học sinh của lớp 3 1 1 số học sinh của lớp 7A2 và số học sinh của lớp 7A3 đi thi học sinh giỏi cấp huyện 4 5 thì số học sinh còn lại của ba lớp bằng nhau. Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K. 7A1 ,   3B   6C . Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC có A a) Tính số đo các góc của tam giác ABC. b) Kẻ AD vuông góc với BC (D thuộc BC). Chứng minh: AD  BD  CD. Bài 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM  AN  2AB. a) Chứng minh rằng: BM  CN b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN. c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của góc BAC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: KC  AC ------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 25 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 26 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Đáp án Điểm a) So sánh hai số:  – 5 và  – 2 39 91 2,0đ    12513 0,75đ    12813 0,75đ 13 Ta có: (5)39  539   53 13 (2)91  291   27 Ta thấy: 12513  12813  12513  12813  (5)39  (2)91 b) Chứng minh: Số A  11n2  122n1 chia hết cho 133, với mọi n   1 4 điểm   Ta có: A  11n 2  122n 1  112  11n  12  122 n  2,0đ  121.11n  12.144n  (133  12)  11n  12.144n  133.11n  12.11n  12.144n  133.11n  12. 144n  11n 0,5đ 1,0đ  Ta thấy: 133.11n 133 144 n     11n (144  11)  133  12. 144n  11n 133  0,5đ  Do đó suy ra: 133.11n  12. 144n  11n chia hết cho 133 0,5đ n 2 Vậy: số A  11 2n 1  12 chia hết cho 133, với mọi n   a) Tìm tất cả các cặp số (x; y): 2,0đ Ta có: 2012 là số tự nhiên chẵn  (2x  y  7)2012  0 và x  3  0  x  3 2013 0 0,5đ 2 Do đó, từ 2x  y  7   x  3 0 4 điểm 2012 2013 suy ra: 2x – y  7   0 và x  3 0 2012 2013  2x – y  7  0 (1) và x – 3  0 (2) Từ (2)  x  3 26 0,5đ 0,5đ 0,5đ Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 27 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Từ (1)  y  2x  7  2.3  7  13 Vậy cặp số x ; y  cần tìm là 3; 13 b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a Ta có: 1  2  3  . . .  n  n n  1 2 2,0đ và aaa  a.111  a.3.37 0,5đ Do đó, từ 1  2  3  . . .  n  aaa  n n  1  2.3.37.a  n n  1 chia hết cho số nguyên tố 37 0,5đ  n hoặc n  1 chia hết cho 37 (1) Mặt khác: n(n  1)  aaa  999  n(n  1)  1998  n  45 (2) 2 0,5đ Từ (1) và (2) suy ra hoặc n  37 , hoặc n  1  37 - Với n  37 thì aaa  37.38  703 (không thỏa mãn) 2 - Với n  1  37 thì aaa  36.37  666 (thỏa mãn) 2 0,5đ Vậy n  36 và a  6. Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K. 4,0đ Gọi tổng số học sinh của 7A1, 7A2 , 7A3 lần lượt là a, b, c (a,b,cN*) 3 1 1 1 Theo bài ra ta có : a  a  b  b  c  c (*) và a  b  c  147 3 4 5 2a 3b 4c 12a 12b 12c a b c Từ (*)          4 3 4 5 18 16 15 18 16 15 điểm Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có : a b c 147 a b c   3.   = 49 18 16 15 18  16  15 Suy ra : a  54, b  48, c  45 27 1,0đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 28 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Vậy tổng số học sinh của 7A1, 7A2, 7A3 lần lượt là 54, 48 và 45. a) Tính số đo các góc của ABC : 2,0đ ˆ Bˆ Cˆ A ˆ  Bˆ  Cˆ 180   3B   6C   A      20 Từ A 6 2 1 6 2 1 9 1,0đ ˆ  6.20  120  A Bˆ  2.20  40 Cˆ  1.20  20 1,0đ ˆ  120; Bˆ  40 ; Cˆ  20 Vậy: A b) Chứng minh AD < BD < CD. 4 2,0đ - Trong ACD có 4 điểm   90; C   20  A   70 A   50 ADC 2 1 1,0đ ˆ  50  AD  BD (1) - Xét  ADB có Bˆ  40  A 1 - Xét  ABC có Bˆ  400 Cˆ  200  AB  AC  AB 2  AC 2 (*) - Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giác vuông ADB và ADC có: AB2  AD2  BD2 và AC2  AD2  CD2 2 2 2 1,0đ 2 Do đó, từ (*)  AD  BD  AD  CD  BD2  CD2  BD  CD (2) Từ (1) và (2)  AD  BD  CD a) Chứng minh rằng: BM  CN 1,0đ Theo giả thiết, ta có: 2AB  AB  AB  AB  AM  BM 5 4 điểm AM  AN  AM  AC  CN ABC cân ở A  AB  AC Do đó, từ AM  AN  2AB  BM  CN 28 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 29 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN. 1,5đ Qua M kẻ ME // AC (E  BC)  ABC cân ở A  BME cân ở M  EM  BM  CN 0,75đ  MEI  NCI (g-c-g)  IM  IN 0,75đ Vậy: BC đi qua trung điểm của MN. c) Chứng minh rằng: KC  AN 1,5đ + K thuộc đường trung trực của MN  KM  KN (1)   ACK  (*) + ABK  ACK (c-g-c)  KB  KC (2); ABK 0,5đ + Kết quả câu c/m câu a) BM  CN (3)   NCK  (**) + Từ (1), (2) và (3)  BMK  CNK (c-c-c)  ABK 0,5đ   NCK   180  90  KC  AN + Từ (*) và (**) ACK 2 0,5đ - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. 29 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 30 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 ĐỀ SỐ 7. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Bài 1: (6 điểm) a) Tìm x, biết x  1  2 ; 3 b) Tính giá trị của biểu thức sau: A  2x 2  3x  1 2 với x  1  3x  2 3 Bài 2: (3 điểm) a) Tìm chữ số tận cùng của A biết A  3n 2 – 2n 2  3n – 2n biết n  * b) Tìm các giá trị nguyên của x để x 3 nhận giá trị nguyên. x 2 Bài 3: (4 điểm)   Cho đa thức f x  xác định với mọi x thỏa mãn: x .f x  2  x 2 – 9 .f x . a) Tính f 5. b) Chứng minh rằng f(x) có ít nhất 3 nghiệm. Bài 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ là đường thẳng AB dựng đoạn AE vuông góc với AB và AE  AB. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là đường thẳng AC dựng đoạn AF vuông góc với AC và AF  AC . Chứng minh rằng: a) FB  EC b) EF  2AM c) AM  EF . Bài 5: (1 điểm) Cho a, b, c, d là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A  x a  x b  x  c  x d ------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 30 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 31 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 HƯỚNG DẪN CHẤM Bài  x 2  a) Ta có x  1    3 x   1 (6đ) Hướng dẫn chấm  2 x  5 1  3   3 2 1  1   x  3 3  5 14 thay vào A ta được A  3 27 1 2 Với x  thay vào A ta được A  3 9 10.3n 10 và 5.2n 10 (do n  * hay n  1 )  A10 Chứng minh A chia hết cho 10 suy ra chữ số tận cùng của A là 0 b) Ta có: x  3 x 2  5 5  1  Z  x  2  U (5)  1; 5 x 2 x 2 x 2  x  1; 3; 3;7 a) Ta có với x  3  f 5  0 b) x  0  f 0  0  x  0 là một nghiệm 3 (4đ) 4.0đ b) Từ câu a) Với x  a) A  3n 2 – 2n 2  3n – 2n  9.3n  3n – 4.2n – 2n  9  1.3n – 4  1.2n  10.3n – 5.2n 2 (3đ) Điểm x  3  f 5  0  x  5 là một nghiệm 2.0đ 1.5đ 1.5đ 2.0đ 2.0đ x  3  f 1  0  x  1 là một nghiệm Vậy f(x) có ít nhất là 3 nghiệm. A E I F B C M 4 (6đ) K a) Chứng minh ABF  AEC (cgc)  FB  EC b) Trên tia đối của tia MA lấy K sao cho AK  2AM . Ta có ABM  KCM  CK //AB   CAB   EAF   CAB   1800  ACK   EAF   ACK EAF và KCA có AE  AB  CK ;   EAF  AF  AC (gt); ACK  EAF  KCA (cgc)  EF  AK  2AM .   AFE  c) Từ EAF  KCA  CAK   FAK   CAK   FAK   900  AFE  AK  EF 31 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 3.0đ 1.5đ 1.5đ Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 32 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Không mất tính tổng quát, giả sửa  b  c  d Áp dụng BĐT a  b  a  b , dấu bằng xảy ra  ab  0 ta có: 5 (1đ) x a  x d  x a  d  x  x a d  x  d a (1) x b  x c  x b  c  x  x b  c  x  c b (2) 1.0đ Suy ra A  c  d  a  b Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi dấu “=” ở (1) và (2) xảy ra  x – a d – x   0 và (x  b)(c  x )  0  a  x  d và b  x  c Do đó min A  c  d  a  b  b  x  c - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. 32 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 33 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 ĐỀ SỐ 8. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Bài 1: ( 2,0 điểm) a. Tìm x, y biết: b. Cho 4x 4  và x  y  22 7 y 7 2x  3y  4z x y y z  và  . Tính M  3x  4y  5z 3 4 5 6 Bài 2: ( 2,0 điểm) Thực hiện tính: a. S  22010  22009  22008...  2  1 b. P  1  1 1 1 1 1  2  1  2  3  1  2  3  4  ...  1  2  3  ...  16  2 3 4 16 Bài 3: ( 2,0 điểm) Tìm x biết: a. 1 2 3 4 5 30 31 . . . . ... .  2x 4 6 8 10 12 62 64 b. 4 5  4 5  4 5  4 5 6 5  6 5  6 5  65  6 5  6 5 .  2x 5 5 5 5 5 3 3 3 2 2 Bài 4: ( 4,0 điểm)    2C  . Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy Cho tam giác ABC có B  90 và B điểm E sao cho BE  BH . Đường thẳng HE cắt AC tại D.   ACB . a. Chứng minh BEH b. Chứng minh DH  DC  DA. c. Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB ' . Chứng minh AB 'C cân. d. Chứng minh AE  HC . ------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 33 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 34 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (2,0 điểm)  28  7x  28  4y 0,25  x y x y   4 7 47 0,25  x y 22    2  x  8; y  14 4 7 11 0,25 x y x y y z y z x y z    ;       3 4 15 20 5 6 20 24 15 20 24 (1) 0,25 (1)  2x 3y 4z 2x  3y  4z    30 60 96 30  60  96 0,25 (1)  3x 4y 5z 3x  4y  5z    45 80 120 45  80  120 0,25  2x  3y  4z 3x  4y  5z 2x 3x :  : 30  60  96 45  80  120 30 45 0,25  2x  3y  4z 245 2x  3y  4z 186 . 1M   186 3x  4y  5z 3x  4y  5z 245 0,25 Bài 2: ( 2,0 điểm) Thực hiện tính: 2S  22011  22010  22009...  22  2 0,25 2S  S  22011  22010  22010  22009  22009  ...  22  22  2  2  1 0,25 S  22011  2.22010  1 0,25 S  22011  22011  1  1 34 0,25 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 35 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 1 2.3 1 3.4 1 4.5 1 16.17 P  1 .  .   ...  2 2 3 2 4 2 16 2 0,25  2 3 4 5 17  .    ...  2 2 2 2 2 0,25  1 1  2  3  ...  17  1 2 0,25  1 17.18    1  76 2  2  0,25 Bài 3: ( 2,0 điểm) 1 2 3 4 5 30 31 . . . . ... .  2x 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.31 26 0,25 1.2.3.4...30.31  2x 1.2.3.4...30.31.230.26 0,25 1  2x 36 2 0,25 x  36 0,25 4.45 6.65 . 5  2x 5 3.3 2.2 0,25 46 66 . 6  2x 6 3 2 0,25 6  6     3  35 6 4 .    2x  2  0,25 212  2x  x  12 0,25 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 36 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Bài 4: ( 4,0 điểm) Hình vẽ: Câu a: 0,75 điểm   BEH cân tại B nên E  H 1 0,25  E  H   2E  ABC 1 0,25   2C   BEH   ACB  ABC 0,25 Câu b: 1,25 điểm Chứng tỏ được DHC cân tại D nên DC  DH .   90  C  DAH có: DAH 0,50   90  H   90  C  DHA 2 0,25  DAH cân tại D nên DA  DH . Câu c: 1,0 điểm '  B   2C  ABB ' cân tại A nên B '  A  C  nên 2C  A  C  B 1 1  A   C AB 'C cân tại B’ 1 A 1 D 2 B 1 0,25 H B' C E 0,25 Câu d: 1,0 điểm 0,25 AB  AB '  CB ' 0,25 0,50 BE  BH  B ' H 0,25 0,25 Có: AE  AB  BE HC  CB ' B ' H  AE  HC 0,50 - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. 36 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 37 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 ĐỀ SỐ 9. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN I. Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm) Câu 1: Giá trị của x trong biểu thức ( x  1)2  0,25 là: A. 9 1 ; . 4 4 1 9 B.  ;  . 4 4 9 1 C. ;  . 4 4 9 1 D.  ; . 4 4   50 , điểm A nằm trên Oy. Qua A vẽ tia Am . Để Am song song với Ox Câu 2: Cho xOy  là: thì số đo của OAm A. 50 . B. 130 . C. 50 và 130 D. 80 . Câu 3: Cho hàm số y  f x  xác định với mọi x  1 . Biết f n   n  1.f n – 1 và f 1  1 . Giá trị của f(4) là: A. 3. B. 5. C. 6. D. 1.   30 . Phân giác góc C cắt AB tại D. Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại B, AB  6 , A Khi đó độ dài đoạn thẳng BD và AD lần lượt là: A. 2; 4 . B. 3; 3. C. 4; 2. D. 1; 5. Câu 5: Cho a 2m   4 . Kết quả của 2a 6m  5 là: A. 123 . B. 133 . C. 123 D. 128 .  =F  . Tia phân giác của góc D cắt EF tại I . Ta có: Câu 6: Cho tam giác DEF có E A. DIE  DIF .   IDF  . B. DE  DF, IDE C. IE  IF ; DI  EF D Cả A, B,C đều đúng Câu 7: Biết a  b  9 . Kết quả của phép tính 0, a(b)  0, b(a ) là: A. 2. B. 1. C. 0,5. D. 1,5 . Câu 8: Cho a  b  6a.b  36 . Giá trị lớn nhất của x  a.b là: 2 A. 6 B.  6 C. 7. D. 5. Câu 9: Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM, CN. Biết AC  AB . Khi đó độ dài hai đoạn thẳng BM và CN là: A. BM  CN 37 B. BM  CN C. BM  CN D. BM  CN Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 38 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Câu 10: Điểm thuộc đồ thị hàm số y   2x là : A. M 1; 2 . B. N 1;2 . C. P 0 ; 2 . D. Q 1; 2 Câu 11: Biết rằng lãi suất hàng năm của tiền gửi tiết kiệm theo mức 5% năm là một hàm số theo số tiền gửi: i  0, 005p . Nếu tiền gửi là 175000 thì tiền lãi sẽ là: A. 8850 đ B. 8750 đ C. 7850 đ D.7750 đ   20 . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD  BC . Câu 12: Cho tam giác ABC cân tại A A Số đo của góc BDC là: A. 50 B. 70 C. 30 D. 80 II. Phần tự luận (14 điểm) Câu 1.(3 điểm)   a, Chứng tỏ rằng: M  75. 42017  42016  ...  42  4  1  25 chia hết cho 102 b, Cho tích a.b là số chính phương và a, b   1 . Chứng minh rằng a và b đều là số chính phương. Câu 2.(4 điểm) 2.1 Cho đa thức A  2x .(x  3)  x (x  7)  5(x  403) Tính giá trị của A khi x  4 . Tìm x để A  2015 2.2 Học sinh khối 7 của một trường gồm 3 lớp tham gia trồng cây. Lớp 7A trồng toàn bộ 32, 5% số cây. Biết số cây lớp 7B và 7C trồng được theo tỉ lệ 1,5 và 1,2. Hỏi số cây cả 3 lớp trồng được là bao nhiêu, biết số cây của lớp 7A trồng được ít hơn số cây của lớp 7B trồng được là 120 cây. Câu 3.(5 điểm) 1. Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ hai tia Ax và By lần lượt vuông góc với AB tại A và B. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên   90 . tia Ax lấy điểm C và trên tia By lấy điểm D sao choCOD a) Chứng minh rằng: AC  BD  CD. AB 2 b) Chứng minh rằng: AC .BD  4 2. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. Chứng minh rằng: 38 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 39 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 2 HA  HB  HC  (AB  AC  BC ) 3 Câu 4.(2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của A, biết : A  7x  5y  2z  3x  xy  yz  zx  2000 ------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 39 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 40 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 HƯỚNG DẪN CHẤM I. Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Đ. án A C C A B D B A C D B C II. Phần tự luận (14 điểm) Câu 1(4 điểm) Nội dung chính  Điểm  M  75. 42017  42016    42  4  1  25  0,25   25.(4  1) 42017  42016  42  4  1  25      25   4 42017  42016    42  4  1  42017  42016   42  4  1   25        25. 42018  42017    42  4  25 42017  42016    42  4  1  25  25.42018  25  25  25.42018  25.4.42017  100.42017 100 Vậy M 102 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b, Đặt a.b  c 2 (1) Gọi a, c   d nên a  d, c  d 0,25 Hay a  m.d và c  n.d với m, n   1 0,25 Thay vào (1) ta được m.d .b  n 2 .d 2 0,5  m  b  n 2 .d  b  n 2 vì a, b   1  b, d  Và n 2 b  b  n 2 0,5 Thay vào (1) ta có a  d 2  đpcm 2(4 điểm) 40 1. Ta có A  2x 2  6x  x 2  7x  5x  2015  x 2  4x  2015 a, Với x  4 ta được A  2015 1 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 41 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 x  0 b, A  2015  x 2  4x  0  x (x  4)  0   x  4 1 2. Gọi số cây ba lớp trồng lần lượt là a, b, c ( cây, a,b,c N*) Theo đề bài ta có b : c  1, 5 : 1, 2 và b – a  120 1 a  32, 5% a  b  c  Vậy cả 3 lớp trồng được số cây là 2400 cây 3(5 điểm) 1 x y C D A O B 0,25 E A, Vẽ tia CO cắt tia đối của tia By tại điểm E. Chứng minh AOC  BOE g  c  g   AC  BE ;CO  EO Chứng minh DOC  DOE c  g  c   CD  ED Mà ED  EB  BD  AC  BD . 0,25 0,25 0,25 0,25 Từ đó : CD  AC  BD (đpcm) b, Áp dụng định lí Pytago vào các tam giác vuông BOE và BOD ta có: 2 2 2   OE  OB  EB  OE 2  OD 2  2OB 2  EB 2  DB 2  2  OD  OB 2  DB 2    41 0,5 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 42 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Mà OE 2  OD 2  DE 2 ; Nên DE 2  2OB 2  EB 2  DB 2  2OB 2  EB. DE  BD   DB.(DE  BE ) 0,25  2OB 2  EB.DE  EB.BD  DB.DE  DB.BE  2OB 2  EB.DE  DB.DE   2BD.BE  2OB 2  DE . EB  DB   2BD.BE  2OB 2  DE 2  2BD.BE 0,25 Suy ra 2OB 2  2BD.BE  0  BD.BE  OB 2 Mà BE  AC ;OB  AB . 2 2  AB  AB 2   Vậy AC .BD   (đpcm) 4  2  2. Qua H kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại D, kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E 0,25 Ta có AHD  HAE (g –c-g) 0,25  AD  HE ; AE  HD (1) 0,25 HBE vuông nên HB  BE (2) 0,25 Tương tự ta có HC  DC (3) Từ 1,2,3 ta có HA  HB  HC  AB  AC (4) Tương tự HA  HB  HC  AB  BC (5) AHD có HA  HD  AD nên HA  AE  AD Từ đó HE  BH HA  HB  HC  BC  AC Từ đó suy ra HA  HB  HC  42 0,25 (6) 2 AB  AC  BC  đpcm 3 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 43 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 4 Ta có 7x  5y  0 ; 2z  3x  0 và xy  yz  zx  2000  0 (2 điểm) Nên A  7x  5y  2z  3x  xy  yz  zx  2000  0 1 Mà A = 0 khi và chỉ khi 7x  5y  2z  3x  xy  yz  zx  2000  0 Có: 7x  5y  0  7x  5y  2z  3x  0  x y  5 7 x z  2 3 xy  yz  zx  2000  0  xy  yz  zx  2000 x  20; y  28; z  30 Từ đó tìm được  x  20; y  28; z  30 1 A  0 , mà A  0  (x , y, z )  (20;28; 30) hoặc (x , y, z )  (20; 28; 30) Vậy min A  0  (x , y, z )  (20;28; 30) hoặc (x , y, z )  (20; 28; 30) - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. 43 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 44 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 ĐỀ SỐ 10. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm). 1 3 2 5 9 a) :     . ; 4  3 9  4 1   1    45  1  1  1    b)       ; 19  2  3  4      c) 5.415.99  4.320.8 9 . 5.210.619  7.229.27 6 Bài 2: (6 điểm) a) Tìm x, biết: 2 x  1 – 3 2x  2 – 4 2x  3  16 ; 1 21 b) Tìm x, biết: 3 : 2x  1  2 22 c) Tìm x, y, z biết: 2x  y 3y  2z  và x  z  2y. 5 15 Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức a c  . b d Chứng minh rằng : a  2c b  d   a  c b  2d . Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD  KA. a. Chứng minh: CD //AB. b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . Chứng minh rằng: ABH CDH c. Chứng minh: HMN cân. Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11. ------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 44 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 45 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm). Giải: a) b) 3 4 2 5 9 :     .  3 9  4 3 4 2 5 9 3 1 9 :      :   3 9  4 4 9 4 0,75đ = 3 9 9 36 .   9 4 1 4 4 0,75đ 1 1 45  1  1  1        19  2  3  4      1 1 1  1     45  1  1  1          19  2  3  4      =  45 1  19 1 1  2 1 4 3 45 26 19   1 19 19 19 1,0đ 1,0đ 5.415.99  4.320.89 c) 5.210.619  7.229.27 6 5.415.99  4.320.89 5.22.15.32.9  22.320.23.9 = 5.210.619  7.229.27 6 5.210.219.319  7.229.33.6  = 45  229.318 5.2  32 29 18 2 .3  5.3  7 10  9 1  15  7 8 01đ 01đ 0,5đ Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 46 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Bài 2: (6 điểm) Giải: a. Tìm x, biết: 2(x-1)-3(2 x+2)-4(2 x+3)=16 2x  2  6x  6  8x  12  16 0,25đ 12x – 20  16 0,25đ 12x  36 0,50đ x  3 0,50đ 1 21 b. Tìm x, biết: 3 : 2x  1  2 22 Nếu x  1 1 . Ta có: (vì nếu x  thì 2x – 1  0 ) 2 2 0,25đ 1 21 3 : 2x  1  2 22 7 21 : (2x  1)  2 22 2x  1  2x  x 7 21 7 22 11 :    2 22 2 21 3 11 14 1  3 3 14 7 1 :2  (thỏa mãn) 3 3 2 Nếu x  1 . Ta có: 2 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 1 21 3 : 2x  1  2 22 7 21 : (1  2x )  2 22 2x  46 11 8 1  3 3 0,25đ 0,25đ Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 47 [Document title] x ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 8 4 1 : (2)    3 3 2 Vậy x  0,25đ 7 4 hoặc x   3 3 c. Tìm x, y, z biết : 0,25đ 2x  y 3y  2z  và x  z  2y 5 15 Từ x  z  2y ta có: x – 2y  z  0 hay 2x – 4y  2z  0 hay 2x – y – 3y  2z  0 0,25đ hay 2x – y  3y – 2z 0,25đ Vậy nếu: 2x  y 3y  2z  thì: 2x – y  3y – 2z  0 (vì 5  15 ). 5 15 1 Từ 2x – y  0 suy ra: x  y 2 Từ 3y – 2z  0 và x  z  2y  x  z  y  2z  0 hay hay 0,25đ 0,25đ 1 y y – z  0 2 3 2 1 y  z  0 hay y  z suy ra: x  z 2 3 3 0,25đ 0,25đ     1 2 Vậy các giá trị x, y, z cần tìm là:  x  z ; y  z ; z      3 3        1 3  hoặc  x  y; y  ; z  y   hoặc {x  ; y  2x ; z  3x } |  2 2      Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức 0,5đ a c  . b d Chứng minh rằng : a  2c b  d   a  c b  2d  Ta có: a  2c b  d   a  c b  2d  ab  ad  2cb  2cd  ab  2ad  cb  2cd cb  ad suy ra: 47 a c  b d 0,75đ 0,75đ Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 48 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD  KA. a. Chứng minh: CD //AB. b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . Chứng minh rằng: ABH CDH c. Chứng minh: HMN cân. Giải: B D K M A N H C a/ Chứng minh CD song song với AB. Xét 2 tam giác ABK và DCK có: BK  CK (gt) 0,25đ   CKD  (đối đỉnh) BKA 0,25đ AK  DK (gt) 0,25đ  ABK  DCK (c-g-c) 0,25đ   ACB   90  ACD   ACB   BCD   90   DBK  ; mà ABC  DCK 0,25đ   90  BAC   AB //CD ( AB  AC và CD  AC ).  ACD 0,25đ b. Chứng minh rằng: ABH  CDH Xét 2 tam giác vuông: ABH và CDH có: BA  CD (do ABK  DCK ) AH  CH (gt) 48 0,25đ 0,25đ Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !