15 Bài toán Bồi dưỡng HSG Toán Lớp 8

15 Bài toán Bồi dưỡng HSG Toán Lớp 8 Bài 1: Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 ĐS: Tính đúng x = 7; x = -3 b) x  17 x  21 x  1   4 1990 1986 1004 HD: x = 2007 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 HD: 4x – 12.2x +32 = 0  2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0  2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0  (2x – 8)(2x – 4) = 0  (2x – 23)(2x –22) = 0  2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0  2x = 23 hoặc 2x = 22  x = 3; x = 2 1 1 1 Bài 2: Cho x, y, z đôi một khác nhau và    0 . x y z yz xz xy  2  2 Tính giá trị của biểu thức: A  2 x  2 yz y  2xz z  2xy xy  yz  xz 1 1 1  0  xy  yz  xz  0  yz = –xy–xz Giải:    0  xyz x y z x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) Do đó: A  yz xz xy   ( x  y)(x  z) ( y  x )( y  z) (z  x )(z  y) Tính đúng A = 1 Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Giải: Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d  N, 0  a, b, c, d  9, a  0 2 Ta có: abcd  k (a  1)(b  3)(c  5)(d  3)  m 2 1 abcd  k 2  abcd  1353  m 2  Do đó: m2–k2 = 1353  (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) m+k = 123 m+k = 41  hoặc m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 hoặc  k = 56 k= 4 Kết luận đúng abcd = 3136 Bài 4 : Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. Tính tổng a) HA' HB' HC'   AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM. (AB  BC  CA) 2 c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất? AA' 2  BB' 2  CC' 2 Giải: 1 .HA'.BC S HBC 2 HA'   a) S ; 1 AA' ABC .AA'.BC 2 S HAB HC' SHAC HB'   Tương tự: ; S ABC CC' SABC BB' HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC      1 AA' BB' CC' SABC SABC SABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC  ;  ;  IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC . .  . .  . 1 IC NB MA AC BI AI AC BI  BI .AN.CM  BN.IC.AM c)Vẽ Cx  CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD  BC + CD -  BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2  AB2 + AD2  (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2  (BC+AC)2 4CC’2  (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2  (AB+AC)2 – BC2 2 4BB’2  (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2)  (AB+BC+AC)2 (AB  BC  CA) 2 4  AA'2  BB'2  CC'2 Đẳng thức xảy ra  BC = AC, AC = AB, AB = BC  AB = AC =BC   ABC đều Bài 5: 2 2 2 Cho  a  b    b  c    c  a   4. a  b  c  ab  ac  bc  . 2 2 Chứng minh rằng a Giải: Biến đổi đẳng thức để được 2  b  c. a 2  b 2  2ab  b 2  c 2  2bc  c 2  a 2  2ac  4a 2  4b 2  4c 2  4ab  4ac  4bc Biến đổi để có (a 2  b 2  2ac)  (b 2  c 2  2bc)  (a 2  c 2  2ac)  0 Biến đổi để có (a  b) 2  (b  c) 2  (a  c) 2  0 (*) ì (a  b) 2  0 ; (b  c) 2  0 ; (a  c) 2  0 ; với mọi a, b, c nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a  b) 2  0 ; (b  c) 2  0 và (a  c) 2  0 ; Từ đó suy ra a = b = c Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a4  2a3  3a2  4a  5 . Giải: Biến đổi để có A= a 2 (a 2  2)  2a(a 2  2)  (a 2  2)  3 = (a 2  2)(a 2  2a  1)  3  (a 2  2)(a  1) 2  3 Vì a 2  2  0 a và (a  1) 2  0a nên (a 2  2)(a  1) 2  0a do đó (a 2  2)(a  1) 2  3  3a Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a  1  0  a  1 Bài 7 Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD. a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh. b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI. Giải: a) Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang B Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân b) Tính được AD = AM = 4 3 8 3 cm ; BD = 2AD = cm 3 3 N M 1 4 3 BD  cm 2 3 4 3 cm 3 1 8 3 4 3 DC = BC = cm , MN = DC  cm 2 3 3 Tính được NI = AM = A D I C 3 Tính được AI = 8 3 cm 3 Bài 6 (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a, Chứng minh rằng OM = ON. b, Chứng minh rằng 1 1 2 .   AB CD MN c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính SABCD. Giải: B A OM OD ON OC ,   AB AC AB BD M OD OC Lập luận để có  DB AC OM ON   OM = ON  AB AB D OM DM OM AM b) Xét ABD để có (1), xét ADC để có (2)   DC AB AD AD AM  DM AD 1 1 Từ (1) và (2)  OM.( )   1 AB CD AD AD 1 1 Chứng minh tương tự ON. (  ) 1 AB CD 1 1 1 1 2 từ đó có (OM + ON). (    )2  AB CD MN AB CD S S S OB S BOC OB c) AOB  ,   AOB  BOC  S AOB .S DOC  S BOC .S AOD S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC a) Lập luận để có O N C Chứng minh được S AOD  S BOC  S AOB .S DOC  (S AOD ) 2 Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2  SAOD = 2008.2009 Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT Bài 7 b2  c2  a 2 a 2  (b  c)2 Cho x = ;y= 2bc (b  c) 2  a 2 Tính giá trị P = x + y + xy Bài 8 Giải phương trình: a, 1 1 1 1 = + + ab x a b x (x là ẩn số) (b  c)(1  a)2 (c  a)(1  b)2 (a  b)(1  c)2 b, + + =0 x  a2 x  b2 x  c2 4 (a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau) Bài 9 Xác định các số a, b biết: (3x  1) b a = + 3 3 ( x  1) ( x  1) ( x  1) 2 Bài 10 Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên. Bài 11 Cho  ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C Bài 11  2 1  1  1  x  1 Cho biểu thức: A    1   1 3    2  : 3 2 x x  2x  1 x x  1      x    a/ Thu gọn A b/ Tìm các giá trị của x để A<1 c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên Bài 12 a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số là các số nguyên): x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10 b/ Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010. Hãy tính x2 + y2 Bài 13 Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1) Bài 14 Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM. a/ Tính số đo góc DBK. b/ Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cùng nằm trên một đường thẳng. Bài 15 5 Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiên m, m+k, m+ 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, thì k chia hết cho 6. 6