138 Bài toán chọn lọc tính đơn điệu của hàm hợp

138 Câu 1: BÀI TOÁN CHỌN LỌC TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM HỢP Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình vẽ bên. Hàm số g  x   2 f  x    x  1 đồng biến trên khoảng nào? 2 A.  3;1 . B. 1;3 . C.  ;3 . D.  3;   . Lời giải Chọn B Ta có y  2 f   x   2 x  2  0  f   x    x  1. Kẻ đường thẳng y   x  1 qua các điểm  3;2  ,  2;1 ;  3; 4   x  3 Ta có f   x    x  1   . 1  x  3 1 Xét khoảng mà đồ thị hàm số y  f   x  nằm bên trên đường thẳng y   x  1 suy ra hàm số y  g  x  đồng biến trên khoảng 1;3 . Câu 2: Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y  f  2  x  đồng biến trên khoảng A. 1;3 . B.  2;   . D.  ; 2  . C.  2;1 . Lời giải Chọn C x  3  2  x  1  Ta có y   f   2  x   0  f   2  x   0   .  2  x  1 1  2  x  4 Do đó, hàm số y  f  2  x  đồng biến trên khoảng  2;1 . Câu 3: Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y  f  x 2  2  đồng biến trên khoảng   B.  0;1 . A. 0; 6 .   C.  3;0 .   D. 1; 3 . Lời giải Chọn D   Ta có y  2 x. f  x 2  2  0  1  x 2  2  1 1  x 2  3 1  x  3  2  * Nếu x  0 thì f  x 2  2  0   2 . x  2  4 x  6 x  6      1  x 2  2  4 3  x 2  6  1  x  0 * Nếu x  0 thì f  x 2  2  0   2 .  2   6  x   3 x  2   1 x  1      2   Do đó, trong các đáp án đã cho thì hàm số y  f x 2  2 đồng biến trên khoảng 1; 3  . Câu 4:   Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm y  x 2  x  1 x 2  4 . Hàm số y  f  2  x  đồng biến trên khoảng A.  ;0  . B.  0;1 . D. 1; 4  . C.  2;   . Lời giải Chọn B  Ta có y  f   2  x   2 x. f   2  x   2 x.  2  x   2  x  1  2  x   4 2 2  Do đó y    2  x  1  x   x 2  4 x  . 2 0  x  1 2 Suy ra y  0   x  1 x  2   x 2  4 x   0   x  4 Vậy, từ các đáp án đã cho ta có hàm số đồng biến trên khoảng  0;1 . Câu 5: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau   Hàm số y  f x 2  2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây A.  2;0  . C.  0; 2  . B.  2;   . D.  ;0  . Lời giải Chọn B     Ta có y  f   2  x   2 x. f  x 2  2  2 x. f  x 2  2  0  2  x 2  2  0 x  2 * Nếu x  0 thì y  0  f  x 2  2  0   2 .  0  x  2 x  2  2    x 2  2  2 2   * Nếu x  0 thì y  0  f x  2  0    2  x   2 . 2 0  x  2  2   Do đó, đáp án đúng trong các đáp án đã cho hàm khoảng  2;   . Câu 6: 2  5x  Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x  x  1  x  2  . Hỏi hàm số y  f  2   x 4 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.  ; 2  . B.  0; 2  . C.  2; 4  . D.  2;1 . 3 Lời giải Chọn C 2 2 5x   5 x  5  4  x  5 x  5 x    5x  Ta có: y   2  2  1  2  2 .  . f  2  2  2 2  x 4  x  4   x  4 x  4  x  4   x  4  x  4 Do đó: y  0   4  x  5 x  x  4   5 x  2 x  8   0   2  x  4 .  2  x  0 2 2 2 2 Đối chiếu các phương án ta chọn C . Câu 7: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  và có đồ thị hàm số y  f   x  như hình vẽ.  Đặt g  x   f x 2  2 . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Hàm số g  x  đồng biến trên khoảng  2;   . B. Hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng  0; 2  . C. Hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng  1;0  . D. Hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng  ; 2  . Lời giải Chọn C   x  0 x  0  2  2   x  2  f  x  2  0  x  2  2 2 Ta có: g ( x)  2 xf   x  2   0   .   2  x  0 x0    x  0    2   x 2  2  2 f x  2  0      Đối chiếu các phương án ta chọn C . Câu 8: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây 4  x 1 y  0  3  0   4 y 2 x  đồng biến trên khoảng nào dướiđây? Hàm số y  f  3  A.   ;0  . B.  4;6  . C.  1;5 . D.  0; 4  . Lời giải Chọn D Ta có y   f   3  x   0  f   3  x   0  1  3  x  3  0  x  4 . Vậy hàm số y  f  3  x  đồng biến trên khoảng  0; 4  . Câu 9: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x2  x  1 x  4 g  x  , trong đó g  x   0, x .   Hàm số y  f x 2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.   ;  2  . B.  1;1 . C.  2;  1 . D. 1; 2  . Lời giải Chọn C Ta có y  2 xf   x 2   2 x  x 2   x 2  1 x 2  4  g  x 2  2  2 x5  x  1 x  2  x  1 x  2  g  x 2  x  2 Ta có y '  0   2  x  1 . 0  x  1   Vậy hàm số y  f x 2 đồng biến trên mỗi khoảng  2;  1 ,  0;1 ,  2;    . Câu 10: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị f   x  như hình vẽ bên   Hàm số y  f x3 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.   ;  1 . B. 1;    . C.  1;1 . D.  0;1 . Lời giải 5 Chọn B   Ta có y  3x 2 f  x3 . Do 3x  0, x  2  x3  1 x  1 nên y  0  f   x   0   .  3  1  x  0  1  x  0 3   Suy ra hàm số y  f x3 đồng biến trên khoảng 1;    . Câu 11: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x  x 2  1  x  4  . Hàm số y  f  3  x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.  2;3 . C.  4;  . B.  1;3 . D.  3;4  . Lời giải Chọn D  1  x  2 2 Ta có y   f   3  x     3  x   3  x   1  3  x  4   0   .   3  x  4 Câu 12: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   xx 2  x  1  x 2  mx  5 . Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số y  f  x 2  đồng biến trên khoảng 1;  . A. 4 . B. 5 . C. 7 . D. 3 . Lời giải Chọn A Ta có y  2 xf   x 2   2 x  x 2   x 2  1 x 4  mx 2  5  2 x 5  x 2  1 x 4  mx 2  5 . 2 Yêu cầu bài toán x  1  x 4  mx 2  5  0, x  1  m   Ta có x 2  m x  1  2 x5  x 2  1 x 4  mx 2  5 ,  y  0 , x4  5 x4  5 5  ,  x  1 . Đặt g x      x2  2    2 2 x x x   5  2 5  g  x   2 5 , x  1  Max g  x   2 5 khi x  4 5 . 1;  x2 x4  5  g  x  , x  1  m  Max g  x   2 5 1;  x2 4,4 . Vậy có 4 giá trị nguyên âm thỏa mãn bài toán. Câu 13: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x  x  1  3x 4  mx3  1 . Có bao nhiêu giá trị 2 nguyên âm m để hàm số y  f  x 2  đồng biến trên khoảng  0;   . A. 3 . B. 5 . C. 6 . D. 4 . 6 Lời giải Chọn D Ta có y  2 xf   x 2   2 x  x 2  x 2  1  3x8  mx6  1 . 2 Yêu cầu bài toán  y  0 , x  0  3x8  mx6  1  0 , x  0  m   Ta có 3x 2  m 3 x8  1  g  x . x6 1 1  x 2  x 2  x 2  6  4  g  x   4 , x  0  Max g  x   4 khi x  1 . 6  0;  x x 3 x8  1  g  x  , x  0  m  Max g  x   4 .  0;  x6 Vậy có 4 giá trị nguyên âm thỏa mãn bài toán. Câu 14: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x  x  1  x 2  mx  9  . Có bao nhiêu số 2 nguyên dương m để hàm số y  f  3  x  đồng biến trên khoảng  3;   ? A. 6 . B. 8 . C. 5 . D. 7 . Lời giải Chọn A Đặt g  x   f  3  x  . 2 2 Ta có g   x    f   3  x     3  x  3  x  1  3  x   m  3  x   9  0   g   x   0 , x  3 Yêu cầu bài toán tương đương  x  3 x  3  m  2 9 x 3 h  x  x  3  2 9 x 3  x  3 m 2   x  3  m  x  3   9  0 , 2  h  x  , x  3  x 3 9  6  Min h  x   6 khi x  6 .  3;  x 3 9  h  x  , x  3  m  Min h  x   6 .  3;  x 3 Vậy có 6 giá trị nguyên dương m thỏa mãn. Câu 15: Cho hàm số y  f  x có đồ thị f  x như hình vẽ 7 Hàm số f  x 2  đồng biến khoảng nào dưới đây? A.  ; 1 . B.  1;0  . C.  0;1 . D.  1;   . Lời giải Chọn B Đặt g  x   f  x 2  . g   x   2 xf   x 2  x  0 x  0  2 x  1    g  x  0  2  x  1 . x  0  x  1   x 2  1 Bảng biến thiên của g  x  . 0 Dựa vào bảng biến thiên hàm số đồng biến trong khoảng  1;0  . Câu 16: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị của hàm số y  f   x  như hình vẽ bên. Hàm số y  f  3  x 2  đồng biến trên khoảng 8 B.  2; 1 . A.  2;3 . C.  0;1 . D.  1;0  . Lời giải Chọn D  Ta có y  2 xf  3  x 2   0  xf 3  x   0 . 2 3  x 2  6 x  3 x 0 Với x  0  f   3  x   0     1  x  2 . 2  1  3  x  2    6  3  x 2  1 x0  1  x  0 2 Với x  0  f   3  x   0   .   2  3  x   2 3  x  2   2 Đối chiếu Chọn D Câu 17: Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị của hàm số y  f   x  như hình vẽ bên. Đặt h( x)  2 f  x   x 2 . Hàm số y  h  x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.  ; 2  . B.  2; 4  . C.  2; 2  . D.  2;   . Lời giải Chọn C 9 Ta có h( x)  2 f ( x)  2 x  0  f ( x)  x . Kẻ đường thẳng y  x đi qua các điểm thẳng này cắt đồ thị hàm số (2 ; 2) ;(2 ; 2) ;(4 ; 4) ta thấy đường y  f ( x) tại ba điểm có hoành độ x  2; x  2, x  4 .  2  x  2 . x  4  Nhìn đồ thị ta có f ( x)  x   Đối chiếu đáp án Chọn C Câu 18: Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị của hàm số y  f   x  như hình vẽ bên. Hàm số y  f  x 2  đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.  1;0  . B. 1; 2  . C.  ; 2  . D.  2; 1 . Lời giải Chọn D 10 Ta đi giải bất phương trình y  2 xf   x 2   0  1  x 2  1 x0 0  x  1 Với x  0  f   x   0   2 .   x  2 x  4    x 2  1 x0  2  x  1. Với x  0  f   x 2   0   2 1  x  4  2 Đối chiếu với Chọn D Câu 19: Cho hàm số f  x  có đạo hàm cấp 3 xác định và liên tục trên thỏa mãn f ( x) f ( x)  x( x  1)( x  2), x  . Hàm số g ( x)   f ( x)   2 f ( x) f ( x) đồng 2 biến trên khoảng nào? A.  0;1 . C.  4;   . B.  1;0  . D.  ; 1 . Lời giải Chọn B Ta có g( x)  2 f ( x) f ( x)  2 f ( x) f ( x)  f ( x) f ( x)   2 f ( x) f ( x)  2 x  x 2  1 ( x  4) .    1  x  0 .  1 x  4 Vậy g ( x)  0  2 x x  1 ( x  4)  0   2 Đối chiếu Chọn B Câu 20: Cho hàm số f  x  có đạo hàm cấp 2 xác định và liên tục trên  f ( x)  2 thỏa mãn  f ( x) f ( x)  x( x  1)( x  2), x  . Hàm số g ( x)  f ( x) f ( x) đồng biến trên khoảng nào? A.  0; 2  . B.  ;0  . C.  2;   . D. 1; 2  . Lời giải Chọn C Ta có x  2 2 . g ( x)   f ( x)   f ( x) f ( x)  x( x  1)( x  2)  0   0  x  1  11 Đối chiếu đáp án Chọn C   Câu 21: Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình bên. Hàm số y  f x 2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? y O -2  A.  ; 2  .  2 x 4  C. 1;   . B.  2;0 .  D. 2; 2 . Lời giải Chọn B x  2 Ta có y  2 xf  x 2  0  2 x  x 2   2  x 2  2  0  x x 2  2  0   .   2  x  0       Đối chiếu các đáp án. Chọn B Câu 22: Cho hàm số f  x   x3  mx2   m  6 x  1 . Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm   số y  f x  x 2  1 đồng biến trên khoảng  ;   . A. 2 . B. 3 . C. 5 . D. 4 . Lời giải Chọn B Ta có yêu cầu bài toán      x  2 2  y   1   f  x  x  1  0, x  f  x  x  1  0, x 1 . 2 x 1   Đặt t  x  x 2  1   0;   , x và f   x   3x 2  2mx  6  m . Do vậy: 1  f   t   0, t   0;    3t 2  2mt  6  m  0, t   0;   m  3t 2  6  3t 2  6 , t   0;   m  min  y    y 1  3  m  1, 2,3 . 0;   2t  1  2t  1 Chọn B Câu 23: Cho hàm số f  x   x3  mx2   m  6  x  1 . Có bao nhiêu số nguyên không âm m để hàm số y  f A. 6 .   x 2  1  x nghịch biến trên khoảng  ;   B. 3 . C. 5 . D. 4 . 12 Lời giải Chọn D Ta có, yêu cầu bài toán  x   y    1 . f  2  x 1    x 2  1  x  0, x  f    x 2  1  1  0, x 1 . Đặt t  x 2  1  x; t   0;    , x và f   x   3x 2  2mx  6  m . Do vậy 1  f '  t   0, t   0;    3t 2  2mt  6  m  0, t   0;   3t 2  6 3t 2  6 , t   0;    m  , t   0;   2t  1 2t  1  3t 2  6   m  min  y    y 1  3  m 0,1, 2,3 0;  2t  1   m  Câu 24: Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f '  x  có đồ thị như hình bên. Hàm số y  f 5  2e x  đồng biến trên khoảng  a, b  . Giá trị lớn nhất của b  a bằng y -2 A. ln 10 . 3 B. ln 7 . 3 O 2 C. ln 4 5 . 2 x D. ln 7 . 2 Lời giải Chọn B Ta có: 3 7 3 7 y '  2e x f '  5  2e x   0  f '  5  2e x   0  2  5  2e x  2   e x   ln  x  ln 2 2 2 2 7 3 7 Vậy  b  a max  ln  ln  ln 2 2 3  Câu 25: Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f '  x  có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y  f 3  x 2  đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 13 y -6 O -1 A.  2;3 . 2 C.  2; 1 . B.  0;1 . x D.  1;0  . Lời giải Chọn D y '  2 xf '  3  x 2   0  xf '  3  x 2   0  x  3  x2   6   3  x2   1  x  3 3  x  2  2 3 x  2  0   1  x  0 1  x  2  Câu 26: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị của hàm số y  f   x  như hình vẽ bên. Hàm số  1  2 tan x  y f  đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 3   11    A.   ; arc tan  . 2  2    B.   ;arc tan 2  .  4  11   1    C.  arc tan ;   . D.   ;arc tan  . 2 2 4   4 Lời giải Chọn C  1  2 tan x  Ta có hàm số y  f   tuần hoàn với chu kỳ T   nên ta chỉ cần xét trên 3      khoảng   ;  có  2 2 14 2 1  1  2 tan x   1  2 tan x  y   . f    0  f  0 2 3 cos x  2 3     1  2 tan x   1 arc tan 2  x   tan x  2   3 2   .   11  1  11 2 tan x    tan x   1 1   arc tan  x   4  2   2 3 4 Câu 27: Cho hàm số f  x   ax 4  bx3  cx2  dx  e với a, b, c, d , e là các số nguyên không âm nhỏ hơn 6 và f  6   2019 . Hàm số y  f 1  x   x2  x đồng biến trên khoảng nào 2 dưới đây? 5 7 A.  ;  . 4 4 9  C.  ;  . 4   9 B.  2;  .  4 3 5 D.  ;  . 4 4 Lời giải Chọn A Ta có f  6  2019  a.64  b.63  c.62  d .6  e  2019 a.64  b.63  c.62  d .6  e  64  3.63  2.62  0.61  3.60  abcde 6  13203 6  a  1, b  3, c  2, d  0, e  3 Suy ra f  x   x 4  3x3  2 x 2  3 . Khi   đó y   f  1  x   x  1   4 1  x   9 1  x   4 1  x   x  1 3  y   x  1 x  2  4 x  9   0  x  2 9 hoặc 1  x  2 . 4 Câu 28: Cho hàm số f  x   ax3  bx 2  cx  d với a, b, c, d là các số nguyên không âm nhỏ hơn 2  x  x2  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 3  5   1  11   B.   ;   . C.   ; 1 . D.   ;0  .  6   2  9   9 và f  9   2019 . Hàm số y  f  x   6  A.  ;   . 5  Lời giải Chọn C Ta có f  9  2019  a.93  b.92  c.91  d  2019 a.93  b.92  c.91  d  2.93  6.92  8.91  1 15  abcd 9  26819  a  2, b  6, c  8, d  1 Suy ra f  x   2 x3  6 x 2  8x  1 . Khi đó y  f   x   2 2 11 1  2 x   6 x2  12 x  8  1  2 x   0    x  1 . 3 3 9 Câu 29: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến tiên như hình vẽ bên dưới đây. Hàm số y   f  x   6 f  x  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 2 A.  1;1 . B.  6;   . C. 1;6  . D.  ; 2  . Lời giải Chọn D  x  1 Ta có y  2 f  x  f   x   6 f   x   2  f  x   3 . f   x   0  f   x   0   1  x  4 Vì dựa vào bảng biến thiên ta có f  x   3, x   f  x   3  0, x  . 1  Câu 30: Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   3x   có đồ thị như hình bên. Hàm số 2  y  f  2 x  1 nghịch biến trên khoảng  5 11  A.  ;  . 4 4   5 B. 1;  .  2 1 3 C.  ;  . 2 2  9 15  D.  ;  . 4 4  Lời giải Chọn D 16 Ta có y  2 f   2 x  1  0 * . Đặt 2 x  1  3t  1 2 1 t  x 2 3 3 1 2 x   1  x  1 3 t  1 1  3   Khi đó * trỏ thành f   3t    0   .  2  x  13 2  1  t  4 1  2 x  1  4  2  3 3 x3 Câu 31: Cho hàm số f (x ) 3x 1 . Có bao nhiêu số nguyên không âm m để hàm số y = f(m - x)+(m - 1)x đồng biến trên khoảng có độ dài không vượt quá 4 . A. 11 . B. 2 . C. 10 . D. 3 . Lời giải Chọn A Ta có y f (m x) m x )2 3(m 1 3 m 3x 2 1 6mx 3m 2 m 2 Ta có y ' luôn có hai nghiệm phân biệt vì x1 9m 2 x2 3m 2 3 m 3(m 2 2) 0, m 0 Do đó hàm đồng biến trên khoảng x 1; x 2 theo yêu cầu bài toán ta có x2 x1 4 4m 2 4 Vậy m x2 x1 3m 2 m 3 2 x1 16 2 16 x2 2 m 0 4x1x 2 16 0 10 . 0;2;....;10 . Có 11 số nguyên không âm m thỏa mãn. x3 Câu 32: Cho hàm số f (x ) 3x 1 . Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = f(m - x)+(m - 1)x đồng biến trên khoảng 8;9 . A. 4 . B. 2 . C. 1 . D. 3 . Lời giải Chọn D Ta có y f (m x) Với 9m 2 TH1: 0 m 3 m 3(m 1 3m 2 2 m y x )2 2 3(m 3 m 1 g(x ) 3x 2 6mx 3m 2 m 2 2) 0, x . 17 m 0 TH2: 2. Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x 2 và hàm số đồng bến trên x 1; x 2 . Theo yêu cầu bài toán ta có: x 1; x 2 (8;9) 55 x1 8 x2 9 3g(8) 0 3m 2 49m 190 0 3g(9) 0 3m 2 55m 241 0 133 m 10 6 Vậy m {8, 9,10} .Có 3 số nguyên m thỏa mãn. x3 Câu 33: Cho hàm số f (x ) 3x 1 . Số thực m nhỏ nhất để hàm số y = f(m - x)+(m - 1)x đồng biến trên khoảng 8;9 là nguyên dương và A. 194 . a tối giản. Giá trị của biểu thức a c B. 72 . C. 193 . b a b c , với a,b, c là các số c bằng: D. 75 . Lời giải Chọn A Ta có y f (m x) m Với 9m 2 TH1: 0 m 2 TH2: 0 m 2. 3 3(m 1 3m 2 m y x )2 2 m 3 3(m 1 g(x ) 3x 2 3m 2 6mx m 2 2) 0, x . Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x 2 và hàm số đồng bến trên x 1; x 2 . Theo yêu cầu bài toán ta có: (8;9) x 1; x 2 55 133 6 x1 m 8 9 x2 3g(8) 0 3m 2 49m 190 0 3g(9) 0 3m 2 55m 241 0 10 a=55, b=133, c=6 và a+b+c=194 . Câu 34: Cho hàm số y f (x ) có bảng biến thiên như sau: 18 x m4  y   m6  0 0   0 y 1  Có bao nhiêu số nguyên m 2; 40; 40 để hàm số y = f(x2 ) đồng biến trên khoảng . A. 37 . B. 39 . C. 36 . D. 76 . Lời giải Chọn A ycbt x2 y 2xf x m 6, x Vì số nguyên m Câu 35: Cho hàm số y 2 0, x 2 4 2 m m 6 2 m 4 x 6 40; 40 nên m f (x ), y x2 m , x 2 2 { 39, 38,..., 2} .Có 38 số nguyên m thỏa mãn. g(x ) có đồ thị y f '(x ), y g '(x ) như hình vẽ dưới. 19 Hàm số y f (x ) g(x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây  1 1 A.   ;  .  2 2  11  D.  ;   . 2  3  C.  ; 4  . 2  9  B.  ;6  . 2  Lời giải Chọn C Ta có y f (x ) Câu 36: Cho hàm số y g (x ) f (x ) 0 g (x ) f x có đạo hàm f 1 2 x 6 x a x 4 . Đối chiếu Chọn C 0,25 x2 1 4 x2 , x x . Hàm số y f cos x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 2 . 3 3 B. ; 2 ; 3 . C. 3 ;0 . D. ; . 6 6 Lời giải Chọn B Hàm số y y f cos x tuàn hoàn chu kỳ T sin x. f cos x 2 . Do vậy ta chỉ xét trên đoạn sin x cos2 x 1 4 cos2 x 0 sin x 1 sin 2 x 4sin 2 x 3 ; . 0 sin x 0 0 3 2 1 sin x 3 2 x 3 2 x 3 2 x 3 . Chú ý: Chúng ta có thể tính đạo hàm tại một điểm trong khoảng trong các đáp án để chọn được đáp án đúng. Câu 37: Cho hàm số y bên. Hàm số y g x có đồ thị của hàm số y f x ,y f 2x 1 2 g 3x 6 f x ,y g x như hình vẽ 18 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 20 A. 1 . 4 ; B. 11 ; 4 . C. 2; 5 . 4 1 11 . ; 4 4 D. Lời giải Chọn D Có y 0 2 f 2x 1 2 3g 3x Quan sát đồ thị đã cho có max f 2 f 2x 1 2 12 Vậy hàm số y Câu 38: Cho hàm số y y f x2 2x 3g 3x f 2x 1 2 2x 1 2 6 18 g 3x 18 0 2 f 2x 6 và min g x x 0;6 Do vậy ta chỉ cần chọn 0 6 6 6 1 4 x x2 2x 3g 3 x 6 18 2 11 thì 4 18 x nghịch biến trên khoảng f x có đồ thị của hàm số y 3 1 2 f 1 11 . ; 4 4 x như hình vẽ bên. Hàm số 2 đồng biến trên khoảng nào dưới dây? 21 A. ; 1. B. ; 1 . 2 1 ; 2 C. . D. 1; . Lời giải Chọn A Ta cần giải y x 1 0 2 2x x2 2x x x 1 x2 x 1 f x 1 x2 2x f x 3 x 2x 2 2 x2 2x 3 f x2 3 2x 3 x2 2x x4 ax4 bx2 100 x 6x f 2 2x Câu 39: Cho hàm số f x Hàm số f x 1 2 1 cx 2x 3 x2 2x 2 0 x2 2x 3 x2 2x 2 0 2x 3 x2 2x 2 0 x2 d thỏa mãn f 1 100, f 2 2 0 x 200, f 3 1. 300 . nghịch biến trên một khoảng có đồ dài lớn nhất bằng? d A. 4 . 2 x2 B. 2 3 . 3 C. 2 . D. 3 . 3 Lời giải Chọn B Có g x g 1 g x f x g 2 100 x g 3 x4 ax3 bx2 c 100 x d và theo giả thiết ta có: 0 do đó x m x 1 x 2 x 3 f x x m x 1 x 2 x 3 100 x 22 Đồng nhất hệ số tự do của f x ta có 6m d d 6 m f x Vậy y f x 100 x 1 x 1 x 6 6x d x 2 1 . 3 Câu 40: Cho hàm số y f x 1 3 2 y f 3x A. d x 1 x 6 x 2 x 3 2 x 3 100 x 1 3x 2 12 x 11 6 y có đồ thị hàm số y f x 0 như hình vẽ bên. Hàm số 2 x 1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 2 1 ;2 . 2 1 ;5 . 2 B. 3 1 . ; 2 2 C. D. 1 ;0 . 2 Lời giải Chọn D Có y 3 f 3x 2 Đặt t 3x x 2 2 x 1 t 2 3 0 2 t 9 5 2 x 1 2 3 2 t 9 , bất phương trình trở thành f t Kẻ trên đồ thị đường thẳng y Suy ra f t f 3x 1 2 t 5 1 2 ; 1 và 5;0 . x 5 qua hai điểm 2 9 5 1 2 3x 2 5 1 2 x 1. Câu 41: Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị của hàm số y  f '(x) như hình vẽ bên 23 Hàm số y  39 f ( x)  8x3  45x 2  276 x  1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?  11  A.  1;  . 2   3 9 C.   ;   2 2 3  B.  ;   . 2  9  D.  ;   2  Lời giải Chọn A Ta có: y '  39 f '( x)  24 x 2  90 x  276 24 x 2  90 x  276 Hàm số đã cho đồng biến  y '  0  f '( x)  39 Gọi  P  là đồ thị hàm số y  24 x 2  90 x  276 . Ta có đồ thị hàm số f '( x) và  P  được 39 thể hiện trong hình sau: Từ đồ thị trên ta thấy đồ thị hàm số f '( x) nằm phía trên parabol  P  trên khoảng  11   1;  . 2  24 x 2  90 x  276  11   x   1;  Vậy f '( x)  39 2  24 Vậy Chọn A Câu 42: Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: Hàm số y  3 f ( x  2)  x3  3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? B.  ; 1 . A. 1;   . C.  1;0  . D.  0; 2  . Lời giải Chọn C Ta có: y '  3 f '( x  2)  3x2  3 Đặt t  x  2  x  t  2 khi đó ta có: y '  3 f '(t)  3  t  2   3  3  f '(t )  (t 2  4t  3)  2 Ta có bảng xét dấu như sau: Vậy ta thấy y '  0  t  1;3  x   1;1 nên hàm số đã cho đồng biến trên  1;0  . Câu 43: Cho hàm số f ( x) . Hàm số y  f ( x) có bảng xét dấu: Hàm số y  f ( x 2  2 x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  4; 3 . C.  2; 1 . B.  0;1 . D.  2;1 . Lời giải Chọn C Ta có y   f ( x 2  2 x)    2 x  2  f   x 2  2 x  . Xét bất phương trình y  0   2 x  2  f   x 2  2 x   0   x  1  x  1 x 1  0 TH1:     3  x  1  2 2  2  x  2 x  3 3  x  1   f  x  2x   0 25  x  1 x 1  0  x  1  2 TH2:      x 1 x  2 x   2 (vn)   2  x  3  x  1  f ( x  2 x)  0  2  x  2 x  3 Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  3; 1 và 1;    Hàm số nghịch biến trên  2; 1 . Câu 44: Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm f ( x) như sau: Hàm số y  3 f ( x  2)  e x 3 x 3 A.  2;1 . 2 9 x 1 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? D.  ; 2  . C.  0; 2  . B.  2;   . Lời giải Chọn A  Ta có: y  3 f ( x  2)  e x 3 x 3 2 9 x 1   3 f    x  2  3x 2  6 x  9  e x 3 x 3 2 9 x 1 Đặt t   x  2  x  2  t Khi đó y  3 f (t )  3(t 2  6t  5).et 3 9t 2 15t 3 Ta có bảng xét dấu: Từ đó suy ra, với t  1;5 thì y  0 . Từ t  1;5  1   x  2  5  3  x  1  Trên  3;1 , hàm số y  3 f ( x  2)  e x 3 x 3 2 9 x 1 nghịch biến.  Hàm số nghịch biến trên  2;1 . Câu 45: Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau 26 Hàm số y   f  x    3  f  x   nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 3 2 B. 1; 2  . A.  2;3 . D.  ; 1 . C.  3; 4  . Lời giải Chọn A Ta có y  3 f  x   f  x   2  . f   x  . Dựa vào bảng biến thiên ta có trên  2;3 thì f  x   0, f  x   2  0, f   x   0 . Do đó y  0 hay hàm số nghịch biến trên  2;3 . Câu 46: Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu đạo hàm như sau 1 Xét hàm số g  x   f 1  x   33 3 x3  x 2  2 x 2 . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 3 A. Hàm số g  x  đồng biến trên khoảng  ;  . 2 2 B. Hàm số g  x  đồng biến trên khoảng  0; 2  . C. Hàm số g  x  đồng biến trên khoảng  3;   . D. Hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng  0;1 . Lời giải Chọn C 1 Ta có g   x    f  1  x   33 3 x3  x 2  2 x 2 x 2  3x  2  ln 3 . 1 Hàm số g  x  đồng biến khi g   x   0   f  1  x   33 3 x3  x 2  2 x 2 x 2  3x  2  ln 3  0 . 0  1  x  1 0  x  1  Ta có  f  1  x   0  f  1  x   0   1  x  2 x  3 x  1  3x  2  ln 3  0   . x  2 Suy ra trên  3;   thì g   x   0 . 1 Và 33 3 x3  x 2  2 x 2 x 2 27 Do đó hàm số g  x  đồng biến trên khoảng  3;   . Câu 47: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu số nguyên m  10;10  để hàm số y  f  3x  1  x3  3mx đồng biến trên khoảng  2;1 . A. 8 . B. 6 . C. 10 . D. 13 . Lời giải Chọn B Ta có y '  3 f '  3x  1  3x 2  3m . Để hàm số đồng biến trên khoảng  2;1 thì y '  3 f '  3x  1  3x 2  3m  0 x   2;1  f '  3x  1  x2  m  0 x   2;1  m  g  x   f '  3x  1  x 2 , x   2;1 * Ta có: f '  3x  1  f '  1  4, x2  0  f '  3x  1  x 2  4 . Suy ra điều kiện (*) tương đương: m  Min 2;1 g  x   4  m  9; 8; 7; 6; 5; 4 Vậy có 6 giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện đề bài. Câu 48: Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu đạo hàm như sau: hàm số y  f  2 x  2   2e x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  ; 1 . B.  2;0  . C.  0;1 . D. 1;   . Lời giải Chọn C 28 Ta có y '  2 f '  2 x  2   2e x Để hàm số nghịch biến thì điều kiện cần là:   2 x  2  6  x  2  f '  2x  2  0  f '  2x  2  0     x  4  2 x  2  0  1  x  1  2e  0 ( L D) Suy ra Chọn C Câu 49: Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu đạo hàm như sau Hàm số y  6 f  x  1  2 x3  3x 2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.  2;   . C.  ; 1 . B.  1;0  . D.  0;1 . Lời giải Chọn D Ta có: y  6. f   x  1  6 x 2  6 x . y  0  f   x  1  x 2  x Đặt t  x 1  x  t  1 . Khi đó ta có phương trình: f   t    t  1   t  1  f   t   t 2  t * . 2 Nhận thấy phương trình * có nghiệm t  0; t  1 .   Trên khoảng  1;0  thì f   t   0 và t 2  t  0 nên f   t   t 2  t  0 . Nên hàm số y  t  đồng biến trên khoảng  1;0  . Suy ra hàm số y  x  đồng biến trên khoảng  0;1 Câu 50: Cho hai hàm số y  f  x  , y  g  x  có đạo hàm trên và có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y  f  x  . Biết rằng hai hàm số y  f  2 x  1 và y  g  ax  b  ,  a, b   có cùng khoảng đồng biến. Giá trị của a  2b bằng: 29 A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. 6 . Lời giải Chọn C +) Xét hàm số: y  f  2 x  1 có: y  2. f   2 x  1 . Hàm số đồng biến  y  0  2. f   2 x  1  0  f   2 x  1  0 . 1 1  0  2 x  1  2    x  . 2 2 +) Xét hàm số: y  g  ax  b  ,  a, b   có y  a.g   ax  b  . TH1: Nếu a  0 : Hàm số y  g  ax  b  ,  a, b   đồng biến  y  0 1  b  x   ax  b  1 a   a.g   ax  b   0  g   ax  b   0   .  ax  b  1 x  1 b  a Không thỏa mãn giả thiết hàm số y  f  2 x  1 và y  g  ax  b  ,  a, b   có cùng  có cùng khoảng đồng biến. TH2: Nếu a  0 thì y  g  b  là hàm hằng. Không thỏa mãn giả thiết hàm số y  f  2 x  1 và y  g  ax  b  ,  a, b  khoảng đồng biến. TH3: Nếu a  0 : Hàm số y  g  ax  b  ,  a, b   đồng biến  y  0  a.g   ax  b   0  g   ax  b   0  1  ax  b  1  1  b 1 b . x a a 30 Hàm số y  f  2 x  1 và y  g  ax  b  ,  a, b   có cùng khoảng đồng biến 1  1  b  a   2 a  2   . b  0 1  b  1  a 2 Vậy a  2b  2 . Câu 51: Cho hàm số f  x  có đồ thị y  f '  x  như hình vẽ bên. Hàm số y  f  cos x   x 2  x đồng biến trên khoảng: A. 1; 2  . B.  1;0  . C.  0;1 . D.  2; 1 . Lời giải Chọn A Ta có: y '   sin x. f '  cos x   2 x  1 + Vì cos x   1;1   sin x. f '  cos x   1;1 mà 2 x 1  1  x  1 + Suy ra y '   sin x. f '  cos x   2 x  1  0, x  1 hay hàm số tăng trên [1; ) Câu 52: Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ Hàm số y  2 f 1  x   x 2  1  x nghịch biến trên khoảng nào: A.  ;1 . B.  ;  2  . C.  3; 2  . D.  2;0  . Lời giải Chọn D y '  2 f ' 1  x   x x 1 2 1  0 . 31 Ta có: x x2  1  1  0, x  . Khi: 1  1  x  3  2  x  0 thì f ' 1  x   0  2 f ' 1  x   0 . Vậy 2 f ' 1  x   x x 1 2  1  0, x   2;0  . Hàm số nghịch biến trên  2;0  . Câu 53: [2D1-1.4-3] Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số y  f ( x) như hình vẽ Hàm số g ( x)  f (2 x  1)  ( x  1)(2 x  4) đồng biến trên khoảng nào dưới đây 1  A.  2;   . 2   1  C.   ;    .  2  B. ( ; 2) .  1  D.   ; 2  .  2  Lời giải Chọn A Xét hàm số g ( x)  f (2 x  1)  ( x  1)(2 x  4) Tập xác định: . g ( x)  2 f (2 x  1)  4 x  2 . 32 g ( x)  0  2 f (2 x  1)  4 x  2  0  f (2 x  1)  2 x  1 (hay f (t )  t , với t  2 x  1 ) x  2  2 x  1  3 Từ đồ thị ta thấy f (2 x  1)  2 x  1   .   2  x   1  2  2 x  1  5 2  x  2 Hay g ( x)  0    2  x   1 2  1  Như vậy trên mỗi khoảng  2;   ,  2;    hàm số y  g ( x) đồng biến. 2  Soi các phương án ta thấy phương án A thỏa yêu cầu đề bài. Câu 54: [2D2-4.3-3] Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số y  f ( x) như hình vẽ bên dưới. 1 Hàm số g ( x)    2 f (1 2 x ) A.  0;1 . nghịch biến trên khoảng nào dưới đây C.  1;0  . B. ( ;0) . D. 1;   . Lời giải Chọn D 1 Xét hàm số g ( x)    2 Tập xác định: f (1 2 x ) . 1 g ( x)  1  2 x  . f  1  2 x  .   2 g ( x)  0  f (1  2 x)  0 . f (1 2 x ) 1 1 .ln   = g ( x)  2ln 2. f  1  2 x  .   2 2 f (1 2 x ) Từ đồ thị của hàm số y  f ( x) ta thấy x  1 1  2 x  1  1 . f (1  2 x)  0     x  0 1  1  2 x  2   2 33 x  1 Hay g ( x)  0   1 .   x  0  2  1  Như vậy trên mỗi khoảng   ;0  , 1;    hàm số y  g ( x) nghịch biến.  2  Soi các phương án ta thấy phương án D thỏa yêu cầu đề bài. Câu 55: Cho hàm số f ( x) có đồ thị của f '( x) như hình vẽ bên. Có bao nhiêu số nguyên m [ 5; 5] để hàm số f ( x m) nghịch biến trên khoảng (1; 2)? A. 4. B. 3. C. 6. D. 5. Lời giải Chọn D Đặt g( x) f '( x YCBT f '(t) m). Ta có g '( x) f (x m) m). 0, x (1; 2) 0, t (1 m; 2 2 m 1 1 1 m 2 f '( x m) với t m m 3 3 m m 0 1 x m m 3 0 m 1 Vì m [ 5; 5] nên m { 5; 4; 3; 0;1}. Câu 56: Cho hàm đa thức bậc ba y g( x) A. f ( x) có đồ thị hàm số y f '( x) như hình vẽ. Hàm số f ( x x2 ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 1 ;0 . 2 B. ( 1;0). C. ( 2; 1). D. (1;2). Lời giải 34 Chọn D g '( x) ( 1 2x) f '( x x2 ) x g '( x) 0 x x 1 2 x2 x 2 1 2 x 0 x 0 1 x 1 Bảng biến thiên Vậy Chọn D Câu 57: Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu của đạo hàm như sau  x 1  1 3 3 2 Đặt g  x   f    x  x  2 x  3 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 2  2  3 A. Hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng  1;0  . B. Hàm số g  x  đồng biến trên khoảng  0; 2  . C. Hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng  4; 1 . D. Hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng  7;   . Lời giải Chọn B Ta có g   x   1  x 1  2 1   x 1   2 f    x  3x  2   f     2 x  6 x  4 . 2  2  2  2   35 Hàm số nghịch biến  x  1  2 x 2  6 x  4  0   x  2    x 1  2   5  x  1  1 khi g   x   0  f     2x  6x  4  0     x 1   2  2 2 f  2 0  2     x  1 3    2  x  1   4  x  1  x  2   .   4  x  2  x  7   x  7  Từ đó suy ra B sai. Câu 58: Cho hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên. Hàm số g  x   log 2  f  2 x   đồng biến trên khoảng A. 1; 2  . B.  ; 1 . C.  1;0  . D.  1;1 . Lời giải Chọn A Ta có g   x   2 f   2x . f  2 x  ln 2 1  1 2 f   2x  1  2 x  1    x   0  f   2x   0    2 Hàm số đồng biến khi g   x   2.  f  2 x  ln 2 2 x  2 x  1 có f  0   0 và đồ thị hàm số y  f   x  như hình Câu 59: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên vẽ dưới đây. y 4 1 O x 1 2 Hàm số y  3 f  x   x3 đồng biến trên khoảng 36 A.  2;   . C.  0; 2  . B.  ; 2  . D. 1;3 . Lời giải Chọn C Xét hàm số g  x   3 f  x   x3 có g   x   3 f   x   3x2  0  f   x   x 2 . Vẽ đồ thị hàm số y  x 2 cắt đồ thị y  f   x  tại 3 điểm x  0, x  1, x  2 (như hình vẽ). y 4 1 O x 1 2 Từ đây ta có bảng biến thiên của hàm số y  g  x  (như hình trên). Dùng phép đối xứng đồ thị, ta thu được hàm số y  g  x  đồng biến trên khoảng  0; 2  và  a;   với a  2 . Câu 60: Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ. Biết rằng 1  f  x   3 , x  . Hàm số y  f  f  x   x3  6 x 2  1 nghịch biến trên khoảng A.  3; 4  . B.  3; 2  . D.  2;1 . C. 1;3 . Lời giải Chọn A Ta có y  0  f   x  . f   f  x   3x 2  12 x  0 (*) Theo đề bài 1  f  x   3 , x  nên f   f  x    0 , x  . Vậy ta chỉ cần các điều kiện sau để thỏa (*) là 37    f  x  0  x   ;1   3; 4    x   0;1   3; 4  .  2 x  0; 4   3 x  12 x  0     Câu 61: Cho đồ thị hàm số y  f  2  x  như hình vẽ Hàm số y  f  x 2  3 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  0;1 . B. 1;3 . C.  ; 1 . D.  1;0  . Lời giải Chọn A Gọi  C  là đồ thị hàm số y  g  x   f  2  x  . Tịnh tiến  C  sang trái 2 đơn vị ta được đồ thị hàm số y  g  x  2   f   x  . Lấy đối xứng đồ thị hàm số y  f   x  qua Oy ta được đồ thị hàm số y  f  x  . 38 Ta có y  f  x 2  3  y  2 x. f   x 2  3 . x  0 x  0 x  0   2 y  0    x  3  0  x   3 . 2  f   x  3  0 x   6  x2  3  3   Bảng xét dấu y  Vậy hàm số y  f  x 2  3 nghịch biến trên khoảng  0;1 . Câu 62: Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu đạo hàm f   x  như sau: Hàm số y  f  x 2  2 x  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  2;1 . B.  4;  3 . C.  0;1 . D.  2;  1 . Lời giải Chọn D   Đặt: y  g  x   f  x 2  2 x  ; g   x   f  x 2  2 x     2 x  2  . f   x 2  2 x  .  x  1  2 2 x  2  0 x  2 x  2  voâ nghieä m  2 g   x   0   2 x  2 . f   x  2x   0     2 2 x  2x  1  f   x  2 x   0   x 2  2 x  3 39  x  1   x  1  2   x  1  2 . ( x  1  2 là các nghiệm bội chẵn của phương trình: x2  2 x  1 ). x  1   x  3 Ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số y  f  x 2  2 x  nghịch biến trên khoảng  2;  1 . Chú ý: Cách xét dấu g   x  :   Chọn giá trị x  0  1;  1  2  x2  2 x  0  g   0   f   0   0 (dựa theo bảng xét   dấu của hàm f   x  ). Suy ra g   x   0 , x  1;  1  2 . Sử dụng quy tắc xét dấu đa thức “lẻ đổi, chẵn không” suy ra dấu của g   x  trên các khoảng còn lại. Câu 63: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên và hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y  g  x   f 1  2 x  x 2   2020 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.  1;0  . B.  0;1 . C.  2;3 . D.  3;5 . Lời giải 40 Chọn B Ta có g  x    2  2 x  . f  1  2 x  x 2  . 2  2 x  0 g  x   0   2  f  1  2 x  x  x  1  x  1  x  1  2 .  1  2 x  x  2   x  3  0 1  2 x  x 2  1 x  1 3    x  1  3 Bảng biến thiên:   Dựa vào bảng biến thiên hàm số g  x  đồng biến trên khoảng   ;  1 và 1  3 ;1 và 1   3 ;3 . Mà (0;1)  (1  3;1) nên hàm số y  g  x   f 1  2 x  x 2   2020 đồng biến trên (0;1) . Câu 64: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x.  x  2   x  5 . Hàm số g  x   f 10  5x  2 3 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.  ;1 . B. 1;2  . C.  2;   . D. 1;3 . Lời giải Chọn B Ta có g  x   10  5x  . f  10  5x   5. f  10  5x  . 41 x  2 10  5x  0  12  . g  x   0  f  10  5x   0  10  5x  2   x  5  10  5x  5 x  1  Bảng xét dấu g( x ) Vậy hàm số g  x  đồng biến trên khoảng 1;2  . Câu 65: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f ( x)  x( x  1)2 ( x  2) với mọi giá trị thực của x . Xét  5x  hàm số g ( x)  f  2  . Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?  x 4 A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1) . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 4) . C. Hàm số đạt cực đại tại x  0 . D. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x  1 . Lời giải Sưu tầm:Phạm Hải Dương; Fb: Duongpham Chọn C  2 2   5x   5 x   5 x  20  5 x  5 x  5 x    1  2  2  ,x  Ta có: g   x    2 f    2  2  2 2 2   x 4  x 4 x  4  x  4  x  4   x  4   .  20  5 x 2 0  2 2  x 4  x  2  x  0  5x  0 2 . g ( x)  0   x  4  x  1  5x   2 1 x  4 x 4  5x 2  2 x 4   Bảng biến thiên của hàm số y  g ( x) : 42 Vậy hàm số y  g ( x) đạt cực đại tại x  0 . Câu 66: Cho hàm số f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số g  x   f  2 x 2  x   6 x 2  3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?  1  A.   ;0  .  4  1  B.  ;1 . 4  C.  0;1 . D.  ;0  . Lời giải Chọn A Ta có: g  x   f  2 x 2  x   6 x 2  3x  g   x    4 x  1 f   2 x 2  x   12 x  3   4 x  1  f   2 x 2  x   3 . 43  1 x  4  2 2 x  x  1 voâ nghieä m  4 x  1  0  2 g  x  0   2  f 2 x  x   3 2 x  x  1    2 x 2  x  0  2 x 2  x  2  nghieä m keù p    1 x  4  x  1  1 x   2  x  0  . x  1  2   x  1  17 nghieä m keù p    4   x  1  17 nghieä m keù p    4 Ta có : g '  2   9  f '(10)  3 dựa vào đồ thì f '  x  ta thấy f ' 10   3  f ' 10   3  0  g '  2   0 . Ta có bảng xét dấu như sau:   1   1 1   1  17   1  17 ;   . Xét dấu g   x  ta được g   x   0, x    ;0    ;   1;    4   4  2  4 2    1  17   1  1 1 Suy ra g  x  đồng biến trên các khoảng   ;0  và  ;  và 1;  và 4  2  4 2    1  17  ;   .   4  44  1   1  Mà   ;0     ;0  nên hàm số g  x   f  2 x 2  x   6 x 2  3x đồng biến trên khoảng  4   2   1    ;0  .  4  Câu 67: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x   (3  x) 10  3x   x  2  với mọi x  . Hàm 2 2 1 số g  x   f  3  x   ( x 2  1)3 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? 6 1  A.  ;0  . B.  0;1 . C. 1;   . D.  ;   . 2  Lời giải Chọn D Ta có g '  x    f '  3  x   x( x 2  1)2 . Theo giả thiết f '  x   (3  x) 10  3x   x  2  nên f '  3  x   x  3x  1 1  x  2 2 2 2 Từ đó suy ra g '  x    x  3x  1 1  x   x( x 2  1)2  x( x  1)2 (3x  1)2  ( x  1)2   x( x  1)2 (8x 2  4 x) 2 2  x2 ( x  1)2 (8x  4)   x  0(nghiÖm kÐp)  Khi đó g '  x   0   x  1(nghiÖm kÐp)  1 x    2 Bảng biến thiên 1  Khi đó hàm số đồng biến trên  ;   . 2  Câu 68: Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau 45 Hàm số y   f  x    3  f  x   nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 3 A.  2;3 . 2 C.  3; 4  . B. 1;2  . D.   ;  1 . Lời giải Chọn A Ta có y  3  f  x   . f   x   6 f  x  . f   x  . 2 y  3 f   x  . f  x   f  x   2 .  f  x  0  y  0   f  x   0 . f x 2     x  x2   x1 ;1 x  1  x  2  x  x1  1 x  x3  1; 2   + f  x  0  ; f  x  0   ; f  x  2   .  x  3 x  x4  4 x  4    x  3 x  4 + Bảng xét dấu của y  Từ bảng xét dấu suy ra hàm số y   f  x    3  f  x   nghịch biến trên khoảng  2;3 . 3 2 Câu 69: Cho hàm số y  f  x  , hàm số f   x   x3  ax 2  bx  c  a, b, c   có đồ thị như hình vẽ 46 Hàm số g  x   f  f   x   nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1;   . B.  ; 2  . C.  1;0  .  3 3 D.   ;  . 3 3   Lời giải Chọn B Vì các điểm  1;0  ,  0;0  , 1;0  thuộc đồ thị hàm số y  f   x  nên ta có hệ: 1  a  b  c  0 a  0    b  1  f   x   x 3  x  f ''  x   3x 2  1 c  0 1  a  b  c  0 c  0   Ta có: g  x   f  f   x    g   x   f   f   x   . f ''  x   x3  x  0  3 x  x 1 3 2 Xét g   x   0  g   x   f   f '  x   . f   x   0  f   x  x  3x  1  0   3 x  x  1  3x 2  1  0   x  1  x  0    x  x1 ( x1  1,325 )  x  x2 ( x2  1,325)  3   x   3 Bảng biến thiên 47 Dựa vào bảng biến thiên ta có g  x  nghịch biến trên  ; 2  Câu 70: Cho hàm số y  f  x  liên tục có đạo hàm trên . Biết hàm số f '  x  có đồ thị cho như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc  2019;2019 để hàm só g  x   f  2019x   mx  2 đồng biến trên  0;1 A. 2028 . B. 2019 . C. 2011 . D. 2020 Lời giải Chọn D Ta có g '  x   2019x ln 2019. f '  2019 x   m . Ta lại có hàm số y  2019x đồng biến trên  0;1 . Với x  0;1 thì 2019x  1; 2019 mà hàm y  f '  x  đồng biến trên 1;   nên hàm y  f '  2019 x  đồng biến trên  0;1 Mà 2019x  1; f '  2019x   0  x   0;1 nên hàm h  x   2019x ln 2019. f '  2019x  đồng biến trên  0;1 Hay h  x   h  0   0,  x  0;1 Do vậy hàm số g  x  đồng biến trên đoạn  0;1  g '  x   0,  x  0;1  m  2019x ln 2019. f '  2019 x  ,  x  0;1  m  min h  x   h  0   0 x0;1 Vì m nguyên và m  2019;2019  có 2020 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 71: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên và có đồ thị hàm f   x  như hình vẽ dưới đây. Hàm số g  x   f  x 2  x  đồng biến trên khoảng nào? 48