100 đề thi học sinh giỏi môn toán 8

Tailieumontoan.com  Sưu tầm và tổng hợp 100 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 8 Thanh Hóa, ngày 22 tháng 4 năm 2020 2 Website:tailieumontoan.com ĐỀ SỐ 1. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8 Câu 1. (3 điểm) a) Phân tích đa thức a 2  b  c   b2  c  a   c 2 a  b  thành nhân tử b) Cho a, b,c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:  a  b  c   a 2  b2  c 2 2 Tính giá trị của biểu thức: P  a2 b2 c2   a 2  2bc b2  2ac c 2  2ab    c) Cho x  y  z  0. Chứng minh rằng: 2 x5  y5  z5  5xyz x2  y 2  z2  Câu 2. (2 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để n  18 và n  41 là hai số chính phƣơng 2 2  1  1 25 b) Cho a, b  0 thỏa mãn a  b  1. Chứng minh  a     b    b  a 2  Câu 3. (1 điểm) Cho hình bình hành ABCD có góc ABC nhọn. Vẽ ra phía ngoiaf hình bình hành các tam giác đều BCE và DCF. Tính số đo EAF Câu 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có các đƣờng cao AA', BB',CC' và H là trực tâm a) Chứng minh BC'.BA  CB'.CA  BC2 HB.HC HA.HB HC.HA   1 AB.AC BC.AC BC.AB c) Gọi D là trung điểm của BC. Qua H kẻ đƣờng thẳng vuông góc với DH cắt AB,AC b) Chứng minh rằng: lần lƣợt tại M và N. Chứng minh H là trung điểm của MN. Câu 5. (1 điểm) Cho hình vuông ABCD và 2018 đƣờng thẳng cùng có tính chất chia hình vuông này thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng 2 . Chứng minh rằng có ít nhất 505 đƣờng 3 thẳng trong 2018 đƣờng thẳng trên đồng quy. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. a) a 2  b  c   b2  c  a   c 2  a  b   a 2  b  c   b2 a  c   c 2 a  b   a 2  b  c   b2  a  b    b  c    c 2  a  b    a 2  b2   b  c  c 2   b2  a  b    a  b  a  b  b  c    b  c  b  c  a  b    a  b  b  c  a  b  b  c    a  b  b  c  a  c  Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 3 Website:tailieumontoan.com b) a  b  c  2  a 2  b2  c 2  ab  ac  bc  0 a2 a2 a2   a 2  2bc a 2  ab  ac  bc  a  b  a  c  b2 b2 Tƣơng tự: 2  b  2ac  b  a  b  c  c2 c2  c 2  2ac  c  a  c  b  ; a2 b2 c2 P 2   a  2bc b 2  2ac c 2  2ab a2 b2 c2     a  b  a  c   a  b  b  c  a  c  b  c    a  b  a  c  b  c   1  a  b  a  c  b  c  c) Vì x  y  z  0  x  y  z   x  y   z3 3 Hay x3  y3  3xy  x  y   z3  3xyz  x3  y3  z3 Do đó:       x  y  z   y z  x   z x  y  3xyz x2  y 2  z2  x 3  y 3  z 3 x 2  y 2  z 2  x5  y5  z5 3 2 2 3 2 2 Mà x2  y2   x  y   2xy  z2  2xy  Vi 3 2 2 x  y  z  2 Tƣơng tự: y2  z2  x2  2yz; z2  x2  y2  2zx        Vì vậy: 3xyz x2  y2  z2  x5  y5  z5  x3 x2  2yz  y 3 y 2  2zx  z3 z2  2xy     2 x5  y5  z5  2xyz x2  y 2  z2      Suy ra : 2 x5  y5  z5  5xyz x2  y 2  z2  Câu 2. a) Để n  18 và n  41 là hai số chính phƣơng  n  18  p2 và n  41  q 2  p,q    p2  q 2   n  18    n  41  59   p  q  p  q   59 p  q  1 p  30  Nhƣng 59 là số nguyên tố, nên:  p  q  59 q  29 Từ n  18  p2  302  900  n  882 Thay vào n  41, ta đƣợc 882  41  841  292  q 2 Vậy với n  882 thì n  18 và n  41 là hai số chính phƣơng b) Có:  a  b   0  a 2  b2  2ab  0  a 2  b2  2ab 2 (*) Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b 2  1  25  1 Áp dụng  *  có:  a     5a   b 4 b   Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp 2 ;  1  25  1  b  a   4  5 b  a      TÀI LIỆU TOÁN HỌC 4 Website:tailieumontoan.com 2 2   1  1  25 1  1   5  a     b    Suy ra:  a     b    b  a 2 b  a    2 2 2 2   1  1  25  1 1   a     b     5  a  b       b  a 2   a b    1  1  25 1 1  a     b     5  5    (Vi b  a 2  a b a  b  1) 1 1 4   4 a b ab Với a, b dƣơng , chứng minh a  b  1) (Vi Dấu bằng xảy ra khi a  b 2 2  1  1  25 Ta đƣợc:  a     b     5  5.4 b  a 2  2 2 1  1  1 25 . Dấu đẳng thức xảy ra  a  b   a     b    2 b  a 2  Câu 3. A D C B F E Chứng minh đƣợc ABE  ECF Chứng minh đƣợc ABE  FCE  c.g.c   AE  EF Tƣơng tự: AF  EF  AE  EF  AF  AEF đều  EAF  600 Câu 4. A C' H B' N M B Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp A' D C TÀI LIỆU TOÁN HỌC 5 Website:tailieumontoan.com BH  AB BH Chứng minh BHA' BCB'   BC Từ (1) và (2)  BC'.BA  BA'.BC a) Chứng minh BHC' BAB'  BC'  BH.BB'  BC'.BA BB' BA'  BH.BB'  BC.BA' BB' (1) (2) Tƣơng tự : CB'.CA  CA'.BC  BC'.BA  CB'.CA  BA'.BC  CA'.BC   BA' A'C  .BC  BC2 b) Có BH BC' BH.CH BC'.CH S BHC     AB BB' AB.AC BB'.AC S ABC Tƣơng tự:  AH.BH S AHB AH.CH S AHC  ;  CB.CA S ABC CB.AB S ABC HB.HC HA.HB HC.HA S ABC    1 AB.AC AC.BC BC.AB S ABC CDH  g.g   HM AH  HD CD AH HN Chứng minh AHN BDH  g.g    BD HD Mà CD  BD (gt) (5) c) Chứng minh AHM Từ  3  ,  4  ,  5   (3) (4) HM HN   HM  HN  H là trung điểm của MN HD HD Câu 5. Gọi E,F,P,Q lần lƣợt là trung điểm của AB,CD, BC,AD. Lấy các điểm I,G trên EF và K,H trên PQ thỏa mãn: IE HP GF KQ 2     IF HQ GE KP 3 Xét d là một trong các đƣờng thẳng bất kỳ đã cho cắt hai đoạn thẳng AD, BC,EF lần lƣợt tại M,N,G'. Ta có: AB.  BM  AN  S ABMN 2 2 EG' 2 2       G  G' hay d qua G. S CDNM 3 G' F 3 CD.  CM  DN  3 2 Từ lập luận trên suy ra mỗi đƣờng thẳng thỏa mãn yêu cầu của đề Câu đều đi qua một trong 4 điểm G,H,I,K Do có 2018 đƣờng thẳng đi qua 1 trong 4 điểm G,H,I,K theo nguyên lý Dirichle phải tồn  2018  tại ít nhất    1  505 đƣờng thẳng cùng đi qua một điểm trong 4 điểm trên.  4  Vậy có ít nhất 505 đƣờng thẳng trong số 2018 đƣờng thẳng đã cho đồng quy. (Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa) Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 6 Website:tailieumontoan.com ĐỀ SỐ 2. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8 Câu 1. (3 điểm)   1) Chứng minh :  x  y  x3  x2 y  xy 2  y 3  x4  y 4   2) Phân tích đa thức thành nhân tử: x  x  2  x2  2x  2  1 3) Tìm a, b,c biết: a 2  b2  c2  ab  bc  ac và a8  b8  c8  3 Câu 2. (4 điểm) y2  x2 y2  xy 2  x2 Cho biểu thức: P    2 với x  0; y  0; x  y   . 2 2  x  x  xy xy xy  y  x  xy  y 2 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tính giá trị của biểu thức P, biết x, y thỏa mãn đẳng thức: x2  y2  10  2  x  3y  Câu 3. (4 điểm) 1) Giải phƣơng trình:  6x  8  6x  6  6x  7   72 2 2) Tìm các cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn: x2  x  3  y 2 Câu 4. (2 điểm) Cho các số a, b,c thỏa mãn 1  a, b,c  0. Chứng minh rằng: a  b2  c3  ab  bc  ca  1 Câu 5. (5,5 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đƣờng chéo cắt nhau tại O.Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho IOM  900 (I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông). Gọi N là giao điểm của AM và CD , K là giao điểm của OM và BN. 1) Chứng minh BIO  CMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a 2) Chứng minh BKM  BCO 3) Chứng minh 1 1 1   2 2 CD AM AN2 Câu 6. (1,5 điểm) Cho tam giác ABC  AB  AC  , trọng tâm G. Qua G vẽ đƣờng thẳng d cắt các cạnh AB,AC theo thứ tự ở D và E. Tính giá trị biểu thức AB AC  . AD AE HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.  1) Ta có:  x  y  x3  x2 y  xy2  y 3 Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp  TÀI LIỆU TOÁN HỌC 7 Website:tailieumontoan.com  x4  x3 y  x2 y 2  xy 3  x 3 y  x 2 y 2  xy 3  y 4  x4  y4 Vậy đẳng thức đƣợc chứng minh.      x  x  2  x 2  2x  2  1  x 2  2x x 2  2x  2  1   x   2  2) Ta có:  x 2  2x  2 x 2  2x  1 2   2x  1   x  1 2 4 3) Biến đổi a 2  b2  c2  ab  bc  ca về  a  b    b  c    c  a   0 2 2 2 Lập luận suy ra a  b  c Thay a  b  c vào a8  b8  c8  3 ta có: 3a8  3  a8  1  a  1 a  b  c  1 Vậy  a  b  c  1 Câu 2. 1) Với x  0; y  0; x  y ta có:   2 2 2 2 xy 2  x y  x  y  x  y   xy  P  . 2 x   x  xy  y 2 xy  x  y    xy 2 xy  x  y    x  y  x  y    . 2 x xy  x  y  x  xy  y 2 2   2 2 xy 2  x  y  x  xy  y   . 2 x xy  x  y  x  xy  y 2  2 xy xy   x xy xy 2) Ta có: x2  y2  10  2  x  3y   x 2  2x  1  y 2  6y  9  0   x  1   y  3   0 2 2 x  1 (tm) Lập luận    y  3 Nên thay x  1; y  3 vào biểu thức P  Câu 3. x  y 1   3  2   xy 1.  3  3   1) Đặt 6x  7  t. Ta có:  t  1 t  1 t 2  72  t 2  1 t 2  72  t 4  t 2  72  0  2 x   3  t  3   x   5  3 Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 8 Website:tailieumontoan.com 2 5  Vậy phƣơng trình có tập nghiệm S   ;  3 3 2) x2  x  3  y2  4x2  4x  12  4y 2   2x  1  4y 2  11 2   2x  2y  1 2x  2y  1  11  2x  2y  1  1 x  3    2x  2y  1  11  y  3  2x  2y  1  1 x  2    2x  2y  1  11  y  3   2x  2y  1  11  x  2  2x  2y  1  1  y  3    2x  2y  1  11 x  3   2x  2y  1  1   y  3  Câu 4. Vì b,c  0;1 nên suy ra b2  b; c 3  c Do đó : a  b2  c3  ab  bc  ca  a  b  c  ab  bc  ca (1) Lại có: a  b  c  ab  bc  ca   a  1 b  1 c  1  abc  1 (2) Vì a, b,c  0;1 nên  a  1 b  1 c  1  0; abc  0 Do đó từ  2   a  b  c  ab  bc  ca  1  3 Từ (1) và (3) suy ra a  b2  c3  ab  bc  ca  1 Câu 5. A E  I B O M K C N D  1) IBO  MCO  450 (Tính chất đƣờng chéo hình vuông) BO  CO (tính chất đƣờng chéo hình vuông) BOI  COM (cùng phụ với BOM)  BIO  CMO  g.c.g   S BIO  SCMO mà S BMOI  S BOI  S BMO Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 9 Website:tailieumontoan.com 1 1 Do đó: S BMOI  SCMO  S BMO  S BOC  S ABCD  a 2 4 4 2) Ta có: BIO  CMO(cmt)  CM  BI  BM  AI Vì CN / /AB nên BM AM IA AM     IM / /BN CM MN IB MN Ta có: OI  OM  BIO  CMO   IOM cân tại O  IMO  MIO  450 Vì IM / /BN  BKM  IMO  450  BKM  BCO 3) Qua A kẻ tia Ax vuông góc AN cắt CD tại E. Chứng minh ADE  ABM  g.c.g   AE  AM Ta có: ANE vuông tại A có AD  NE SAEN  2 2 AD.NE AN.AE   AD.NE  AN.AE   AD.NE    AN.AE  2 2 Áp dụng định lý Pytago vào ANE ta có: AN2  AE2  NE2 AN2  AE2 1 1 1 1     2 2 2 2 2 AN .AE AD AE AN AD2 1 1 1 Mà AE  AM và CD  AD    2 2 CD AM AN2 Câu 6.    AD2 . AN2  AE2  AN2 .AE 2  A D B E G I M d C K Gọi M là trung điểm của BC AB AI  AD AG AC AK Qua C vẽ đƣờng thẳng song song với d cắt AM tại K, ta có:  AE AG AB AC AI  AK Từ (1) và (2) suy ra   (3) AD AE AG Qua B vẽ đƣờng thẳng song song với d cắt AM tại I, ta có: (1) (2) Mặt khác : AI  AK   AM  MI    AM  MK   2AM  4  Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 Website:tailieumontoan.com (Vì MI  MK do BMI  CMK) Từ (3) và (4) suy ra AB AC 2AM 2AM    3 2 AD AE AG AM 3 (Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa) ĐỀ SỐ 3. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8 Câu 1. (4 điểm)  1 2 5  x  1  2x   : 2 Cho biểu thức: A   2   1 x 1 x 1 x  x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên c) Tìm x để A  A Câu 2. (6 điểm) a) Giải phƣơng trình: x4  x2  6x  8  0 b) Tìm nghiệm tự nhiên của phƣơng trình: x2  2x  10  y2 c) Cho a 3  b3  c3  3abc với a, b,c  0  a  b  c Tính giá trị biểu thức P   1   1   1   b  c  a   Câu 3. (4 điểm) a) Tìm các số có 3 chữ số chia hết cho 7 và tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 7 b) Cho x, y,z là các số thực dƣơng thỏa mãn: x  y  z  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M  1 1 1   16x 4y z Câu 4. (4 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB  a  12cm, BC  b  9cm. Gọi H là chân đƣờng vuông góc kẻ từ A xuống BD a) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD b) Tính độ dài đoạn thẳng AH c) Tính diện tích tam giác AHB Câu 5. (2 điểm) Cho tam giác đều ABC. Gọi M,N lần lƣợt là các điểm trên các cạnh AB và BC sao cho BM  BN. Gọi G là trọng tâm BMN và I là trung điểm của AN. Tính các góc của tam giác ICG. Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. a) ĐKXĐ: x  1; x  1 2  1  x  2 1  x    5  x   x2  1 A . 2   1  2x 1  x   2 2 x  1 2  .  2 1  x 1  2x 1  2x x  1(ktm) b) A nguyên, mà x nguyên nên 2 1  2x  , từ đó tìm đƣợc  x  0(tm) Vậy x  0 c) Ta có: A  A  A  0  1  2x  0  x  Kết hợp với điều kiện : 1  x  Câu 2. 1 2 1 2   a) Phân tích đƣợc  x  1 x3  x2  2x  8  0     x  1 x  2  x2  x  4  0 (1) x  1  0 x  1  Vì x2  x  4  0  1   x  2  0  x  2 x2  2x  10  y 2   x  1  y 2  11 2 b) Ta có:   x  1  y  x  1  y   11 (2) Vì x, y  nên x  1  y  x  1  y  0 (2) viết thành:  x  1  y  x  1  y   11.1 x  1  y  11 x  5   x  1  y  1 y  5 Vậy  x; y    5; 5 c) Biến đổi giả thiết về dạng: 2 2 2 1 a  b  c   a  b    b  c    c  a    0    2 a  b  c  0  a  b  c  c  a   b  Với a  b  c  0 tính đƣợc: P       1  b  c  a  Với a  b  c tính đƣợc: P  2.2.2  8 Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 12 Website:tailieumontoan.com Câu 3. a) Gọi số có ba chữ số cần tìm là abc Ta có: abc   98a  7b   2a  3b  c Vì abc 7  2a  3b  c 7 Mặt khác, vì a  b  c 7 (3) (4),k ết hợp với (3) suy ra b  c 7 Do đó b  c chỉ có thể nhận các giá trị 7; 0;7 Với b  c  7  c  b  7. Kết hợp với (4) ta chọn đƣợc các số 707; 518; 329 thỏa mãn. Với b  c  7  b  c  7. Đổi vai trò b và c của trƣờng hợp trên ta đƣợc các cặp số 770,581,392 thỏa mãn Câu toán. Với b  c  0  b  c mà do (4) nên a  2b 7 Do 1  a  2b  27 nên a  2b chỉ có thể nhận các giá trị 7;14; 21. Từ đó ta chọn đƣợc 12 số thỏa mãn là 133; 322; 511;700; 266; 455 ; 644; 833; 399; 588; 777; 966 Vậy có 18 số thỏa mãn Câu toán: 707; 518; 329;770; 581; 392 ;133; 322; 511;700 ; 266 ; 455; 644; 833; 399; 588;777; 966. b) Vì x  y  z  1 nên: M   1 1 1  1 1 1        x  y  z 16x 4y z  16x 4y z  y  x 21  x z  y z         16  4y 16x   z 16x   z 4y  y 16x2  4y 2  4x  2y   2.4x.2y  4x  2y  1 1 x Ta có:        x, y  0  4y 16x 64xy 64xy 64xy 4 4 2 Tƣơng tự: 2 x z 1 y z   ;   1  x, y  0  z 16x 2 z 4y  1 x  7 4x  2y  z  21 1 1 49 2   Từ đó M  . Dấu "  " xảy ra  x  y  z  1   y    1 16 4 2 16 7 x, y, z  0   4  x  7  Vậy GTNN của M là 49 1 2 4  x  ;y  ;z  16 7 7 7 Câu 4. A B H D C a) Chứng minh đƣợc AHB BCD(g.g) Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 13 Website:tailieumontoan.com b) AHB BCD(cmt)  AH AB a.b   AH  BC BD BD Áp dụng định lý Pytago đƣợc: BD  AD2  AB2  225  15  cm  12.9  7, 2(cm) 15 AH 7.2 c) AHB BCD theo tỉ số k   BC 9 Từ đó tính đƣợc: AH  Gọi S,S' lần lƣợt là diện tích của BCD và AHB , ta có: S  54cm2 2 2 S'  7.2   7.2  2  k2    S'     .54  34, 56(cm ) S 9 9     Vậy diện tích tam giác AHB bằng 34, 56(cm 2 ) Câu 5. B G M P N K I C A Ta có BMN là tam giác đều , nên G là trọng tâm của BMN. Gọi P là trung điểm của MN, GP 1  (tính chất trọng tâm tam giác đều) GN 2 GP PI PI 1 PI 1 Lại có:     suy ra (1) GN NC 2 MA NC 2 Ta có: Mặt khác: GPI  GPM  MPI  900  600  1500 Và GNC  GNP  PNC  300  1200  1500 , do đó : GPI  GNC (2) Từ (1) và (2) suy ra GPI Mà IGC  600 GNC(c.g.c)  PGI  NGC và GI  IGC  PGN  60  1 GC 2 0 Gọi K là trung điểm của GC thì GI  GK  1 1 GC, suy ra GIK đều nên IK  GC 2 2 Điều này chứng tỏ GIC vuông tại I Vậy GIC  900 ; IGC  600 ; GCI  300 (Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa) Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 14 Website:tailieumontoan.com ĐỀ SỐ 4. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8 Câu 1. (2 điểm)    a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x2  2x x2  2x  1  6 b) Đa thức f  x   4x 3  ax  b chia hết cho các đa thức x  2; x  1. Tính 2a  3b Câu 2. (2 điểm) a) Cho a n  1  2  3  ...  n. Chứng minh rằng a n  a n 1 là một số chính phƣơng b) Chứng minh rằng vơi mọi số tự nhiên n thì phân số 10n 2  9n  4 tối giản 20n 2  20n  9 Câu 3. (3 điểm) a) Cho x3  y3  z3  3xyz. Hãy rút gọn phân thức : P  b) Tìm tích: M  xyz  x  y  y  z  z  x  14  4 54  4 9 4  4 17 4  4 . . .... 34  4 7 4  4 114  4 19 4  4 Câu 4. (4 điểm) a) Cho x  by  cz; y  ax  cz; z  ax  by và x  y  z  0; xyz  0 . 1 1 1   2 1 a 1 b 1 c yz xz xy 1 1 1 b) Cho    0, tính giá trị của biểu thức P  2  2  2 x y z x y z CMR: Câu 5. (3 điểm) Cho biểu thức : P   x1 x2  x 1 2  x2  :     1  x x2  x  x2  2x  1  x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P  1 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x  1 Câu 6. (3 điểm) Cho hình vuông ABCD, gọi E,F thứ tự là trung điểm của AB, BC. a) Chứng minh rằng: CE  DF b) Gọi M là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng: AM  AD Câu 7. (3 điểm) Cho tam giác ABC. Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFH. a) Chứng minh rằng EC  BH; EC  BH b) Gọi M,N thứ tự là tâm của các hình vuông ABDE,ACFH. Gọi I là trung điểm của BC. Tam giác MNI là tam giác gì ? Vì sao ? HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. a)  x  1 x  3  x 2  2x  2 Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp  TÀI LIỆU TOÁN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com b) Đa thức f(x)  4x 3  ax  b chia hết cho các đa thức x  2; x  1 nên: f  2   0  32  2a  b  0(1) f( 1)  0  4  a  b  0 (2) Từ  1 và  2  ta tìm đƣợc a  12; b  8 Vậy 2a  3b  0 Câu 2. a) Ta có: a n1  1  2  3  .....  n  n  1 a n  a n 1  2 1  2  3  .....  n   n  1  2. n  n  1 2  n  1  n 2  2n  1   n  1 là một số chính phƣơng. 2 b) Gọi d là ƢCLN của 10n2  9n  4 và 20n2  20n  9 2 2   10n  9n  4 d 20n  18n  8 d    2n  1 d  d là số tự nhiên lẻ  2 2 20n  20n  9 d 20n  20n  9 d     Mặt khác : 2n  1 d  4n2  4n  1 d  20n 2  20n  5 d  4 d , mà d lẻ nên d  1 Vậy phân số trên tối giản Câu 3. a) Từ x3  y3  z3  3xyz chỉ ra đƣợc x  y  z  0 hoặc x  y  z TH1 : x  y  z  0  x  y  z; x  z   y; y  z  x  P  1 1 TH2 : x  y  z  P  8 2 2 b) Nhận xét đƣợc: n 4  4   n  1  1  n  1  1 . Do đó:       4 M .  2  1 .  4  1  6 1. 2 2  1 2 2 2 2   1 .  8  ...... 16  1 18  1 . 62  1 2 2 2   1 .  20  1  1  1 20  1 401  1 . 18 2  1 2 2 Câu 4. a) Từ giả thiết  2cz  z  x  y  2cz  x  y  z c xyz xyz 1 2z  c 1   2z 2z c 1 x  y  z Tƣơng tự: b) Từ 2y 1 2x 1 1 1 1  ;  . Khi đó:   2 1 a x  y  z 1 b x  y  z 1 a 1 b 1 c 1 1 1 1 1 1 3   0 3  3  3  x y z xyz x y z Khi đó: P  1 yz xz xy xyz xyz xyz 1 1 3  2  2  3  3  3  xyz.  3  3  3   xyz. 3 2 xyz x y z x y z x y z  Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 16 Website:tailieumontoan.com Câu 5. a) ĐKXĐ: x  0; x  1; x  1 Rút gọn P ta có: P  x2 x 1 2  1 3 x    2 2 2 2 4 x x x x1 b) P  1  1 1 0  0  0 x 1 x 1 x 1 x 1  x 1  0  x  1 Vậy với x  1 và x  0; x  1 thì P  1 c) Ta có: P  x2 x2  1  1 1 1   x 1  x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 Khi x  1; x  1  0. Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: x  1  1  2 . Dấu "  " xảy ra khi x 1 và chỉ khi x  2. Vậy GTNN của P bằng 4  x  2 Câu 6. E A B M F 1 D 1 N 2 K C a) Chứng minh đƣợc CBE  DFC  c.g.c   C1  D1 Lại có: C1  C2  900  D1  C2  900  CE  DF b) Gọi K là trung điểm của CD. Chứng mnh đƣợc tứ giác AECK là hình bình hành suy ra AK / /CE Gọi N là giao điểm của AK và DF.DCM có DK  KC và KN / /CM nên N là trung điểm của DM. Vì CM  DM( câu a), KN / /CM  KN  DM Tam giác ADM có AN là đƣờng cao đồng thời là trung tuyến nên là tam giác cân tại A.  AM  AD Câu 7. Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com H E F N A M D B C I a) Chứng minh đƣợc: EAC  BAH  c.g.c   EC  BH, AEC  ABH Gọi K và O thứ tự là giao điểm của EC với BA và BH Xét AEK và OBK có: AEK  OBK; AKE  OKB  EAK  BOK  BOK  900. Vậy EC  BH 1 1 b) Ta có: MI / /EC; MI  EC; IN / /BH; IN  BH 2 2 Mà EC  BH và EC  BH nên MI  IN và MI  IN Vậy tam giác MIN vuông cân tại I (Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa) ĐỀ SỐ 5. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8 Câu 1. (2,0 điểm)  a) Tìm giá trị của a để 21x2  9x3  x  x4  a  x 2 x2  b) Chứng minh rằng n4  2n3  n2  2n chia hết cho 24 với mọi n  Câu 2. (2,0 điểm) a) Cho a  b  c  0. Chứng minh rằng a 3  b3  c3  3abc b) Cho 1 1 1    0, (với x  0; y  0; z  0) x y z Tính giá trị của biểu thức yz xz xy   x2 y 2 z2 Câu 3. (2,5 điểm)  4x 8x2   x  1 2  :   Cho biểu thức : A   2   2  2  x 4  x   x  2x x  a) Tìm điều kiện xác định, rồi rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A  1 c) Tìm các giá trị của x để A  0 Câu 4. (1,5 điểm) Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 18 Website:tailieumontoan.com Chứng minh rằng trong một hình bình hành, khoảng cách từ một điểm trên đƣờng chéo đến hai cạnh kể (hai cạnh kề và đƣờng chéo cùng đi qua một đỉnh của hình bình hành), tỉ lệ nghịch với hai cạnh ấy. Câu 5. (2,0 điểm) Gọi M là diểm nằm trong xOy  m0 (0  m  90). Gọi P, Q lần lƣợt là hình chiếu của M trên Ox,Oy. Gọi H, K lần lƣợt là trung điểm của OM,PQ a) Chứng minh HK  PQ b) Tính số đo HPQ theo m HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. a) Thƣơng: x2  8x  15 và dƣ: a  30 Phép chia hết nên a  30  0  a  30 b)  n 4  2n 3  n 2  2n  n n 3  2n 2  n  2  n  n 2 .  n  2    n  2       n n 2  1  n  2   n  n  1 n  1 n  2  n  n  1 n  1 n  2  là tích 4 số nguyên liên tiếp trong đó phải có 1 số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 4 Nên n  n  1 n  1 n  2  2.3.4  24 Vậy n4  2n3  n2  2n 24 Câu 2. a) a  b  c   a  b  3 3  3 a  b  c  3 a  b  c2  c3 2   a  b   3  a  b  c.  a  b  c   c 3   a  b   c 3 3 3  a 3  3a 2 b  3ab2  b3  c 3  a 3  b3  c 3  3ab(a  b)  a 3  b3  c 3  3ab  c  (Vi a  b  c  0  a  b  c)  a 3  b3  c 3  3abc 1 1 1 b) Với a  ; b  ; c  x y z Áp dụng kết quả câu a ta có: 1 1 1 3  3 3  3 xyz x y z  1 yz xz xy xyz xyz xyz 1 1  2  2  3  3  3  xyz.  3  3  3  2 x y z x y z x y z  3  xyz. 3 xyz Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 19 Website:tailieumontoan.com Câu 3. a) ĐKXĐ: x  0; x  2 2  4x 8x 2   x  1 2  4x  2  x   8x x  1  2  x  2  A  :   :  2   2 2  x x 2  x 2  x x x  2 4  x x  2x        8x  4x 2  8x 2 x  1  2x  4 8x  4x 2 3x  :  :  2  x  2  x  x  x  2   2  x  2  x  x  x  2   4x  2  x   2  x  2  x  . x x  2 3x  4x2 x3  x  1 4x2 2  1  4x  x  3  0   b) A  1  x  3 x3  4 4x2  0  x3 0  x 3 x3 Vậy x  3; x  0; x  2 thì A  0 c) A  0  Câu 4. A B H P M D C N K Kẻ PH  AD; PK  CD; PM / /CD; PN / /AD Chứng minh HMP KNP(g.g) PH PM PH DN (do PMDN là hình bình hành)    PK PN PK PN DN PN Chứng minh DNP DCB  g.g    DC BC DN DC PH DC     (dfcm) PN BC PK BC Câu 5.  x P K M H O Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp Q y TÀI LIỆU TOÁN HỌC 20 Website:tailieumontoan.com 1 OM 2 1 MQO vuông tại Q, đƣờng trung tuyến QH  OM 2  PH  QH  HPQ cân tại H  HK  PQ a) MPO vuông tại P, đƣờng trung tuyến PH  b) MHQ  2MOQ; MHP  2MOP  PHQ  2.POQ  2.m0  PHK  m0  HPQ  900  m0 (Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa) ĐỀ SỐ 6. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8 Câu 1. (2 điểm) Tìm x biết : a) x  2 1  3 3 b) 3x  6561 c)  2x  1 2012   2x  1 2010 Câu 2. (2 điểm) 2012 a) Số tự nhiên A  1  23 là số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích b) Tìm giá trị nhỏ nhất của B  2x2  y2  2xy  8x  2028 c) Tìm x, y,z biết: 10x2  y2  4z2  6x  4y  4xz  5  0 Câu 3. (1,5 điểm) Một khối 8 có 2 3 số học sinh đội tuyển Toán bằng số học sinh đội tuyển Anh và 4 3 4 số học sinh đội tuyển Văn. Đội tuyển Văn có số học sinh ít hơn tổng số học sinh 5 của hai đội tuyển kia là 38 học sinh. Tính số học sinh của mỗi đội tuyển ? bằng Câu 4. (1,5 điểm) Cho x(m  n)  y(n  p)  z(p  m) trong đó x, y,z la các số khác nhau và khác 0, Chứng minh rằng: np pm mn   x(y  z) y  z  x  z  x  y  Câu 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Trên tia đối của tia AC lấy điểm I sao cho AI  AM. a) Chứng minh rằng: CM  BI b) Trên BC lấy điểm P sao cho BP  2CP. Trên nửa mặt phẳng bờ là đƣờng thẳng BC có chứa điểm A, vẽ tia Px sao cho xPB  600. Tia Px cắt tia CA tại D. Tính số đo CBD Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 21 Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. a) x  2 1 1 2 1 1    x    x1 3 3 3 3 3 3 b) 3x  6561 hay 3x  38  x  8 c)  2x  1 2012   2x  1 2010   2x  1 2012   2x  1 2010 2 . 1   2x  1   0     2x  1 2010 .  1  2x  11  2x  1  0   2x  1 2010 0  1 x    2x  1  0 2     2  2x  0   x  1 x  0  2x  0   Câu 2. a) 32012 3 nên có thể viết 32012  3n   A  1  23 2012     1  2  1  2   2    A là hợp số  13  23n  13  2n 3 n n n 2 b)B  2x 2  y 2  2xy  8x  2028  x 2  2xy  y 2  x 2  8x  16  2012   x  y    x  4   2012  2012 2 2 x  y  0 x  4  Đẳng thức xảy ra   x  4  0  y  4 x  4 Giá trị nhỏ nhất của B là 2012    y  4 c)10x 2  y 2  4z 2  6x  4y  4xz  5  0        9x 2  6x  1  y 2  4y  4  4z 2  4xz  x 2  0   3x  1   y  2    2z  x   0 2 2 2  1 x   3 3x  1  0    y  2  0  y  2 2z  x  0  1  z  6  Câu 3. Gọi số học sinh đội tuyển Toán, Anh, Văn thứ tự là x, y,z  x, y, z  Ta có:   x  y   z  38  2 y 2 3 4 x z  x y z   3 4 5 18 16 15  18  16   15 19 Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 22 Website:tailieumontoan.com Tính đúng x  36; y  32; z  30 và kết luận Câu 4. Vì xyz  0 nên: x(m  n)  y(n  p)  z(p  m)  x m  n xyz  y  n  p  z p  m xyz xyz mn np pm hay :   yz xz xy   p  m    n  p   m  n    p  m    n  p   m  n  xy  yz yz  xy np pm mn    x  y  z y z  x z x  y xz  yz Câu 5. a) I A M C B H Tia IM cắt BC tại H ABC vuông cân tại A nên C  450 , IAM vuông cân tại M nên I  450 IHC có C  I  900  H  900  IH  BC Chứng minh đƣợc M là trực tâm IBC  CM  BI b) y D E x A K C B P Gọi E là điểm đối xứng với B qua PD  EP  PB  2PC Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 23 Website:tailieumontoan.com  BPE cân tại P nên đƣờng trung trực của PD cũng là phân giác  BPD  DPE  600  EPC  600 Chứng minh đƣợc EPC vuông tại C Chứng minh đƣợc CD là phân giác của PCE Chứng minh đƣợc ED là phân giác ngoài tại đỉnh E của PCE Chứng minh đƣợc yEP  1500  DEP  750 Chứng minh đƣợc PBD  750 hay CBD  750 (Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa) ĐỀ SỐ 7. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8 Câu 1. (2,0 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức P  xy . Biết x2  2y2  xy  x  y  0; y  0  xy b) Tìm x, y nguyên dƣơng thỏa mãn: x2  y2  2x  4y  10  0 Câu 2. (2,0 điểm) a) Tìm số dƣ trong phép chia của đa thức  x  2  x  4  x  6  x  8   2017 cho đa thức x2  10x  21 b) Cho A  n6  10n4  n3  98n  6n5  26 và B  1  n3  n. Chứng minh với mọi n  thì thƣơng của phép chia A cho B là bội số của 6 Câu 3. (2,0 điểm) a) Cho a và b thỏa mãn : a  b  1. Tính giá trị của biểu thức B  a 3  b3  3ab b) Cho các số thực dƣơng x, y,z thỏa mãn x  y  z  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  1 1 1  2  2 x x y y z z 2 Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC, đƣờng trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đƣờng thẳng song song với AM cắt đƣờng thẳng AB và AC lần lƣợt tại E và F. a) Chứng minh DE  DF  2AM b) Đƣờng thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm của EF 2 c) Ký hiệu S X là diện tích của hình X. Chứng minh SFDC  16SAMC .SFNA Câu 5. (1,0 điểm) Trong một đề thi có 3 Câu toán A, B,C. Có 25 học sinh mỗi ngƣời đều đã giải đƣợc ít nhất một trong 3 Câu đó. Biết rằng: - Trong số thí sinh không giải đƣợc Câu A thì số thì sinh đã giải đƣợc Câu B nhiều gấp hai lần số thí sinh đã giải đƣợc Câu C Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 24 Website:tailieumontoan.com Số thí sinh chỉ giải đƣợc Câu A nhiều hơn số thí sinh giải đƣợc Câu A và thêm Câu - khác là 1 ngƣời Số thí sinh chỉ giải đƣợc Câu A bằng số thí sinh chỉ giải đƣợc Câu B cộng với số thí - sinh chỉ giải đƣợc Câu C. Hỏi có bao nhiêu thí sinh chỉ giải đƣợc Câu B? HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. a) x2  2y2  xy  x2  xy  2y 2  0   x  y  x  2y   0 Vì x  y  0 nên x  2y  0  x  2y Khi đó P  2y  y y 1   2y  y 3y 3 b) Ta có:     x2  y 2  2x  4y  10  0  x 2  2x  1  y 2  4y  4  7  0   x  1   y  2   7   x  y  1 x  y  3   7 2 2 Vì x, y nguyên dƣơng nên x  y  3  x  y  1  0  x  y  3  7 và x  y  1  1  x  3; y  1 Phƣơng trình có nghiệm dƣơng duy nhất  x, y    3,1 Câu 2. a) Ta có:    P(x)   x  2  x  4  x  6  x  8   2017  x2  10x  16 x2  10x  24  2017 Đặt t  x2  10x  21 t  3; t  7  , biểu thức P(x) đƣợc viết lại: P(x)   t  5  t  3   2017  t 2  2t  2002 Do đó khi chia t 2  2t  2000 cho t ta có số dƣ là 2002 b) Thực hiện phép chia , ta đƣợc: Thƣơng của A chia cho B là n3  6n2  11n  6 Ta có: n 3  6n 2  11n  6  n 3  n  12n  6n 2  6    n  1 n  n  1  6 2n  n 2  1  Vì  n  1 n  n  1 là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6   Và 6 2n  n 2  1 chia hết cho 6  Thƣơng của phép chia A cho B là bội số của 6 Câu 3. a) Ta có: B  a 3  b3  3ab  a 3  b3  3ab.  a  b    a  b   1  Vi 3 Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp a  b  1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 25 Website:tailieumontoan.com b) P   1 1 1 1 1 1  2  2    x  x y  y z  z x  x  1 y  y  1 z  z  1 2 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1               x x 1 y y 1 z z 1  x y z   x 1 y 1 z 1 Áp dụng BĐT 1 1 1 1 1 1 1 9  .    với a, b,c dƣơng, dấu bằng xảy ra và    ab 4 a b a b c abc a  bc Ta có:  1 1 1 1  1 1 1 1 1   .   1 ;  .   1 ;  .   1 x 1 4  x  y 1 4  y  z 1 4  z  Bởi vậy : 1 1 1  1 1 1  1 1 1 1 1 1 1  P               .  1   1   1 y z   x y z   x 1 y 1 z 1  x y z  4  x 3 1 1 1 3 3 9 3 9 3 3  .      .     4 x y z 4 4 xyz 4 4 4 2 Vậy MinP  3  x yz1 2 Câu 4. F A N E B a) Lập luận đƣợc: DF DC   do AM MC DE BD  (do AM BM Từ (1) và (2)  D M C AM / /DF  (1) AM / /DE) (2) DE  DF BD  DC BC    2(MB  MC) AM BM BM  DE  DF  2AM b) AMDN là hình bình hành NE AE Ta có:  ND AB NF FA DM AE NE NF       NE  NF ND AC BM AB ND ND Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 26 Website:tailieumontoan.com 2 c) AMC S  FN  FDC  FNA   SFDC  FD  FNA 2 S  AM   ND  FDC  AMC     Do SFDC  FD   FD  S S  ND  Do đó AMC . FNA   SFDC SFDC  FD  2 AM  ND  2 2 4  FN  1  ND FN  1 .        FD  16  FD FD  16 2  SFDC  16SAMC .SFNA Do  x  y   0   x  y   4xy   x  y   16x2 y 2 với x  0; y  0) 2 2 4 Câu 5. Gọi a là số học sinh chỉ giải đƣợc Câu A, b là số thí sinh chỉ giải đƣợc Câu B, c là số thí sinh chỉ giải đƣợc Câu C, d là số thí sinh giải đƣợc 2 Câu B và C nhƣng không giải đƣợc Câu A. Khi đó số thí sinh giải đƣợc Câu A và thêm ít nhất một trong hai Câu B và C là : 25  a  b  c  d Theo Câu ra ta có: b  d  2 c  d a  1  25  a  b  c  d và a  b  c 4b  c  26 b  6  Từ các đẳng thức trên ta có:  d  b  2c  0 c  2 Vậy số thí sinh chỉ giải đƣợc Câu B là 6 thí sinh. (Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa) ĐỀ SỐ 8. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8 Câu 1. (3 điểm) a) Cho biểu thức A  2a 2 b2  2b2c 2  2a 2c 2  a 4  b4  c 4 . Chứng minh rằng nếu a, b,c là 3 cạnh của một tam giác thì A  0 b) Chứng minh rằng a 5  a 30  a   Câu 2. (2 điểm) Giải phƣơng trình : x2  2xy  y2  3x  2y  1  4  2x  x2  3x  2 Câu 3. (1,5 điểm) Cho a 3  b3  2. Chứng minh rằng a  b  2 Câu 4. (1,5 điểm) Cho hình thang ABCD  AB / /CD  , hai đƣờng chéo AC và BD cắt nhau tại O. Một đƣờng thẳng d qua O song song với 2 đáy cắt hai cạnh bên AD, BC lần lƣợt tại E và F. Chứng minh rằng 1 1 2   . AB CD EF Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 27 Website:tailieumontoan.com Câu 5. (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M,N theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC sao cho AN  CM. Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh rằng KD là tia phân giác của AKC HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. a)  A  2a 2 b2  2b2c 2  2a 2c 2  a 4  b4  c 4  4a 2 b2  2a 2 b2  2b2c 2  2a 2c 2  a 4  b4  c 4    2ab   a 2  b2  c 2 2    2ab  a 2 2  b2  c 2  2ab  a 2  b2  c 2     a  b   c 2  c 2   a  b     a  b  c  a  b  c  c  a  b  c  a  b     2 2 Do a, b,c là 3 cạnh của một tam giác nên a  b  c  0;a  b  c  0; c  a  b  0; c  a  b  0  A  0      2 a 5  a  a a 4  1  a a 2  1 a 2  1  a  a  1 a  1  a  4   5    b)  a  a  1 a  1 a  2  a  2   5a  a  1 a  1 Do tích của số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5 và trong 5 số nguyên liên tiếp luôn có ba số nguyên liên tiếp mà tích của chúng chia hết cho 6 và  6, 5   1 Suy ra a  a  1 a  1 a  2  a  2  30 và 5a  a  1 a  1 30. Vậy a 5  a 30 Câu 2. x 2  2xy  y 2  3x  2y  1  4  2x  x 2  3x  2   x  y  1  x  2   x  1 x  2   2x  4 2 (1) Do  x  y  1 2  x  2   x  1 x  2   0 (x, y)  2x  4  0  2  x  2   0  x  2 Với x  2 thì  x  y  1  x  2   x  y  1  x  2;  x  1 x  2   x 2  3x  2 2 2 Khi đó từ phƣơng trình (1)   x  y  1  x  2   x  1  2  x  2    x  y  1   x  2  2  x  1  1    x  2  2 2 2   x  y  1   x  2   0  x  2  0 và x  y  1  0  x  2; y  3(tm) 2 2 Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là :  x; y    2; 3  Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website:tailieumontoan.com Câu 3. Giả sử a  b  2   a  b   23  a 3  b3  3ab  a  b   8  2  3ab a  b   8(a 3  b3  2) 3   3ab  a  b   6  ab  a  b   2  ab  a  b   a 3  b3 a 3  b3  2   ab  a  b    a  b  a 2  ab  b 2    ab  a 2  ab  b2  a 2  2ab  b2  0   a  b   0(Vo 2 ly') Vậy a  b  2 Câu 4. A B O E F D C OE OD (Hệ quả định lý Talet) (1)  AB DB OF OB Xét ABC có OF / /DC  (hệ quả định lý Talet ) (2)  CD BD OF OC Xét ABC có OF / /AB  (hệ quả định lý Ta let ) (3)  AB AC OE AO Xét ABD có OE / /DC  (Hệ quả định lý Ta let ) (4)  DC AC Từ (1), (2), (3), (4) suy ra Xét ABD có OE / /AB  OE OF OF OE OD OB OC AO        AB CD AB DC DB BD AC AC OE OF OF OE OD OB OC AO         AB AB CD DC DB BD AC AC EF EF BD AC EF EF 1 1 2       2   AB DC BD AC AB DC AB CD EF Câu 5. A M I B K J N D C Kẻ DI, DJ lần lƣợt vuông góc với AK,CK Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 29 Website:tailieumontoan.com 1 1 AN.DI  S ABCD (Do chung đáy AD, cùng chiều cao hạ từ N) (1) 2 2 1 1 SCDM  CM.DJ  S ABCD (Do chung đáy CD, cùng chiều cao hạ từ M ) (2) 2 2 1 1 Từ (1) và (2) suy ra : AN.DI  CM.DJ  DI  DJ (Vì AN  CM) 2 2 Ta có: S AND   DIK  DJK (cạnh huyền-cạnh góc vuông)  IKD  JKD  KD là tia phân giác AKC (Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa) ĐỀ SỐ 9. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8 Câu 1. a) Tìm các số nguyên m,n thỏa mãn m  n2  n  1 n 1 b) Đặt A  n3  3n2  5n  3. Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dƣơng của n c) Nếu a chia 13 dƣ 2 và b chia 13 dƣ 3 thì a 2  b2 chia hết cho 13 Câu 2. Rút gọn biểu thức: a) A  bc ca ab    a  b a  c   b  c  b  a   c  a  c  b  6  1  6 1   x  x    x  x6   2    b) B   3  1 1 3  x  x   x  x3   1 1 1 1    .....  1.3 3.5 5.7 2007.2009 Câu 4. Cho 3 số x, y,z thỏa mãn điều kiện xyz  2009. Chứng minh rằng biểu thức sau Câu 3. Tính tổng: S  không phụ thuộc vào các biến x, y,z : y 2009x z   xy  2009x  2009 yz  y  2009 xz  z  1 Câu 5. Giải phƣơng trình: 59  x 57  x 55  x 53  x 51  x      5 41 43 45 47 49 Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 30 Website:tailieumontoan.com Câu 6. Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC. Một góc xMy  600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx,My luôn cắt các cạnh AB và AC lần lƣợt tại D và E. Chứng minh a) BD.CE  BC2 4 b) DM, EM lần lƣợt là tia phân giác của các góc BDE và CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. a) Thực hiện chia m  n2  n  1 1 n n 1 n 1 Để m nguyên với n nguyên khi n  1  U(1)  1 n  1  1  n  0  m  1 Khi đó   n  1  1  n  2  m  3 b) A  n 3  3n 2  3n  1  2n  2   n  1  2  n  1  .... 3  n  n  1 n  2   3  n  1 Khi đó: 3  n  1 3 ; n  n  1 n  2  là tích của 3 số nguyên dƣơng liên tiếp nên chia hết cho 3 A 3 c) a  13k  2, b  13n  3   a 2  b2  13k  2   13n  3   ....  13 13k 2  4k  13n 2  4n  1 13 2 2 Câu 2. a) Rút gọn A  1  1 b) Rút gọn B  3  x   x  Câu 3. S 1 1 1 1 1 1  1 1  1004 1     ......    1     2 3 3 5 2007 2009  2  2009  2009 Câu 4. y 2009x z   2009  2009x  xy xyz  y  yz 1  z  zx xy.xz 1 z 1  z  xz     1 xy  xz  z  1 1  z  zx 1  z  zx 1  z  zx Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 31 Website:tailieumontoan.com Câu 5. 59  x 57  x 55  x 53  x 51  x 1  1  1  1 1 0 41 43 45 47 49 ...........  1 1 1 1 1    100  x       0  41 43 45 47 49   x  100 Câu 6. B x D y 1 2 E 1 2 3 C A a) Chứng minh BMD CEM Vì BM  CM  BC2 BC , nên ta có: BD.CE  4 2 b) Chứng minh BMD MED  D1  D2 , do đó DM là tia phân giác BDE Chứng minh tƣơng tự ta có EM là tia phân giác CED c) Gọi H,I,K là hình chiếu của M trên AB, DE,AC Chứng minh DH  DI,EI  EK Suy ra chu vi ADE  2AH không đổi (Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa) ĐỀ SỐ 10. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8 Câu 1. (4 điểm) 2 2  x 1  x  1 .  x  1 : Cho biểu thức: A     x  3x x  1  3x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên Câu 2. (4 điểm)  a) Chứng minh rằng: A   n 3 n 2  7   2  36n  7 với n  .  b) Cho P  n4  4. Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố. Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 32 Website:tailieumontoan.com Câu 3. (4 điểm) 1 1 1 1  2  2  x  9x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 b) Cho a, b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a) Giải phƣơng trình: A 2 a b c   3 bc a a c  b a  bc Câu 4. (6 điểm) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đƣờng thẳng AB kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C (C khác A). Từ O kẻ đƣờng thẳng vuông góc với OC, đƣờng thẳng này cắt By tại D. Từ O hạ đƣờng vuông góc OM xuống CD (M thuộc CD) a) Chứng minh OA2  AC.BD b) Chứng minh tam giác AMB vuông c) Gọi N là giao điểm của BC và AD. Chứng minh MN / /AC Câu 5. (2 điểm) Cho a, b,c là các số thực dƣơng thỏa mãn a  b  c  1. Chứng minh rằng: a  bc b  ca c  ab   2 bc ca ab HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. 2 2  x 1  x  1 .  x  1 : a) A     x  3x x  1  3x 2 2  x  1  3x  x  1  x  1 A  . : 3x  3x x  1  x  2 2.(1  3x)  x A  . 3x  x  1  3x x 2x A  2.  x 1 x 1 2x 2x 2 b) Với x  0; x  1, Ta có: A   2 A   2 x 1 x 1 x 1 Để A thì  x  1 phải là ƣớc của 2  x  1 1; 2 Đối chiếu điều kiện tìm đƣợc x  2 hoặc x  3 thỏa mãn Câu 2. Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 33 Website:tailieumontoan.com  a) Ta có: A   n 3 n 2  7      2  36n         n  n n 2  7  6   n n 2  7  6   n n 3  7n  6 n 3  7n  6    3 3 Do đó  n n  n  6n  6 n  n  6n  6  n  n 2  1  6  n  1  n n 2  1  6  n  1      n  n  1 n 2  n  6  n  1 n 2  n  6  n  n  1 n  2  n  3  n  1 n  2  n  3            A là tích của 7 số nguyên liên tiếp  A 7 n    b) P  n 4  4  n 4  4n 2  4  4n 2  n 2  2   2n    2 2  2 2  n 2  2n  2 n 2  2n  2   n  1  1  n  1  1    Vì n là số tự nhiên nên  n  1  1  2. Nhƣ vậy muốn P là số nguyên tố thì ta phải có 2  n  1 2  1  0   n  1  0  n  1 2 Khi đó P  5 là số nguyên tố Câu 3. a) Ta có: x 2  9x  20   x  4  x  5  x 2  11x  30   x  5  x  6  x 2  13x  42   x  6  x  7  TXĐ: x  4; x  5; x  6; x  7 Phƣơng trình trở thành: 1 1 1 1     x  4  x  5   x  5  x  6   x  6  x  7  18 1 1 1 1 1 1 1       x  4 x  5 x  5 x  6 x  6 x  7 18 1 1 1    x  4 x  7 18  18  x  7   18  x  4    x  7  x  4     x  13  x  2   0  x  13 (tm)  (tm) x  2 b) Đặt b  c  a  x  0; c  a  b  y  0;a  b  c  z  0. Ta có: x, y,z  0 Từ đó suy ra : a  yz xy xz ;b  ;c  2 2 2 Thay vào ta đƣợc: A  Từ đó suy ra A  y  z x  z x  y 1  y x   x z   y z                  2x 2y 2z 2  x y   z x   z y   1  2  2  2   A  3 . Dấu “= “ xảy ra  a  b  c 2 Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 34 Website:tailieumontoan.com Câu 4. x y D M C N A O B a) Xét ACO và BOD có: A  B  900 ; COA  ODB (cùng phụ với DOB) Nên ACO BOD  g.g   AO BD   AO.BO  AC.BD AC BO Mà AO  BO nên AO2  AC.BD b) Xét CMO và OMD có: CMO  OMD  900 ; OCM  DOM (cùng phụ với COM)  CMO OMD  Mà ACO BOD  Từ (1) và (2) ta có: CO OM  (1) OD MD CO AO CO OB    (Do OD OD OD BD OM OB   OMD MD BD AO  OB)  2  OBD  MOD  BOD  OMD  OBD (cạnh huyền, góc nhọn)  OM  OB  OA  AMB vuông tại M c) Ta có: AC / /BD (cùng vuông góc với AB)  CN AC  NB BD Mà BD  MD ( OMD  OBD ) Tƣơng tự ta chứng minh AC  CM Nên Câu 5. - CN CM   MN / /BD / /AC BN DM Nhận xét : có a  bc  a  a  b  c   bc   a  b  c  a  Tƣơng tự: b  ca   b  a  b  c  ; Do đó: VT  c  ab   c  a  c  b   a  b a  c    b  a  b  c    c  a  c  b  Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp bc ca ab TÀI LIỆU TOÁN HỌC 35 Website:tailieumontoan.com Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:  a  b  a  c    b  a  b  c   2 bc  a  b  a  c  bc  b  a  b  c  ac   ca  c  a  c  b  ab  c  a  c  b  ab a  b  2 a  c   2  b  c Vậy 2.VT  4  a  b  c   4  VT  2 . Dấu “=” xảy ra  a  b  c  1 3 (Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa) ĐỀ SỐ 11. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8 Câu 1. (4 điểm)  x 5  x  2x  5 2x  2  Cho biểu thức : P   2 : 2  x  25 x  5x  x  5x 5  x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x để P có giá trị là một số nguyên. Câu 2. (3 điểm) Giải phƣơng trình sau: 2010x  2010 2010x  2010 2011   2 2 4 x  x1 x x1 x x  x2  1   Câu 3. (3 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a 4  b  c   b4  c  a   c 4  a  b  b) Cho a, b thỏa mãn a 2  b2  8. Chứng minh 4  a  b  4 Câu 4. (8 điểm) Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đƣờng thẳng AB vẽ hai tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm D bất kỳ, qua O vẽ hai dƣờng thẳng vuông góc với DO tại O cắt By tại C a) Chứng minh BC.AD  a 2 b) Chứng minh DO và CO lần lƣợt là tia phân giác của ADC và BCD c) Vẽ OH  CD  H  CD  . Gọi I là giao điểm của AC và BD, E là giao điểm của AH và DO, F là giao điểm của BH và CO. Chứng minh ba điểm E,I,F thẳng hàng Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 36 Website:tailieumontoan.com d) Xác định vị trí của điểm D trên tia Ax để tích DO.CO có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Câu 5. (2 điểm)  Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện x2  y 2  2  4x2 y 2  x2  2y 2  0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x2  y2 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. a) Tìm đƣợc ĐKXĐ của P là : x  0; x  5; x  5 2  x x  5  2x  5 2x P   :   x  5  x  5  x  x  5   x  x  5  5  x    x2   x  5  2 x  x  5  x  5  : 2x  5 2x  x  x  5 5  x   x  x  5  x  x  5  . x  x  5   2x 2x  5 5  x x  x  5  x  5   5 2x 5  2x   x5 x5 x5 b) x  0; x  5; x   P   5  2x    x5 Ta có: *  5  2x 15 . Vì x   x  5  U(15)  1; 3; 5; 15  2 x5 x5 Mà x lớn nhất nên x  5 lớn nhất . Do đó x  5  15  x  20 (thỏa mãn  *  ) Vậy giá trị nguyên lớn nhất của x  20 để P có giá trị là một số nguyên. Câu 2. Ta có: 2010x  2010 2010x  2010 2011   2 2 4 x  x1 x x1 x x  x2  1  2  1 3 Ta có: x  x  1   x     0x; 2 4  2 (1)  2  1 3 x  x  1   x     0x 2 4  2 Điều kiện xác định của phƣơng trình (1) là : x  0    Ta có: x4  x2  1  x4  2x2  1  x2  x2  x  1 x2  x  1 Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu: 1  2010x  x  1  x 2     x  1  2010x  x  1 x 2  x  1  2011 Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 37 Website:tailieumontoan.com        2010x x3  1  2010x x 3  1  2011  2010x x 3  1  x 3  1  2011 2011 4020  2010x.2  2011  x  (TM) Câu 3. a) a 4  b  c   b4  c  a   c 4  a  b   a 4  b  c   b4 a  c   c 4 a  b   a 4  b  c   b4  a  b  b  c   c 4  a  b   a 4  b  c   b4  a  b   b4  b  c   c 4  a  b       b  c  a 4  b4   a  b  b4  c 4       b  c  a  b  a  b  a 2  b 2   a  b  b  c  b  c  b 2  c 2    a  b  b  c  a 3  ab 2  a 2 b  b 3  b 3  bc 2  b 2 c  c 3       a  b  b  c   a  c  a 2  ac  c 2  b 2  a  c   b  a  c  a  c     2 2 2   a  b  b  c  a  c  a  b  c  ab  bc  ca   b) Ta có: a  b a  b 2  0  a 2  b2  2ab mà a 2  b2  8 nên 2ab  8 2  a 2  b2  2ab  8  8  16   a  b   16  0   a  b  4  a  b  4   0 2  4  a  b  4(dfcm) Câu 4. y x C H D F I E A O B a) Chứng minh ADO  BOC (cùng phụ với AOD) Chứng minh ADO b) Chứng minh BOC  gg   OA AD   BC.AD  a 2 BC OB OB OD  . Từ đó chứng minh ODC BC OC BOC  c.g.c  Suy ra và kết luận CO là tia phân giác của BCD Chỉ ra ADO ODC (cùng đồng dạng với BOC) Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 38 Website:tailieumontoan.com Chứng minh DO là tia phân giác của ADC c) Chứng minh  vuông OBC   vuông OHC (cạnh huyền – góc nhọn)  CB  CH Chứng minh OC là đƣờng trung trực HB Tƣơng tự chứng minh AD  DH và OD là trung trực của HA Chứng minh EF là đƣờng trung bình AHB  EF / /AB DE DH AD   EO HC BC AD DI AD / /BC   BC IB DE DI Suy ra  . Áp dụng định lý Ta let đảo cho DOB  EI / /OB EO IB Theo tiên đề Oclit kết luận E,I,F thẳng hàng Chỉ ra EH / /OC  d) Chỉ ra 2SDOC  OC.OD  OH.DC  a.DC nhỏ nhất  DC nhỏ nhất  DC  Ax  ABCD là hình chữ nhật  AD  BC; CD  AB Mà BC.AD  a2  AD2  a2  AD  a Xét tam giác vuông AHB có HO là đƣờng trung tuyến thuộc cạnh huyền  OH  AB a 2 Suy ra GTNN của OD.OC bằng 2a 2 khi và chỉ khi D  Ax và AD  a. Câu 5. x 2  y2   x  2  4x 2 y 2  x 2  2y 2  0  x 4  y 4  2x 2 y 2  4x 2 y 2  x 2  2y 2  0    x 4  2x 2 y 2  y 4  x 2  2y 2  0  x 2  y 2 2   2    2 x 2  y 2  1  3x 2  1 2  y 2  1  3x 2  1   2 Ta có: 3x2  1  1x  x2  y2  1  1  1  x2  y2  1  1  0  A  2  x  0 A0 2  x  y  0. Vậy min A  0  x  y  0 2  x  y  0 x  0 x  0    x  0 A2 2  2 . Vậy max A  2   2 2    x  y  2 y  2 y  2 (Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa) ĐỀ SỐ 12. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8 Câu 1. (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 39 Website:tailieumontoan.com   2   1. 8 x2  3x  5  7 x2  3x  5  15 2. x11  x7  1 Câu 2. (4 điểm) Giải phƣơng trình: 3 8  5 3  9 1. .  x  81  16 8  64 x2  2x  1 x2  2x  2 7   2. x2  2x  2 x 2  2x  3 6 Câu 3. (2 điểm) Tìm số dƣ trong phép chia của đa thức  x  2  x  4  x  6  x  8   2010 cho đa thức x2  10x  21 Câu 4. (6 điểm) Cho đa thức ABC vuông tại A  AC  AB  , đƣờng cao AH  H  BC  . Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD  HA. Đƣờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 1. Chứng minh rằng: BEC ADC. Tính độ dài đoạn BE theo m  AB 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM, BEC đồng dạng. Tính số đo của AHM 3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh : GB HD  BC AH  HC Câu 5. (4 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ BH vuông góc với AC(H  AC). Gọi M là trung điểm của AH,K là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: BM  MK . HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.   2   8 x2  3x  5  7 x2  3x  5  15 1.1 Đặt t  x2  3x  5 , ta có:   2   8 x2  3x  5  7 x2  3x  5  15  8t 2  7t  15  8t 2  8t  15t  15  8t  t  1  15  t  1   t  1 8t  15  Thay t  x2  3x  5 vào đa thức ta có:   x  x  2   8 x 2  3x  5  7 x 2  3x  5  15     3x  5  1 8 x 2  3x  5  15    2 2  3x  4 8x  24x  55 2   1.2 Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 40 Website:tailieumontoan.com    x11  x7  1  x11  x10  x9  x10  x 9  x 8          x  x  x  1  x  x  x  1   x  x  x  1   x  x   x  x  1 .  x  x  x  x  x  1     x  1  x  x  x 8  x7  x 6   x 6  x 5  x 4  x 5  x 4  x 3   x 3  x 2  x  x 2  x  1 9 2 8 2 9 2 8 6 6 4 2 4 2 3 2     x  1  x2  x  1  Câu 3 2. 3 8  5 3  9 .  x  81  16 8  64 2.1. 3  5 3  9 81  9    x  .    64 8  8   16 8  5 3 9   x 16 8 8 9 5  23  x  8 16  3 6  8 2.2 3 x2  2x  1 x2  2x  2 7   x2  2x  2 x2  2x  3 6 x   Đặt t  x2  2x  3  x2  2x  2  t  1, DK : t  2 Phƣơng trình trở thành: t  2 t 1 7   t 1 t 6 6t  t  2  6  t  1 t  1 7t(t  1)    t t  t  1 6t  t  1  6t 2  12t  6t 2  12t  6  7t 2  7t  5t 2  17t  6  0  t  3(TM)  2   t  3  t    0   2  t  (ktm)  5  5 x  0 Với t  3  x2  2x  3  3    x  2 Vậy nghiệm của phƣơng trình là : x  0; x  2 Câu 3. Ta có: P(x)   x  2  x  4  x  6  x  8   2010     x2  10x  16 x 2  10x  24  2010 Đặt t  x2  10x  21, biểu thức P(x) đƣợc viết lại: P(x)   t  5  t  3   2010  t 2  2t  1995 Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 41 Website:tailieumontoan.com Do đó khi chia t 2  2t  1995 cho t ta có số dƣ là 1995 Câu 4. A M 1 B E 1 2 2 H G D C 4.1 CDE và CAB có: C chung; CDE  CAB  900 CD CE CD CA    . CA CB CE CB Hai tam giác ADC và BEC có:  CDE C chung; CAB  CD CA  (cmt)  ADC BEC(c.g.c) CE CB Suy ra : BEC  ADC  1350 (Vì AHD vuông cân tại H theo giả thiết) Nên AEB  450 , do đó ABE vuông cân tại A Suy ra BE  AB 2  m 2 4.2 Ta có: BM 1 BE 1 AD (do BEC ADC)  .  . BC 2 BC 2 AC Mà AD  AH 2 ( AHD vuông cân tại H) Nên BM 1 AD 1 AH 2 BH BH  .  .   (Do..BHM BC 2 AC 2 AC AB 2 BE Do đó: BHM CBA) BEC(c.g.c)  BHM  BEC  1350  AHM  450 4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là tia phân giác góc BAC AB ED GB AB mà    ABC DEC  AC DC GC AC ED AH Ta lại có: ED / /AH   DC HC ED AH HD Mà HD  HC    DC HC HC GB HD GB HD GB HD       GC HC GC  GB HC  HD BC HC  AH Câu 5. Suy ra Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 42 Website:tailieumontoan.com A B O M D H K C Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BH Ta có M,O lần lƣợt là trung điểm của AH, BH nên: MO là đƣờng trung bình HAB Vậy MO  1 AB,MO / /AB 2 1 Mà AB  CD, AB / /CD,KC  CD 2 Do đó: MO  KC,MO / /KC, suy ra tứ giác MOCK là hình bình hành. Từ đó có: CO / /MK Ta có: MO / /KC,KC  CB  MO  CB Tam giác MBC có MO  CB, BH  MC nên O là trực tâm MBC  CO  BM Ta có: CO  BM và CO / /MK nên BM  MK (Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa) ĐỀ SỐ 13. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8 Câu 1. (2 điểm) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 1.x2  7x  6 2.x4  2008x 2  2007x  2008 Câu 2. (2 điểm) Giải phƣơng trình: 1)x 2  3x  2  x  1  0 2 2 2 2  1  1  1  1 2)8  x    4  x 2  2   4  x 2  2  x     x  4  x x x  x     Câu 3. (2 điểm)  1 1 1 1. CMR với a, b,c là các số dƣơng, ta có:  a  b  c       9 a b c 2. Tìm số dƣ trong phép chia của biểu thức  x  2  x  4  x  6  x  8   2008 cho đa thức x2  10x  21 Câu 4. (4 điểm) Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 43 Website:tailieumontoan.com Cho tam giác ABC vuông tại A  AC  AB  , đƣờng cao AH  H  BC  . Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD  HA. Đƣờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 1) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m  AB 2) Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của AHM 3) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh GB HD  BC AH  HC HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. 1) x2  7x  6  x 2  x  6x  6  x  x  1  6  x  1   x  6  x  1 2) x 4  2008x 2  2007x  2008  x 4  x 2  2007x 2  2007x  2007  1      x  x  1 x  x  1  2007  x    x 4  x 2  1  207 x 2  x  1  x 2  1  x 2  2007 x 2  x  1 2 2 2      x  1  x 2  x  1 x 2  x  2008  Câu 2. 2.1 x2  3x  2  x  1  0 1 Nếu x  1 : 1   x  1  0  x  1 (thỏa mãn điều kiện x  1) 2 x  1 :  1  x 2  4x  3  0  x 2  x  3  x  1  0 Nếu  x  1 (ktm)   x  1 x  3   0    x  3 (ktm) Vậy phƣơng trình  1 có một nghiệm duy nhất x  1 2.2 2 2 2  1  1  1  1 8  x    4  x2  2   4  x2  2  x     x  4  x x x   x    (2) Điều kiện để phƣơng trình có nghiệm: x  0 2 2 2  1  2 1   2 1   1   2   8  x  x   4  x  x 2   x  x 2    x  x     x  4           2 2 2  1  1   8  x    8  x 2  2    x  4    x  4   16 x x     x  0(ktm)   x  8(tm) Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 44 Website:tailieumontoan.com Vậy phƣơng trình đã cho có một nghiệm x  8 Câu 3. 3.1 Ta có:  1 1 1 a a b b c c A  a  b  c       1     1     1 b c a c a b a b c a b a c  c b  3       b a c a b c Mà x y   2 (BĐT Cô si) y x Do đó: A  3  2  2  2  9 . Vậy A  9 3.2 Ta có: P(x)   x  2  x  4  x  6  x  8   2008     x2  10x  16 x 2  10x  24  2008 Đặt t  x2  10x  21 t  3; t  7  , Biểu thức P(x) đƣợc viết lại P(x)   t  5  t  3   2008  t 2  2t  1993 Do đó khi chia t 2  2t  1993 cho t ta có số dƣ là 1993 Câu 4. A E B M HG C D 1) Hai tam giác ADC và BEC có: C chung; CD CA (hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)  CE CB Do đó ADC BEC Suy ra BEC  ADC  1350 (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết) Nên AEB  450 , do đó ABE vuông cân tại A Suy ra : BE  AB 2  m 2 Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 45 Website:tailieumontoan.com 2) Ta có BM 1 BE 1 AD  .  . do BC 2 BC 2 AC BEC ADC  Mà AD  AH 2 (tam giác AHD vuông cân tại H) Nên BM 1 AD 1 AH 2 BH BH  .  .   (do ABH CBA) BC 2 AC 2 AC AB 2 BE Do đó: BHM BEC(c.g.c)  BHM  BEC  1350  AHM  450 3) Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là tia phân giác BAC GB AB AB ED AH HD ABC DEC     ED / /AH   , mà   GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do đó:      GC HC GB  GC HD  HC BC AH  HC (Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa) Suy ra : ĐỀ SỐ 14. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8 Câu 1. (2,0 điểm)  1   1  a) Giải phƣơng trình:  x  4   x2  x  1, 5    3  x   x 2  x  1, 5  2 2     b) Giải bất phƣơng trình: x  1 2 x Câu 2. (2,0 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức sau: b) x16  1  x  1  x  1 x Cho  x  3y   6  x  3y   12  x  3y   19 3 2 4   1 x8  1  với x  2011 2 Tìm giá trị của biểu thức x  3y Câu 3. (1,0 điểm) Một trƣờng học đƣợc xây dựng trên khu đất hình chữ nhật ABCD có AB  50m, BC  200m. Ở phía chiều rộng AB tiếp A giáp đƣờng chính, ngƣời ra sử dụng hai lô đất hình vuông AMEH, BMIK để xây dựng phòng làm việc và nhà để xe. Diện H tích còn lại để xây phòng học và các công M B I K E trình khác (nhƣ hình vẽ). Tính diện tích lớn nhất còn lại để xây phòng học và các cong trình khác. Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp D C TÀI LIỆU TOÁN HỌC 46 Website:tailieumontoan.com Câu 4. (2,0 điểm)  x x 3  8 x 2  2x  4  1 x 2  3x  2  3 . . Cho biểu thức P   : x2  4  x  2 x2  x  1  x2 x 8 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị của x để P  0 Câu 5. (3,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB  8cm,AD  6cm. Gọi H là hình chiếu của A trên BD. Gọi M,N lần lƣợt là trung điểm của DH, BC a) Tính diện tích tứ giác ABCH b) Chứng minh AM  MN. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.  1   1  a)  x  4   x 2  x  1, 5    3  x   x 2  x  1, 5  2 2      x  0, 5 1    2x  1 x  1 2x  3    x  1 2  x  1, 5 b) x  1 x2  1 2  2, DK : x  0 x x x  0; x 2  1  2x   x  1  0(ktm) 2 x  0 : x 2  1  2x   x  1 (dung x  0) 2 Vậy x  0 Câu 2. a)    x16  1   x  1 x  1 x 2  1 x 4  1 x 8  1   x  1 x  1  x  1 x  1 x  1    x 1  x  1  x  1 x  1 x  1  x  1  x  1 x  1 x  1 2 x16  1 2 4 8 2 4 4 8 8 Kết quả 2010  x  3y   6  x  3y   12  x  3y   8  27   x  3y  2    3  3 b) 2 3 3  x  3y  2  3  x  3y  1 Câu 3. Đặt : AM  a,MB  b   a  b   502 2 a  b  2  0  a 2  2ab  b2  0  a 2  b 2  2ab  2 a 2  b2   a  b   50 2 2  a 2  b2  1250 Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 47 Website:tailieumontoan.com   Diện tích nhỏ nhất SAMEH  S BIMK  1250 m2   Diện tích lớn nhất còn lại: 10000  1250  8750 m 2 Câu 4. a) ĐKXĐ: x  2     2 x3  8 x 2  2x  4  x  2  x  2x  4 x 2  2x  4 x 2  2x  4 .  .  x3  8 x2  4  x  2  x2  2x  4  x  2  x  2   x  2 2   2 x x2  2x  4 x  x  2   x  2x  4 4    2 2 2 x2  x  2 x  2 x  2 4  x  2 2 : 1 x2  3x  2 4.  x  2  x  1 x  2  4.  x  1 .   2 2 x  2 x2  x  1 x  x1  x  2  . x2  x  1   2  1 3 b) x  x  1   x     0 với mọi x 2 4  2 Để P  0  4  x  1  0  x  1  0  x  1 Vậy để P  0 thì x  1; x  2 Câu 5. B A K N M H C D a) ABH DBA Tính AH  4,8cm; BH  6,4cm Kẻ KC  BD. C / m KC  AH  4,8cm  1 1 AH.HB  CK.HB  30,72 cm 2 2 2 AH AD HD b) AHD ABC    . AB AC BC AD DM AD AM  ; ADM ACN   AC CN AC AN AD AM  MAD  NAC  NAM  CAD;  AC AN S ABCH  S ABH  S BHC  Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp  TÀI LIỆU TOÁN HỌC 48 Website:tailieumontoan.com  ADC AMN(cgc)  AM  MN (Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa) ĐỀ SỐ 15. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8 Câu 1. (1,50 điểm) 2a  1 thành hiệu hai bình phƣơng a  a  1 a) Hãy viết biểu thức sau : b) Cho M  2.1  1 1 2  2.2  1  2 1 2 2 2 2  2.3  1  3 2 2 3  2  ......  2.2012  1  2012 2  2012  2 Chứng minh rằng M  1 Câu 2. (2,00 điểm) a) Chứng minh rằng n 3  28n chia hết cho 48 với mọi n là số nguyên chẵn b) Giải phƣơng trình sau: x2  3x  7 3x  2  x2  5x  6 x  15 Câu 3. (2,50 điểm)  x 1   1 2   2 :  2 Cho biểu thức : P      x 1 x  x   x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị của x để P  1 c) Giải phƣơng trình P  2 Câu 4. (1,00 điểm) Cho a  0; b  0 và a 2  b2  10. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q  1 1  2 2 a b Câu 5. (3,00 điểm) Cho tam giác ABC có AB  2a; AC  3a; BC  4a. Đƣờng phân giác AD và BE cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm của AC, G là trọng tâm tam giác ABC a) Tính độ dài đoạn thẳng BD theo a b) Chứng minh IG / /AC c) Tính tỉ số diện tích của tứ giác EIGM và ABC HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. a) 2a  1 a 2  a  1 2  a 2  2a  1  a 2 a 2  a  1 Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp 2  a  1  a  a  a  1 2 2 2 2 2 1  1        a   a 1 2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC