100 đề thi học sinh giỏi môn toán 8
Gửi bởi: Khoa CNTT - HCEM 22 tháng 12 2020 lúc 11:34:07 | Được cập nhật: 14 tháng 4 lúc 20:40:55 Kiểu file: PDF | Lượt xem: 754 | Lượt Download: 19 | File size: 6.484471 Mb
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
- Đề thi học kì 2 Toán 8 trường THCS Phước Hậu năm 2021-2022
- Đề thi học kì 2 Toán 8 năm 2021-2022
- Đề thi học kì 2 Toán 8 trường THCS Định Hóa năm 2021-2022
- Đề thi học kì 2 Toán 8 năm 2021-2022
- Đề thi học kì 2 Toán 8 năm 2018-2019
- Đề thi học kì 2 lớp Toán 8 năm học 2021-2022
- Đề thi học kì 2 Toán 8 huyện Bình Thanh năm 2020-2021
- Đề thi học kì 2 Toán 8 trường THCS Tân Ước năm 2021-2022
- Đề thi học kì 2 Toán 8 trường THCS Tân Đức năm 2021-2022
- Đề thi học kì 2 Toán 8 trường THCS Chu Văn An năm 2021-2022
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
Tailieumontoan.com
Sưu tầm và tổng hợp
100 ĐỀ THI
HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 8
Thanh Hóa, ngày 22 tháng 4 năm 2020
2
Website:tailieumontoan.com
ĐỀ SỐ 1. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8
Câu 1. (3 điểm)
a) Phân tích đa thức a 2 b c b2 c a c 2 a b thành nhân tử
b) Cho a, b,c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: a b c a 2 b2 c 2
2
Tính giá trị của biểu thức: P
a2
b2
c2
a 2 2bc b2 2ac c 2 2ab
c) Cho x y z 0. Chứng minh rằng: 2 x5 y5 z5 5xyz x2 y 2 z2
Câu 2. (2 điểm)
a) Tìm số tự nhiên n để n 18 và n 41 là hai số chính phƣơng
2
2
1
1
25
b) Cho a, b 0 thỏa mãn a b 1. Chứng minh a b
b
a
2
Câu 3. (1 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có góc ABC nhọn. Vẽ ra phía ngoiaf hình bình hành các
tam giác đều BCE và DCF. Tính số đo EAF
Câu 4. (3 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn có các đƣờng cao AA', BB',CC' và H là trực tâm
a) Chứng minh BC'.BA CB'.CA BC2
HB.HC HA.HB HC.HA
1
AB.AC BC.AC BC.AB
c) Gọi D là trung điểm của BC. Qua H kẻ đƣờng thẳng vuông góc với DH cắt AB,AC
b) Chứng minh rằng:
lần lƣợt tại M và N. Chứng minh H là trung điểm của MN.
Câu 5. (1 điểm)
Cho hình vuông ABCD và 2018 đƣờng thẳng cùng có tính chất chia hình vuông
này thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng
2
. Chứng minh rằng có ít nhất 505 đƣờng
3
thẳng trong 2018 đƣờng thẳng trên đồng quy.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.
a) a 2 b c b2 c a c 2 a b a 2 b c b2 a c c 2 a b
a 2 b c b2 a b b c c 2 a b
a 2 b2
b c c
2
b2 a b
a b a b b c b c b c a b
a b b c a b b c a b b c a c
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
3
Website:tailieumontoan.com
b)
a b c
2
a 2 b2 c 2 ab ac bc 0
a2
a2
a2
a 2 2bc a 2 ab ac bc a b a c
b2
b2
Tƣơng tự: 2
b 2ac b a b c
c2
c2
c 2 2ac c a c b
;
a2
b2
c2
P 2
a 2bc b 2 2ac c 2 2ab
a2
b2
c2
a b a c a b b c a c b c
a b a c b c 1
a b a c b c
c) Vì x y z 0 x y z x y z3
3
Hay x3 y3 3xy x y z3 3xyz x3 y3 z3
Do đó:
x y z y z x z x y
3xyz x2 y 2 z2 x 3 y 3 z 3 x 2 y 2 z 2
x5 y5 z5
3
2
2
3
2
2
Mà x2 y2 x y 2xy z2 2xy Vi
3
2
2
x y z
2
Tƣơng tự: y2 z2 x2 2yz; z2 x2 y2 2zx
Vì vậy: 3xyz x2 y2 z2 x5 y5 z5 x3 x2 2yz y 3 y 2 2zx z3 z2 2xy
2 x5 y5 z5 2xyz x2 y 2 z2
Suy ra : 2 x5 y5 z5 5xyz x2 y 2 z2
Câu 2.
a) Để n 18 và n 41 là hai số chính phƣơng
n 18 p2 và n 41 q 2 p,q
p2 q 2 n 18 n 41 59 p q p q 59
p q 1
p 30
Nhƣng 59 là số nguyên tố, nên:
p q 59
q 29
Từ n 18 p2 302 900 n 882
Thay vào n 41, ta đƣợc 882 41 841 292 q 2
Vậy với n 882 thì n 18 và n 41 là hai số chính phƣơng
b) Có: a b 0 a 2 b2 2ab 0 a 2 b2 2ab
2
(*)
Dấu đẳng thức xảy ra khi a b
2
1 25
1
Áp dụng * có: a
5a
b
4
b
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
2
;
1 25
1
b a 4 5 b a
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
4
Website:tailieumontoan.com
2
2
1
1 25
1
1
5 a b
Suy ra: a b
b
a
2
b
a
2
2
2
2
1
1 25
1 1
a b
5 a b
b
a
2
a b
1
1 25
1 1
a b
5 5 (Vi
b
a
2
a b
a b 1)
1 1
4
4
a b ab
Với a, b dƣơng , chứng minh
a b 1)
(Vi
Dấu bằng xảy ra khi a b
2
2
1
1 25
Ta đƣợc: a b
5 5.4
b
a
2
2
2
1
1
1
25
. Dấu đẳng thức xảy ra a b
a b
2
b
a
2
Câu 3.
A
D
C
B
F
E
Chứng minh đƣợc ABE ECF
Chứng minh đƣợc ABE FCE c.g.c AE EF
Tƣơng tự: AF EF
AE EF AF AEF đều EAF 600
Câu 4.
A
C' H
B'
N
M
B
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
A' D
C
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
5
Website:tailieumontoan.com
BH
AB
BH
Chứng minh BHA' BCB'
BC
Từ (1) và (2) BC'.BA BA'.BC
a) Chứng minh BHC'
BAB'
BC'
BH.BB' BC'.BA
BB'
BA'
BH.BB' BC.BA'
BB'
(1)
(2)
Tƣơng tự : CB'.CA CA'.BC
BC'.BA CB'.CA BA'.BC CA'.BC BA' A'C .BC BC2
b) Có
BH BC'
BH.CH BC'.CH S BHC
AB BB'
AB.AC BB'.AC S ABC
Tƣơng tự:
AH.BH S AHB AH.CH S AHC
;
CB.CA S ABC CB.AB S ABC
HB.HC HA.HB HC.HA S ABC
1
AB.AC AC.BC BC.AB S ABC
CDH g.g
HM AH
HD CD
AH HN
Chứng minh AHN BDH g.g
BD HD
Mà CD BD
(gt) (5)
c) Chứng minh AHM
Từ 3 , 4 , 5
(3)
(4)
HM HN
HM HN H là trung điểm của MN
HD HD
Câu 5.
Gọi E,F,P,Q lần lƣợt là trung điểm của AB,CD, BC,AD. Lấy các điểm I,G trên EF và K,H
trên PQ thỏa mãn:
IE HP GF KQ 2
IF HQ GE KP 3
Xét d là một trong các đƣờng thẳng bất kỳ đã cho cắt hai đoạn thẳng AD, BC,EF lần lƣợt
tại M,N,G'. Ta có:
AB. BM AN
S ABMN 2
2
EG' 2
2
G G' hay d qua G.
S CDNM 3
G' F 3
CD. CM DN 3
2
Từ lập luận trên suy ra mỗi đƣờng thẳng thỏa mãn yêu cầu của đề Câu đều đi qua một
trong 4 điểm G,H,I,K
Do có 2018 đƣờng thẳng đi qua 1 trong 4 điểm G,H,I,K theo nguyên lý Dirichle phải tồn
2018
tại ít nhất
1 505 đƣờng thẳng cùng đi qua một điểm trong 4 điểm trên.
4
Vậy có ít nhất 505 đƣờng thẳng trong số 2018 đƣờng thẳng đã cho đồng quy.
(Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa)
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
6
Website:tailieumontoan.com
ĐỀ SỐ 2. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8
Câu 1. (3 điểm)
1) Chứng minh : x y x3 x2 y xy 2 y 3 x4 y 4
2) Phân tích đa thức thành nhân tử: x x 2 x2 2x 2 1
3) Tìm a, b,c biết: a 2 b2 c2 ab bc ac và a8 b8 c8 3
Câu 2. (4 điểm)
y2 x2
y2
xy
2 x2
Cho biểu thức: P 2
với x 0; y 0; x y
. 2
2
x x xy
xy
xy y x xy y 2
1) Rút gọn biểu thức P.
2) Tính giá trị của biểu thức P, biết x, y thỏa mãn đẳng thức:
x2 y2 10 2 x 3y
Câu 3. (4 điểm)
1) Giải phƣơng trình: 6x 8 6x 6 6x 7 72
2
2) Tìm các cặp số nguyên x; y thỏa mãn: x2 x 3 y 2
Câu 4. (2 điểm)
Cho các số a, b,c thỏa mãn 1 a, b,c 0. Chứng minh rằng: a b2 c3 ab bc ca 1
Câu 5. (5,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đƣờng chéo cắt nhau tại O.Lấy
điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho IOM 900 (I và M không trùng với
các đỉnh của hình vuông). Gọi N là giao điểm của AM và CD , K là giao điểm của OM và
BN.
1) Chứng minh BIO CMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a
2) Chứng minh BKM BCO
3) Chứng minh
1
1
1
2
2
CD
AM AN2
Câu 6. (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC AB AC , trọng tâm G. Qua G vẽ đƣờng thẳng d cắt các cạnh
AB,AC theo thứ tự ở D và E. Tính giá trị biểu thức
AB AC
.
AD AE
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.
1) Ta có: x y x3 x2 y xy2 y 3
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
7
Website:tailieumontoan.com
x4 x3 y x2 y 2 xy 3 x 3 y x 2 y 2 xy 3 y 4
x4 y4
Vậy đẳng thức đƣợc chứng minh.
x x 2 x 2 2x 2 1 x 2 2x x 2 2x 2 1
x
2
2) Ta có: x 2 2x 2 x 2 2x 1
2
2x 1 x 1
2
4
3) Biến đổi a 2 b2 c2 ab bc ca về a b b c c a 0
2
2
2
Lập luận suy ra a b c
Thay a b c vào a8 b8 c8 3 ta có: 3a8 3 a8 1 a 1
a b c 1
Vậy
a b c 1
Câu 2.
1) Với x 0; y 0; x y ta có:
2
2
2
2
xy
2 x y x y x y xy
P
. 2
x
x xy y 2
xy x y
xy
2 xy x y x y x y
. 2
x
xy x y
x xy y 2
2
2
2
xy
2 x y x xy y
. 2
x
xy x y
x xy y 2
2 xy xy
x
xy
xy
2) Ta có: x2 y2 10 2 x 3y
x 2 2x 1 y 2 6y 9 0
x 1 y 3 0
2
2
x 1
(tm)
Lập luận
y 3
Nên thay x 1; y 3 vào biểu thức P
Câu 3.
x y 1 3 2
xy
1. 3 3
1) Đặt 6x 7 t. Ta có: t 1 t 1 t 2 72 t 2 1 t 2 72 t 4 t 2 72 0
2
x 3
t 3
x 5
3
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
8
Website:tailieumontoan.com
2 5
Vậy phƣơng trình có tập nghiệm S ;
3 3
2) x2 x 3 y2 4x2 4x 12 4y 2 2x 1 4y 2 11
2
2x 2y 1 2x 2y 1 11
2x 2y 1 1
x 3
2x 2y 1 11 y 3
2x 2y 1 1 x 2
2x 2y 1 11 y 3
2x 2y 1 11 x 2
2x 2y 1 1 y 3
2x 2y 1 11 x 3
2x
2y
1
1
y 3
Câu 4.
Vì b,c 0;1 nên suy ra b2 b; c 3 c
Do đó : a b2 c3 ab bc ca a b c ab bc ca
(1)
Lại có: a b c ab bc ca a 1 b 1 c 1 abc 1
(2)
Vì a, b,c 0;1 nên a 1 b 1 c 1 0; abc 0
Do đó từ 2 a b c ab bc ca 1
3
Từ (1) và (3) suy ra a b2 c3 ab bc ca 1
Câu 5.
A
E
I
B
O
M
K
C
N
D
1) IBO MCO 450 (Tính chất đƣờng chéo hình vuông)
BO CO (tính chất đƣờng chéo hình vuông)
BOI COM (cùng phụ với BOM)
BIO CMO g.c.g
S BIO SCMO mà S BMOI S BOI S BMO
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
9
Website:tailieumontoan.com
1
1
Do đó: S BMOI SCMO S BMO S BOC S ABCD a 2
4
4
2) Ta có: BIO CMO(cmt) CM BI BM AI
Vì CN / /AB nên
BM AM
IA AM
IM / /BN
CM MN
IB MN
Ta có: OI OM BIO CMO IOM cân tại O IMO MIO 450
Vì IM / /BN BKM IMO 450 BKM BCO
3) Qua A kẻ tia Ax vuông góc AN cắt CD tại E.
Chứng minh ADE ABM g.c.g AE AM
Ta có: ANE vuông tại A có AD NE
SAEN
2
2
AD.NE AN.AE
AD.NE AN.AE AD.NE AN.AE
2
2
Áp dụng định lý Pytago vào ANE ta có: AN2 AE2 NE2
AN2 AE2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
AN .AE
AD
AE AN
AD2
1
1
1
Mà AE AM và CD AD
2
2
CD
AM AN2
Câu 6.
AD2 . AN2 AE2 AN2 .AE 2
A
D
B
E
G
I
M
d
C
K
Gọi M là trung điểm của BC
AB AI
AD AG
AC AK
Qua C vẽ đƣờng thẳng song song với d cắt AM tại K, ta có:
AE AG
AB AC AI AK
Từ (1) và (2) suy ra
(3)
AD AE
AG
Qua B vẽ đƣờng thẳng song song với d cắt AM tại I, ta có:
(1)
(2)
Mặt khác : AI AK AM MI AM MK 2AM 4
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
10
Website:tailieumontoan.com
(Vì MI MK do BMI CMK)
Từ (3) và (4) suy ra
AB AC 2AM 2AM
3
2
AD AE
AG
AM
3
(Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa)
ĐỀ SỐ 3. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8
Câu 1. (4 điểm)
1
2
5 x 1 2x
: 2
Cho biểu thức: A
2
1 x 1 x 1 x x 1
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên
c) Tìm x để A A
Câu 2. (6 điểm)
a) Giải phƣơng trình: x4 x2 6x 8 0
b) Tìm nghiệm tự nhiên của phƣơng trình: x2 2x 10 y2
c) Cho a 3 b3 c3 3abc với a, b,c 0
a
b
c
Tính giá trị biểu thức P 1 1 1
b
c a
Câu 3. (4 điểm)
a) Tìm các số có 3 chữ số chia hết cho 7 và tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 7
b) Cho x, y,z là các số thực dƣơng thỏa mãn: x y z 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M
1
1 1
16x 4y z
Câu 4. (4 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD có AB a 12cm, BC b 9cm. Gọi H là chân đƣờng
vuông góc kẻ từ A xuống BD
a) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD
b) Tính độ dài đoạn thẳng AH
c) Tính diện tích tam giác AHB
Câu 5. (2 điểm)
Cho tam giác đều ABC. Gọi M,N lần lƣợt là các điểm trên các cạnh AB và BC sao
cho BM BN. Gọi G là trọng tâm BMN và I là trung điểm của AN. Tính các góc của tam
giác ICG.
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
11
Website:tailieumontoan.com
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.
a) ĐKXĐ: x 1; x
1
2
1 x 2 1 x 5 x x2 1
A
.
2
1 2x
1
x
2
2 x 1
2
.
2
1 x 1 2x 1 2x
x 1(ktm)
b) A nguyên, mà x nguyên nên 2 1 2x , từ đó tìm đƣợc
x 0(tm)
Vậy x 0
c) Ta có:
A A A 0 1 2x 0 x
Kết hợp với điều kiện : 1 x
Câu 2.
1
2
1
2
a) Phân tích đƣợc x 1 x3 x2 2x 8 0
x 1 x 2 x2 x 4 0
(1)
x 1 0
x 1
Vì x2 x 4 0 1
x 2 0
x 2
x2 2x 10 y 2 x 1 y 2 11
2
b) Ta có:
x 1 y x 1 y 11 (2)
Vì x, y nên x 1 y x 1 y 0
(2) viết thành: x 1 y x 1 y 11.1
x 1 y 11 x 5
x 1 y 1
y 5
Vậy x; y 5; 5
c) Biến đổi giả thiết về dạng:
2
2
2
1
a b c a b b c c a 0
2
a b c 0
a b c
c a b
Với a b c 0 tính đƣợc: P
1
b c a
Với a b c tính đƣợc: P 2.2.2 8
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
12
Website:tailieumontoan.com
Câu 3.
a) Gọi số có ba chữ số cần tìm là abc
Ta có: abc 98a 7b 2a 3b c
Vì abc 7 2a 3b c 7
Mặt khác, vì a b c 7
(3)
(4),k ết hợp với (3) suy ra b c 7
Do đó b c chỉ có thể nhận các giá trị 7; 0;7
Với b c 7 c b 7. Kết hợp với (4) ta chọn đƣợc các số 707; 518; 329 thỏa mãn.
Với b c 7 b c 7. Đổi vai trò b và c của trƣờng hợp trên ta đƣợc các cặp số
770,581,392 thỏa mãn Câu toán.
Với b c 0 b c mà do (4) nên a 2b 7
Do 1 a 2b 27 nên a 2b chỉ có thể nhận các giá trị 7;14; 21.
Từ đó ta chọn đƣợc 12 số thỏa mãn là 133; 322; 511;700; 266; 455 ; 644; 833; 399; 588; 777; 966
Vậy có 18 số thỏa mãn Câu toán: 707; 518; 329;770; 581; 392 ;133; 322; 511;700 ; 266
; 455; 644; 833; 399; 588;777; 966.
b) Vì x y z 1 nên: M
1
1 1 1
1 1
x y z
16x 4y z 16x 4y z
y x
21 x
z y z
16 4y 16x z 16x z 4y
y
16x2 4y 2 4x 2y 2.4x.2y 4x 2y 1 1
x
Ta có:
x, y 0
4y 16x
64xy
64xy
64xy
4 4
2
Tƣơng tự:
2
x
z
1 y z
;
1 x, y 0
z 16x 2 z 4y
1
x 7
4x 2y z
21 1 1
49
2
Từ đó M
. Dấu " " xảy ra x y z 1 y
1
16 4 2
16
7
x, y, z 0
4
x 7
Vậy GTNN của M là
49
1
2
4
x ;y ;z
16
7
7
7
Câu 4.
A
B
H
D
C
a) Chứng minh đƣợc AHB BCD(g.g)
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
13
Website:tailieumontoan.com
b) AHB BCD(cmt)
AH AB
a.b
AH
BC BD
BD
Áp dụng định lý Pytago đƣợc: BD AD2 AB2 225 15 cm
12.9
7, 2(cm)
15
AH 7.2
c) AHB BCD theo tỉ số k
BC
9
Từ đó tính đƣợc: AH
Gọi S,S' lần lƣợt là diện tích của BCD và AHB , ta có: S 54cm2
2
2
S'
7.2
7.2
2
k2
S'
.54 34, 56(cm )
S
9
9
Vậy diện tích tam giác AHB bằng 34, 56(cm 2 )
Câu 5.
B
G
M
P
N
K
I
C
A
Ta có BMN là tam giác đều , nên G là trọng tâm của BMN. Gọi P là trung điểm của MN,
GP 1
(tính chất trọng tâm tam giác đều)
GN 2
GP
PI
PI 1
PI 1
Lại có:
suy ra
(1)
GN NC 2
MA NC 2
Ta có:
Mặt khác: GPI GPM MPI 900 600 1500
Và GNC GNP PNC 300 1200 1500 , do đó : GPI GNC (2)
Từ (1) và (2) suy ra GPI
Mà IGC 600
GNC(c.g.c) PGI NGC và GI
IGC PGN 60
1
GC
2
0
Gọi K là trung điểm của GC thì GI GK
1
1
GC, suy ra GIK đều nên IK GC
2
2
Điều này chứng tỏ GIC vuông tại I
Vậy GIC 900 ; IGC 600 ; GCI 300
(Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa)
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
14
Website:tailieumontoan.com
ĐỀ SỐ 4. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8
Câu 1. (2 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 2x x2 2x 1 6
b) Đa thức f x 4x 3 ax b chia hết cho các đa thức x 2; x 1. Tính 2a 3b
Câu 2. (2 điểm)
a) Cho a n 1 2 3 ... n. Chứng minh rằng a n a n 1 là một số chính phƣơng
b) Chứng minh rằng vơi mọi số tự nhiên n thì phân số
10n 2 9n 4
tối giản
20n 2 20n 9
Câu 3. (3 điểm)
a) Cho x3 y3 z3 3xyz. Hãy rút gọn phân thức : P
b) Tìm tích: M
xyz
x y y z z x
14 4 54 4 9 4 4 17 4 4
.
.
....
34 4 7 4 4 114 4 19 4 4
Câu 4. (4 điểm)
a) Cho x by cz; y ax cz; z ax by và x y z 0; xyz 0 .
1
1
1
2
1 a 1 b 1 c
yz xz xy
1 1 1
b) Cho 0, tính giá trị của biểu thức P 2 2 2
x y z
x
y
z
CMR:
Câu 5. (3 điểm) Cho biểu thức : P
x1
x2 x
1
2 x2
:
1 x x2 x
x2 2x 1 x
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để P 1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x 1
Câu 6. (3 điểm) Cho hình vuông ABCD, gọi E,F thứ tự là trung điểm của AB, BC.
a) Chứng minh rằng: CE DF
b) Gọi M là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng: AM AD
Câu 7. (3 điểm) Cho tam giác ABC. Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFH.
a) Chứng minh rằng EC BH; EC BH
b) Gọi M,N thứ tự là tâm của các hình vuông ABDE,ACFH. Gọi I là trung điểm của
BC. Tam giác MNI là tam giác gì ? Vì sao ?
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.
a)
x 1 x 3 x
2
2x 2
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
15
Website:tailieumontoan.com
b) Đa thức f(x) 4x 3 ax b chia hết cho các đa thức x 2; x 1 nên:
f 2 0 32 2a b 0(1)
f( 1) 0 4 a b 0
(2)
Từ 1 và 2 ta tìm đƣợc a 12; b 8
Vậy 2a 3b 0
Câu 2.
a) Ta có: a n1 1 2 3 ..... n n 1
a n a n 1 2 1 2 3 ..... n n 1 2.
n n 1
2
n 1 n 2 2n 1
n 1 là một số chính phƣơng.
2
b) Gọi d là ƢCLN của 10n2 9n 4 và 20n2 20n 9
2
2
10n 9n 4 d
20n 18n 8 d
2n 1 d d là số tự nhiên lẻ
2
2
20n
20n
9
d
20n
20n
9
d
Mặt khác : 2n 1 d 4n2 4n 1 d 20n 2 20n 5 d 4 d , mà d lẻ nên d 1
Vậy phân số trên tối giản
Câu 3.
a) Từ x3 y3 z3 3xyz chỉ ra đƣợc x y z 0 hoặc x y z
TH1 : x y z 0 x y z; x z y; y z x P 1
1
TH2 : x y z P
8
2
2
b) Nhận xét đƣợc: n 4 4 n 1 1 n 1 1 . Do đó:
4
M
.
2 1 . 4 1 6
1. 2 2 1
2
2
2
2
1 . 8
...... 16
1
18
1 . 62 1
2
2
2
1 . 20
1 1
1 20 1 401
1 . 18 2 1
2
2
Câu 4.
a) Từ giả thiết 2cz z x y 2cz x y z
c
xyz
xyz
1
2z
c 1
2z
2z
c 1 x y z
Tƣơng tự:
b) Từ
2y
1
2x
1
1
1
1
;
. Khi đó:
2
1 a x y z 1 b x y z
1 a 1 b 1 c
1 1 1
1
1
1
3
0 3 3 3
x y z
xyz
x y z
Khi đó:
P
1
yz xz xy xyz xyz xyz
1
1
3
2 2 3 3 3 xyz. 3 3 3 xyz.
3
2
xyz
x
y
z
x
y
z
x y z
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
16
Website:tailieumontoan.com
Câu 5. a) ĐKXĐ: x 0; x 1; x 1
Rút gọn P ta có: P
x2
x 1
2
1 3
x
2
2
2
2 4
x
x
x x1
b) P 1
1
1 0
0
0
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1 0 x 1
Vậy với x 1 và x 0; x 1 thì P 1
c) Ta có: P
x2
x2 1 1
1
1
x 1
x 1
2
x 1
x 1
x 1
x 1
Khi x 1; x 1 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: x 1
1
2 . Dấu " " xảy ra khi
x 1
và chỉ khi x 2. Vậy GTNN của P bằng 4 x 2
Câu 6.
E
A
B
M F
1
D
1
N
2
K
C
a) Chứng minh đƣợc CBE DFC c.g.c C1 D1
Lại có: C1 C2 900 D1 C2 900 CE DF
b) Gọi K là trung điểm của CD. Chứng mnh đƣợc tứ giác AECK là hình bình hành
suy ra AK / /CE
Gọi N là giao điểm của AK và DF.DCM có DK KC và KN / /CM nên N là trung điểm
của DM. Vì CM DM( câu a), KN / /CM KN DM
Tam giác ADM có AN là đƣờng cao đồng thời là trung tuyến nên là tam giác cân tại A.
AM AD
Câu 7.
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
17
Website:tailieumontoan.com
H
E
F
N
A
M
D
B
C
I
a) Chứng minh đƣợc: EAC BAH c.g.c EC BH, AEC ABH
Gọi K và O thứ tự là giao điểm của EC với BA và BH
Xét AEK và OBK có: AEK OBK; AKE OKB EAK BOK
BOK 900. Vậy EC BH
1
1
b) Ta có: MI / /EC; MI EC; IN / /BH; IN BH
2
2
Mà EC BH và EC BH nên MI IN và MI IN
Vậy tam giác MIN vuông cân tại I
(Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa)
ĐỀ SỐ 5. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8
Câu 1. (2,0 điểm)
a) Tìm giá trị của a để 21x2 9x3 x x4 a
x
2
x2
b) Chứng minh rằng n4 2n3 n2 2n chia hết cho 24 với mọi n
Câu 2. (2,0 điểm)
a) Cho a b c 0. Chứng minh rằng a 3 b3 c3 3abc
b) Cho
1 1 1
0, (với x 0; y 0; z 0)
x y z
Tính giá trị của biểu thức
yz xz xy
x2 y 2 z2
Câu 3. (2,5 điểm)
4x
8x2 x 1
2
:
Cho biểu thức : A
2 2
2 x 4 x x 2x x
a) Tìm điều kiện xác định, rồi rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để A 1
c) Tìm các giá trị của x để A 0
Câu 4. (1,5 điểm)
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
18
Website:tailieumontoan.com
Chứng minh rằng trong một hình bình hành, khoảng cách từ một điểm trên đƣờng
chéo đến hai cạnh kể (hai cạnh kề và đƣờng chéo cùng đi qua một đỉnh của hình bình
hành), tỉ lệ nghịch với hai cạnh ấy.
Câu 5. (2,0 điểm)
Gọi M là diểm nằm trong xOy m0 (0 m 90). Gọi P, Q lần lƣợt là hình chiếu của
M trên Ox,Oy. Gọi H, K lần lƣợt là trung điểm của OM,PQ
a) Chứng minh HK PQ
b) Tính số đo HPQ theo m
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.
a) Thƣơng: x2 8x 15 và dƣ: a 30
Phép chia hết nên a 30 0 a 30
b)
n 4 2n 3 n 2 2n n n 3 2n 2 n 2
n n 2 . n 2 n 2
n n 2 1 n 2 n n 1 n 1 n 2
n n 1 n 1 n 2 là tích 4 số nguyên liên tiếp trong đó phải có 1 số chia hết cho 2, một
số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 4
Nên n n 1 n 1 n 2 2.3.4 24
Vậy n4 2n3 n2 2n 24
Câu 2.
a)
a b c a b
3
3
3 a b c 3 a b c2 c3
2
a b 3 a b c. a b c c 3 a b c 3
3
3
a 3 3a 2 b 3ab2 b3 c 3 a 3 b3 c 3 3ab(a b)
a 3 b3 c 3 3ab c (Vi a b c 0 a b c)
a 3 b3 c 3 3abc
1
1
1
b) Với a ; b ; c
x
y
z
Áp dụng kết quả câu a ta có:
1
1
1
3
3 3
3
xyz
x y z
1
yz xz xy xyz xyz xyz
1
1
2 2 3 3 3 xyz. 3 3 3
2
x
y
z
x
y
z
x y z
3
xyz.
3
xyz
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
19
Website:tailieumontoan.com
Câu 3.
a) ĐKXĐ: x 0; x 2
2
4x
8x 2 x 1
2 4x 2 x 8x x 1 2 x 2
A
:
:
2 2
2
x
x
2
x
2
x
x x 2
4
x
x
2x
8x 4x 2 8x 2 x 1 2x 4
8x 4x 2
3x
:
:
2 x 2 x x x 2 2 x 2 x x x 2
4x 2 x
2 x 2 x
.
x x 2
3x
4x2
x3
x 1
4x2
2
1 4x x 3 0
b) A 1
x 3
x3
4
4x2
0 x3 0 x 3
x3
Vậy x 3; x 0; x 2 thì A 0
c) A 0
Câu 4.
A
B
H
P
M
D
C
N K
Kẻ PH AD; PK CD; PM / /CD; PN / /AD
Chứng minh HMP
KNP(g.g)
PH PM
PH DN
(do PMDN là hình bình hành)
PK PN
PK PN
DN PN
Chứng minh DNP DCB g.g
DC BC
DN DC
PH DC
(dfcm)
PN BC
PK BC
Câu 5.
x
P
K
M
H
O
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
Q
y
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
20
Website:tailieumontoan.com
1
OM
2
1
MQO vuông tại Q, đƣờng trung tuyến QH OM
2
PH QH HPQ cân tại H HK PQ
a) MPO vuông tại P, đƣờng trung tuyến PH
b) MHQ 2MOQ; MHP 2MOP
PHQ 2.POQ 2.m0 PHK m0 HPQ 900 m0
(Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa)
ĐỀ SỐ 6. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8
Câu 1. (2 điểm) Tìm x biết :
a) x
2 1
3 3
b) 3x 6561
c)
2x 1
2012
2x 1
2010
Câu 2. (2 điểm)
2012
a) Số tự nhiên A 1 23
là số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của B 2x2 y2 2xy 8x 2028
c) Tìm x, y,z biết: 10x2 y2 4z2 6x 4y 4xz 5 0
Câu 3. (1,5 điểm)
Một khối 8 có
2
3
số học sinh đội tuyển Toán bằng số học sinh đội tuyển Anh và
4
3
4
số học sinh đội tuyển Văn. Đội tuyển Văn có số học sinh ít hơn tổng số học sinh
5
của hai đội tuyển kia là 38 học sinh. Tính số học sinh của mỗi đội tuyển ?
bằng
Câu 4. (1,5 điểm) Cho x(m n) y(n p) z(p m) trong đó x, y,z la các số khác nhau và
khác 0, Chứng minh rằng:
np
pm
mn
x(y z) y z x z x y
Câu 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B.
Trên tia đối của tia AC lấy điểm I sao cho AI AM.
a) Chứng minh rằng: CM BI
b) Trên BC lấy điểm P sao cho BP 2CP. Trên nửa mặt phẳng bờ là đƣờng thẳng BC
có chứa điểm A, vẽ tia Px sao cho xPB 600. Tia Px cắt tia CA tại D. Tính số đo
CBD
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
21
Website:tailieumontoan.com
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.
a) x
2 1
1
2 1
1
x x1
3 3
3
3 3
3
b) 3x 6561 hay 3x 38 x 8
c) 2x 1
2012
2x 1
2010
2x 1
2012
2x 1
2010
2
. 1 2x 1 0
2x 1
2010
. 1 2x 11 2x 1 0
2x 1
2010
0
1
x
2x 1 0
2
2 2x 0 x 1
x 0
2x 0
Câu 2.
a) 32012 3 nên có thể viết 32012 3n
A 1 23
2012
1 2 1 2 2 A là hợp số
13 23n 13 2n
3
n
n
n
2
b)B 2x 2 y 2 2xy 8x 2028
x 2 2xy y 2 x 2 8x 16 2012
x y x 4 2012 2012
2
2
x y 0
x 4
Đẳng thức xảy ra
x 4 0
y 4
x 4
Giá trị nhỏ nhất của B là 2012
y 4
c)10x 2 y 2 4z 2 6x 4y 4xz 5 0
9x 2 6x 1 y 2 4y 4 4z 2 4xz x 2 0
3x 1 y 2 2z x 0
2
2
2
1
x 3
3x 1 0
y 2 0 y 2
2z x 0
1
z
6
Câu 3. Gọi số học sinh đội tuyển Toán, Anh, Văn thứ tự là x, y,z x, y, z
Ta có:
x y z 38 2
y
2
3
4
x
z
x y z
3
4
5
18 16 15 18 16 15 19
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
22
Website:tailieumontoan.com
Tính đúng x 36; y 32; z 30 và kết luận
Câu 4. Vì xyz 0 nên: x(m n) y(n p) z(p m)
x m n
xyz
y n p
z p m
xyz
xyz
mn np pm
hay :
yz
xz
xy
p m n p m n p m n p m n
xy yz
yz xy
np
pm
mn
x y z y z x z x y
xz yz
Câu 5.
a)
I
A
M
C
B
H
Tia IM cắt BC tại H
ABC vuông cân tại A nên C 450 , IAM vuông cân tại M nên I 450
IHC có C I 900 H 900 IH BC
Chứng minh đƣợc M là trực tâm IBC CM BI
b)
y
D
E
x
A
K
C
B
P
Gọi E là điểm đối xứng với B qua PD EP PB 2PC
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
23
Website:tailieumontoan.com
BPE cân tại P nên đƣờng trung trực của PD cũng là phân giác
BPD DPE 600 EPC 600
Chứng minh đƣợc EPC vuông tại C
Chứng minh đƣợc CD là phân giác của PCE
Chứng minh đƣợc ED là phân giác ngoài tại đỉnh E của PCE
Chứng minh đƣợc yEP 1500 DEP 750
Chứng minh đƣợc PBD 750 hay CBD 750
(Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa)
ĐỀ SỐ 7. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8
Câu 1. (2,0 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức P
xy
. Biết x2 2y2 xy x y 0; y 0
xy
b) Tìm x, y nguyên dƣơng thỏa mãn: x2 y2 2x 4y 10 0
Câu 2. (2,0 điểm)
a) Tìm số dƣ trong phép chia của đa thức x 2 x 4 x 6 x 8 2017 cho đa thức
x2 10x 21
b) Cho A n6 10n4 n3 98n 6n5 26 và B 1 n3 n. Chứng minh với mọi n
thì thƣơng của phép chia A cho B là bội số của 6
Câu 3. (2,0 điểm)
a) Cho a và b thỏa mãn : a b 1. Tính giá trị của biểu thức B a 3 b3 3ab
b) Cho các số thực dƣơng x, y,z thỏa mãn x y z 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
1
1
1
2
2
x x y y z z
2
Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC, đƣờng trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh
BC, vẽ đƣờng thẳng song song với AM cắt đƣờng thẳng AB và AC lần lƣợt tại E và F.
a) Chứng minh DE DF 2AM
b) Đƣờng thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm
của EF
2
c) Ký hiệu S X là diện tích của hình X. Chứng minh SFDC
16SAMC .SFNA
Câu 5. (1,0 điểm)
Trong một đề thi có 3 Câu toán A, B,C. Có 25 học sinh mỗi ngƣời đều đã giải đƣợc
ít nhất một trong 3 Câu đó. Biết rằng:
-
Trong số thí sinh không giải đƣợc Câu A thì số thì sinh đã giải đƣợc Câu B nhiều
gấp hai lần số thí sinh đã giải đƣợc Câu C
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
24
Website:tailieumontoan.com
Số thí sinh chỉ giải đƣợc Câu A nhiều hơn số thí sinh giải đƣợc Câu A và thêm Câu
-
khác là 1 ngƣời
Số thí sinh chỉ giải đƣợc Câu A bằng số thí sinh chỉ giải đƣợc Câu B cộng với số thí
-
sinh chỉ giải đƣợc Câu C.
Hỏi có bao nhiêu thí sinh chỉ giải đƣợc Câu B?
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.
a) x2 2y2 xy x2 xy 2y 2 0 x y x 2y 0
Vì x y 0 nên x 2y 0 x 2y
Khi đó P
2y y y 1
2y y 3y 3
b) Ta có:
x2 y 2 2x 4y 10 0 x 2 2x 1 y 2 4y 4 7 0
x 1 y 2 7 x y 1 x y 3 7
2
2
Vì x, y nguyên dƣơng nên
x y 3 x y 1 0 x y 3 7 và x y 1 1 x 3; y 1
Phƣơng trình có nghiệm dƣơng duy nhất x, y 3,1
Câu 2.
a) Ta có:
P(x) x 2 x 4 x 6 x 8 2017 x2 10x 16 x2 10x 24 2017
Đặt t x2 10x 21 t 3; t 7 , biểu thức P(x) đƣợc viết lại:
P(x) t 5 t 3 2017 t 2 2t 2002
Do đó khi chia t 2 2t 2000 cho t ta có số dƣ là 2002
b) Thực hiện phép chia , ta đƣợc:
Thƣơng của A chia cho B là n3 6n2 11n 6
Ta có:
n 3 6n 2 11n 6 n 3 n 12n 6n 2 6
n 1 n n 1 6 2n n 2 1
Vì n 1 n n 1 là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6
Và 6 2n n 2 1 chia hết cho 6
Thƣơng của phép chia A cho B là bội số của 6
Câu 3.
a) Ta có: B a 3 b3 3ab a 3 b3 3ab. a b a b 1 Vi
3
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
a b 1
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
25
Website:tailieumontoan.com
b) P
1
1
1
1
1
1
2
2
x x y y z z x x 1 y y 1 z z 1
2
1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
x x 1 y y 1 z z 1 x y z x 1 y 1 z 1
Áp dụng BĐT
1
1 1 1
1 1 1
9
. với a, b,c dƣơng, dấu bằng xảy ra
và
ab 4 a b
a b c abc
a bc
Ta có:
1
1
1 1 1
1 1
1 1
. 1 ;
. 1 ;
. 1
x 1 4 x y 1 4 y z 1 4 z
Bởi vậy :
1 1 1 1
1
1 1 1 1 1 1
1
1
P
. 1 1 1
y
z
x y z x 1 y 1 z 1 x y z 4 x
3 1 1 1 3 3
9
3 9 3 3
. .
4 x y z 4 4 xyz 4 4 4 2
Vậy MinP
3
x yz1
2
Câu 4.
F
A
N
E
B
a) Lập luận đƣợc:
DF DC
do
AM MC
DE BD
(do
AM BM
Từ (1) và (2)
D
M
C
AM / /DF (1)
AM / /DE) (2)
DE DF BD DC BC
2(MB MC)
AM
BM
BM
DE DF 2AM
b) AMDN là hình bình hành
NE AE
Ta có:
ND AB
NF FA DM AE
NE NF
NE NF
ND AC BM AB
ND ND
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
26
Website:tailieumontoan.com
2
c) AMC
S
FN
FDC FNA
SFDC FD
FNA
2
S
AM ND
FDC AMC
Do
SFDC FD FD
S
S
ND
Do đó AMC . FNA
SFDC SFDC FD
2
AM ND
2
2
4
FN
1 ND FN
1
.
FD 16 FD FD 16
2
SFDC
16SAMC .SFNA
Do x y 0 x y 4xy x y 16x2 y 2 với x 0; y 0)
2
2
4
Câu 5.
Gọi a là số học sinh chỉ giải đƣợc Câu A, b là số thí sinh chỉ giải đƣợc Câu B, c là số thí
sinh chỉ giải đƣợc Câu C, d là số thí sinh giải đƣợc 2 Câu B và C nhƣng không giải đƣợc
Câu A. Khi đó số thí sinh giải đƣợc Câu A và thêm ít nhất một trong hai Câu B và C là :
25 a b c d
Theo Câu ra ta có:
b d 2 c d
a 1 25 a b c d và a b c
4b c 26
b 6
Từ các đẳng thức trên ta có:
d b 2c 0 c 2
Vậy số thí sinh chỉ giải đƣợc Câu B là 6 thí sinh.
(Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa)
ĐỀ SỐ 8. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8
Câu 1. (3 điểm)
a) Cho biểu thức A 2a 2 b2 2b2c 2 2a 2c 2 a 4 b4 c 4 . Chứng minh rằng nếu a, b,c là
3 cạnh của một tam giác thì A 0
b) Chứng minh rằng a 5 a 30 a
Câu 2. (2 điểm)
Giải phƣơng trình : x2 2xy y2 3x 2y 1 4 2x x2 3x 2
Câu 3. (1,5 điểm)
Cho a 3 b3 2. Chứng minh rằng a b 2
Câu 4. (1,5 điểm)
Cho hình thang ABCD AB / /CD , hai đƣờng chéo AC và BD cắt nhau tại O. Một
đƣờng thẳng d qua O song song với 2 đáy cắt hai cạnh bên AD, BC lần lƣợt tại E và F.
Chứng minh rằng
1
1
2
.
AB CD EF
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
27
Website:tailieumontoan.com
Câu 5. (2 điểm)
Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M,N theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC sao
cho AN CM. Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh rằng KD là tia phân giác
của AKC
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.
a)
A 2a 2 b2 2b2c 2 2a 2c 2 a 4 b4 c 4 4a 2 b2 2a 2 b2 2b2c 2 2a 2c 2 a 4 b4 c 4
2ab a 2 b2 c 2
2
2ab a
2
2
b2 c 2
2ab a
2
b2 c 2
a b c 2 c 2 a b a b c a b c c a b c a b
2
2
Do a, b,c là 3 cạnh của một tam giác nên
a b c 0;a b c 0; c a b 0; c a b 0 A 0
2
a 5 a a a 4 1 a a 2 1 a 2 1 a a 1 a 1 a 4 5
b)
a a 1 a 1 a 2 a 2 5a a 1 a 1
Do tích của số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5 và trong 5 số nguyên liên tiếp luôn có
ba số nguyên liên tiếp mà tích của chúng chia hết cho 6 và 6, 5 1
Suy ra a a 1 a 1 a 2 a 2 30 và 5a a 1 a 1 30.
Vậy a 5 a 30
Câu 2.
x 2 2xy y 2 3x 2y 1 4 2x x 2 3x 2
x y 1 x 2 x 1 x 2 2x 4
2
(1)
Do
x y 1
2
x 2 x 1 x 2 0
(x, y)
2x 4 0 2 x 2 0 x 2
Với x 2 thì x y 1 x 2 x y 1 x 2; x 1 x 2 x 2 3x 2
2
2
Khi đó từ phƣơng trình (1)
x y 1 x 2 x 1 2 x 2 x y 1 x 2 2 x 1 1 x 2
2
2
2
x y 1 x 2 0 x 2 0 và x y 1 0 x 2; y 3(tm)
2
2
Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là : x; y 2; 3
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
28
Website:tailieumontoan.com
Câu 3.
Giả sử a b 2 a b 23 a 3 b3 3ab a b 8 2 3ab a b 8(a 3 b3 2)
3
3ab a b 6 ab a b 2 ab a b a 3 b3 a 3 b3 2
ab a b a b a 2 ab b 2
ab a 2 ab b2 a 2 2ab b2 0 a b 0(Vo
2
ly')
Vậy a b 2
Câu 4.
A
B
O
E
F
D
C
OE OD
(Hệ quả định lý Talet) (1)
AB DB
OF OB
Xét ABC có OF / /DC
(hệ quả định lý Talet ) (2)
CD BD
OF OC
Xét ABC có OF / /AB
(hệ quả định lý Ta let ) (3)
AB AC
OE AO
Xét ABD có OE / /DC
(Hệ quả định lý Ta let ) (4)
DC AC
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra
Xét ABD có OE / /AB
OE OF OF OE OD OB OC AO
AB CD AB DC DB BD AC AC
OE OF OF OE OD OB OC AO
AB AB CD DC DB BD AC AC
EF EF BD AC
EF EF
1
1
2
2
AB DC BD AC
AB DC
AB CD EF
Câu 5.
A
M
I
B
K
J
N
D
C
Kẻ DI, DJ lần lƣợt vuông góc với AK,CK
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
29
Website:tailieumontoan.com
1
1
AN.DI S ABCD (Do chung đáy AD, cùng chiều cao hạ từ N) (1)
2
2
1
1
SCDM CM.DJ S ABCD (Do chung đáy CD, cùng chiều cao hạ từ M ) (2)
2
2
1
1
Từ (1) và (2) suy ra : AN.DI CM.DJ DI DJ (Vì AN CM)
2
2
Ta có: S AND
DIK DJK (cạnh huyền-cạnh góc vuông) IKD JKD
KD là tia phân giác AKC
(Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa)
ĐỀ SỐ 9. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8
Câu 1.
a) Tìm các số nguyên m,n thỏa mãn m
n2 n 1
n 1
b) Đặt A n3 3n2 5n 3. Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên
dƣơng của n
c) Nếu a chia 13 dƣ 2 và b chia 13 dƣ 3 thì a 2 b2 chia hết cho 13
Câu 2. Rút gọn biểu thức:
a) A
bc
ca
ab
a b a c b c b a c a c b
6
1 6 1
x x x x6 2
b) B
3
1
1
3
x x x x3
1
1
1
1
.....
1.3 3.5 5.7
2007.2009
Câu 4. Cho 3 số x, y,z thỏa mãn điều kiện xyz 2009. Chứng minh rằng biểu thức sau
Câu 3. Tính tổng: S
không phụ thuộc vào các biến x, y,z :
y
2009x
z
xy 2009x 2009 yz y 2009 xz z 1
Câu 5. Giải phƣơng trình:
59 x 57 x 55 x 53 x 51 x
5
41
43
45
47
49
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
30
Website:tailieumontoan.com
Câu 6. Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC. Một góc xMy 600 quay
quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx,My luôn cắt các cạnh AB và AC lần lƣợt tại D và E.
Chứng minh
a) BD.CE
BC2
4
b) DM, EM lần lƣợt là tia phân giác của các góc BDE và CED
c) Chu vi tam giác ADE không đổi.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.
a) Thực hiện chia m
n2 n 1
1
n
n 1
n 1
Để m nguyên với n nguyên khi n 1 U(1) 1
n 1 1 n 0 m 1
Khi đó
n 1 1 n 2 m 3
b)
A n 3 3n 2 3n 1 2n 2 n 1 2 n 1 ....
3
n n 1 n 2 3 n 1
Khi đó: 3 n 1 3 ; n n 1 n 2 là tích của 3 số nguyên dƣơng liên tiếp nên chia hết cho
3 A 3
c) a 13k 2, b 13n 3
a 2 b2 13k 2 13n 3 .... 13 13k 2 4k 13n 2 4n 1 13
2
2
Câu 2.
a) Rút gọn A 1
1
b) Rút gọn B 3 x
x
Câu 3.
S
1 1 1 1
1
1 1
1 1004
1 ......
1
2 3 3 5
2007 2009 2 2009 2009
Câu 4.
y
2009x
z
2009 2009x xy xyz y yz 1 z zx
xy.xz
1
z
1 z xz
1
xy xz z 1 1 z zx 1 z zx 1 z zx
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
31
Website:tailieumontoan.com
Câu 5.
59 x
57 x
55 x
53 x
51 x
1
1
1
1
1 0
41
43
45
47
49
...........
1
1
1
1
1
100 x
0
41 43 45 47 49
x 100
Câu 6.
B
x
D
y
1 2
E
1
2
3
C
A
a) Chứng minh BMD CEM
Vì BM CM
BC2
BC
, nên ta có: BD.CE
4
2
b) Chứng minh BMD MED D1 D2 , do đó DM là tia phân giác BDE
Chứng minh tƣơng tự ta có EM là tia phân giác CED
c) Gọi H,I,K là hình chiếu của M trên AB, DE,AC
Chứng minh DH DI,EI EK Suy ra chu vi ADE 2AH không đổi
(Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa)
ĐỀ SỐ 10. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8
Câu 1. (4 điểm)
2
2 x 1
x 1
.
x 1 :
Cho biểu thức: A
x
3x x 1 3x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên
Câu 2. (4 điểm)
a) Chứng minh rằng: A n 3 n 2 7
2
36n 7 với n .
b) Cho P n4 4. Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố.
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
32
Website:tailieumontoan.com
Câu 3. (4 điểm)
1
1
1
1
2
2
x 9x 20 x 11x 30 x 13x 42 18
b) Cho a, b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
a) Giải phƣơng trình:
A
2
a
b
c
3
bc a a c b a bc
Câu 4. (6 điểm)
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là
đƣờng thẳng AB kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C (C khác
A). Từ O kẻ đƣờng thẳng vuông góc với OC, đƣờng thẳng này cắt By tại D. Từ O hạ
đƣờng vuông góc OM xuống CD (M thuộc CD)
a) Chứng minh OA2 AC.BD
b) Chứng minh tam giác AMB vuông
c) Gọi N là giao điểm của BC và AD. Chứng minh MN / /AC
Câu 5. (2 điểm)
Cho a, b,c là các số thực dƣơng thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng:
a bc b ca c ab
2
bc
ca
ab
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.
2
2 x 1
x 1
.
x 1 :
a) A
x
3x x 1 3x
2
2 x 1 3x x 1 x 1
A
.
:
3x
3x x 1
x
2 2.(1 3x) x
A
.
3x x 1
3x
x
2x
A 2.
x 1 x 1
2x
2x
2
b) Với x 0; x 1, Ta có: A
2 A
2
x 1
x 1
x 1
Để A thì x 1 phải là ƣớc của 2 x 1 1; 2
Đối chiếu điều kiện tìm đƣợc x 2 hoặc x 3 thỏa mãn
Câu 2.
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
33
Website:tailieumontoan.com
a) Ta có: A n 3 n 2 7
2
36n
n n n 2 7 6 n n 2 7 6 n n 3 7n 6 n 3 7n 6
3
3
Do đó
n n n 6n 6 n n 6n 6 n n 2 1 6 n 1 n n 2 1 6 n 1
n n 1 n 2 n 6 n 1 n 2 n 6 n n 1 n 2 n 3 n 1 n 2 n 3
A là tích của 7 số nguyên liên tiếp A 7 n
b) P n 4 4 n 4 4n 2 4 4n 2 n 2 2 2n
2
2
2
2
n 2 2n 2 n 2 2n 2 n 1 1 n 1 1
Vì n là số tự nhiên nên n 1 1 2. Nhƣ vậy muốn P là số nguyên tố thì ta phải có
2
n 1
2
1 0 n 1 0 n 1
2
Khi đó P 5 là số nguyên tố
Câu 3.
a) Ta có:
x 2 9x 20 x 4 x 5
x 2 11x 30 x 5 x 6
x 2 13x 42 x 6 x 7
TXĐ: x 4; x 5; x 6; x 7
Phƣơng trình trở thành:
1
1
1
1
x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18
1
1
1
1
1
1
1
x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18
1
1
1
x 4 x 7 18
18 x 7 18 x 4 x 7 x 4
x 13 x 2 0
x 13
(tm)
(tm)
x 2
b) Đặt b c a x 0; c a b y 0;a b c z 0. Ta có: x, y,z 0
Từ đó suy ra : a
yz
xy
xz
;b
;c
2
2
2
Thay vào ta đƣợc: A
Từ đó suy ra A
y z x z x y 1 y x x z y z
2x
2y
2z
2 x y z x z y
1
2 2 2 A 3 . Dấu “= “ xảy ra a b c
2
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
34
Website:tailieumontoan.com
Câu 4.
x
y
D
M
C
N
A
O
B
a) Xét ACO và BOD có:
A B 900 ; COA ODB (cùng phụ với DOB)
Nên ACO
BOD g.g
AO BD
AO.BO AC.BD
AC BO
Mà AO BO nên AO2 AC.BD
b) Xét CMO và OMD có:
CMO OMD 900 ; OCM DOM (cùng phụ với COM)
CMO
OMD
Mà ACO
BOD
Từ (1) và (2) ta có:
CO OM
(1)
OD MD
CO AO
CO OB
(Do
OD OD
OD BD
OM OB
OMD
MD BD
AO OB) 2
OBD
MOD BOD OMD OBD (cạnh huyền, góc nhọn)
OM OB OA AMB vuông tại M
c) Ta có: AC / /BD (cùng vuông góc với AB)
CN AC
NB BD
Mà BD MD ( OMD OBD )
Tƣơng tự ta chứng minh AC CM
Nên
Câu 5.
-
CN CM
MN / /BD / /AC
BN DM
Nhận xét : có a bc a a b c bc a b c a
Tƣơng tự: b ca b a b c ;
Do đó: VT
c ab c a c b
a b a c b a b c c a c b
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
bc
ca
ab
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
35
Website:tailieumontoan.com
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
a b a c b a b c 2
bc
a b a c
bc
b a b c
ac
ca
c a c b
ab
c a c b
ab
a b
2 a c
2 b c
Vậy 2.VT 4 a b c 4 VT 2 . Dấu “=” xảy ra a b c
1
3
(Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa)
ĐỀ SỐ 11. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8
Câu 1. (4 điểm)
x
5 x 2x 5
2x
2
Cho biểu thức : P 2
: 2
x 25 x 5x x 5x 5 x
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x để P có giá trị là một số nguyên.
Câu 2. (3 điểm)
Giải phƣơng trình sau:
2010x 2010 2010x 2010
2011
2
2
4
x x1
x x1
x x x2 1
Câu 3. (3 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a 4 b c b4 c a c 4 a b
b) Cho a, b thỏa mãn a 2 b2 8. Chứng minh 4 a b 4
Câu 4. (8 điểm)
Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a. Trên cùng một nửa mặt
phẳng bờ là đƣờng thẳng AB vẽ hai tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy
điểm D bất kỳ, qua O vẽ hai dƣờng thẳng vuông góc với DO tại O cắt By tại C
a) Chứng minh BC.AD a 2
b) Chứng minh DO và CO lần lƣợt là tia phân giác của ADC và BCD
c) Vẽ OH CD H CD . Gọi I là giao điểm của AC và BD, E là giao điểm của AH và
DO, F là giao điểm của BH và CO. Chứng minh ba điểm E,I,F thẳng hàng
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
36
Website:tailieumontoan.com
d) Xác định vị trí của điểm D trên tia Ax để tích DO.CO có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị
nhỏ nhất đó.
Câu 5. (2 điểm)
Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện x2 y 2
2
4x2 y 2 x2 2y 2 0. Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 y2
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.
a) Tìm đƣợc ĐKXĐ của P là : x 0; x 5; x
5
2
x
x 5 2x 5
2x
P
:
x 5 x 5 x x 5 x x 5 5 x
x2 x 5
2
x x 5 x 5
:
2x 5
2x
x x 5 5 x
x x 5 x x 5 . x x 5 2x
2x 5 5 x
x x 5 x 5
5
2x
5 2x
x5 x5 x5
b)
x 0; x 5; x
P 5 2x
x5
Ta có:
*
5 2x
15
. Vì x x 5 U(15) 1; 3; 5; 15
2
x5
x5
Mà x lớn nhất nên x 5 lớn nhất . Do đó x 5 15 x 20 (thỏa mãn * )
Vậy giá trị nguyên lớn nhất của x 20 để P có giá trị là một số nguyên.
Câu 2. Ta có:
2010x 2010 2010x 2010
2011
2
2
4
x x1
x x1
x x x2 1
2
1 3
Ta có: x x 1 x 0x;
2 4
2
(1)
2
1 3
x x 1 x 0x
2 4
2
Điều kiện xác định của phƣơng trình (1) là : x 0
Ta có: x4 x2 1 x4 2x2 1 x2 x2 x 1 x2 x 1
Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu:
1 2010x x 1 x
2
x 1 2010x x 1 x 2 x 1 2011
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
37
Website:tailieumontoan.com
2010x x3 1 2010x x 3 1 2011 2010x x 3 1 x 3 1 2011
2011
4020
2010x.2 2011 x
(TM)
Câu 3.
a) a 4 b c b4 c a c 4 a b a 4 b c b4 a c c 4 a b
a 4 b c b4 a b b c c 4 a b
a 4 b c b4 a b b4 b c c 4 a b
b c a 4 b4 a b b4 c 4
b c a b a b a 2 b 2 a b b c b c b 2 c 2
a b b c a 3 ab 2 a 2 b b 3 b 3 bc 2 b 2 c c 3
a b b c a c a 2 ac c 2 b 2 a c b a c a c
2
2
2
a b b c a c a b c ab bc ca
b) Ta có:
a b
a b
2
0 a 2 b2 2ab mà a 2 b2 8 nên 2ab 8
2
a 2 b2 2ab 8 8 16
a b 16 0 a b 4 a b 4 0
2
4 a b 4(dfcm)
Câu 4.
y
x
C
H
D
F
I
E
A
O
B
a) Chứng minh ADO BOC (cùng phụ với AOD)
Chứng minh ADO
b) Chứng minh
BOC gg
OA AD
BC.AD a 2
BC OB
OB OD
. Từ đó chứng minh ODC
BC OC
BOC c.g.c
Suy ra và kết luận CO là tia phân giác của BCD
Chỉ ra ADO ODC (cùng đồng dạng với BOC)
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
38
Website:tailieumontoan.com
Chứng minh DO là tia phân giác của ADC
c) Chứng minh vuông OBC vuông OHC (cạnh huyền – góc nhọn)
CB CH
Chứng minh OC là đƣờng trung trực HB
Tƣơng tự chứng minh AD DH và OD là trung trực của HA
Chứng minh EF là đƣờng trung bình AHB EF / /AB
DE DH AD
EO HC BC
AD DI
AD / /BC
BC IB
DE DI
Suy ra
. Áp dụng định lý Ta let đảo cho DOB EI / /OB
EO IB
Theo tiên đề Oclit kết luận E,I,F thẳng hàng
Chỉ ra EH / /OC
d) Chỉ ra 2SDOC OC.OD OH.DC a.DC nhỏ nhất
DC nhỏ nhất DC Ax ABCD là hình chữ nhật AD BC; CD AB
Mà BC.AD a2 AD2 a2 AD a
Xét tam giác vuông AHB có HO là đƣờng trung tuyến thuộc cạnh huyền
OH
AB
a
2
Suy ra GTNN của OD.OC bằng 2a 2 khi và chỉ khi D Ax và AD a.
Câu 5.
x
2
y2
x
2
4x 2 y 2 x 2 2y 2 0 x 4 y 4 2x 2 y 2 4x 2 y 2 x 2 2y 2 0
x 4 2x 2 y 2 y 4 x 2 2y 2 0 x 2 y 2
2
2
2 x 2 y 2 1 3x 2 1
2
y 2 1 3x 2 1
2
Ta có: 3x2 1 1x x2 y2 1 1 1 x2 y2 1 1 0 A 2
x 0
A0 2
x y 0. Vậy min A 0 x y 0
2
x y 0
x 0
x 0
x 0
A2 2
2
. Vậy max A 2 2
2
x y 2
y 2
y 2
(Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa)
ĐỀ SỐ 12. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8
Câu 1. (4 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
39
Website:tailieumontoan.com
2
1. 8 x2 3x 5 7 x2 3x 5 15
2. x11 x7 1
Câu 2. (4 điểm) Giải phƣơng trình:
3
8 5 3
9
1.
.
x
81 16 8 64
x2 2x 1 x2 2x 2 7
2.
x2 2x 2 x 2 2x 3 6
Câu 3. (2 điểm)
Tìm số dƣ trong phép chia của đa thức x 2 x 4 x 6 x 8 2010 cho đa thức
x2 10x 21
Câu 4. (6 điểm)
Cho đa thức ABC vuông tại A AC AB , đƣờng cao AH H BC . Trên tia HC lấy
điểm D sao cho HD HA. Đƣờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng: BEC ADC. Tính độ dài đoạn BE theo m AB
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM, BEC
đồng dạng. Tính số đo của AHM
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh :
GB
HD
BC AH HC
Câu 5. (4 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ BH vuông góc với AC(H AC). Gọi M là trung điểm
của AH,K là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: BM MK .
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.
2
8 x2 3x 5 7 x2 3x 5 15
1.1
Đặt t x2 3x 5 , ta có:
2
8 x2 3x 5 7 x2 3x 5 15 8t 2 7t 15
8t 2 8t 15t 15 8t t 1 15 t 1 t 1 8t 15
Thay t x2 3x 5 vào đa thức ta có:
x
x
2
8 x 2 3x 5 7 x 2 3x 5 15
3x 5 1 8 x 2 3x 5 15
2
2
3x 4 8x 24x 55
2
1.2
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
40
Website:tailieumontoan.com
x11 x7 1 x11 x10 x9 x10 x 9 x 8
x x x 1 x x x 1 x x x 1 x x
x x 1 . x x x x x 1
x 1 x x
x 8 x7 x 6 x 6 x 5 x 4 x 5 x 4 x 3 x 3 x 2 x x 2 x 1
9
2
8
2
9
2
8
6
6
4
2
4
2
3
2
x 1 x2 x 1
Câu
3
2.
3
8 5 3
9
.
x
81 16 8 64
2.1.
3
5 3
9 81 9
x .
64 8 8
16 8
5 3
9
x
16 8
8
9 5
23
x 8 16
3
6
8
2.2
3
x2 2x 1 x2 2x 2 7
x2 2x 2 x2 2x 3 6
x
Đặt t x2 2x 3 x2 2x 2 t 1, DK : t 2
Phƣơng trình trở thành:
t 2 t 1 7
t 1
t
6
6t t 2 6 t 1 t 1 7t(t 1)
t
t t 1
6t t 1
6t 2 12t 6t 2 12t 6 7t 2 7t
5t 2 17t 6 0
t 3(TM)
2
t 3 t 0 2
t (ktm)
5
5
x 0
Với t 3 x2 2x 3 3
x 2
Vậy nghiệm của phƣơng trình là : x 0; x 2
Câu 3.
Ta có:
P(x) x 2 x 4 x 6 x 8 2010
x2 10x 16 x 2 10x 24 2010
Đặt t x2 10x 21, biểu thức P(x) đƣợc viết lại:
P(x) t 5 t 3 2010 t 2 2t 1995
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
41
Website:tailieumontoan.com
Do đó khi chia t 2 2t 1995 cho t ta có số dƣ là 1995
Câu 4.
A
M
1
B
E
1
2
2
H G
D
C
4.1 CDE và CAB có: C chung; CDE CAB 900
CD CE
CD CA
.
CA CB
CE CB
Hai tam giác ADC và BEC có:
CDE
C chung;
CAB
CD CA
(cmt) ADC BEC(c.g.c)
CE CB
Suy ra : BEC ADC 1350 (Vì AHD vuông cân tại H theo giả thiết)
Nên AEB 450 , do đó ABE vuông cân tại A
Suy ra BE AB 2 m 2
4.2 Ta có:
BM 1 BE 1 AD
(do BEC ADC)
.
.
BC 2 BC 2 AC
Mà AD AH 2 ( AHD vuông cân tại H)
Nên
BM 1 AD 1 AH 2
BH
BH
.
.
(Do..BHM
BC 2 AC 2 AC
AB 2 BE
Do đó: BHM
CBA)
BEC(c.g.c) BHM BEC 1350 AHM 450
4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là tia phân giác góc BAC
AB ED
GB AB
mà
ABC DEC
AC DC
GC AC
ED AH
Ta lại có: ED / /AH
DC HC
ED AH HD
Mà HD HC
DC HC HC
GB HD
GB
HD
GB
HD
GC HC
GC GB HC HD
BC HC AH
Câu 5.
Suy ra
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
42
Website:tailieumontoan.com
A
B
O
M
D
H
K
C
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BH
Ta có M,O lần lƣợt là trung điểm của AH, BH nên: MO là đƣờng trung bình HAB
Vậy MO
1
AB,MO / /AB
2
1
Mà AB CD, AB / /CD,KC CD
2
Do đó: MO KC,MO / /KC, suy ra tứ giác MOCK là hình bình hành.
Từ đó có: CO / /MK
Ta có: MO / /KC,KC CB MO CB
Tam giác MBC có MO CB, BH MC nên O là trực tâm MBC CO BM
Ta có: CO BM và CO / /MK nên BM MK
(Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa)
ĐỀ SỐ 13. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8
Câu 1. (2 điểm)
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
1.x2 7x 6
2.x4 2008x 2 2007x 2008
Câu 2. (2 điểm) Giải phƣơng trình:
1)x 2 3x 2 x 1 0
2
2
2
2
1
1
1
1
2)8 x 4 x 2 2 4 x 2 2 x x 4
x
x
x
x
Câu 3. (2 điểm)
1 1 1
1. CMR với a, b,c là các số dƣơng, ta có: a b c 9
a b c
2. Tìm số dƣ trong phép chia của biểu thức x 2 x 4 x 6 x 8 2008 cho đa
thức x2 10x 21
Câu 4. (4 điểm)
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
43
Website:tailieumontoan.com
Cho tam giác ABC vuông tại A AC AB , đƣờng cao AH H BC . Trên tia HC lấy
điểm D sao cho HD HA. Đƣờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
1) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo
m AB
2) Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC
đồng dạng. Tính số đo của AHM
3) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh
GB
HD
BC AH HC
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.
1)
x2 7x 6 x 2 x 6x 6
x x 1 6 x 1 x 6 x 1
2)
x 4 2008x 2 2007x 2008 x 4 x 2 2007x 2 2007x 2007 1
x x 1 x x 1 2007 x
x 4 x 2 1 207 x 2 x 1 x 2 1 x 2 2007 x 2 x 1
2
2
2
x 1 x 2 x 1 x 2 x 2008
Câu 2.
2.1 x2 3x 2 x 1 0 1
Nếu x 1 : 1 x 1 0 x 1 (thỏa mãn điều kiện x 1)
2
x 1 : 1 x 2 4x 3 0 x 2 x 3 x 1 0
Nếu
x 1 (ktm)
x 1 x 3 0
x 3 (ktm)
Vậy phƣơng trình 1 có một nghiệm duy nhất x 1
2.2
2
2
2
1
1
1
1
8 x 4 x2 2 4 x2 2 x x 4
x
x
x
x
(2)
Điều kiện để phƣơng trình có nghiệm: x 0
2
2
2
1
2 1 2 1
1
2 8 x x 4 x x 2 x x 2 x x x 4
2
2
2
1
1
8 x 8 x 2 2 x 4 x 4 16
x
x
x 0(ktm)
x 8(tm)
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
44
Website:tailieumontoan.com
Vậy phƣơng trình đã cho có một nghiệm x 8
Câu 3.
3.1 Ta có:
1 1 1
a a b
b c c
A a b c 1 1 1
b c a
c a b
a b c
a b a c c b
3
b a c a b c
Mà
x y
2 (BĐT Cô si)
y x
Do đó: A 3 2 2 2 9 . Vậy A 9
3.2 Ta có:
P(x) x 2 x 4 x 6 x 8 2008
x2 10x 16 x 2 10x 24 2008
Đặt t x2 10x 21 t 3; t 7 , Biểu thức P(x) đƣợc viết lại
P(x) t 5 t 3 2008 t 2 2t 1993
Do đó khi chia t 2 2t 1993 cho t ta có số dƣ là 1993
Câu 4.
A
E
B
M
HG
C
D
1) Hai tam giác ADC và BEC có: C chung;
CD CA
(hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
CE CB
Do đó ADC BEC
Suy ra BEC ADC 1350 (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết)
Nên AEB 450 , do đó ABE vuông cân tại A
Suy ra : BE AB 2 m 2
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
45
Website:tailieumontoan.com
2) Ta có
BM 1 BE 1 AD
.
.
do
BC 2 BC 2 AC
BEC
ADC
Mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông cân tại H)
Nên
BM 1 AD 1 AH 2
BH
BH
.
.
(do ABH CBA)
BC 2 AC 2 AC
AB 2 BE
Do đó: BHM
BEC(c.g.c) BHM BEC 1350 AHM 450
3) Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là tia phân giác BAC
GB AB
AB ED
AH
HD
ABC DEC
ED / /AH
, mà
GC AC
AC DC
HC
HC
GB HD
GB
HD
GB
HD
Do đó:
GC HC
GB GC HD HC
BC AH HC
(Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa)
Suy ra :
ĐỀ SỐ 14. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8
Câu 1. (2,0 điểm)
1
1
a) Giải phƣơng trình: x 4 x2 x 1, 5 3 x x 2 x 1, 5
2
2
b) Giải bất phƣơng trình: x
1
2
x
Câu 2. (2,0 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức sau:
b)
x16 1
x 1 x 1 x
Cho x 3y 6 x 3y 12 x 3y 19
3
2
4
1 x8 1
với x 2011
2
Tìm giá trị của biểu thức x 3y
Câu 3. (1,0 điểm)
Một trƣờng học đƣợc xây dựng trên khu
đất hình chữ nhật ABCD có AB 50m,
BC 200m. Ở phía chiều rộng AB tiếp
A
giáp đƣờng chính, ngƣời ra sử dụng hai lô
đất hình vuông AMEH, BMIK để xây
dựng phòng làm việc và nhà để xe. Diện
H
tích còn lại để xây phòng học và các công
M B
I
K
E
trình khác (nhƣ hình vẽ). Tính diện tích
lớn nhất còn lại để xây phòng học và các
cong trình khác.
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
D
C
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
46
Website:tailieumontoan.com
Câu 4. (2,0 điểm)
x
x 3 8 x 2 2x 4 1 x 2 3x 2
3
.
.
Cho biểu thức P
:
x2 4 x 2 x2 x 1
x2 x 8
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của x để P 0
Câu 5. (3,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD có AB 8cm,AD 6cm. Gọi H là hình chiếu của A trên
BD. Gọi M,N lần lƣợt là trung điểm của DH, BC
a) Tính diện tích tứ giác ABCH
b) Chứng minh AM MN.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.
1
1
a) x 4 x 2 x 1, 5 3 x x 2 x 1, 5
2
2
x 0, 5
1
2x 1 x 1 2x 3 x 1
2
x 1, 5
b) x
1
x2 1
2
2, DK : x 0
x
x
x 0; x 2 1 2x x 1 0(ktm)
2
x 0 : x 2 1 2x x 1 (dung x 0)
2
Vậy x 0
Câu 2.
a)
x16 1 x 1 x 1 x 2 1 x 4 1 x 8 1
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
2
x16 1
2
4
8
2
4
4
8
8
Kết quả 2010
x 3y 6 x 3y 12 x 3y 8 27
x 3y 2 3
3
b)
2
3
3
x 3y 2 3 x 3y 1
Câu 3. Đặt : AM a,MB b a b 502
2
a b
2
0 a 2 2ab b2 0 a 2 b 2 2ab
2 a 2 b2 a b 50 2
2
a 2 b2 1250
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
47
Website:tailieumontoan.com
Diện tích nhỏ nhất SAMEH S BIMK 1250 m2
Diện tích lớn nhất còn lại: 10000 1250 8750 m 2
Câu 4. a) ĐKXĐ: x 2
2
x3 8 x 2 2x 4 x 2 x 2x 4
x 2 2x 4
x 2 2x 4
.
.
x3 8
x2 4
x 2 x2 2x 4 x 2 x 2 x 2 2
2
x
x2 2x 4 x x 2 x 2x 4
4
2
2
2
x2
x 2
x 2
x 2
4
x 2
2
:
1 x2 3x 2 4. x 2 x 1 x 2 4. x 1
.
2
2
x 2 x2 x 1
x x1
x 2 . x2 x 1
2
1 3
b) x x 1 x 0 với mọi x
2 4
2
Để P 0 4 x 1 0 x 1 0 x 1
Vậy để P 0 thì x 1; x 2
Câu 5.
B
A
K
N
M
H
C
D
a)
ABH DBA
Tính AH 4,8cm; BH 6,4cm
Kẻ KC BD.
C / m KC AH 4,8cm
1
1
AH.HB CK.HB 30,72 cm 2
2
2
AH AD HD
b) AHD ABC
.
AB AC BC
AD DM
AD AM
; ADM ACN
AC CN
AC AN
AD AM
MAD NAC NAM CAD;
AC AN
S ABCH S ABH S BHC
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
48
Website:tailieumontoan.com
ADC AMN(cgc) AM MN
(Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa)
ĐỀ SỐ 15. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8
Câu 1. (1,50 điểm)
2a 1
thành hiệu hai bình phƣơng
a a 1
a) Hãy viết biểu thức sau :
b) Cho M
2.1 1
1
2
2.2 1
2
1
2
2
2
2
2.3 1
3
2
2
3
2
......
2.2012 1
2012
2
2012
2
Chứng minh rằng M 1
Câu 2. (2,00 điểm)
a) Chứng minh rằng n 3 28n chia hết cho 48 với mọi n là số nguyên chẵn
b) Giải phƣơng trình sau:
x2 3x 7 3x 2
x2 5x 6 x 15
Câu 3. (2,50 điểm)
x
1 1
2
2
:
2
Cho biểu thức : P
x 1 x x x 1 x 1
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị của x để P 1
c) Giải phƣơng trình P 2
Câu 4. (1,00 điểm)
Cho a 0; b 0 và a 2 b2 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q
1
1
2
2
a
b
Câu 5. (3,00 điểm)
Cho tam giác ABC có AB 2a; AC 3a; BC 4a. Đƣờng phân giác AD và BE cắt
nhau tại I. Gọi M là trung điểm của AC, G là trọng tâm tam giác ABC
a) Tính độ dài đoạn thẳng BD theo a
b) Chứng minh IG / /AC
c) Tính tỉ số diện tích của tứ giác EIGM và ABC
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.
a)
2a 1
a 2 a 1
2
a 2 2a 1 a 2
a 2 a 1
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
2
a 1 a
a a 1
2
2
2
2
2
1 1
a a 1
2
TÀI LIỆU TOÁN HỌC