A. Hướng dẫn chung

1. Nếu thí sinh làm bài theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản như trong hướng dẫn chấm thi vẫn cho điểm đúng như hướng dẫn chấm qui định.

2. Việc chi tiết hóa điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm, thống nhất trong toàn tổ và được lãnh đạo Hội đồng chấm thi phê duyệt.

3. Sau khi cộng điểm toàn bài được làm tròn đến 0,25 điểm.

B. Đáp án và thang điểm

---Hết---

Câu 1. (2,0 điểm)

Cho và với , .

a).Tính giá trị của biếu thức khi .

b).Rút gọn biểu thức .

c).Tìm sao cho nhận giá trị là số nguyên.

Câu 2. (2,0 điểm)

a).Giải hệ phương trình (không sử dụng máy tính cầm tay).

b).Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích . Biết rằng, chiều dài mảnh vườn hơn chiều rộng mảnh vườn là . Tính chiều rộng mảnh vườn.

Câu 3. (2,0 điểm)

Cho hàm số ( là tham số)

a).Tìm để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất đồng biến trên .

b).Chứng minh rằng với mọi giá trị của thì đồ thị hàm số đã cho luôn cắt parabol tại hai điểm phân biệt. Gọi , là hoành độ các giao điểm, tìm sao cho .

c).Gọi đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng . Chứng minh khoảng cách từ điểm đến không lớn hơn .

Câu 4. (3,5 điểm)

Cho đường tròn tâm đường kính . Kẻ dây cung vuông góc với tại ( nằm giữa và , khác và ). Lấy điểm thuộc ( khác và ), tia cắt đường tròn tại khác .

a).Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp.

b).Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Chứng minh: .

c).Đoạn thẳng cắt đường tròn tại khác . Chứng minh là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .

d).Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của và lên đường thẳng . Chứng minh .

Câu 5. Cho , , là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: .

Hướng dẫn giải

Câu 1. (2,0 điểm)

Cho và với , .

a).Tính giá trị của biếu thức khi .

b).Rút gọn biểu thức .

c).Tìm sao cho nhận giá trị là số nguyên.

Lời giải

Cho và với , .

a).Tính giá trị của biếu thức khi .

Có

Khi .

b).Rút gọn biểu thức .

c).Tìm sao cho nhận giá trị là số nguyên.

Có

Có

Có , , .

nhận giá trị là số nguyên (nhận).

Câu 2. (2,0 điểm)

a).Giải hệ phương trình (không sử dụng máy tính cầm tay).

b).Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích . Biết rằng, chiều dài mảnh vườn hơn chiều rộng mảnh vườn là . Tính chiều rộng mảnh vườn.

Lời giải

a).Giải hệ phương trình (không sử dụng máy tính cầm tay).

Có .

Vậy nghiệm của hệ là

b).Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích . Biết rằng, chiều dài mảnh vườn hơn chiều rộng mảnh vườn là . Tính chiều rộng mảnh vườn.

Gọi , lần lượt là chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn, điều kiện , .

Có

.

Vậy chiều rộng mảnh vườn là

Câu 3. (2,0 điểm)

Cho hàm số ( là tham số)

a).Tìm để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất đồng biến trên .

b).Chứng minh rằng với mọi giá trị của thì đồ thị hàm số đã cho luôn cắt parabol tại hai điểm phân biệt. Gọi , là hoành độ các giao điểm, tìm sao cho .

c).Gọi đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng . Chứng minh khoảng cách từ điểm đến không lớn hơn .

Lời giải

a).Tìm để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất đồng biến trên .

đồng biến trên .

Vậy thì hàm số đồng biến trên .

b).Chứng minh rằng với mọi giá trị của thì đồ thị hàm số đã cho luôn cắt parabol tại hai điểm phân biệt. Gọi , là hoành độ các giao điểm, tìm sao cho .

, .

Phương trình hoành độ giao điểm của , :

, Có

Có

Do có

Suy ra cắt luôn cắt tại hai điểm phân biệt .

Có

, mà

.

Vậy , thỏa yêu cầu bài

c).Gọi đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng . Chứng minh khoảng cách từ điểm đến không lớn hơn .

cắt trục , lần lượt ở và .

*Trường hơp 1: Xét , thì , song song trục , cắt trục tại

Có khoảng cách từ đến đường thẳng là

Gọi là hình chiếu của lên đường thẳng .

vuông tại có , Có

Giả sử (sai)

Vậy .

Câu 4. (3,5 điểm)

Cho đường tròn tâm đường kính . Kẻ dây cung vuông góc với tại ( nằm giữa và , khác và ). Lấy điểm thuộc ( khác và ), tia cắt đường tròn tại khác .

a).Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp.

b).Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Chứng minh: .

c).Đoạn thẳng cắt đường tròn tại khác . Chứng minh là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .

d).Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của và lên đường thẳng . Chứng minh .

Lời giải

a).Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp.

Có .

Tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính .

b).Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Chứng minh: .

Có , (góc chung)

c).Đoạn thẳng cắt đường tròn tại khác . Chứng minh là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .

có ba đường cao , , đồng qui tại . Suy ra là trực tâm của .

Có (trong đường tròn )

Có (trong đường tròn )

Có (tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính )

Suy ra là tia phân giác của .

Tương tự là tia phân giác của .

có hai tia phân giác và cắt nhau tại . Suy ra là tâm đường tròn nội tiếp .

d).Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của và lên đường thẳng . Chứng minh .

Gọi là giao điểm của tia và đường tròn .

Có , (do là tia phân giác của )

Tứ giác nội tiếp đường tròn.

.

là tia phân giác của

có chung, ,

Do đó .

Có . Suy ra là hình chữ nhật, nên .

Suy ra , mà nội tiếp đường tròn .

là hình thang cân

Vậy .

Câu 5. Cho , , là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: .

Lời giải

Đặt .

Có , , là các số thực dương, theo bất đẳng thức AM-GM có:

. , mà .

.

Có .

Suy ra .

Có .

Do đó . , .

Suy ra . Dấu đẳng thức xảy ra khi .

Vậy .

Câu 1. Chứng minh A = là một số nguyên

Câu 2. Rút gọn biểu thức với a < 1 và b > 1

Câu 3. Tìm các giá trị của m để hàm số y = (2m – 1) x² đạt giá trị lớn nhất bằng 0 tại x = 0.

Câu 4. Cho hàm số y = ax + b với a 0. Xác định các hệ số a, b biết đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 2x + 2019 và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2020.

Câu 5. Một địa phương cấy 10ha giống lúa loại I và 8ha giống lúa loại II. Sau một mùa vụ, địa phương đó thu hoạch và tính toán sản lượng thấy:

+ Tổng sản lượng của hai giống lúa thu về là 139 tấn;

+ Sản lượng thu về từ 4ha giống lúa loại I nhiều hơn sản lượng thu về từ 3ha giống lúa loại II là 6 tấn.

Hãy tính năng suất lúa trung bình ( đơn vị: tấn/ ha) của mỗi loại giống lúa.

Câu 6. Cho phương trình x² – 4x + m – 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x­₁, x₂ thỏa mãn x₁² + x₂² -10x₁x₂ = 2020.

Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 10cm, AH = 6cm, Tính độ dài các cạnh AC, BC của tam giác ABC.

Câu 8. Cho đường tròn (O). Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( O) tại A. Trên d lấy một điểm B( B khác A), vẽ đường tròn (B, BA) cắt đường tròn ( O) tại điểm C ( C khác A). Chứng minh BClà tiếp tuyến của (O).

Câu 9. Cho tam giác ABC( AB< AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Lấy các điểm P, Q lần lượt thuộc các cung nhỏ AC, AB sao cho BP vuông góc với AC, CQ vuông góc với AB. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của PQ với AB và AC. Chứng minh IJ.AC = AI.CB.

Câu 10. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn ( O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn ( B, C là tiếp điểm ). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

1. Chứng minh OB² = OH. OA

2. EF là một dây cung của (O) đi qua H sao cho A, E, F không thẳng hàng. Chứng minh bốn điểm A, E, O, F nằm trên cùng một đường tròn.

----Hết---

ĐÁP ÁN

Câu 1. Chứng minh

Vậy A là một số nguyên

Câu 2.

( do a < 1 và b > 1)

Câu 3. Hàm số y = (2m – 1) x² đạt giá trị lớn nhất tại x = 0.

Khi 2m – 1 < 0 m <

Câu 4. ( d): y = ax + b ( a 0) song song với (∆): y = 2x + 2019

a = 2 (1)

b ₂₀₁₉

+ (d) cắt Oy tại điểm có tung độ 2020 b = 2020 (2)

Từ (1), (2) ta có: y = 2x + 2020

Câu 5.

Gọi năng suất lúa trung bình của loại I là x ( 0 < x < 139)

Gọi năng suất lúa trung bình của loại II là y (0 < y < 139)

Theo bài ra ta có hệ phương trình

Vậy năng suất lúa trung bình của loại I là: 7,5 (tấn / ha)

Vậy năng suất lúa trung bình của loại II là: 8 (tấn / ha)

Câu 6. Cho phương trình x² – 4x + m – 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x­₁, x₂ thỏa mãn x₁² + x₂² -10x₁x₂ = 2020.

∆’ = 4-m-1 = 3-m

+ PT có 2 nghiệm ∆’ ≥ 0 3-m ≥ 0 m ≤ 3

+ Theo viet (1)

Mà: x₁² + x₂² -10x₁x₂ = 2020

(x₁ + x_{2 ­})² - 12 x₁x_{2 ­}-2020 = 0 (2)

Thế (1) vào (2) 16 - 12(m+1) – 2020 = 0

-12m - 2016 = 0

m = -168 ( t/m)

Câu 7.

Ta có:

Ta có: AH.BC = AB.AC

6.BC = 10.

BC =

Câu 8.

Theo bài ra ta có AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) AB OA (1)

Xét hai tam giác ∆OAB và ∆OCB có:

OA = OC

BA = BC → ∆OAB = ∆OCB ( c.c.c) (2)

OB chung

Từ (1), (2) suy ra = (=90⁰) hay =90⁰ nên BC OC

Vậy BClà tiếp tuyến của (O)

Câu 9.

Tứ giác HECB nội tiếp đường tròn ( vì 2 đỉnh liên tiếp nhìn 1 cạnh cố định dưới góc vuông)

= ( Nội tiếp chắn cung HE)

=

= ( ) = (vì )

=

Xét tam giác ∆AIJ và ∆ ACB

Có chung

= (cmt)

Vậy ∆AIJ và ∆ ACB (g.g) = IJ.AC = AI.CB

Câu 10.

a. Xét tam giác

∆OBA và ∆OHB có:

chung

= = 90⁰

→ ∆OBA ∆OHB → = → OB² = OH. OA

b. theo cmt: OB² = OH. OA → OE² = OH. OA → = lại có:

→∆OEH ∆OAE → ( 1)

Vì ∆OEF cân nên: (2)

Từ (1), (2) suy ra: ( hai đỉnh liên tiếp bằng nhau cùng nhìn dưới cạnh cố định OE) → Tứ giác OEAF nội tiếp đường tròn

Vậy bốn điểm A, E, O, F nằm trên cùng một đường tròn

Bài 1. (2 điểm) Cho biểu thức: với

1. Rút gọn

2. Tìm giá trị của cảu A khi

Bài 2. (2 điểm)

1. Cho đường thẳng . Tìm a, b để đường thẳng (d) song song với đường thẳng và đi qua điểm

2. Giải hệ phương trình

Bài 3: ( 2 điểm)

1. Giải phương trình

2. Cho phương trình: với m là tham số.Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m. Tìm m để các nghiệm đó thỏa mãn hệ thức .

Bài 4. (3,0 điểm) Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R, kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là các tiếp điểm). Trê cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ khác B và C. Gọi I,K,P lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng AB, AC, BC

1. Chứng minh AIMK là tứ giác nội tiếp;

2. Chứng minh

3. Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để tích đạt giá trị nhỏ nhât..

Bài 5. (1,0 điểm) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn , Chứng minh rằng:

------Hết-------

Lời giải

Câu I.

1. Rút gọn biểu thức A với với

2. Tìm giá trị của cảu A khi

tmđk

thay vào A ta đc:

Vậy với thì

Bài 2. (2 điểm)

1. Cho đường thẳng . Tìm a, b để đường thẳng (d) song song với đường thẳng và đi qua điểm

Vì nên

Vì (d) đi qua nên ta có:

Vậy ta có

2. Giải hệ phương trình

Bài 3: ( 2 điểm)

1. Giải phương trình

PT có : nên PT có hai nghiệm:

2. Ta có: nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m

Có :

Vì x₁, x₂ là các nghiệm của PT (1) nên ta có:

; thay vào (*) ta đc:

Theo Vi-et có thay vào ta đc:

Vây:

Bài 4. (3,0 điểm) Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R, kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là các tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ khác B và C. Gọi I,K,P lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng AB, AC, BC

Mà ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nt cùng chắn cung MC của (O)) (2)

Từ (1) và (2) suy ra hay

1. Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để tích đạt giá trị nhỏ nhât..

Chứng minh được nên:

Để lớn nhất khi chỉ khi MP lớn nhất, nên M là điểm chính giữa cung nhỏ BC

Bài 5. (1,0 điểm) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn , Chứng minh rằng:

Ta có:

Tương tự có: ;

Suy ra

Đặt ta có: ( do )

Suy ra:

Dễ cm đc

Vậy Dấu “_” xảy ra khi

Câu 1: (1,5 điểm)

a) Tìm giá trị của x sao cho biểu thức có giá trị dương.

b) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn, tính giá trị biểu thức

c) Rút gọn biểu thức với và .

Câu 2: (1,5 điểm)

a) Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình

b) Cho đường thẳng . Tìm giá trị của a và b sao cho đường thẳng d đi qua điểm và song song với đường thẳng .

Câu 3: (1,0 điểm) Hưởng ứng Ngày Chủ nhật xanh do UBND tỉnh phát động với chủ đề “Hãy hành động để Thừa Thiên Huế thêm Xanh, Sạch, Sáng”, một trường THCS đã cử học sinh của hai lớp 9A và 9B cùng tham gia làm tổng vệ sinh một con đường, sau giờ thì làm xong công việc. Nếu làm riêng từng lớp thì thời gian học sinh lớp 9A làm xong công việc ít hơn thời gian học sinh lớp 9B là 2 giờ. Hỏi nếu mỗi lớp làm riêng thì sau bao nhiêu giờ sẽ làm xong công việc?

Câu 4: (2,0 điểm) Cho phương trình: (với x là ẩn số).

a) Giải phương trình khi .

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

c) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện .

Câu 5: (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm C không trùng B sao cho . Các tiếp tuyến của đường tròn tại A và tại C cắt nhau tại D. Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, E là giao điểm của hai đường thẳng OD và AC.

a) Chứng minh OECH là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi F là giao điểm của hai đường thẳng CD và AB. Chứng minh .

c) Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng BD và CH. Chứng minh hai đường thẳng EM và AB song song với nhau.

Câu 6: (1,0 điểm) Một chiếc cốc thủy tinh có dạng hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng , bán kính đáy bằng . Người ta thả từ từ lần lượt vào cốc nước một viên bi hình cầu và một vật có dạng hình nón đều bằng thủy tinh (vừa khít như hình vẽ) thì thấy nước trong chiếc cốc tràn ra ngoài. Tính thể tích của lượng nước còn lại trong chiếc cốc (biết rằng đường kính của viên bi, đường kính của đáy hình nón và đường kính của đáy cốc nước xem như bằng nhau; bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh).

……………Hết……………

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:…………………….

ĐÁP ÁN

Câu 1: (1,5 điểm)

a)

Ta có A có giá trị dương

Vậy thì A có giá trị dương

b)

Vậy B =

c)

ĐKXĐ:

Vậy với thì B = 1

Câu 2: (1,5 điểm)

a)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:

b) Ta có

Đường thẳng đi qua điểm nên thay vào phương trình đường thẳng d ta được

Vậy

Câu 3: (1,0 điểm)

Gọi thời gian lớp 9A làm một mình xong công việc là x (giờ)

Gọi thời gian lớp 9B làm một mình xong công việc là y (giờ)

Mỗi giờ lớp 9A làm được phần công việc là: (công việc)

Mỗi giờ lớp 9B làm được phần công việc là: (công việc)

Mỗi giờ lớp cả hai ớp 9A, 9B làm được phần công việc là: (công việc)

Theo đề bài, hai lớp cùng làm chung công việc trong giờ thì xong công việc nên ta có phương trình: (1)

Nếu làm riêng từng lớp thì thời gian học sinh lớp 9A làm xong công việc ít hơn thời gian lớp 9B là 2 giờ nên ta có phương trình: (2)

Thế phương trình (2) vào phương trình (1) ta được:

Vậy nếu làm một mình thì lớp 9A làm xong công việc trong 5 giờ, lớp 9B làm xong công việc trong giờ

Câu 4: (2,0 điểm)

Phương trình:

Thay vào phương trình (1) ta được pương trình:

Vậy với thì tập nghiệm của phương trình là:

b)

CÓ

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

c) Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Phương trình có hai nghiệm khi và

Theo đề bài ta có:

Vậy là các giá trị thỏa mãn bài toán.

Câu 5: (3,0 điểm)

a)

(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

(bán kính)

Do đó OD là đường trung trực của đoạn thẳng AC

Tứ giác có

Tứ giác là tứ giác nội tiếp.

b) Xét có: (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC) (1)

(Cùng phụ ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra là tia phân giác của (*)

vuông tại H nên hay

c) Gọi K là giao điểm của DB và AC.

Xét ta có: (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn ) (3)

T a có vuông tại có

vuông tại có

(Cùng phụ ) (4)

Từ (3) và (4) suy ra

là tia phân giác trong của tam giác (**)

Theo tính chất tia phân giác trong ta có:

(Do )

Mặt khác ta có: (cùng vuông góc )

(Định lý Ta lét)

Mà (Do là đường trung trực của AB) nên là đường trung bình của

hay

Câu 6: (1,0 điểm)

Chiều cao hình trụ là:

Thể tích hình trụ là: =

Bán kính hình cầu và hình trụ là: r =

Thể tích hình cầu là:

Chiều cao hình nón là:

Thể tích hình nón là:

Thể tích lượng nước còn trong chiếc cốc là:

I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 ĐIỂM)

Câu 1: (3,0 điểm)

1. Rút gọn biểu thức:

2. Giải hệ phương trình: 

3. Giải phương trình:

Câu 2: (2,0 điểm)

Cho hai hàm số và có đồ thị lần lượt là và

1. Vẽ và trên cùng hệ trục tọa độ

2. Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép toán

Câu 3: (2,0 điểm)

Cho phương trình (với là tham số)

1. Với giá trị nào của thì phương trình có nghiệm kép

2. Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho

II. PHẦN TỰ CHỌN (3,0 ĐIỂM)

Thí sinh chọn một trong hai đề sau đây:

Đề 1:

Câu 4: (3,0 điểm)

Cho tam giác có ba góc đều nhọn nội tiếp đường tròn tâm , hai đường cao và cắt đường tròn tâm theo thứ tự tại và

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

2. Gọi là giao điểm của và . Chứng minh

Đề 2:

Câu 5: (3,0 điểm)

Cho đường tròn tâm . Từ điểm nằm ngoài đường tròn tâm vẽ các tiếp tuyến , với ( , là hai tiếp điểm). Vẽ cát tuyến không đi qua tâm , nằm giữa và .

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

_{2. Chứng minh}

_{…….HẾT……}

HƯỚNG DẪN GIẢI

I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 ĐIỂM)

Câu 1: (3,0 điểm)

1.

2. 

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

3.

Vậy tập nghiệm của phương trình là:

Câu 2: (2,0 điểm)

Cho hai hàm số và có đồ thị lần lượt là và

1. Vẽ và trên cùng hệ trục tọa độ .

Đồ thị của hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm và

Bảng giá trị của hàm số là:

Đồ thị hàm số là Parabol đi qua các điểm ; ; ; ; nhận làm trục đối xứng.

2. Xét phương trình hoành độ giao điểm của và là:

Vì phương trình có hệ số nên có nghiệm là ;

Với , ta có điểm

Với ta có điểm

Vậy giao tại hai điểm là và

Câu 3: (2,0 điểm)

Cho phương trình (với là tham số)

1. Để phương trình có nghiệm kép thì

Vậy với thỏa mãn yêu cầu đề bài.

2. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

Theo hệ thức Vi-et ta có:

Mà theo đề bài ta có nên ta có hệ phương trình:

Thay giá trị , vào ta được (thỏa mãn).

Vậy thỏa mãn điều kiện đề bài.

II. PHẦN TỰ CHỌN (3 ĐIỂM)

Thí sinh chọn một trong hai đề sau đây:

Đề 1:

Câu 4: (3,0 điểm)

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Xét có: ,

Xét tứ giác có: nên hai đỉnh , kề nhau cùng nhìn cạnh dưới các góc vuông.

Do đó: là tứ giác nội tiếp.

2. Gọi là giao điểm của và . Chứng minh

Xét đường tròn có: (hai góc cùng chắn cung ).

Lại có: (g.g) nên

Đề 2:

Câu 5: (3,0 điểm)

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.

Vì , là hai tiếp tuyến của nên ,

Xét tứ giác có:

Mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh

Xét có: (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung ; góc nội tiếp cùng chắn cung )

Lại có: (g.g) nên

Bài 1. (1.0 điểm)

Tính giá trị biểu thức

a) b)

Bài 2. (2.0 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) b)

c) d)

Bài 3. (2.0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số có đồ thị (P).

a) Vẽ đồ thị (P).

b) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): (với m là tham số) cắt (P) tại hai điểm

phân biệt có hoành độ là thỏa mãn

Bài 4. (1.0 điểm)

Một công ty vận tải dự định dùng loại xe lớn để vận chuyển 20 tấn hàng hóa theo một hợp đồng. Nhưng khi vào việc, công ty không còn xe lớn nên phải thay bằng những xe nhỏ. Mỗi xe nhỏ vận chuyển được khối lượng ít hơn 1 lần so với mỗi xe lên theo dự định. Để đảm bảo thời gian đã hợp đồng, công ty phải dùng một số lượng xe nhiều hơn số xe dự định là 1 xe. Hỏi mỗi xe nhỏ vận chuyển bao nhiêu tấn hàng hóa? (Biết các xe cùng loại thi có khối lượng vận chuyển như nhau).

Bài 5. (1.0 điểm)

Cho tam giác ABC có

a) Chứng minh tam giác ABC vuông.

b) Tính số đo và độ dài đường cao AH của tam giác ABC.

Bài 6. (2.5 điểm)

Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm M bất kì thuộc đường tròn sao cho . Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn, tiếp tuyến này cắt tia BM ở N. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt CN ở D.

a) Chứng minh bốn điểm A, D, M, O cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh OD song song BM.

c) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt đường thẳng BM tại I. Gọi giao điểm

của AI và BD là G. Chứng minh ba điểm N, G, O thẳng hàng.

Bài 7. (0.5 điểm)

Cho là các số thực dương thỏa

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

...HẾT...

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI VÀO 10 –MÔN TOÁN – VĨNH LONG

Bài 1. (1.0 điểm)

Tính giá trị biểu thức

a) b)

Lời giải

a)

Vậy

b)

Vậy

Bài 2. (2.0 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) b)

c) d)

Lời giải

a)

Vậy phương trình có tập nghiệm là

b)

Vậy phương trình có tập nghiệm là

c) Đặt

Khi đó phương trình trở thành:

Với

Vậy phương trình có tập nghiệm là

d)

Vậy hệ đã cho có nghiệm là

Bài 3: (2.0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số có đồ thị (P).

a) Vẽ đồ thị (P).

b) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): (với m là tham số) cắt (P) tại hai điểm

phân biệt có hoành độ là thỏa mãn

Lời giải

a)

Bảng giá trị của hàm số

			0	1	2
			0

Vẽ đường cong đi qua các điểm có tọa độ ta được parabol (P):

b)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P), ta có

(*)

Phương trình (*) có

Để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Theo bài ra ta có:

Vậy là giá trị cần tìm.

Câu 4. (1.0 điểm)

Một công ty vận tải dự định dùng loại xe lớn để vận chuyển 20 tấn hàng hóa theo một hợp đồng. Nhưng khi vào việc, công ty không còn xe lớn nên phải thay bằng những xe nhỏ. Mỗi xe nhỏ vận chuyển được khối lượng ít hơn 1 lần so với mỗi xe lên theo dự định. Để đảm bảo thời gian đã hợp đồng, công ty phải dùng một số lượng xe nhiều hơn số xe dự định là 1 xe. Hỏi mỗi xe nhỏ vận chuyển bao nhiêu tấn hàng hóa? (Biết các xe cùng loại thi có khối lượng vận chuyển như nhau).

Lời giải

Gọi số tấn hàng hóa mỗi xe nhỏ vận chuyển được là: x (tấn) (x >0)

Mỗi xe lớn vận chuyển được số tấn hàng là: x+1 (tấn)

Khi đó số xe nhỏ dự định phải dùng để chở hết 20 tấn hàng hóa là: (xe).

Số xe lớn dự định phải dùng để chở hết 20 tấn hàng hóa là: (xe)

Vì thực tế số xe nhỏ phải dùng nhiều hơn dự định là 1 xe.

Nên ta có phương trình:

Giải phương trình:

Vậy mỗi xe nhỏ vận chuyển được 4 tấn hàng hóa.

Bài 5. (1.0 điểm)

Cho tam giác ABC có

a) Chứng minh tam giác ABC vuông.

b) Tính số đo và độ dài đường cao AH của tam giác ABC.

Lời giải

a)

Ta có:

vuông tại A (định lý Pitago đảo).

b)

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong vuông tại A và có đường cao AH ta có:

Vậy

Bài 6. (2.5 điểm)

Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm M bất kì thuộc đường tròn sao cho . Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn, tiếp tuyến này cắt tia BM ở N. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt CN ở D.

a) Chứng minh bốn điểm A, D, M, O cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh OD song song BM.

c) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt đường thẳng BM tại I. Gọi giao điểm

của AI và BD là G. Chứng minh ba điểm N, G, O thẳng hàng.

Lời giải

a) Ta có:

(tính chất tiếp tuyến)

(tính chất tiếp tuyến)

Xét tứ giác OMD4 có:

Mà hai góc này ở vị trí đối diện

Nên tứ giác OMDA nội tiếp

Hay bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.

b) Xét (O) ta có: OD là tia phân giác trong góc (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

(1)

Mà (góc nội tiếp và góc ở tâm củng chắn cung MA) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên (đpcm).

c) Vì

Mà O là trung điểm của là đường trung bình của tam giác ABN

là trung điểm của là trung tuyến của tam giác ABN.

Lại có (cmt), mà O là trung điểm của là đường trung bình của tam giác ABN

là trung điểm của là trung tuyến của tam giác ABN.

Mà NO là trung tuyến của tam giác ABC.

Mặt khác ta lại có:

Do đó AI, BD, NO đồng qui tại G là trọng tâm của tam giác ABN.

Suy ra thẳng hàng.

Bài 7. (0.5 điểm)

Cho là các số thực dương thỏa

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

Ta có: thay vào A ta được:

Dễ thấy

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có

Suy ra

Dấu "=" xảy ra khi

Vậy khi

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (2,0 điểm)

Trong các câu sau, mỗi câu chỉ có một lựa chọn đúng. Em hãy ghi vào bài làm chữ cái in hoa đứng trước lựa chọn đúng (Ví dụ: Câu 1 nếu chọn A là đúng thì viết 1.A).

Câu 1. Cho khối hộp chữ nhật có chiều dài 3m, chiều rộng 2m và cao 1m. Thể tích của khối hộp đã cho bằng

A. 3m³ B. 6m³ C. 2m³ D. 12m³

Câu 2. Biểu thức có giá trị bằng

A. B. C. D.

Câu 3. Tổng các nghiệm của phương trình bằng

A. 6 B. -3 C. 3 D. -6

Câu 4. Tìm tất cả các giá trị của để biểu thức xác định.

A. B. C. D.

II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)

Câu 5 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

Câu 6 (2,0 điểm). Cho parabol và đường thẳng ( là ẩn, tham số).

a) Tìm tọa độ giao điểm của parabol với đường thẳng khi .

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt thỏa mãn .

Câu 7 (1,0 điểm). Người thứ nhất đi đoạn đường từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 78km. Sau khi người thứ nhất đi được 1 giờ thì người thứ hai đi theo chiều ngược lại vẫn trên đoạn đường đó từ B về A. Hai người gặp nhau ở địa điểm C cách B một quãng đường 36km. Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng vận tốc của người thứ hai lớn hơn vận tốc của người thứ nhất là 4km/h và vận tốc của mỗi người trong suốt đoạn đường là không thay đổi.

Câu 8 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M không trùng với B, C). Gọi H, K, D theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến các đường thẳng AB, AC, BC.

a) Chứng minh tứ giác AHMK nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh MH .MC = MK .MB.

c) Tìm vị trí của điểm M để DH + DK lớn nhất.

Câu 9 (1,0 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh:

-------Hết------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

HƯỚNG DẪN GIẢI.

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM. (Mỗi câu đúng được 0,5 điểm)

Câu	1	2	3	4
Đáp án	B	D	A	C

II. PHẦN TỰ LUẬN.

Câu 5 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

Lời giải

Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Câu 6 (2,0 điểm). Cho parabol và đường thẳng ( là ẩn, tham số).

a) Tìm tọa độ giao điểm của parabol với đường thẳng khi .

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt thỏa mãn .

Lời giải

a. Khi m = 4, đường thẳng (d) có dạng: .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): (1)

PT (1) có

PT (1) có hai nghiệm phân biệt :

Với

Với

Vậy, khi m = 4 thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ lần lượt là và

b. Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): (2)

PT (2) có

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì PT (2) phải có hai nghiệm phân biệt.

hay (*)

Với ĐK (*) , gọi là hai nghiệm của PT (2).

Áp dụng định lí Viets, ta có : (3)

Với

Với

Xét biểu thức :

(4)

Thay (3) vào (4), ta được :

Vậy, với thì yêu cầu bài toán được thỏa mãn.